Text book for the mechanics of materials Exercise in Torsion of Shaft ・Statically indeterminate problem ・Corn Like Shaft ・Power Transmission Shaft note: Your feedback is welcome! 軸のねじり問題 ・ねじりの不静定問題 ・径の変化する軸 ・伝動軸の設計

1. 軸のねじり問題
1. ねじりの不静定問題を解くことができる
2. 軸径の変化する軸の取り扱いを説明できる
3. 伝動軸を設計できる
目標
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2. ねじりの不静定問題
両端固定
C点にトルクT
Q. 端面のトルクは？
固定 固定
T
A BC
ℓAC ℓCB
TA TB
①モーメントの釣合方程式
TA TB T＋ ＋ ＝ 0
未知数：2 方程式：1
②幾何学的条件式
θAC θCB＋ ＝ 0
θAC θCB
③連立方程式を解く
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3. 不静定問題：ねじれ角 の算出
TA TAC＋ ＝ 0
TAC ＝ − T A
θAC
G Ip
θAC
＝
TAC ℓAC
＝
G Ip
ℓAC− T A
を計算するためにAC間の内部トルク TACを求める
θAC
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モーメントの釣合方程式
TA TAC
< x < ℓAC
0
TAC
仮想切断

4. 不静定問題：ねじれ角 の算出
TCB TCB TB
< x <ℓAB
ℓAB
＋ ℓBC TB TCB ＝ 0−
TCB ＝ TB
G Ip
θCB
＝
TCB ℓCB
＝
G Ip
ℓCBT B
θCBを計算するためにAC間の内部トルク TCBを求める
θCB
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仮想切断 モーメントの釣合方程式

5. 不静定問題：端面のトルクは？
TA TB T＋ ＋ ＝ 0
①モーメントの釣合い方程式
②幾何学的条件式
θAC θCB＋ ＝ 0
G Ip
ℓAC− T A
G Ip
ℓCBT B
＋ ＝ 0
未知数：2 方程式：2
TA
TB
＝
＝
ℓCB−
ℓAC ＋ ℓCB
T
ℓAC−
ℓAC ＋ ℓCB
T
③連立方程式を解く
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6. [演] 複数のトルクが作用する丸棒
T1 T2
ℓ1
ℓ2 ℓ3
A B C D
両端固定
B点にトルクT1, C点にトルクT2
Q. 各区間のねじれ角は？
[考え方]
①区間毎のトルクを仮定
②モーメントの釣合い方程式
③幾何学的条件式（ねじれ角）
④区間毎のトルクを決定
⑤区間毎のねじれ角を決定
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7. （ ）
軸径が変化する軸のねじり
r1
ℓ
x
G
r(x)＝ r1 ＋r2 −
ℓ
x r1
＝ xα ＋ r1
せん断応力
τ =
πr(x)3
2
T
（ ）xα ＋ r1π
3
2
T=
比ねじれ角
θ= T
πr(x)4
2
G
（ ）xα ＋ r1πG
4
2
T=
T
θ
r2
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8. 軸径が変化する軸のねじれ角
r1 r2
ℓ
x
G
（ ）xα ＋ r1πG
4
2
T=
＝ xα ＋ r1
（ ）r ＝ r1 ＋r2 − r1ℓ
x
πG
2T
=
0
（ ）xα ＋ r1
-4
dx
ℓ
θ =
0
θdx
ℓ
πG
2T
=
ℓ
3r1 r2
33
r1r1
2
＋ r2＋r2
2
中略
T
θ 0
ℓ
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9. 動力を伝える伝動軸
回転運動によって動力（エネルギ）を伝達する軸
伝動軸
n : 回転数 [ rpm ]
revolutions per minute
１分あたりの回転数
H T＝ ω
T : トルク [ N・m ]
ω : 角速度 [ rad / s ] １秒あたりの回転角
動力 [ W = J / s ]
ω ＝
2π n
60
×
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10. 伝動軸の設計
強度基準 変形基準
τ =
πr3
2
T
r 3
πτa
2T−>
せん断応力 < 許容値 τaτ 比ねじれ角 < 許容値θ θa
T
πr4
2
G
θ=
r 4
π
2T−>
Gθa
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11. [演] 伝動軸の設計
[考え方]
n =400 [rpm]
H =200 [kW]
回転数
動力
長さ =2 [m]ℓ
丸棒軸の最小直径を求めよ．
許容せん断応力
τa
①動力からトルクを求める
H T＝ ω ω ＝
2π n
60
×
T ω＝ H ＝ H
2π n×
60
②強度基準で最小直径を求める
r 3
πτa
2T−> r2d ＝
11/15
= 25[MPa]

12. [答案例] 伝動軸の設計
動力Hからトルク T を求める．
軸の角速度を ω とするとトルクは次式で与えられる．
H T＝ ω
軸の角速度を ω と回転数 n の間には，次の関係式が成立する．
ω＝
2π n
60
×
・・・ (1)
・・・ (2)
式(1)式を T について解いて，式(2)を代入すると式(3)を得る．
T ω＝
H
＝ H
2π n×
60
・・・ (3)
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13. ( )
τ =
πr3
2
T
トルク T が作用する半径 r の丸棒軸に生じる最大せん断応力 τ は，
式(4)で与えられる．
・・・ (4)
軸が壊れないためには，式(5)を満足しなければならない．
τ τa−< ・・・ (5)
式(4)，(5)より式(6)を得る．
r 3
π τa
2 T
−
> ・・・ (6)
式(6)に式(3)を代入すると式(7)を得る．
2π n×
60
r πτa
2
−
> H・
3−1
・・・ (7) 13/15

14. 軸の直径を d として式(7)を書き直すと式(7)’を得る．
( )2π n×
60d
πτa
2
−
> H・
3−1
・・・ (7)’
2
式(7)’をdについて解いて，与えられた諸量を代入する．
d −
> 2( )2π 400×
60
π
2
−1
25 6
×10
200 3
×10
3
1
−
0.09908−
>
1
99.1[mm]したがって，直径を とすればよい．
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15. まとめ
1. ねじりの不静定問題を解くことができる
2. 軸径の変化する軸の取り扱いを説明できる
3. 伝動軸を設計できる
①モーメントの釣合い方程式 ②幾何学的条件式
③連立方程式を解く
強度基準 変形基準
H T＝ ω
動力: H [W]
角速度: ω [rad/s]
トルク: T [N・m]
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