Bài 2 cực trị của hàm số (2)

1. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 17 -

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Giả sử hàm số ( )
y f x
 xác định trên tập ( )
D D   và o
x D
 .
 0
x là điểm cực đại của hàm số ( )
y f x
 nếu ( ; )
a b D và 0
( ; )
x a b
 sao cho 0
( ) ( ),
f x f x

( ; )
x a b
  { 0
x }. Khi đó 0 0
( )
y f x
 được gọi là giá trị cực đại của hàm số ( ).
y f x

 0
x là điểm cực tiểu của hàm số ( )
y f x
 nếu ( ; )
a b D và 0
( ; )
x a b
 sao cho 0
( ) ( ),
f x f x
( ; )
x a b
  { 0
x }. Khi đó 0 0
( )
y f x
 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ( ).
y f x

 Nếu 0
x là điểm cực trị của hàm số ( )
y f x
 thì điểm 0 0
( ; ( ))
x f x được gọi là điểm cực trị của đồ
thị hàm số ( ).
y f x

2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Nếu hàm số ( )
y f x
 có đạo hàm tại 0
x và đạt cực trị tại điểm đó
thì 0
( ) 0
f x
  . Nghĩa là hàm số ( )
y f x
 chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc không có đạo hàm.
3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
Định lí 1: Nếu hàm số ( )
y f x
 liên tục trên khoảng ( ; )
a b chứa 0
x và có đạo hàm trên các khoảng
0
( ; )
a x và 0
( ; ).
x b Khi đó:
 0
( ) 0, ( ; )
f x x a x
    và 0
( ) 0, ( ; )
f x x x b
    thì hàm số ( )
f x đạt cực tiểu tại điểm 0
x .
x a 0
x b
( )
f x
 – 0 || +
( )
y f x

cực tiểu
0
( )
f x
BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

2. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 18 -
 0
( ) 0, ( ; )
f x x a x
    và 0
( ) 0, ( ; )
f x x x b
    thì hàm số ( )
f x đạt cực đại tại điểm 0
x .
x a 0
x b
( )
f x
 + 0 || –
( )
y f x

0
( )
f x
cực đại
Định lý 2: Giả sử hàm số ( )
y f x
 có đạo hàm trên ; 0
( ) 0
f x và 0
( ) 0
f x .
 Nếu 0
( ) 0
f x thì ( )
y f x
 đạt cực đại tại 0
x .
 Nếu 0
( ) 0
f x thì ( )
y f x
 đạt cực tiểu tại 0
x .
B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN:
Ví dụ 1.1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
)
a 4 2
2 1
y x x
    )
b 4 2
2 4
y x x
  
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
)
c 4 2
4
y x x )
d 4 2
2 3
y x x
  
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
DẠNG 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐỊNH LÍ 1
Bước 1: Tìm tập xác định. Tính ( ).
y f x
 

Bước 2: Tìm các điểm ( 1,2,.., )
i
x i n
 tại đó ( ) 0
y f x
 
  hoặc ( )
y f x
 
 không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên.
Bước 4: Xét dấu ( ),
f x từ đó suy ra điểm cực trị dựa vào định lý 1.

3. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 19 -
Ví dụ 1.2: Tìm cực trị của các hàm số sau:
)
a 3 2
3 2
y x x )
b 3
3 2
y x x
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
)
c 3 2
1
3 1
3
y x x x )
d 3 2
1
5
3
y x x x
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
Ví dụ 1.3: Tìm cực trị của các hàm số sau:
)
a
2 5
1
x
y
x
)
b
2
1
x
y
x
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….

4. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 20 -
Ví dụ 1.4: Cho hàm số ( )
f x xác định, liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm cực trị của hàm số?
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
Ví dụ 1.5: Cho hàm số ( )
f x xác định, liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm cực trị của hàm số?
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
Ví dụ 1.6: Cho hàm số ( )
f x xác định, liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm cực trị của hàm số?
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
Ví dụ 1.7: Cho hàm số ( )
f x xác định, liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm cực trị của hàm số?
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
y
x
O
1
-1
1
-3
-2
2
y
x
O
-1
4
2
4
O 2
2
 2
2

y
x

5. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 21 -
Ví dụ 1.8: Cho hàm số ( )
y f x có bảng xét dấu của ( )
f x như sau. Tìm số điểm cực đại, cực tiểu của
hàm số ( )
y f x .
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
Ví dụ 1.9: Cho hàm số ( )
y f x liên tục trên  và có bảng xét dấu của ( )
f x như sau. Tìm giá trị cực đại,
giá trị cực tiểu của hàm số ( )
y f x .
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
Ví dụ 1.10: Cho hàm số ( )
f x có đạo hàm 2
( ) ( 2) ,
f x x x x  . Tìm số điểm cực trị của hàm số ( )
f x .
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
Ví dụ 1.11: Cho hàm số ( )
f x có 3
( ) ( 3) ( 3),
f x x x x  . Tìm số điểm cực trị của hàm số ( )
f x .
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
Ví dụ 1.12: Tìm cực trị của các hàm số sau:
)
a 2
2
4
y
x


)
b 2
2 3
y x
 
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
+
+
+ 0
0
0
0 2
2 + ∞
- ∞
f '(x)
x
+ 0
0
0 1
3 + ∞
- ∞
f '(x)
x

6. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 22 -
Ví dụ 2: Tìm cực trị của các hàm số sau:
)
a 2
y sin x x )
b 2
3 ; [0; ]
y sin x cosx x
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
C. DẠNG TOÁN NÂNG CAO
Ví dụ 3.1: Tìm điều kiện của tham số m sao cho hàm số:
)
a 3 2
3
y x x mx đạt cực đại tại 0
x . )
b 3 2
2
y x mx mx đạt cực tiểu tại 1
x .
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
DẠNG 2: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐỊNH LÍ 2
Bước 1: Tìm miền xác định. Tính ( )
y f x
Bước 2: Tìm các điểm ( 1;2;..; )
i
x i n tại đó ( ) 0
f x hoặc ( )
f x không xác định.
Bước 3: Với mỗi i ta tính ( ),
i
f x khi đó:
 Nếu ( ) 0
i
f x thì hàm số đạt cực đại tại i
x .
 Nếu ( ) 0
i
f x thì hàm số đạt cực tiểu tại i
x .
DẠNG 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ ( )
y f x CÓ CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM 0
x
 Bước 1: Tìm TXĐ.
 Bước 2: Tính ( )
y f x và ( )
y f x .
 Bước 3: Điều kiện cần: 0
( ) 0 (1)
f x m
 Bước 4: Điều kiện đủ:
+ 0
( ) 0
y x : hàm số đạt cực đại tại 0
(2)
x
+ 0
( ) 0
y x : hàm số đạt cực tiểu tại 0
(2)
x
+ 0
( ) 0
y x : hàm số đạt cực trị tại 0
(2)
x
 Bước 5: So sánh (1) và (2) m

7. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 23 -
Ví dụ 3.2: Cho hàm số 3 2
( ; ; ; )
y ax bx cx d a b c d  có bảng biến thiên như sau. Tính (10)
y ?
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
Ví dụ 3.3: Cho hàm số 4 2
( ) ( ; ; )
f x ax bx c a b c  có bảng biến thiên như sau. Tính (4)
f ?
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
Ví dụ 3.4: Cho hàm số 4 2
( ) ( ; ; )
f x ax bx c a b c  có có đồ thị như hình bên. Tìm ( 3)
f ?
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
+
0
0
2
+ ∞
- ∞
y
+
0
0
4
+ ∞
- ∞
y '
x
+ ∞ + ∞
2
1
1
+
0
0
f (x)
+ 0
0 1
1 + ∞
- ∞
f '(x)
x
x
y
1
O 1
2
-1

8. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 24 -
Ví dụ 4.1: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
)
a 4 2
( 9) 10
y mx m x có 3 điểm cực trị. )
b 4 2
( 1) 1 2
y mx m x m có 1 điểm CT
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
)
a 3 2
3 3(2 1) 1
y x mx m x có cực trị. )
b 3 2
( 1) 3 2
y x m x x không có cực trị
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
DẠNG 4: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ HOẶC KHÔNG CÓ CỰC TRỊ
Hàm số bậc ba: 3 2
( 0)
y ax bx cx d a
+ có cực trị (có CĐ ; CT) 0
y có 2 nghiệm phân biệt
0
0
y
a
.
+ không có cực trị 0
y vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
0
0
y
a
.
Hàm trùng phương: 4 2
( 0)
y ax bx c a
 Hàm số có 3 cực trị 0
ab
+ Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại khi
0
0
a
b
+ Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu khi
0
0
a
b
 Hàm số có 1 cực trị
0
0
ab
b
+ Hàm số chỉ có cực tiểu khi:
0
0
a
b
(không có cực đại).
+ Hàm số chỉ có cực đại khi:
0
0
a
b
(không có cực tiểu).

9. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 25 -
Ví dụ 5: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
)
a
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1
y x m x m x có cực đại, cực tiểu thỏa mãn | | 2
CT
C
x x
Đ
.
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
)
b 3 2
3( 1) 12 2
y x m x mx có 2 điểm cực trị 1 2
,
x x thỏa mãn 1 2 1 2
2 8 0
x x x x .
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
)
c 3 2
3
y x x m có hai điểm cực trị ,
A B thỏa mãn OA OB (O là gốc tọa độ).
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
DẠNG 5: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ( )
f x CÓ CĐ, CT THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
Phương pháp:
 Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
 Bước 2: Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-ét.
Chú ý:
 Định lí Viét: Cho phương trình 2
0( 0)
ax bx c a có 2 nghiệm phân biệt 1 2
,
x x
1 2
1 2
1 2
2
| |
| | | |
.
b
S x x
a x x
c a a
P x x
a

10. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 26 -
Ví dụ 6: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
)
a 3 2 2 3
3 3( 1)
y x mx m x m có 2 cực trị trái dấu.
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
)
b 3 2
1
1
3
y mx mx x có 2 điểm cực trị và hai giá trị cực trị cùng dấu.
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
…………………………………………………… ………………………………………………….
DẠNG 6: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ CÙNG DẤU, TRÁI DẤU
Phương pháp: Giả sử 2
y ax bx c
 Hàm số có hai cực trị (điểm cực trị) dương 0
y có hai nghiệm dương phân biệt:
1 2
1 2
1 2
0
0
0
0
. 0
a
x x
S x x
P x x
 Hàm số có hai cực trị (điểm cực trị) âm 0
y có hai nghiệm âm phân biệt:
1 2
1 2
1 2
0
0
0
0
. 0
a
x x
S x x
P x x
 Hàm số có hai cực trị (điểm cực trị) trái dấu 0
y có hai nghiệm trái dấu:
1 2 1 2
0 . 0
x x P x x

11. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 27 -
D. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
4
) 3
a y x 3 2
) 1
b y x x x 4 2
) 2 3
c y x x
3
) 1
d y x 4 2
) 2 3
e y x x
2
5
)
1
x x
f y
x
) 3
g y x x 2
) 4
h y x x 2
) 2 3
i y x x
2
)
4
x
j y
x
3
) (1 )
k y x x 5 3
1 1
l) 2
5 3
y x x
Bài 2: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
3 2 3
) 2 3( 1) 6
a y x m x mx m có cực đại, cực tiểu. (Đs: 1
m )
4 2
) 2 1
b y x mx m chỉ có 1 điểm cực trị. (Đs: 0
m )
4 2 2
) 2 1
c y x m x có 3 điểm cực trị. (Đs: 0
m )
Bài 3: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
2 3 2
) ( 5 ) 6 6 6
a y m m x mx x đạt cực tiểu tại 1
x . (Đs: 2
m )
3 2
) 3 12 2
b y mx x x đạt cực đại tại điểm 2
x . (Đs: 2
m )
3 2 2
) 3 ( 1) 2
c y x mx m x đạt cực đại tại 2
x . (Đs: 11
m )
Bài 4: Tìm các giá trị của tham số m để các hàm số:
3 2 2
2 2
) 2(3 1)
3 3
a y x mx m x có hai điểm cực trị 1 2
,
x x sao cho: 1 2 1 2
. 2( ) 1
x x x x .
(Đs:
2
3
m )
3
2
) ( 1) (6 2 )
3
x
b y m x m x m đạt cực trị tại hai điểm trái dấu. (Đs: 3
m )
Bài 5: Tìm các tham số thực m để hàm số:
)
a 4 2 2
2( 1)
y x m x m có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
(Đs: 0
m )
)
b 4 2 4
2 2
y x mx m m có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều.
(Đs: 3
3
m )
)
c (Minh họa 2017) 4 2
2 1
y x mx có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
(Đs: 1
m )
)
d 4 2 4
2 2
y x mx m m có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 .
(Đs: 5
16
m )
)
e (THPT QG 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 3
3 4
y x mx m
có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.
(Đs: 1
m )
)
f (THPT QG 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2
2
y x mx có ba
điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.
(Đs: 0 1
m )

12. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 28 -
E. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. (Minh họa 2020) Cho hàm số ( )
y f x có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. 2
x . B. 2
x . C. 1
x . D. 1
x .
Câu 2. (THPT QG 2018) Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực
trị của hàm số đã cho là
A. 3 .
B. 1.
C. 2.
D. 0 .
Câu 3. (THPT QG 2017) Cho hàm số ( )
y f x có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3 . B. Hàm số có hai điểm cực tiểu.
C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 . D. Hàm số có ba điểm cực trị.
Câu 4. (THPT QG 2019) Cho hàm số ( )
y f x có đạo hàm 2
( ) ( 2)
f x x x , x  . Số điểm cực trị
của hàm số đã cho là
A. 0 . B. 3 . C. 2. D. 1.
Câu 5. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là
A. 1
y .
B. 1
x .
C. 1
y .
D. 1
x .
Câu 6. (Minh họa 2020) Cho hàm số ( )
y f x có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. 2. B. 3 . C. 0 . D. 4 .
2
1
∞
+ ∞
+
+ 0
0
2
1 + ∞
∞
f (x)
f '(x)
x
0
+ ∞
0
0
0
3
+ ∞
+
+ 0
0
1
1 + ∞
∞
y
y'
x
( )
y f x

4
2
∞
+ ∞
+
+ 0
0
3
0 + ∞
∞
f (x)
f '(x)
x
O
x
y
y
x
-1
1
O 1
3
2

13. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 29 -
Câu 7. (THPT QG 2017) Cho hàm số ( )
y f x có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại 5
x . B. Hàm số có bốn điểm cực trị.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại 2
x . D. Hàm số không có cực đại.
Câu 8. (Minh họa 2017) Tìm giá trị cực đại C
y Đ
của hàm số 3
3 2
y x x .
A. 1
C
y Đ
. B. 4
C
y Đ
. C. 1
C
y Đ
. D. 0
C
y Đ
.
Câu 9. (THPT QG 2018) Cho hàm số 4 2
y ax bx c ( , , )
a b c  có đồ thị
như hình vẽ bên. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. 3 .
B. 0 .
C. 1.
D. 2.
Câu 10. (Minh họa 2019) Cho hàm số ( )
y f x có bảng biến thiên như sau
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. 5. B. 2. C. 0 . D. 1.
Câu 11. Cho hàm số ( )
y f x liên tục trên  và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ.
Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. 1. B. 2. C. 4 . D. 3 .
Câu 12. (THPT QG 2017) Hàm số
2 3
1
x
y
x
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2.
Câu 13. (THPT QG 2018) Cho hàm số 3 2
( , , , )
y ax bx cx d a b c d  có đồ thị như hình vẽ bên.
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 2.
B. 0 .
C. 3 .
D. 1.
2 2
x
y'
y
∞ + ∞
0 2
0 0
+ +
4
5
5
1
∞
+ ∞
+ 0
0
2
0 + ∞
∞
y
y'
x
+
+
+ 0
0
0
4
2
0
1 + ∞
∞
f '(x)
x
O x
y
x
y
O

14. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 30 -
Câu 14. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
A. 1
y .
B. 0
y .
C. 0
x .
D. 1
x .
Câu 15. (THPT QG 2017) Cho hàm số ( )
y f x có bảng biến thiên như sau:
Tìm giá trị cực đại C
y Đ
và giá trị cực tiểu CT
y của hàm số đã cho.
A. 2
C
y Đ
và 0
CT
y . B. 3
C
y Đ
và 0
CT
y .
C. 3
C
y Đ
và 2
CT
y . D. 2
C
y Đ
và 2
CT
y .
Câu 16. Cho hàm số 3
12 12
y x x . Đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại là?
A. ( 2;2). B. (2; 4). C. (4;28). D. ( 2;28).
Câu 17. (THPT QG 2019) Cho hàm số ( )
y f x có đạo hàm 2
( ) ( 1) ,
f x x x x  . Số điểm cực
trị của hàm số đã cho là
A. 1. B. 2. C. 3 . D. 0 .
Câu 18. Cho hàm số ( )
y f x
 có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. 2
y   .
B. 3
y   .
C. 2
y  .
D. 1
y  .
Câu 19. Cho hàm số ( )
y f x liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên.
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. 1. B. 2. C. 4 . D. 3 .
Câu 20. (THPT QG 2019) Cho hàm số ( )
f x có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đạt cực đại tại
A. 2
x . B. 3
x . C. 1
x . D. 2
x .
( )
y f x

x
y'
y
∞ + ∞
2 2
0 0
+ +
+ ∞
∞
3
0
+
+ 0
0
0
4
2
0
1 + ∞
∞
f '(x)
x
2
3
∞
+ ∞
+
+ 0
0
3
1 + ∞
∞
f (x)
f '(x)
x
1
1 1
O x
y
x
y
O
-2
-3
2
1

15. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 31 -
Câu 21. (THPT QG 2019) Cho hàm số ( )
f x có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đạt cực đại tại
A. 2
x . B. 3
x . C. 1
x . D. 2
x .
Câu 22. Cho hàm số ( )
y f x có đạo hàm liên tục trên  và dấu của đạo hàm cho bởi bảng sau:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 3 . B. 2. C. 1. D. 5 .
Câu 23. Cho hàm số 4 2
( ) 3 2
f x x x . Giá trị cực tiểu của hàm số ( )
f x là
A. 0
x . B. 1
y . C. 2
y . D. (0;2).
Câu 24. (THPT QG 2019) Cho hàm số ( )
f x có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. 2
x . B. 2
x . C. 1
x . D. 3
x .
Câu 25. (THPT QG 2018) Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d ( , , , )
a b c d  có
đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số này là
A. 3 .
B. 2.
C. 0 .
D. 1.
Câu 26. (Minh họa 2019) Cho hàm số ( )
f x có đạo hàm 3
( ) ( 1)( 2)
f x x x x , x R . Số điểm cực
trị của hàm số đã cho là
A. 1. B. 3 . C. 2. D. 5 .
Câu 27. Cho hàm số ( )
y f x liên tục trên  và có bảng xét dấu ( )
f x như sau
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 1. B. 2. C. 4 . D. 3 .
x
f '(x)
f (x)
∞ + ∞
1 3
0 0
+
+ ∞
∞
2
2
+
x
f '(x)
∞ + ∞
3 2 1
0 0 0
+ +
2
2
∞
+ ∞
+
+ 0
0
3
1 + ∞
∞
f (x)
f '(x)
x
+
+
+ 0
0
0
4
2
0
1 + ∞
∞
f '(x)
x
x
y
O

16. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 32 -
Câu 28. (THPT QG 2019) Cho hàm số ( )
f x có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. 1
x . B. 3
x . C. 2
x . D. 1
x .
Câu 29. (Minh họa 2017) Cho hàm số
2
3
1
x
y
x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Cực tiểu của hàm số bằng 3. B. Cực tiểu của hàm số bằng 1.
C. Cực tiểu của hàm số bằng 6. D. Cực tiểu của hàm số bằng 2.
Câu 30. (THPT QG 2019) Cho hàm số ( )
f x có đạo hàm 2
( ) ( 2) ,
f x x x x  . Số điểm cực trị của
hàm số đã cho là
A. 2. B. 1. C. 0 . D. 3 .
Câu 31. (Minh họa 2018) Cho hàm số ( )
y f x có bảng biến thiên như sau
Hàm số đạt cực đại tại điểm
A. 1
x . B. 0
x . C. 5
x . D. 2
x .
Câu 32. (THPT QG 2019) Cho hàm số ( )
f x có đạo hàm 2
( ) ( 1) , .
f x x x x R Số điểm cực trị của
hàm số đã cho là
A. 2. B. 0 . C. 1. D. 3 .
Câu 33. (THPT QG 2017) Đồ thị hàm số 3 2
3 9 1
y x x x có hai cực trị A và B . Điểm nào dưới
đây thuộc đường thẳng AB ?
A. (0; 1)
M . B. (1; 10)
N . C. (1;0)
P . D. ( 1;10)
Q .
Câu 34. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 35. Cho hàm số ( )
y f x liên tục trên  và có bảng xét dấu của ( )
f x như hình vẽ bên
Giá trị cực đại của hàm số ( )
y f x là
A. (3)
f . B. ( 1)
f . C. (0)
f . D. (5)
f .
x
f '(x)
f (x)
∞ + ∞
1 2
0 0
+
+ ∞
∞
3
1
5
1
∞
+ ∞
+ 0
0
2
0 + ∞
∞
y
y'
x
( )
y f x

0
x 
2
x 
1
x  
2
x  
+ 0
5
+
x
f '(x)
∞ + ∞
1 0 3
0
0
y
x
2
-2
O
-1
-2

17. TRƯỜNG THCS - THPT HAI BÀ TRƯNG GIẢI TÍCH 12 – HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2021 – 2022 - 33 -
Câu 36. (THPT QG 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2 2
1
( 4) 3
3
y x mx m x
    
đạt cực đại tại 3
x  .
A. 1
m  . B. 1
m   . C. 5
m  . D. 7
m   .
Câu 37. Cho hàm số 4 2
( 0)
y ax bx c a có bảng biến thiên như hình vẽ.
Giá trị của biểu thức 2 3
T a b c bằng
A.
9
2
. B.
1
2
. C.
9
4
. D. 0 .
Câu 38. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
3 2
( 1)
y x x x
m m
   
 đạt cực tiểu tại 2
x 
A. 0
m  . B. 1
m   . C. 2
m   . D. 1
m  .
Câu 39. (Minh họa 2017) Biết (0;2), (2; 2)
M N là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
3 2
y ax bx cx d . Tính giá trị của hàm số tại 2
x .
A. ( 2) 2
y . B. ( 2) 22
y . C. ( 2) 6
y . D. ( 2) 18
y .
Câu 40. (Minh họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
4 2
( 1) 2( 3) 1
y m x m x không có cực đại?
A. 1 3
m . B. 1
m . C. 1
m . D. 1 3
m .
Câu 41. (THPT QG 2017) Đồ thị của hàm số 3 2
3 5
y x x có hai điểm cực trị A và B . Tính diện
tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa độ.
A. 9
S . B.
10
3
S . C. 10
S . D. 5
S .
Câu 42. (Minh họa 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
4 3 2
| 3 4 12 |
y x x x m có 7 điểm cực trị?
A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 4 .
Câu 43. (THPT QG 2019) Cho hàm số ( )
y f x có bảng biến thiên của hàm số ( )
f x như sau:
Số điểm cực trị của hàm số 2
( 2 )
y f x x là
A. 9. B. 3 . C. 7 . D. 5 .
Câu 44. Cho hàm số bậc bốn ( )
y f x có đồ thị như hình bên. Số điểm
cực trị của hàm số 3 2
( ) ( 3 )
g x f x x là
A. 5 .
B. 3 .
C. 7 .
D. 11.
3 3
+ ∞
0
0
1
+ ∞
+
+ 0
0
2
2 + ∞
∞
y
y'
x
+ ∞ + ∞
1
3
2
1 0 1
∞ + ∞
f '(x)
x