3. Математика
• МАТЕМАТИКА (греч. mathematike, от mathema — наука), наука, в которой
изучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач.
17 в. математика — преимущественно наука о числах, скалярных величинах
и сравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины
(длины, площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому
периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее —
алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического
анализа. Областью применения математики являлись: счет, торговля,
землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура. В 17 и 18 вв.
потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания,
астрономии, баллистики, гидравлики и т. д.) привели к введению в
математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных
величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой
создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального
исчислений.
4. • В 18 в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений,
дифференциальная геометрия и т. д. В 19-20 вв. математика
поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа
оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в
современной алгебре; геометрия переходит к исследованию «пространств»,
весьма частным случаем которых является евклидово пространство.
Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного
переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова
геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный
анализ и др. Практическое освоение результатов теоретического
математического исследования требует получения ответа на
поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в 19-20 вв.
численные методы математики вырастают в самостоятельную ее ветвь
— вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить
решение ряда трудоемких вычислительных задач привело к созданию
вычислительных машин. Потребности развития самой математики,
«математизация» различных областей науки, проникновение
математических методов во многие сферы практической деятельности,
быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлению целого
ряда новых математических дисциплин; таковы, напр., теория игр,
теория информации, теория графов, дискретная математика, теория
оптимального управления.
5. Математика и другие
науки
• Математика и другие науки. Приложения математики весьма
разнообразны.
• Типичным примером полного господства математического
метода является небесная механика, в частности учение о
движении планет. Имеющий очень простое математическое
выражение закон всемирного тяготения почти полностью
определяет собой изучаемый здесь круг явлений. За
исключением теории движения Луны, законно, в пределах
доступной нам точности наблюдений, пренебрежение формой
и размерами небесных тел — замена их «материальными
точками». Но решение возникающей здесь задачи движения n
материальных точек под действием сил тяготения уже в случае
n=3 представляет колоссальные трудности. Зато каждый
результат, полученный при помощи математического анализа
принятой схемы явления, с огромной точностью
осуществляется в действительности: логически очень простая
схема хорошо отражает избранный круг явлений, и все
трудности заключаются в извлечении математических
следствий из принятой схемы.
6. История математики до
19 века
• Ясное понимание самостоятельного положения математики как особой
науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только
после накопления достаточно большого фактического материала и возникло
впервые в Древней Греции в 6—5 вв. до н. э. Развитие математики до этого
времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6—5 вв.
до н. э. приурочить начало периода элементарной математики. В течение
этих двух первых периодов математические исследования имеют дело
почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий,
возникших еще на очень ранних ступенях исторического развития в связи с
самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счѐту
предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных
участков, определению размеров отдельных частей архитектурных
сооружений, измерению времени, коммерческим расчѐтам и т. п. Первые
шаги механики и физики [за исключением отдельных исследований
греческого учѐного Архимеда (3 в. до н. э.), требовавших уже начатков
исчисления бесконечно малых] могли еще удовлетвориться этим же запасом
основных математических понятий. Единственной наукой, которая задолго
до широкого развития математического изучения явлений природы в 17—18
вв. систематически предъявляла математике свои особые и очень большие
требования, была астрономия, целиком обусловившая, например, раннее
развитие тригонометрии. Запас понятий, с которым имела дело М. до
начала 17 в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной
математики», преподаваемой в начальной и средней школе.
7. • В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют
математиков сосредоточить своѐ внимание на создании методов,
позволяющих математически изучать движение, процессы изменения
величин, преобразования геометрических фигур (при проектировании и
т. п.). С употребления переменных величин в аналитической
геометрии французского учѐного Р. Декарта и создания
дифференциального и интегрального исчисления начинается период
математики переменных величин, который можно условно назвать
также периодом «высшей математики». Естественно, впрочем, что ни
в этот, ни в следующий период не прекращалось и дальнейшее
развитие элементарной математики.
• Дальнейшее расширение круга количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых математикой, привело в начале 19
в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета
математических исследований сознательно, поставив перед собой
задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения
возможных типов количественных отношений и пространственных
форм. Создание русским математиком Н. И. Лобачевским его
«воображаемой геометрии», получившей впоследствии вполне
реальные применения, было первым значительным шагом в этом
направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в
строение математики столь важные новые черты, что математику в 19
и 20 вв. естественно отнести к особому периоду современной
математики.
8. Современная
математика
• Накопленный в 17 и 18 вв. огромный фактич. материал
привѐл к необходимости углублѐнного логич. анализа и
объединения его с новых точек зрения. Открытие и введение
в у потребление геометрич. интерпретации комплексных
чисел [датский землемер К. Вессель, 1799, и франц.
математик Ж. Арган (Арганд), 1806], доказательство
неразрешимости в радикалах общего алгебраич. уравнения
пятой степени (итал. математик П. Руффини, 1799, и более
строго — норвежский математик Н. Абель, 1824), создание
франц. математиком О. Коши основ теории функций
комплексного переменного, работы Коши по строгому
обоснованию анализа бесконечно малых, создание русским
математиком Н. И. Лобачевским (1826, опубликовано в
1829—30) и венгерским математиком Я. Больяй (1832)
неэвклидовой геометрии, работы нем. математика К. Гаусса
(1827) по внутренней геометрии поверхностей — вот
типичные примеры наметившихся на рубеже 18 и 19 вв.
новых тенденций в развитии М.
9. • Связь М. с естествознанием, оставаясь по
существу не менее тесной, приобретает
теперь более сложные формы. Большие
новые теории возникают не только в
результате непосредственных запросов
естествознания или техники, а также из
внутренних потребностей самой М. Таково в
основном было развитие теории функций
комплексного переменного, занявшей в
начале и середине 19 в. центральное
положение во всем математич. анализе.
Главная линия развития заключалась здесь в
том, что переход в комплексную область
делал более ясными и обозримыми свойства
подлежащих изучению функций. Широкий
интерес к непосредственному реальному
применению функций комплексного
переменного, напр. как функций, задающих
комформное отображение, развился позднее;
хотя возможности таких применений были
намечены еще Эйлером.
10. • Еще более замечательным примером теории,
возникшей в результате внутреннего развития
самой М., явилась «воображаемая
геометрия» Лобачевского. Возможность этой
новой системы геометрии была усмотрена
Лобачевским на основе выяснения
происхождения основных геометрич. понятий
из материальной действительности и логич.
анализа строения обычной эвклидовой
геометрии. Самому Лобачевскому удалось
применить свою геометрию лишь к
вычислению нек-рых интегралов. Позднее
были обнаружены связи его геометрии с
теорией поверхностей и с теорией групп
преобразований, геометрия эта нашла
применения при исследовании важных
классов аналитич. функций и т. д. Только в
20 в. с созданием теории относительности
получило осуществление предположение
Лобачевского о возможности применения его
геометрич. идей к исследованию реального
физич. пространства.
11. История математики в 19
и 20 веках
• Начало и середина 19 в. В начале 19 в. происходит новое значительное
расширение области приложений математич. анализа. Если до этого времени
основными отделами физики, требовавшими большого математич. аппарата,
оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются
электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое
развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред, из к-рых только
гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости была создана еще в 18 в.
Д. Бернулли, Эйлером, Д'Аламбером и Лагранжем. Быстро растут и
математич. запросы техники. В начале 19 в. — это вопросы термодинамики
паровых машин, технич. механики, баллистики. В качестве основного
аппарата новых областей механики и математич. физики усиленно
разрабатывается теория дифференциальных уравнений с частными
производными и особенно теория потенциала. В этом направлении работает
большинство крупных аналитиков начала и середины века [нем. математик К.
Гаусс, франц. математики Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, нем. математик
П. Дирихле, англ математик Дж. Грин, русский математик М. В.
Остроградский]. Остроградский заложил основы вариационного исчисления
для функций нескольких переменных, нашел (1828, опубликовано в 1831)
знаменитую формулу преобразования тройных интегралов в двойные и еѐ n-
мерное обобщение (1834, опубликовано в 1838), усовершенствовал теорию
замены переменных в кратных интегралах (1836, опубликовано в 1838),
получив по существу те результаты, к-рые были для общего n-мерного
случая компактно формулированы позднее (1841) нем. математиком К. Якоби
(см. Якобиан). В результате исследований по уравнениям математич. физики
в работах англ. математиков Дж. Стокса и др. возникает векторный анализ
(одной из основных формул к-рого, впрочем, являлась по существу и
упомянутая формула Остроградского).
12. • Дифференциальная геометрия поверхностей создаѐтся К. Гауссом
(1827) и русским математиком К. М. Петерсоном (1853). Для
выработки новых взглядов на предмет геометрии основное значение,
как уже было указано, имело создание Лобачевским неэвклидовой
геометрии. Построив неэвклидову тригонометрию и аналитич.
геометрию, он дал по существу всѐ необходимое для установления
совместности и полноты системы аксиом этой новой геометрии.
Параллельно развивалась, долгое время независимо от
неэвклидовой геометрии, проективная геометрия (франц. математик
Ж. Понселе, швейцарский математик Я. Штейнер, нем. математик
X. Штаудт и др.), также связанная с существенным изменением
старых взглядов на пространство. Нем. математик Ю. Плюккер
строит геометрию, рассматривая в качестве основных элементов
прямые, нем. математик Г. Грасман создаѐт аффинную и метрич.
геометрию n-мерного векторного пространства.
• Уже в гауссовской внутренней геометрии поверхностей
дифференциальная геометрия по существу также освобождается от
неразрывной связи с геометрией Эвклида: то, что поверхность
лежит в трѐхмерном эвклидовом пространстве, является для этой
теории случайным обстоятельством. Исходя из этого, Риман создаѐт
(1854, опубликовано 1866) концепцию n-мерного многообразия с
метрич. геометрией, определяемой дифференциальной
квадратичной формой ds2=Уaikdxidxk Этим было положено начало
общей дифференциальной геометрии n-мерных многообразий.
Риману же принадлежат и первые идеи в области топологии
многомерных многообразий.
13. • Конец 19 в. и 20 в. Математика в СССР. Лишь в
начале 70-х гг. 19 в. нем. математик Ф. Клейн
находит модель неэвклидовой геометрии
Лобачевского, к-рая окончательно устраняет сомнения
в еѐ непротиворечивости. Клейн подчиняет (1872) всѐ
разнообразие построенных к этому времени
«геометрий» пространств различного числа измерений
идее изучения инвариантов той или иной группы
преобразований. В это же время (1872) работы по
обоснованию анализа получают необходимый
фундамент в виде строгой теории иррациональных
чисел (нем. математики Р. Дедекинд, Г. Кантор и К.
Вейерштрасс). В 1879—84 публикуются основные
работы Кантора по общей теории бесконечных
множеств. Только после этого могли быть
сформулированы современные общие представления о
предмете М., строении математич. теорий, роли
аксиоматики и т. д. Широкое их распространение
потребовало еще несколько десятилетий (общее
признание современной концепции строения геометрии
обычно связывается с выходом в свет в 1899
«Оснований геометрии» нем. математика Д.
Гильберта).
14. • Практич. использование результатов теоретич. математич.
исследования требует получения ответа на поставленную задачу
в числовой форме. Между тем, даже после исчерпывающего
теоретич. разбора задачи это часто оказывается совсем не лѐгким
делом. В конце 19 в. и в 20 в. численные методы анализа
вырастают в большую самостоятельную ветвь М. Особенно
большое внимание уделяется при этом методам численного
интегрирования дифференциальных уравнений. Для
обыкновенных дифференциальных уравнений получает широкое
распространение метод, открытый англ. астрономом Дж.
Адамсом еще в 1855 и развитый далее норвежским математиком
К. Штѐрмером. Другого типа метод предложил нем. математик
К. Рунге. Кроме многочисленных найденных позднее вариантов
этих двух типов методов и давно известного метода
последовательных приближений, теоретически обоснованного
Пикаром, советским математиком С. А. Чаплыгиным предложен
(1919) метод интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений, основанный на существенно иных принципах. Для
уравнений с частными производными разностные методы,
разработка к-рых была начата нем. математиком Г. Либманом,
были усовершенствованы в СССР С. А. Гершгориным и рядом
других исследователей. Другой метод, предложенный нем.
математиком В. Ритцем (1908), получил замечательное развитие
в работах русского учѐного Б. Г. Галѐркина (1915). Условия
применимости метода Галѐркина были исследованы М. В.
Келдышем и др. На развитие в СССР всех направлений
исследований в области численных методов анализа оказали
большое влияние труды А. Н. Крылова. Замечательные связи
численных методов анализа с функциональным анализом
обнаружены исследованиями Л. В. Канторовича
16. • ПИФАГОР Самосский (6
в. до н. э.),
древнегреческий
философ, религиозный и
политический деятель,
основатель
пифагореизма,
математик. Пифагору
приписывается изучение
свойств целых чисел и
пропорций,
доказательство теоремы
Пифагора и др.
17. • АРХИМЕД жил около 287 до
н. э. Древнегреческий
ученый, математик и
механик, основоположник
теоретической механики и
гидростатики. Разработал
предвосхитившие
интегральное исчисление
методы нахождения
площадей, поверхностей и
объемов различных фигур и
тел.
18. • ЕВКЛИД (умер между 275 и 270
до н. э.), древнегреческий
математик. Работал в
Александрии в 3 в. до н. э.
Главный труд «Начала» (15
книг), содержащий основы
античной математики,
элементарной геометрии,
теории чисел, общей теории
отношений и
• метода определения площадей
и объемов, включавшего
элементы теории пределов,
оказал огромное влияние на
развитие математики.
19. • ПАСКАЛЬ Блез (19 июня 1623,
Клермон-Ферран, Франция — 19
августа 1662, Париж) — французский
математик, физик, религиозный
философ и писатель; автор работ по
арифметике, теории чисел, алгебре,
теории вероятностей, теории
воздушного давления; один из
основоположников гидростатики.
• установил ее основной закон (закон
Паскаля), сформулировал одну из
основных теорем проективной
геометрии; сконструировал (1641, по
другим сведениям — 1642)
суммирующую машину.
20. • НЬЮТОН (Newton) Исаак (1643-
1727), английский математик,
механик, астроном и физик,
создатель классической механики,
член (1672) и президент (с 1703)
Лондонского королевского общества.
Фундаментальные труды
«Математические начала
натуральной философии» (1687) и
«Оптика» (1704). Разработал
(независимо от Г. Лейбница)
дифференциальное и интегральное
исчисления. Открыл дисперсию
света, хроматическую аберрацию,
исследовал интерференцию и
дифракцию, развивал
корпускулярную теорию света,
высказал гипотезу, сочетавшую
корпускулярные и волновые
представления. Построил
зеркальный телескоп.
21. БЕРНУЛЛИ (Bernoulli) Якоб (1654-
1705), брат Иоганна Бернулли;
профессор математики Базельского
университета (с 1687).
Ознакомившись в 1686 с первым
мемуаром Г. Лейбница по
дифференциальному исчислению,
блестяще применил новые идеи к
изучению свойств ряда кривых.
Совместно с братом Иоганном
положил начало вариационному
исчислению. Доказал (1713) одну
из предельных теорем теории
вероятностей — важный частный
случай закона больших чисел, —
которая была названа его именем.
В связи с вычислением суммы
одинаковых степеней натуральных
чисел открыл так называемые
числа Бернулли, представляющие
собой специальную
последовательность рациональных
ЧИСЕЛ
22. • ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай
Иванович (1792-1856), русский
математик, создатель
неевклидовой геометрии
(геометрии Лобачевского).
Ректор Казанского университета
(1827-46). Открытие
Лобачевского (1826,
опубликованное 1829-30), не
получившее признания
современников, совершило
переворот в представлении о
природе пространства, в основе
которого более 2 тыс. лет
лежало учение Евклида, и
оказало огромное влияние на
развитие математического
мышления. Труды по алгебре,
математическому анализу,
теории вероятностей, механике,
физике и астрономии
23. • ЭЙНШТЕЙН (Einstein) Альберт (1879-
1955), физик-теоретик, один из
основателей современной физики,
иностранный член-корреспондент РАН
(1922) и иностранный почетный член
АН СССР (1926). Родился в Германии, с
1893 жил в Швейцарии, с 1914 в
Германии, в 1933 эмигрировал в США.
Создал частную (1905) и общую (1907-
16) теории относительности. Автор
основополагающих трудов по квантовой
теории света: ввел понятие фотона
(1905), установил законы фотоэффекта,
основной закон фотохимии (закон
Эйнштейна), предсказал (1917)
индуцированное излучение. Развил
статистическую теорию броуновского
движения, заложив основы теории
флуктуаций, создал квантовую
статистику Бозе-Эйнштейна. С 1933
работал над проблемами космологии и
единой теории поля. В 30-е гг.
выступал против фашизма, войны, в
40-е — против применения ядерного
оружия. В 1940 подписал письмо
президенту США, об опасности создания
ядерного оружия в Германии, которое
стимулировало американские ядерные
исследования. Один из инициаторов
создания государства Израиль.
Нобелевская премия (1921, за труды по
теоретической физике, особенно за
открытие законов фотоэффекта).
• * * *
24. ВОПРОСЫ
Связана ли математика с другими
науками?
Что изучает математика?
Как звали Лобачевского?
Кто из математиков родился в 6
веке до нашей эры?
математики
