Развитие математики в XVII веке

1. Лекция 6
Развитие
математики в
XVII в .

2. План
1. Общая характеристика развития науки, в том
числе математики, в XVII в.
2. История создания аналитической геометрии.
Р.Декарт, П.Ферма
3. Создание математического анализа
3.1. Интегральные и дифференциальные методы в
Европе первой половины XVII в. [см. семинар]
3.2. И.Ньютон: жизнь, творчество, роль в создании
математического анализа. [1], [6, с.216-237].
3.3. Г.В. Лейбниц: жизнь, творчество, роль в создании
математического анализа. [1], [6, с.247-267].
3.4. Развитие математического анализа в научной школе
Лейбница
4. Другие открытия европейских математиков XVIIв.

3. Литература
1. Бертран Ж. Исторический очерк открытия
дифференциального и интегрального
исчислений, заключающее в себе изложение
знаменитого спора между Лейбницем и
Ньютоном о первенстве открытия. - СПб, 1912
2. Малаховский В.С. Избранные главы истории
математики. – Калининград, 2002.
3. Никифоровский В.А. Путь к интегралу. – М., 1985.
4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики.
– М., 1964.
5. Цейтен Г.Г. История математики в XVI-XVII веках.
М.-Л., 1933.
6. Юшкевич А.П. История математики с
древнейших времен до начала XIX столетия. Т.2.
– М., 1970.
7. Яковлев В.И. Математические начала. – М., 2005.

4. 1. Общая характеристика
XVII в.:
в истории европейской цивилизации - Новое время;
в истории математики – начало III периода развития
математики, периода переменных величин
Научная революция Нового времени
Революция в естествознании: механическая картина
мира, основа которой – математика
• математическое обоснование механики Галилеем;
• законы движения планет Кеплера;
• закон всемирного тяготения Ньютона и др.
Новое значение математики как универсального
метода физического познания:
«Философия написана в величайшей книге, которая всегда
открыта перед нашими глазами (я разумею Вселенную), но
её нельзя понять, не научившись сначала понимать её язык
и не изучив буквы, которыми она написана. А написана она
на математическом языке, и её буквы это треугольники,
дуги и другие геометрические фигуры, без каковых
невозможно понять по человечески её слова: без них –
тщетное кружение в темном лабиринте». Галилей, 1623 г.

5. 1. Общая характеристика
Во всей науке, в обществе
высоко стала оцениваться
математика, которую стали
отождествлять с наукой
вообще.
Она сделалась даже
частью придворного
образования. Знатные дамы
окружали себя философами
и математиками, а не
поэтами и певцами, как
раньше.
Подобно тому, как в эпоху
Возрождения увлекались
античностью, так в XVII в.
царил пиетет к точному
знанию.
История естествознания

6. 1. Общая
характеристика
Организационные изменения
Новая форма организации науки – АН:
1603 – Академия Рысей (Рим)
1662 – Лондонское Королевское общество
1666 – Парижская Академия наук
1700 – Берлинская Академия наук
1725 – Санкт-Петербургская Академия наук
Герб Лондонского
Королевского общества,
Гравюра 1665 г.
Парижские академики за
работой в Библиотеке (сверху)
и в Палате опытов (внизу).
Гравюра 1676 г.

7. 1. Общая характеристика
Появление научной периодики
1665 – «Philosophical
Transactions»
(Философские труды)
Лондонского Королевского
общества
1665 – «Journal des Scavans»
(Журнал ученых), Париж.
1682 – «Acta Eruditorum»
(Труды ученых), Лейпциг
1699 – «Memoires» Записки
Парижской АН
1728 – «Commentarii» Записки
Санкт-Петербургской АН
Первая страница первого номера Титульный лист первого тома
«Философских трудов» Лондонского «Записок Имп. Петербургской
Королевского общества, вышедшего 6 Академии наук» за 1726 г. 1728 г.
марта 1665 г.

8. 1. Общая характеристика
Неравномерность развития европейской науки
Италия:
Дж. Бруно Г.Галилей Б.Кавальери Э.Торричелли
Германия:
И.Кеплер Г.В.Лейбниц Я.Бернулли И.Бернулли

9. 1. Общая характеристика
Неравномерность развития европейской науки
Англия:
Дж. Непер Дж. Валлис И. Барроу И. Ньютон
Франция:
Р.Декарт П.Ферма Ж.Дезарг Б.Паскаль
Голландия:
С.Стевин Х.Гюйгенс

10. 1. Общая характеристика
Революция в математике
«Поворотным пунктом в
математике была декартова
переменная величина.
Благодаря этому в математику
вошли движение и диалектика и
благодаря этому стало немедленно
необходимо дифференциальное и
интегральное исчисления, зачатки
которого были вскоре заложены и
которое в целом было завершено,
а не открыто Ньютоном и
Лейбницем»
Энгельс,
«Диалектика природы»

11. 1. Общая характеристика

12. 2. История создания аналитической
геометрии. Р.Декарт.
Ввел понятие переменной
величины - изучение
движения и других
процессов
Декарт и Ферма на основе
координатного метода и
понятия переменной
величины создают
аналитическую геометрию
РЕНЕ ДЕКАРТ
1596-1650
Философ, физик, физиолог, математик

13. 2. История создания аналитической
геометрии. Р.Декарт.
«Рассуждение о методе» (1637)
(«Диоптрика», «Метеоры», «Геометрия»)
1-я часть: общие принципы и правила
составления уравнений кривых;
2-я часть: о природе кривых линий
(исследование кривых различных
порядков, их классификация;
проведение нормалей и касательных);
3-я часть: общая теория уравнений вида
Рn(х)=0 (число корней равно
наивысшему показателю; корни
положительные, отрицательные,
мнимые);
4-я часть: решение уравнений 3-й и 4-й
Титульный лист «Геометрии» Декарта
степеней (с помощью конических
сечений).
Париж, 1637 г.

14. 2. История создания аналитической
геометрии. П.Ферма.
Основоположник наиболее
плодотворных областей математики:
аналитической геометрии, теории чисел,
исчисления бесконечно малых, теории
вероятностей.
«Введение в теорию плоских и
пространственных мест», 1679.
(известность с 1636 г.)
• независимо от Декарта открыл метод
координат;
• вывел уравнение прямой, проходящей
через начало координат ах=by;
ПЬЕР ФЕРМА • вывел уравнения окружности, гиперболы,
1601-1665 параболы и эллипса;
Юрист, математик-любитель • исследовал общий вид уравнений 1-й и 2-й
степеней.

15. 3.1. Создание математического анализа
Основные понятия математического анализа сложились
в итоге длительной эволюции начиная с древних греков:
Зенон (V век до н.э.) – «апории» Зенона
Евдокс (IV век до н.э.) – метод исчерпывания
Архимед (III век до н.э.) – усовершенствование
метода исчерпывания, применение для решения
задач вычисления S фигур и V тел,
ограниченных кривыми линиями

16. 3.1. Создание математического анализа
В Средние века интегральные и дифференциальные
методы Архимеда были переняты арабскими
математиками. Однако им не удалось существенно
развить их.
• Сабит ибн Корра – предложил новую квадратуру сегмента
параболы у2=2px путем разбиения отрезка
интегрирования [0, a] на неравные части.
• Хасан ибн ал-Хайсам - приводит вычисления, равносильные
а
нахождению интеграла ∫
0
х 4 dx .
Лишь с начала XVII в. эти методы снова привлекают
внимание математиков. Главным образом это относится
к их операционной составляющей, которую удается
существенно развить.

17. Интегральные методы начала XVII в.
И.Кеплер «Новая стереометрия винных бочек»
(1615): используя оригинальные приемы
интеграции нашел объемы 22 тел вращения.
Интегральный метод П.Ферма: переход от квадратур
кривых у=хn, n∈Z+, к у=хq, q∈Q разбиением отрезка
интегрирования на части в геометрической прогрессии
Интегральный метод Б. Паскаля заключающийся в
применении «характеристического треугольника».
На примерах интегрирования синусоиды,
косинусоиды, Sшара и других тел вращения.
Метод «неделимых» Б.Кавальери получивший
дальнейшее развитие в работах Г.Сен-Венсана,
Э.Торичелли, Ж.Роберваля и др.
Вычисление площади (объема) совершается путем
сравнения «неделимых» двух фигур, площадь (объем)
одной их которых известна.
S эл а S кр ⋅ b πa 2b
= ⇒ S эл = = = πab
S кр b a a

18. Дифференциальные методы начала XVII в.
Метод касательных Галилея и Роберваля
Исходное положение: направление скорости и
касательной в каждой точке траектории
совпадают (построение касательной к параболе).
Метод нормалей и касательных Декарта
Суть метода: чтобы провести нормаль или
касательную к алгебраической кривой у=Р(х) в
точке (а, b), достаточно построить окружность с
центром с на оси х, касающуюся данной кривой в
этой точке.
Метод экстремумов и касательных Ферма
Точки экстремума рациональной функции у= R(x)
он находит из условия: R ( x + h) − R ( x)
h=0 =0
h
Далее, понимает касательную как предельное
положение секущей

19. 3. Создание математического анализа
Итак, в середине XVII века важное место в трудах многих
математиков занимает решение двух проблем:
• проблема построения касательной к кривой (основная
проблема дифференциального исчисления);
• проблема квадратуры (основная проблема
интегрального исчисления).
Существующая между ними связь была обнаружена в
механической и в геометрической форме в работах
Э.Торичелли, П.Менгона, Дж. Грегори и И.Барроу. Что
создало теоретические предпосылки для построения
основ общего дифференциального и интегрального
исчисления.
Это было сделано И.Ньютоном и Г.В.Лейбницем, каждым
по своему, во второй половине XVII в. Все вычисления
приобретают у них вид несложного алгоритма. При этом
связь между дифференцированием и интегрированием
приобретает простой и привычный теперь для нас вид.

20. 3.2. И.Ньютон
• 1661-1665 - учеба в Кембридже;
• 1668 - ученая степень магистра;
• 1669-1701 – зав. каф. Математики;
• 1672 – член Лондонского Королевского
Общества;
• 1696 – смотритель Монетного двора;
• с 1703 – президент ЛКО.
ВЫДАЮЩИЕСЯ ДОСТИЖЕНИЯ:
• формулировка и вывод основных
законов классической механики;
• открытие закона всемирного тяготения;
• законы спектрального разложения
света;
Сэр Айзек Ньютон
1643-1727 • разработка дифференциального и
интегрального исчисления методом
Математик, физик, астроном, философ
флюксий.

21. 3.2. И.Ньютон
«Математические начала натуральной философии» (1687)
- аксиоматическое построение
механики;
- закон всемирного тяготения;
- математическое обоснование законов
движения планет;
- обоснование приливов и отливов;
- основы теории движения Луны;
- основы теории потенциалов …
Титульный лист «Начал» Ньютона

22. 3.2. И.Ньютон
«Математические работы»
• Анализ с помощью уравнений с
бесконечным числом членов
• Метод флюксий и бесконечных
рядов с приложением его к
геометрии кривых
• Рассуждение о квадратуре кривых
• Перечисление кривых третьего
порядка
• Метод разностей
Ньютон разработал весь аппарат
нового метода:
- дифференцирование;
- интегрирование;
- разложение в ряд;
- решение дифференциальных
уравнений первого порядка;
- интерполирование …
Изложение крайне тяжеловесное, неясное,
запутанное, с логическими пробелами
Русский перевод с латинского и комментарии
выполнены Д.Д. Мордухай-Болтовским (1937 г.)

23. 3.2. И.Ньютон
Надпись на памятнике Ньютону в
Кембридже (1755 г.) :
«Разумом он превосходил род
человеческий»
Эпитафия на могильном камне в
Вестминстерском аббатстве:
«Пусть радуются смертные, что
среди них существовало такое
украшение рода человеческого»
«Nature and Nature′s laws lay hid in night,
God said, let Newton be: and all was light»
«Природы строй, её закон в извечной тьме таился,
И Бог сказал: «Явился Ньютон!» И всюду свет разлился»
А. Поуп
Сэр Айзек Ньютон
1643-1727
Математик, физик, астроном, философ

24. 3.3. Г. В. Лейбниц
«Универсальный гений»:
математик, юрист, дипломат, историк,
литератор, логик, теолог, философ …
• 1663 – ученая степень бакалавра;
• 1664 – магистр философии;
• 1666 – доктор права;
• 1673 – член Лондонского Королевского
Общества;
• 1700 – член Парижской Академии Наук.
Готфрид Вильгельм Лейбниц
1646-1716

25. 3.3. Г. В. Лейбниц
Основные работы:
«Новый метод для maxima и minima, а
также для касательных, обнимающих
дробные и иррациональные количества и
особый для них род исчисления» (1684) –
результаты 12-летней работы:
- в основу положено понятие дифференциала,
введены символы dx, dy;
- дифференциальное исчисление – исчисление
разностей, производная – предел отношения
разностей;
- интегральное исчисление – суммирование,
обратная операция для исчисления разностей;
- символ интеграла
∫;
- правила дифференцирования: суммы,
произведения, частного, степени,
Готфрид Вильгельм Лейбниц
логарифмической и показательной функции;
1646-1716
- дифференциалы высших порядков dnх.

26. 3.3. Г. В. Лейбниц
Основные работы:
«О скрытой геометрии и анализе
неделимых, а также бесконечных» (1684)
«Новое приложение и употребление
дифференциального исчисления к
многообразному построению линий по
данному свойству касательных» (1694)
и др…
Лейбниц ввел удобные обозначения,
предложил простые алгоритмы
нахождения производной и вычисления
интегралов, выявил зависимость между
ними.
Готфрид Вильгельм Лейбниц
1646-1716

27. 3.3. Г. В. Лейбниц
Надпись на могильном камне:
«Ossa Leibnitii» (Кости Лейбница)
«Этот человек составлял славу
Германии, а его похоронили как
разбойника …»
Берлинская академия наук никак не
отреагировала на смерть своего
президента. Только Парижская АН,
почти через год, почтила память
великого мыслителя-математика
Готфрид Вильгельм Лейбниц
1646-1716

28. 3.4. Развитие анализа в школе Лейбница
Ньютон – гениальный математик одиночка
Лейбниц – создатель эффективной научной школы (международной,
континентальной)
Иоганн Бернулли Лопиталь
Якоб Бернулли
Леонард Эйлер
Г.В.ЛЕЙБНИЦ
Ник. II Бернулли
Даниил Бернулли Ник. I Бернулли

29. 3.4. Школа Лейбница
«Анализ бесконечно малых
для исследования кривых
линий» (1696 г.)
В этой книге Лопиталь впервые
приводит систематическое изложение
математического анализа построенного
на основе идей Лейбница и результатов
Бернулли.
В конце книги Лопиталь пишет:
«… должен признать, что я многим
обязан знаниям гг.Бернулли, особенно
младшего из них…. Я без всякого
стеснения пользовался их открытиями
и открытиями г.Лейбница. Поэтому я не
имею ничего против того, чтобы они
предъявили авторские права на все,
что им угодно, сам довольствуясь тем,
что они соблаговолят оставить мне»
(что и сделал И.Бернулли, но после смерти
Лопиталя в 1704 г.)

30. 4. Европейские математики XVII в.
Джон Непер Йобст Бюрги Исаак Барроу Джон Валлис
1550-1617 1552-1632 1630-1677 1616-1703
Жиль Роберваль Христиан Гюйгенс Жерар Дезарг Блез Паскаль
1602-1675 1629-1695 1593-1662 1623-1662