2. A. TanımA. Tanım
ax2
+ bx + c = 0 denkleminin < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önce ortaya koymuştuk.
Mesela x2
+ 1= 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü (x2
+ 1 = 0 ⇒ x2
= -1 ) karesi -1 olan
reel sayı yoktur. Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar
kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız.
∆
a ve b birer reel sayı ve i = olmak üzere z = a + bi şeklinde ifade edilen
z sayısına karmaşık ( kompleks) sayı denir.
Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
C =
z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel) kısmı, b ye
karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z)=b şeklinde gösterilir.
1−
{ } .1,;: diriveRbabiazz =−∈+=
.)11( 2
dirii −=⇒−=
Örnek ...1
izziziz 3,2,2,32 4321 =−=−=−=
sayıları birer karmaşık sayıdır.
⇒ Re(z1) = 2 ve İm(z1) = -3 tür.
⇒ Re(z2) = ve İm(z2) = -1 dir.
⇒ Re(z3) = -2 ve İm(z3) = 0 dır.
⇒ Re(z4) = 0 ve İm(z4) = 3 tür.
iz 321 −=
iz −= 22 2
23 −=z
iz 34 =
3. B. i nin KuvvetleriB. i nin Kuvvetleri
i0
= 1
i1
= i
i2
= -1
i3
= -i
i4
= 1
i5
= i
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, -i değerlerinden
birine eşit olmaktadır.
n ∈ N olmak üzere
i4n
= 1
i4n+1
= i
i4n+2
= -1
i4n+3
= -i dir.
Örnek ...2
84 = 4.21 olduğu için i84
= 1,
61 = 4.15 + 1 olduğu için i61
= i,
98 = 4.24 + 2 olduğu için i98
= -1
47 = 4.11 + 3 olduğu için i47
= -i dir.
Örnek ...3
i2
= -1 olmak üzere
(1+ i20
). (1+ i21
). (1+ i22
)
çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) -i B) -1 C) 0 D) 1 E) i
Çözüm
i20
= (i4
)5
= 1 , i21
= (i4
)5
.i = i ve
i22
= (i4
)5
.i2
= 1.(-1) = -1 olduğu için,
(1+ i20
). (1+ i21
). (1+ i22
) = (1 + 1). (1 + i). (1 – 1)
= 2. (1 + i). 0
= 0 olur.
Cevap C
4. C. İki Karmaşık Sayının EşitliğiC. İki Karmaşık Sayının Eşitliği
Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki
karmaşık sayı eşittir.
.. 21
2
1
dirdbvecazzolsun
dicz
biaz
==⇔=
+=
+=
Örnek ...4
Çözüm
kaçtır?bagöre,olduğuna
32
32
21
2
1
+=
−+−=
−++=
zz
aibiaz
ibiaz
A) -2 B) -1 C) 2 D) 3 E) 5
olur.3)2(5,göreBuna
.2513513
,5322
.13322
göre,olduğunave
).()32(
).13()2(
21
2
1
=−+=+
−=⇒−=−⇒=−=−
=⇒−=+
−=−−=+
=
−+−=
−++=
ba
dirbbbaveabb
aaa
dırabbveaa
zz
iabaz
ibaz
Cevap D
5. D. Bir Karmaşık Sayının EşleniğiD. Bir Karmaşık Sayının Eşleniği
.' denireşleniğininz
sayısınabiaziçinsayısıkarmaşıkbiaz −=+=
Örnek ...5
.53:eşleniğisayısının53.5
.3:eşleniğisayısının3.4
.5:eşleniğisayısının5.3
.32:eşleniğisayısının32.2
.4:eşleniğisayısının41
55
44
33
22
11
diriziz
diriziz
tirzz
türiziz
diriziz.
+=−=
−==
==
−−=−=
−=+=
Reel katsayılı ax2
+bx+c=0 ikinci dereceden denkleminin
köklerinden biri z=m+ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün
eşleniği olan z=m-ni sayısıdır.
Örnek ...6
x2
- 2x + 5 = 0
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm
Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
( )
( )
{ } .21,21
.2121
21
2
162
1.2
162
2
,165.1.424
21
2
2,1
22
diriiÇ
dirixveixise
i
i
a
b
x
acb
+−=
+=−=
±=
±
=
−±−−
=
∆+−
=
−=−−=−=∆
6. E. Karmaşık Sayılarda Dört İşlemE. Karmaşık Sayılarda Dört İşlem
1. Toplama - Çıkarma
Karmaşık sayılar toplanırken ya da çıkarılırken reel ve
sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ya da çıkarılır.
⇒
+=
+=
dicz
biaz
2
1
.)()(
)()(
21
21
diridbcazz
veidbcazz
−+−=−
+++=+
Örnek ...7
.55)4())3(2()43()2(
31)4()32()43()2(
göre,olduğuna432
21
21
21
diriiiiizz
iiiiizz
izveiz
−=−−+−−=+−−−=−
+−=+−+−=+−+−=+
+−=−=
2. Çarpma
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2
= -1 olduğu göz önüne alınarak, reel
sayılardakine benzer şekilde yapılır.
.21 olsundiczvebiaz +=+=
)).((. 21 dicbiazz ++=
dbcibdiaca
idibcibdiaca
....
)1(,.... 22
−++=
−=+++=
22
1111
21
.)).((.
)()(.
bazzbiabiazz
ibcadbdaczz
+=⇒−+=
++−=
7. Örnek ...8
Örnek ...9
?hangisidirerdenaşağıdakilsonucuçarpımının
)2.()2( 33
ii +−
A) 125 B) 64 C) 27 D) 8i E) 4i
Çözüm
[ ]
.1255
)14()12(
)2).(2()2.()2(
3
3322
333
tir
iiii
==
+=+=
+−=+−
Cevap A
yapalım.iişlemlerin
..
,göreolduğuna221
2
11121
21
zzzzz
izveiz +=+=
1. 2. 3.
Çözüm
)2).(21(. 21 iizz ++=
i
i
iiii
5
)1(252
)1(,242 22
=
−++=
−=+++=
1.
541)21)(21(. 11 =+=−+= iizz2.
.43
)1(441441
)2(2.1.21)21(
2
222
1
oluri
iii
iiiz
+−=
−++=++=
++=+=3.
8. 3. Bölme
Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay
ve paydanın çarpılmasıyla sonuçlandırılır.
.21 olsundiczvebiaz +=+=
22
2
1 )()(
))((
))((
dc
iadbcbdac
dicdic
dicbia
dic
bia
z
z
+
−++
=
−+
−+
=
+
+
=
Örnek ...10
olur.
5
5
41
)1(252
21
242
)21)(21(
)21)(2(
21
2
göre,olduğuna21ve2
22
2
2
1
21
i
ii
iii
ii
ii
i
i
z
z
iziz
==
+
−++
=
+
+++
=
+−
++
=
−
+
=
−=+=
z=a+bi sayısının,
toplama işlemine göre tersi : -z = - a – bi
çarpma işlemine göre tersi :
.
11
22
dir
ba
bia
biaz +
−
=
+
=
Örnek ...11
kaçtır?kısmıimajiner
neşleniğinitersiningöre,çarpmayasayısının
3
(sanal)
i−
Çözüm
dur.
10
1
-kısmıimajinersayınınBu
dur.
1010
3
eşleniğibununiçinolduğu
1010
3
19
3
13
3
)3)(3(
3
3
1
tersi;göreçarpmayasayısının3
22
i
iii
ii
i
i
i
−
+=
+
+
=
+
+
=
+−
+
=
−
−
9. ÇÖZÜMLÜ SORULAR
Soru ...1
Çözüm
kaçtır?kısmıiner)sanal(imajneşleniğini
sayısınınkarmaşıkzsağlayaneşitliğini
12342 −=+−− iziz
13
12
−
13
5
−
13
5
13
12
1A) B) C) D) E)
tür.
13
5
)zİm(
:kısmısanalsayısının
13
5
13
12
için,olduğu
13
512
32
6496
)32)(32(
)32)(23(
32
23
23)32(
12342
22
2
−=
−=⇒
+
=⇒
+
−−+
=
+−
+−
=
−
−
=⇒
−=−⇒
−=+−−
iz
i
z
iii
ii
ii
i
i
z
iiz
iziz
Cevap B
Soru ...2
?hangisidirerdenaşağıdakilsonucuçarpımının
)3.()3( 1110
ii +−
20
2 )3(220
i− )3(220
i+
)3(210
i− )3(210
i+E)
A) B) C)
D)
Çözüm
[ ]
olur.)3(2
)3.()13(
)3.()3)(3(
)3.()3.()3()3.()3(
20
10
10
10101110
i
i
iii
iiiii
+=
++=
++−=
++−=+−
Cevap C
10. Soru ...5 Soru ...6
kaçtır?toplamı
göreolduğuna3birinköklerindendenklemini
0
üzere,olmak,,
2
cba
i-
cbxax
IRcba
++
+
=++
∈
A) 5 B) 9 C) 11 D) 15 E) 17
Çözüm
olur.171061halde,O
dır.0106010)6(x
denklemi;0göre,Buna
101)3()3)(3(x.x
6)3(3xx
dir.3olaneşleniği
bununköküdiğerise3birinköklerinde
ndenklemini0katsayılıReel
22
2
22
21
21
2
=++=++
=++⇒=+−−
=++
=+−=+−=
−=++−=+
+−
=++
cba
xxx
cbxax
-i-i
-i-i
-i-
i
cbxax
Cevap E
kaçtır?zgöre,olduğuna
43
1-
iz −=
5
1
5
2
5
3
5
4
1A) B) C) D) E)
Çözüm
olur.
5
1
5z
için,olduğu5)4(343
111-
22
===
=−+=⇒−=
−−
z
ziz
Cevap A
11. Soru ...7 Soru ...8
?hangisidirerdenaşağıdakil
eşitiifadesinin
z-z
göre,olduğuna
2
2
+
+=
zz
iz
A) –4i B) –2i C) -2 D) -4 E) 4
Çözüm
olur.
zz
için,olduğu
4
1
442
2
4
)2(2
22
22
2
2
222
−=
−
==
=
−−+
−++
=
−
+
−=⇒+=
ii
iii
ii
zz
iziz
Cevap D
?hangisidirerdenaşağıdakileşitiifadesinin
1
1
üzereolmak1
50
2
−
+
−=
i
i
i
Çözüm
.1
i-1
i1
için,olduğu
2
21
)1)(1(
)1)(1(
1
1
250
50
2
dirii
i
ii
ii
ii
i
i
−===
+
=
++
=
+−
++
=
−
+
Cevap B
A) –i B) –1 C) 1 D) i E) 2i
