1. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 03. PT, HPT, BPT
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Bài 1. Giải bất phương trình
a)  12 2 1 3 *x x x    
Điều kiện:
12 0
3 0 3
2 1 0
x
x x
x
 

   
  
(*) 12 3 2 1x x x     
12 3 2 1 2 ( 3)(2 1)
14 2 2 ( 3)(2 1)
( 3)(2 1) 7
x x x x x
x x x
x x x
        
    
    
2
( 3)(2 1) 0
7 0
( 3)(2 1) 49 14
x x
x
x x x x
   

  
     
2
1 1
3 3
2 2
1
7 7 3 4
2
4 139 52 0
x x x x
x x x x
x xx x
 
        
 
          
       
 
So sánh điều kiện ta có tạp nghiệm: 3 4x 
b)
2
16 5
3
3 3
x
x
x x

  
 
Điều kiện:
2
16 0
4
3 0
x
x
x
  
 
 
Do 3 0x   nên quy đồng bỏ mẫu ta được:
2
2
2 2
16 0
8 0
(2) 16 8
8 0
16 (8 )
x
x
x x
x
x x
  

 
       
   
8
5
5 8
x
x
x

    
Kết hợp với điều kiện tập nghiệm của BPT là: 5x 
BÀI 3. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 3. Phương pháp giải bất phương trình vô tỷ thuộc
khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại
các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 3. Phương pháp giải bất phương trình vô tỷ. Để sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

2. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 03. PT, HPT, BPT
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -
Bài 2. Giải bất phương trình: 2
20 80 105 2 1 4 3 5x x x x     
Giải:
Điều kiện:
3
5
x  
Đặt: 2 2 2 2
2 1 , 3 5 , , 0 20 80 105 5(2 1) 20(3 5) 5 20x u x v u v x x x x u v             
Thay vào bất phương trình ta có: 2 2
5 20 4u v u v  
2 2 2 2 2
4 0 4 0
5 20 8 16 4( ) 0
u v u v
u v
u v u uv v u v
    
    
      
2
2
1
2 1 0 1 65
3 5 2 1 2
83 5 4 4 1
4 4 0
x x
x x x
x x x
x x

     
        
       
Bài 3. Giải bất phương trình :
a)
1
3 2 4 1
5
x
x x

   
Giải:
Điều kiện :
1
4
x  
Rõ ràng : 3 2 4 1 0x x    do đó bất phương trình tương đương :
 
( 1) 1 1 1
1 0
5 53 2 4 1 3 2 4 1
x x
x
x x x x
    
     
      
Nhận thấy :
1 1
0
53 2 4 1x x
 
  
nên bất phương trình tương đương với 1 0 1x x   
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình :
1
;1
4
T
 
   
.
b) 2
9 2 1 1x x x   
Giải:
Điều kiện: 0x 
Bất phương trình 2
9 1 2 1 0x x x     
3 1
(3 1)(3 1) 0
2 1
1
(3 1) 3 1 0
2 1
1
3 1 0
3
x
x x
x x
x x
x x
x x

   
 
 
     
  
    
Bài 4. Giải bất phương trình :
1 1
5 2 4 (2)
22
x x
xx
 
    
 
Giải :
Đặt
1 2
2
2 2
t x t t
x
      (theo bất đẳng thức côsi)

3. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 03. PT, HPT, BPT
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -
2 21 1
1 2 2 2
4 2
t x x t
x x
       
Bất phương trình (2) trở thành :
2
2
5 2 2 4 1
2
t
t t
t

   
 

+ Với 2t  ta có :
1
2
2
x
x
 
2 2 3
2
2 2
32 2 0 20
22
x x
xx
  
   
  
       
+ Với
1
2
t  (loại – không thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm :
3 3
0; 2 2;
2 2
T
   
       
   
.
Bài 5. Giải bất phương trình:     
22
4 1 2 10 1 3 2x x x    
Giải:
Điều kiện:
3
2
x  
  2
2 1 5 2 3 2 ( 5) 3 2 9 5Bpt x x x x x x x x             (1)
Với
3
2
x   hai vế (1) đều không âm nên ta bình phương 2 vế: x3
– x2
– 5x – 3 0   
2
3 1 0x x   
Bài 6. Giải bất phương trình: 2
9 2 1 1x x x   
Giải:
Điều kiện: 0x 
Bất phương trình 2
9 1 2 1 0x x x     
  
3 1
3 1 3 1 0
2 1
1
(3 1) 3 1 0
2 1
1
3 1 0
3
x
x x
x x
x x
x x
x x

   
 
 
     
  
    
Giáo viên: Lê Anh Tuấn
Nguồn : Hocmai.vn