variables continues apuntes

1. Variables aleatòries contínues.
Probabilitat i Estadística
Departament de Matemàtiques
Universitat Politècnica de Catalunya

2. Variables aleatòries contínues
Definició
Direm que una variable aleatòria és contínua quan pot pendre qualsevol valor x en un
intèrval.
No és possible conèixer el valor exacte d’una variable aleatòria contínua, ja que
mesurar el seu valor consisteix en classificar-lo dintre d’un intèrval. És a dir, no té
sentit preguntar-nos per la probabilitat que una variable aleatòria contínua prengui un
valor x específic.
El més semblant que podem fer per aproximar-nos a la idea (impossible) de tenir una
probabilitat de que la nostra variable aleatòria contínua prengui un valor concret,
X = x, és considerar un interval al voltant de la valor x, preguntant-nos per la
probabilitat que la variable X prengui un valor dins d’aquest interval.
Exemple: Si el resultat de mesurar una longitud és 23 cm, tot allò que podem afirmar
és que la longitud real, no observable, està en l’intèrval 22.5 a 23.5 cm.

3. VA contínues
Funció de densitat de probabilitat
Donada una VA X, definim la funció de densitat de probabilitat a la funció:
f : R −→ R
que compleix les condicions següents:
f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R
R +∞
−∞
f(x)dx = 1
P(a < X < b) =
R a
b
f(x)dx
El coneixem de la la funció de densitat f(x) permet calcular qualsevol probabilitat tot
integrant-la. Per exemple:
P(X ≤ x) =
R x
−∞
f(x)dx
P(x1 < X < x2) =
R x2
x1
f(x)dx
En conseqüència, la probabilitat que un model de variable aleatòria contínua assigna
a l’observació d’un valor exacte qualsevol és zero.

4. Funció de distribució de probabilitat F(x)
Donada una VA contínua X, definim la funció de distribució com:
F(x) = P(X ≤ x)
Tenint en compte allò que acabem d’explicar per a la funció de densitat de probabilitat:
F(x) = P(X ≤ x) =
R x
−∞
f(x)dx
F(x) és creixent, no negativa, contínua i derivable
P(x1 < X < x2) = F(x2) − F(x1)
De fet, tindrem:
f(x) = dF(x)
dx
La seva gràfica és de la forma:

5. A l’Hospital de Sant Joan de Deu, es va comprovar que el pes en kg dels nens en
nèixer és una variable aleatòria amb funció de densitat:
f(x) =
(
1
6
x si X pren valors en [2, 4]
0 si X pren valors altrament
Aleshores, tindrem:
si x < 2: F(x) = 0
si 2 ≤ x ≤ 4: F(x) =
R x
−∞
1
6
tdt =
R x
2
1
6
tdt = x2
−4
12
si 4 < x: F(x) =
R 4
−∞
1
6
tdt =
R 4
2
1
6
tdt = 1
Així doncs, la seva funció de distribució de probabilitat és:
F(x) =
( 0 si x < 2
x2
−4
12
si x pren valors en [2, 4]
1 si x > 4
Calculem ara la seva esperança:
µX = E(X) =
Z 4
2
x ·
1
6
xdx =
1
6
Z 4
2
x2
dx =
x3
18
x=4
x=2
=
43
18
−
23
18
=
28
9
≈ 3.11kg

6. Esperança d’una VA contínua
Recordeu que és una mesura de la centralitat de les dades.
Esperança
Donada una VA contínua, calculem l’esperança de X o mitjana com:
µX = E(X) =
( R +∞
−∞
x · f(x)dx si X pren valors en (−∞, +∞)
R b
a
x · f(x)dx si X pren valors en (a, b)
on f(x) és la funció de probabilitat.
Observació: En el primer cas, cal suposar que la integral impròpia és absolutament
convergent, és a dir: Z +∞
−∞
x · f(x)dx ∞
Propietats de l’esperança:
E(a X) = a E(X) per a ∈ R.
E(X + b) = E(X) + b i en conseqüència:
E(aX + b) = aE(X) + b

7. Moda i Mediana
Per a una VA contínua no té sentit parlar del valor de la VA amb probabilitat màxima.
Definim la moda com el valor de la variable que fa màxima la funció de densitat de
probabilitat. Sigui xmo aquest valor, aleshores f(x) és màxima i per tant es compleix:
f′
(xmo) = 0
f′′
(xmo) 0
Algunes vegades tindrem dos, tres o més valor que tenen relativament grans
probabilitats d’ocurrència. En tals casos direm que la distribució és bimodal, trimodal
o multimodal, respectivament.
Definim la mediana, Me, com el valor x pel qual:
P(X ≤ x) = P(X ≥ x) =
1
2
És a dir: La mediana correspon a l’ordenada que separa una corba de densitat en
dues parts que tenen àrees iguals de 1
2
cadascuna:
P(X ≤ Me) =
Z Me
−∞
f(x)dx =
1
2
Per a calcular Me, caldrà aillar-la de l’equació anterior.

8. Continuem amb l’exemple del pes dels nadons en nèixer. Anem a calcular la seva
moda i mediana.
Moda: La funció de densitat és una recta amb pendent positiva definida entre
els valors X = 2 i X = 4. Per tant, el seu màxim valor es trobarà a X = 4. No té
massa sentit. Així doncs, quan es treballa amb variables contínues, el valor
màxim no sempre és la moda. En aquest exemple en concret, no existeix la
moda.
Mediana: Com ja haviem calculat la funció de distribució de probabilitat de la
variable X, la mediana serà el valor que acumula una probabilitat de 1
2
, per tant:
Me2
− 4
12
= 0.5 −→ Me =
√
0.5 · 12 + 4 ≈ 3.16kg
Calculem ara la seva variància. Recordem que E(X) = 28
9
. Aleshores:
σ2
X = Var(X) = E[(X − µ)2
] =
Z 4
2
(x −
28
9
)2
·
1
6
xdx ≈ 0.32099kg2
O bé la podem calcular així:
σ2
X = E[X2
] − (E(X))2
=
Z 4
2
x2
·
1
6
xdx −
28
9
2

9. Anem ara a redefinir les mesures de dispersió per a una VA contínua
Variància i desviació típica
Donada una VA contínua, anomenem variància de X a:
σ2
= V(X) = E[(X − µ)2
]
σ2
=
( R +∞
−∞
(x − µ)2
· f(x)dx si X pren valors en (−∞, +∞)
R b
a
(x − µ)2
· f(x)dx si X pren valors en (a, b)
També es compleix: σ2
= V(X) = E[(X − µ)2
] = E[X2
] − (E(X))2
Anàlogament, la desviació típica és:
σ = +
√
σ2 =
q
E[(X − µ)2].
Propietats de la variància
V(k) = 0 si k és una constant.
V(a X + b) = a2
V(X) per a ∈ R i b ∈ R.

10. Definirem ara les variables aleatòries tipificades o normalitzades, que són
adimensionals. Per això son útils per comparar diferents distribucions
Variables aleatòries tipificades
Donada una VA X, amb mitjana µ i desviació típica σ, podem definir una variable
aleatòria normalitzada o tipificada com:
X∗
=
X − µ
σ
.
on X∗
té esperança 0 i variància 1: E(X∗
) = 0 i V(X∗
) = 1.
La desigualtat de Txebixev permet interpretar la informació conjunta que ens
proporciona l’esperança i variància d’una VA
Desigualtat de Txebixev
Donada una VA X, la desigualtat de Txebixev ens diu que per a tot k 0:
P(|X − E(X)| ≥ k) ≤
1
k2
V(X).
La demostració és anàlega a la feta al tema d’Estadística Descriptiva, considerant ara
probalilitats en comptes de freqüències.

11. Percentils d’una VA X contínua
Podem dividir l’àrea sota una corba de densitat de probabilitat f(x) usant ordenades,
de manera que l’àrea a l’esquerra de l’ordenada correspongui a un percentatge de
l’àrea total que és la unitat. Els valors de x de la VA X que corresponen a aquestes
àrees s’anomenen percentils de X.
El pth
percentil és el valor xp tal que P(X xp) = p
Per exemple, la mediana seria el percentil cinquanta i Q3, el setanta-cinquè percentil.
Altres mesures de dispersió
Rang (o recorregut): És la diferència entre els valors més grans i més petits que
poden pendre una VA X. Aquesta mesura no tindrà sentit si algun dels valors
extrems és infinit.
Rang interquartílic: La diferència entre x0.75 i x0.25.

12. Distribució Uniforme Contínua U(a,b)
Una variable aleatòria X segueix una distribució uniforme contínua de paràmetres a i
b on a, b ∈ R, a b si la seva funció de densitat de probabilitat és:
f(x) =
(
1
b−a
a x b
0 altrament
En aquest cas, calcular probabilitats no és més que calcular l’àrea d’un rectangle
d’alçada 1
b−a
.

13. Distribució Uniforme Contínua U(a,b) continuació
F(x) = P(X ≤ x) =
( 0 si x a
R x
a
1
b−a
dt = x−a
b−a
si x pren valors en [a, b]
1 si x b
El valor esperat per la distribuciò uniforme i la seva variància són:
µX = E(X) =
Z b
a
1
b − a
xdx =
1
b − a
x2
2
x=b
x=a
=
1
b − a
b2
− a2
2
=
b + a
2
σ2
X = V(X) =
Z b
a
1
b − a
x2
dx
−
b + a
2
2
= ... =
(b − a)2
12

14. Un autobus passa cada 15 minuts per una parada. Trobeu la probabilitat d’esperar
menys de 10 minuts, el temps mig d’espera i la desviació típica del temps d’espera.
Sigui X =temps d’espera de l’autobus. Donat que l’autobus passa cada 15 minuts i
no sabem quan és que ha passat, res indica que un intèrval de temps sigui més
probable que un altre, per tant X segueix una distribució uniforme de paràmetres
a = 0 i b = 15, donat que 0 és el temps mínim d’espera i 15, el màxim.
Així doncs, X ∼ Uniforme(0, 15) amb funció de densitat de probabilitat:
f(x) =
(
1
15
0 x 15
0 altrament
La seva funció de distribució de probabilitat serà:
F(x) = P(X ≤ x) =
( 0 si x 0
x
15
si x pren valors en [0, 15]
1 si x 15
La probabilitat que el temps d’espera sigui menor de 10 minuts és:
P(X ≤ 10) = F(10) =
10
15
=
2
3
=≈ 0.667
El temps mig d’espera serà: E(X) = 0+15
2
= 7.5 minuts
La desviació típica : σ = 15−0
√
12
≈ 4.33 minuts

15. Distribució exponencial de paràmetre λ
Direm que una variable aleatòria X segueix una distribució exponencial de paràmetre
λ si la seva funció de densitat de probabilitat ve donada per:
f(x) =
(
0 x 0
λe−λx
x 0
El valor esperat de la distribuciò exponencial i la seva variància són:
µX = E(X) =
Z ∞
0
xλe−λx
dx = ... =
1
λ
σ2
X = V(X) =
Z ∞
0
x2
λe−λx
dx −
1
λ2
= ... =
1
λ2

16. Distribució exponencial de paràmetre λ
La seva funció de distribució de probabilitat serà:
F(x) = P(X ≤ x) =
(
0 si x ≤ 0
R x
0
λe−λt
dt = 1 − e−λx
si x 0
La distribució exponencial té un paper important en teoria de cues i en problemes de
confiança.
Exemples: el temps de falla als components i sistemes elèctrics, generalment es
modelen amb una distribució exponencial. També, l’intèrval de temps entre
terratrèmols (d’una determinada magnitud). Donada una màquina que produeix
filferro, la quantitat de metres fins a trobar una falla en el filferro es podria modelar
com una exponencial; el temps de vida d’una bombeta; etc.
Falta de memòria de la distribució exponencial
La distribució exponencial verifica la següent propietat:
P(X s + m|X s) = P(X m)
Aplicant la fórmula de la probabilitat condicionada:
P(X s + m|X s) = P(Xs+m,Xs)
P(Xs)
= P(Xs+m)
P(Xs)
= e−λ(s+m)
e−λ(s) = P(X m)

17. Distribució normal N(µ, σ)
Una VA contínua es diu que té una distribució normal o de Laplace-Gauss de mitja µ i
desviació típica σ, N(µ, σ), si:
1 X pot prendre qualsevol valor en l’intèrval (−∞, +∞)
2 La seva funció de densitat de probabilitat és:
f(x) =
1
σ
√
2π
e
− 1
2
(x−µ)2
σ2
En general no té simetria respecte els eixos pero sí respecte la recta x = µ.
No admet primitiva, per tant el càlcul de probabilitats el farem amb integració
numérica o tipificant i usant taules per N(0,1).

18. Distribució normal N(µ, σ)
1 σ fixa i µ variant
2 σ variant i µ fix
Exemple 1 Exemple 2
Propietat reproductiva
Donades VA independents X1 ∼ N(µ1, σ1) i X2 ∼ N(µ1, σ1), la VA que s’obté fent
X = X1 ± X2, també té una distribució normal N(µ, σ) tal que:
µ = µ1 ± µ2 σ =
q
σ2
1 + σ2
2
Es pot generalitzar. Sigui la VA X = X1 ± X2 ± ... ± Xn on Xi ∼ N(µi , σi ) independents:
µ = µ1 ± µ2 ± ... ± µn σ =
q
σ2
1 + σ2
2 + ... + σ2
n

19. Distribució normal tipificada (o estàndar) N(1,0)
Si X es una VA N(µ, σ), la VA tipificada:
Z = X−µ
σ
segueix una distribució normal amb µZ = 0 i σZ = 1, és a dir, Z ∼ N(0, 1). La VA Z
rep el nom de variable tipificada de X, i a la corba de la seva funció de densitat, corva
normal tipificada. Característiques:
No depèn de cap paràmetre.
La seva funció de densitat és simètrica respecte a l’eix x = 0, té un màxim en
aquest eix i dos punts d’inflexió a x = −1 i x = 1.
Els valors de la seva funció de distribució de probabilitat estan tabulats.
Com farem per calcular les probabilitats si X és N(µ, σ)?
P(X ≤ a) P(a ≤ X ≤ b)
Farem el següent canvi tot tipificant la variable X:
P(X ≤ a) = P(
X − µ
σ
≤
a − µ
σ
) = P(Z ≤ z1)
P(a ≤ X ≤ b) = P(a−µ
σ
≤ X−µ
σ
≤ b−µ
σ
) = P(z1 ≤ Z ≤ z2) = P(Z ≤ z2) − P(Z ≤ z1)

20. Distribució normal tipificada (o estàndar) N(1,0)
Ús de les taules per a valors positius:

21. Distribució normal tipificada (o estàndar) N(1,0)
Ús de les taules per a valors negatius:

22. Aproximació de la Binomial amb la Normal
Sigui X una VA amb distribució Binomial(n,p) amb funció de massa de probabilitat:
f(x) = P(X = x) = n
x
px
(1 − p)n−x
sota certes circumstàncies, la seva distriució es pot aproximar a partir d’una
distribució normal.
Teorema de Laplace-Moivre:
Sigui X una VA amb distribució Binomial(n,p). Si n és gran, aleshores X és
aproximadament normal amb esperança np i variància np(1 − p), de manera que la
variable tipificada:
Z = X−np
√
npq
és N(0, 1) quan n −→ ∞
A la pràctica, n30 i p ≈ 0.5 (aquestes condicions poden variar segons la bibliografia
consultada, p.ex. n30 i np 5 i nq 5). Aquest teorema és una cas particular del
Teorema Central del Límit, que veurem més endavant.
Màquina de Galton!
Correcció de continuïtat de Yates Per utilitzar correctament aquesta aproximació que
transforma una VA discreta X en una VA contínua Z es necessari fer una correcció
de continuïtat: Com X pren valor enters 0,1,2,3,...,a,...,b,... aleshores:
P(X = a) ≈ P(a − 0.5 ≤ X ≤ a + 0.5)
P(a ≤ X ≤ b) ≈ P(a − 0.5 ≤ X ≤ b + 0.5)

23. Exemple:
Es llança una moneda perfecta a l’aire 100 vegades i ens pregunten, quina és la
probabilitat d’obtenir entre 35 i 60 cares en els 100 llançaments?
Fem primer el càlcul aplicant la distribució binomial (resultat exacte):
P(35 ≤ X ≤ 60) =
P60
x=35
100
x
(1
2
)x
(1
2
)n−x
=(minitab)=0.981504
Aproximem a una distribució normal:
N(µ = np, σ =
p
np(1 − p)) = N(µ = 50, σ = 5)
P(35 ≤ X ≤ 60) = P(35 − 0.5 ≤ X ≤ 60 + 0.5) = P(34.5 ≤ X ≤ 60.5) =
P(34.5−50
5
≤ X−50
5
≤ 60.5−50
5
) = P(−3.1 ≤ Z ≤ 2.1) = P(Z ≤ 2.1) − P(Z ≤
−3.1) = (taules) = 0.9821 − 0.0010 = 0.9811
Observem que la diferència entre els dos resultats no és massa gran.

24. Aproximació de la Poisson amb la Normal
Sigui X una VA amb distribució Poisson(λ) amb funció de massa de probabilitat:
f(x) = P(X = x) = e−λ λx
x!
Si λ és suficientment gran (λ 5) aleshores es pot aproximar per una distribució
normal d’esperança λ i variància λ, de manera que la variable tipificada:
Z = X−λ
√
λ
Correcció de continuïtat de Yates Per utilitzar correctament aquesta aproximació que
transforma una VA discreta X en una VA contínua Z es necessari fer una correcció
de continuïtat: Com X pren valor enters 0,1,2,3,...,a,...,b,... aleshores:
P(X = a) ≈ P(a − 0.5 ≤ X ≤ a + 0.5)
P(a ≤ X ≤ b) ≈ P(a − 0.5 ≤ X ≤ b + 0.5)
Donada X ∼ Poisson(125).CalculeuP(X ≥ 100).
P(X ≥ 100) = 1 − P(X ≤ 99) = 1 −
P99
k=0 e−125 125k
K!
= 1 − 0.0094 = 0.9906
P(X ≥ 100) = 1 − P(X ≤ 99) = 1 − P(X ≤ 99 + 0.5) = 1 − P(X ≤ 99.5) =
1 − P(Z ≤ 99.5−125
√
125
) = 1 − P(Z ≤ −2.28) = 1 − 0.0113 = 0.9887

25. Teorema Central del Límit
Suposem X1,X2,... VA independents amb:
E(Xi ) = µi V(Xi ) = σ2
i , i = 1, 2, ...
Per a cada n ≥ 1 construim la variable Sn: Sn =
Pn
i=1 Xi
E(Sn) =
Pn
i=1 µi V(Sn) =
Pn
i=1 σ2
i
Teorema Central del Límit
Encara que les VA Xi no siguin necessàriament normals, per a n gran Sn és
aproximadament normal amb esperança E(Sn) =
Pn
i=1 µi i variància
V(Sn) =
Pn
i=1 σ2
i , és a dir:
Sn = N
Pn
i=1 µi ,
p
(
Pn
i=1 σ2
i )
Sn−
Pn
i=1 µi
√Pn
i=1
σ2
i
≈ N(0, 1)
Cas particular per la mitjana
Si X1,X2,...,Xn és una mostra aleatòria dúna variable X amb qualsevol distribució (fins
i tot desconeguda), amb mitjana µ i desviació típica σ. Aleshores, si n és prou gran:
X ≈ N
µ,
σ
√
n