1. Penjelasan Relasi dan
Fungsi dalam
Matematika Diskrit
Menggunakan buku "Matematika Diskrit" karya Rinaldi Munir Revisi Keenam
kelompok :
1. Muhammad Amrul Iqdan Nidzar (2213011078)
2.
3.
2. Pengertian Relasi dalam
Matematika Diskrit
Relasi adalah hubungan antara dua himpunan atau objek dalam
matematika diskrit. Melalui relasi, kita dapat mempelajari keterkaitan
antara elemen-elemen dalam dua himpunan yang berbeda. Relasi dapat
digambarkan dengan diagram kartesius atau matriks relasi.
3. Penjelasan Relasi Biner dalam
Matematika Diskrit
Relasi Biner adalah salah satu konsep dasar dalam Matematika Diskrit yang digunakan untuk
memperlihatkan hubungan antar objek atau elemen dalam suatu himpunan. Relasi Biner dapat
didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut (a, b) yang memenuhi suatu sifat tertentu.
Dalam Matematika Diskrit, relasi biner sering dinyatakan dalam bentuk diagram Cartesius atau
matriks relasi. Diagram Cartesius menggambarkan elemen yang terlibat dalam relasi sebagai titik-
titik pada bidang kartesian, sedangkan matriks relasi menggambarkan hubungan antara elemen
dalam bentuk tabel.
Relasi biner dapat memiliki beberapa sifat, seperti sifat refleksif, simetris, antisimetris, dan transitif.
Sifat-sifat tersebut dapat membantu untuk memahami hubungan antar elemen dalam suatu relasi
biner.
Contoh penerapan relasi biner adalah pada graf, di mana setiap simpul direpresentasikan oleh
elemen dalam himpunan, dan setiap sisi direpresentasikan oleh suatu relasi biner antar elemen.
Relasi biner juga sering digunakan pada pemodelan database untuk merepresentasikan
keterkaitan antar data.
4. Penjelasan Irisan, Gabungan, Selisih,
dan Symmetric Difference Relasi
dalam Matematika Diskrit
Irisan adalah operasi antara dua himpunan yang menghasilkan himpunan baru yang terdiri dari
elemen-elemen yang dimiliki oleh kedua himpunan tersebut. Dalam konteks relasi, irisan dapat
digunakan untuk menemukan elemen-elemen yang dimiliki oleh dua relasi.
Gabungan adalah operasi antara dua himpunan yang menghasilkan himpunan baru yang terdiri
dari semua elemen yang dimiliki oleh salah satu atau kedua himpunan tersebut. Dalam konteks
relasi, gabungan dapat digunakan untuk menggabungkan elemen-elemen dari dua relasi ke dalam
satu himpunan.
Selisih adalah operasi antara dua himpunan yang menghasilkan himpunan baru yang terdiri dari
elemen-elemen yang hanya dimiliki oleh himpunan pertama dan tidak dimiliki oleh himpunan
kedua. Dalam konteks relasi, selisih dapat digunakan untuk menemukan elemen-elemen yang ada
dalam satu relasi tetapi tidak ada dalam relasi lainnya.
Symmetric difference adalah operasi antara dua himpunan yang menghasilkan himpunan baru
yang terdiri dari elemen-elemen yang hanya dimiliki oleh salah satu himpunan dan tidak dimiliki
oleh himpunan lainnya. Dalam konteks relasi, symmetric difference dapat digunakan untuk
menemukan elemen-elemen yang ada dalam satu relasi tetapi tidak ada dalam relasi lainnya, dan
sebaliknya.</
5. Penjelasan Relasi Terner dan Primary
Key
Relasi terner adalah jenis relasi yang melibatkan tiga entitas atau lebih dalam suatu hubungan.
Relasi terner digunakan ketika terdapat keterkaitan antara tiga entitas yang tidak dapat diwakili
oleh relasi biner. Dalam relasi terner, setiap entitas memiliki peran dan kontribusi yang unik
terhadap hubungan tersebut.
Primary key adalah atribut atau kumpulan atribut yang digunakan untuk mengidentifikasi secara
unik setiap baris atau tupel dalam tabel basis data. Primary key digunakan untuk memastikan
integritas data dan memungkinkan penggunaan operasi join untuk menggabungkan data dari tabel
yang berbeda.
6. Relasi Invers dalam Matematika Diskrit
Relasi invers adalah sebuah konsep dalam matematika diskrit yang menghubungkan dua
himpunan dengan cara yang berlawanan. Jika kita memiliki sebuah relasi R yang menghubungkan
himpunan A dengan himpunan B, maka relasi invers R-1 menghubungkan himpunan B dengan
himpunan A.
Untuk setiap pasangan (a, b) dalam relasi R, maka pasangan (b, a) akan ada dalam relasi invers
R-1. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b melalui relasi R, maka b terhubung dengan a
melalui relasi invers R-1.
Relasi invers memiliki beberapa sifat yang penting. Pertama, relasi R dan relasi invers R-1 memiliki
komposisi yang sama. Artinya, jika kita menggabungkan relasi R dengan relasi invers R-1, maka
hasilnya akan menjadi relasi identitas.
Kedua, jika sebuah relasi memiliki invers, maka invers dari invers tersebut adalah relasi aslinya.
Dengan kata lain, jika R-1 adalah invers dari R, maka (R-1)-1 = R.
Pemahaman tentang relasi invers sangat penting dalam studi matematika diskrit. Konsep ini sering
digunakan dalam membuktikan teorema, menyelesaikan masalah, dan memahami hubungan
antara objek matematika.
7. Mengkombinasikan Relasi dalam
Matematika Diskrit
Mengkombinasikan relasi adalah cara untuk membuat relasi baru dari dua atau lebih relasi yang
ada. Terdapat beberapa cara untuk mengkombinasikan relasi, yaitu sebagai berikut:
1. Gabungan Relasi
Gabungan relasi (union of relations) dari dua relasi R dan S pada himpunan A dan B adalah relasi
yang menghubungkan dua elemen jika elemen tersebut terhubung dengan R atau terhubung
dengan S.
Notasi dari gabungan relasi adalah R ∪ S. Dalam notasi ini, simbol ∪ digunakan untuk
merepresentasikan operasi gabungan (union) dari dua himpunan.
2. Irisan Relasi
Irisan relasi (intersection of relations) dari dua relasi R dan S pada himpunan A dan B adalah
relasi yang menghubungkan dua elemen jika elemen tersebut terhubung dengan R dan
terhubung dengan S.
Notasi dari irisan relasi adalah R ∩ S. Dalam notasi ini, simbol ∩ digunakan untuk
merepresentasikan operasi irisan (intersection) dari dua himpunan.
3. Komposisi Relasi
Komposisi relasi (composition of relations) dari dua relasi R dan S pada himpunan A dan B
adalah relasi yang menghubungkan dua elemen jika terdapat elemen yang terhubung dengan R
dan terhubung dengan S.
8. Sifat-sifat Relasi dalam Matematika
Diskrit
Relasi Simetris
Relasi di mana jika (a, b) adalah anggota,
maka (b, a) juga anggota.
Relasi Asimetris
Relasi di mana tidak ada anggota (a, b)
dan (b, a) terhadap suatu elemen.
Relasi Refleksif
Relasi di mana setiap elemen memiliki
hubungan dengan dirinya sendiri (a, a).
Relasi Transitif
Relasi di mana jika (a, b) dan (b, c) adalah
anggota, maka (a, c) juga anggota.
Relasi Ekivalen
Relasi yang memenuhi sifat-sifat relasi simetris, refleksif, dan transitif.
9. Relasi Kesetaraan, Relasi Pengurutan
Parsial, dan Klosur Relasi dalam
Matematika Diskrit
Relasi Kesetaraan
Relasi kesetaraan (equivalence relation) adalah sebuah relasi yang memenuhi tiga sifat, yaitu
refleksif, simetris, dan transitif. Dalam relasi kesetaraan, dua elemen dianggap setara jika mereka
memiliki sifat yang sama.
Contoh dari relasi kesetaraan adalah relasi "sama dengan" (=) pada bilangan bulat. Misalnya, 3 =
3, -5 = -5, dan sebagainya.
Relasi Pengurutan Parsial
Relasi pengurutan parsial (partial order relation) adalah sebuah relasi yang memenuhi empat
sifat, yaitu refleksif, antisimetris, transitif, dan terurut. Dalam relasi pengurutan parsial, dua
elemen dianggap terurut jika salah satu elemen lebih besar atau sama dengan elemen yang lain.
Contoh dari relasi pengurutan parsial adalah relasi "kurang dari atau sama dengan" (≤) pada
bilangan bulat. Misalnya, 2 ≤ 3, -5 ≤ -3, dan sebagainya.
Klosur Relasi
Klosur relasi (closure of relation) adalah sebuah relasi baru yang dihasilkan dari relasi awal
dengan menambahkan pasangan-pasangan elemen baru yang dihubungkan oleh relasi. Klosur
relasi dapat dibuat untuk memenuhi sifat-sifat tertentu, seperti refleksif atau transitif.
10. Relasi Biner dalam Matematika Diskrit
Menurut Rinaldi Munir
Relasi biner (binary relation) adalah sebuah relasi yang menghubungkan dua elemen dari
himpunan yang sama atau dari himpunan yang berbeda. Dalam relasi biner, setiap pasangan
elemen dapat memiliki hubungan yang berbeda-beda.
Contoh dari relasi biner adalah relasi "lebih besar dari" (>) pada bilangan bulat. Misalnya, 2 > 1, -5
> -10, dan sebagainya.
Relasi biner dapat digambarkan dengan menggunakan diagram Venn atau dengan tabel relasi.
Diagram Venn dapat digunakan untuk menggambarkan relasi biner pada himpunan yang sama,
sedangkan tabel relasi digunakan untuk menggambarkan relasi biner pada himpunan yang
berbeda.
Dalam Matematika Diskrit, relasi biner sering digunakan untuk memodelkan hubungan antara
objek matematika, seperti himpunan, bilangan, dan sebagainya. Dengan menggunakan relasi
biner, kita dapat memahami hubungan antara objek matematika tersebut dengan lebih baik.
11. Refinement Relasi Pegawai dan Proyek
Refinement relasi adalah proses pengoptimalan atau perbaikan terhadap hubungan antara entitas
dalam suatu sistem atau struktur data. Tujuan dari refinement relasi adalah untuk meningkatkan
efisiensi, kejelasan, dan konsistensi hubungan tersebut.
Contoh:
Misalnya, dalam sebuah sistem manajemen proyek, terdapat relasi antara entitas "Pegawai" dan
"Proyek". Awalnya, relasi ini mungkin hanya mencakup atribut "Nama Pegawai" dan "Nama
Proyek". Namun, melalui refinement relasi, kita dapat memperluas atribut yang terlibat dalam
hubungan tersebut, seperti "Posisi Pegawai" dan "Tanggal Mulai Proyek". Hal ini akan
memperkaya hubungan antara entitas dan menyediakan informasi yang lebih lengkap.
12. Poset, Chain, Lattice Relasi
Poset (Partially Ordered Set) adalah struktur matematika yang terdiri dari himpunan dan relasi
parsial yang memenuhi tiga aksioma yaitu refleksif, antisimetri, dan transitif. Dalam poset, elemen-
elemen dalam himpunan dapat dibandingkan berdasarkan hubungan relasinya.
Chain adalah subhimpunan dari poset yang terdiri dari elemen-elemen yang terurut secara linear.
Dalam chain, setiap elemen dapat dibandingkan dengan elemen yang terdapat sebelumnya dan
sesudahnya dalam urutan tersebut.
Lattice adalah poset yang setiap subhimpunannya memiliki infimum (elemen terkecil) dan
supremum (elemen terbesar). Dalam lattice, elemen-elemen dalam himpunan dapat diurutkan
berdasarkan hubungan relasinya sehingga membentuk struktur yang mirip seperti jaringan atau
grid.
13. Poset, Chain, dan Lattice Relasi
contoh poset, chain, dan lattice relasi dalam sebuah toko buku:
Poset
• Buku A "lebih disukai oleh pelanggan" daripada buku B
• Buku B "lebih banyak terjual" daripada buku C
• Buku A "lebih disukai oleh pelanggan" daripada buku D
• Buku D "lebih banyak terjual" daripada buku C
Chain
• Buku A
• Buku D
• Buku C
Lattice
Fiksi Non-Fiksi
Novel Biografi
Cerpen Buku Sejarah
14. Problema Penjadwalan
Problema penjadwalan adalah masalah pengaturan urutan waktu untuk sekelompok tugas atau
aktivitas dalam sebuah sistem. Tujuannya adalah untuk mengoptimalkan penggunaan sumber
daya dan waktu yang tersedia, serta meminimalkan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan
semua tugas atau aktivitas tersebut.
Dalam relasi, problema penjadwalan dapat terjadi ketika terdapat hubungan antara elemen-
elemen dalam suatu himpunan yang harus diatur dalam urutan waktu tertentu.
Contohnya, dalam sebuah proyek konstruksi, terdapat relasi antara tugas-tugas yang harus
dilakukan dalam urutan tertentu, seperti pemasangan pondasi sebelum membangun struktur atas.
Dalam penyelesaian problema penjadwalan, terdapat beberapa teknik dan algoritma yang dapat
digunakan, seperti algoritma Greedy, algoritma Dynamic Programming, dan algoritma Branch and
Bound. Teknik dan algoritma tersebut dapat digunakan untuk menentukan urutan waktu yang
optimal untuk menyelesaikan semua tugas atau aktivitas dalam himpunan.
Contoh: Misalnya, dalam sebuah jadwal kuliah, terdapat relasi antara mata kuliah yang harus
diambil dalam urutan tertentu, seperti kuliah Matematika Dasar harus diambil sebelum kuliah
Kalkulus. Dalam hal ini, problema penjadwalan dapat terjadi jika terdapat konflik waktu antara dua
mata kuliah yang saling bergantung dalam urutan waktu. Untuk menyelesaikan problema
penjadwalan dalam relasi ini, kita dapat menggunakan algoritma Greedy untuk menentukan urutan
waktu yang optimal untuk setiap mata kuliah. Algoritma Greedy akan mencoba menyelesaikan
tugas atau aktivitas dengan prioritas tertinggi terlebih dahulu, kemudian beralih ke tugas atau
aktivitas berikutnya.
15. Definisi Fungsi dalam
Matematika Diskrit
Fungsi adalah hubungan unik antara dua himpunan, di mana setiap
elemen pada himpunan asal memiliki pasangan tunggal pada himpunan
target. Fungsi sering digambarkan dengan diagram panah atau lembar
kerja.
16. Jenis-jenis Fungsi dalam Matematika
Diskrit
Fungsi Injektif
Semua elemen pada
himpunan asal memiliki
pasangan tunggal pada
himpunan target.
Fungsi Surjektif
Setiap elemen pada
himpunan target memiliki
paling sedikit satu
pasangan pada himpunan
asal.
Fungsi Bijektif
Fungsi yang merupakan
kombinasi dari injektif dan
surjektif, di mana setiap
elemen pada kedua
himpunan memiliki
pasangan tunggal dengan
himpunan lainnya.
17. Invers Fungsi dalam Matematika Diskrit
Invers fungsi (inverse function) adalah kebalikan atau pembalikan dari suatu fungsi. Dalam
Matematika Diskrit, sebuah fungsi f(x) dikatakan memiliki invers jika setiap output dari f(x) dapat
dihubungkan dengan input x yang menghasilkannya. Invers fungsi sering digunakan untuk
membalikkan operasi yang dilakukan oleh sebuah fungsi.
Untuk menyatakan bahwa sebuah fungsi f(x) memiliki invers, kita menggunakan notasi f-1(x).
Invers fungsi f-1(x) memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
• Untuk setiap x di dalam domain f(x), f-1(f(x)) = x
• Untuk setiap y di dalam range f(x), f(f-1(y)) = y
• Invers fungsi f-1(x) adalah fungsi jika dan hanya jika f(x) adalah fungsi satu-satu dan pada
(injective dan surjective).
Contoh dari invers fungsi adalah fungsi eksponensial dan logaritma. Fungsi eksponensial y = ax
memiliki invers y = logax, yang dapat digunakan untuk membalikkan operasi pangkat.
Dalam Matematika Diskrit, invers fungsi sering digunakan dalam berbagai aplikasi, seperti
kriptografi dan kompresi data. Dengan menggunakan invers fungsi, kita dapat membalikkan
operasi yang dilakukan pada data, sehingga data dapat dikembalikan ke bentuk aslinya.
18. Penjelasan Komposisi Fungsi dalam
Matematika Diskrit
Komposisi fungsi (function composition) adalah operasi yang menggabungkan dua atau lebih
fungsi menjadi satu fungsi baru. Dalam Matematika Diskrit, komposisi fungsi digunakan untuk
menghubungkan urutan operasi yang dilakukan oleh fungsi-fungsi tersebut.
Untuk menyatakan komposisi fungsi, kita menggunakan notasi f ∘ g, yang berarti fungsi f diikuti
oleh fungsi g. Dalam komposisi fungsi f ∘ g, output dari fungsi g menjadi input dari fungsi f. Dengan
kata lain, komposisi fungsi menggabungkan dua langkah operasi menjadi satu langkah operasi.
Misalnya, jika kita memiliki fungsi f(x) = 2x + 3 dan fungsi g(x) = x^2, maka komposisi fungsi f ∘ g
dapat dituliskan sebagai (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Dalam hal ini, fungsi g(x) pertama kali diterapkan pada
input x, kemudian outputnya digunakan sebagai input untuk fungsi f(x).
Komposisi fungsi memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
• Asosiatif: (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)
• Identitas: f ∘ id = f = id ∘ f, di mana id adalah fungsi identitas
Komposisi fungsi memiliki banyak aplikasi dalam Matematika Diskrit, seperti dalam teori graf,
aljabar boolean, dan kriptografi. Dengan menggunakan komposisi fungsi, kita dapat
menggabungkan berbagai operasi untuk menghasilkan fungsi yang lebih kompleks.
19. Operasi pada Fungsi dalam
Matematika Diskrit
1 Penjumlahan Fungsi
Melakukan operasi penjumlahan
antara dua fungsi.
Contoh: Jika f(x) = 2x + 3 dan g(x)
= x^2, maka penjumlahan fungsi f +
g adalah:
(f + g)(x) = (2x + 3) + (x^2)
2
Pengurangan Fungsi
Melakukan operasi pengurangan
antara dua fungsi.
Contoh: Jika f(x) = 2x + 3 dan g(x)
= x^2, maka pengurangan fungsi f -
g adalah:
(f - g)(x) = (2x + 3) - (x^2) 3 Perkalian Fungsi
Melakukan operasi perkalian
antara dua fungsi.
Contoh: Jika f(x) = 2x + 3 dan g(x)
= x^2, maka perkalian fungsi f * g
adalah:
(f * g)(x) = (2x + 3) * (x^2)
20. Penjelasan Pigeonhole Principle dalam
Matematika Diskrit
Pigeonhole Principle (Prinsip Lubang Merpati) adalah salah satu prinsip dasar dalam Matematika
Diskrit yang sering digunakan untuk membuktikan keberadaan suatu objek atau fenomena. Prinsip
ini menyatakan bahwa jika n buah objek didistribusikan ke k lubang (k < n), maka setidaknya satu
lubang harus berisi lebih dari satu objek.
Dalam bentuk matematis, Pigeonhole Principle dapat dirumuskan sebagai berikut: Jika n buah
objek didistribusikan ke k lubang (k < n), maka terdapat paling sedikit satu lubang yang berisi lebih
dari satu objek.
Contoh penerapan Pigeonhole Principle adalah pada kasus pencarian duplikat pada sebuah
himpunan. Jika terdapat n+1 elemen pada himpunan dengan n elemen, maka setidaknya ada satu
elemen yang duplikat.
Pigeonhole Principle juga dapat digunakan pada masalah-masalah kombinatorial, seperti yang
terkait dengan graf dan teori bilangan. Prinsip ini seringkali digunakan untuk membantu
pembuktian suatu teorema atau sifat dalam Matematika Diskrit.
