9. 拘束条件(4次元 p124あたり )
点が超平面と交差すると以下の式が成り立つ
T T
U W =0 W = [W 1 W 2 W 3 W 4 W 5]
T
U = [U1 U 2 U 3 U 4 U5 ]
例:時刻Tを4次元目の値にする
T €
W = [X Y Z T 1] :4次元空間中の点
T €
U = [A B C D E ] :4次元空間中の超平面
€€
4次元空間中における5つの超平面が1点で交差するという5超平面の拘束
€
4次元空間中での拘束条件
det [U Uʹ′ Uʹ′ Uʹ′ʹ′ Uʹ′ʹ′ ] = 0
10. 2次元への投影(4次元)
• 4次元空間中の点Wを2次元画像上の点xへの投影を考える
x ~ PW
定数倍の不定
⎡ P11 P12 P13 P15 P14 ⎤
T T ⎢ ⎥
W = [W 1 W 2 W 3 W 4 W 5] x = [ x1 x2 x3] P = ⎢P21 P22 P23 P25 P24 ⎥
€ ⎢P31
⎣ P32 P33 P35 P34 ⎥
⎦
€
€
€
12. 直線の逆射影
x
• 2次元画像上の を通る直線 を
l
4次元空間中に逆射影すると3次元と
同様に超平面になる
€ €
T
U=P l
P
€
13. テンソルで表す
• 拘束条件に置き換える
det [U Uʹ′ Uʹ′ Uʹ′ʹ′ Uʹ′ʹ′ ] = 0
det [PT l Pʹ′T lʹ′ Pʹ′ T lʹ′ Pʹ′ʹ′T lʹ′ʹ′ Pʹ′ʹ′ T lʹ′ʹ′ ] = 0
テンソル表記
ijklm p q r s t
€ ε Pi l p Pʹ′j lʹ′ Pk lʹ′Plʹ′ʹ′ lʹ′ʹ′Pmʹ′ lʹ′ʹ′ = 0
q ʹ′ r s ʹ′ t
€
i=5
⎡ P11 P12 P13 P15 P14 ⎤
⎢ ⎥ 同様に
p j,k,l,m={1,2,3,4,5}
Pi = p=3
⎢P21 P22 P23 P25 P24 ⎥
€ ⎢P31 P32 P33 P35 P34 ⎥
⎣ ⎦
q,r,s,t={1,2,3}
14. テンソルで表す
• 拘束条件に置き換える
det [U Uʹ′ Uʹ′ Uʹ′ʹ′ Uʹ′ʹ′ ] = 0
det [PT l Pʹ′T lʹ′ Pʹ′ T lʹ′ Pʹ′ʹ′T lʹ′ʹ′ Pʹ′ʹ′ T lʹ′ʹ′ ] = 0
テンソル表記
ijklm p q r s t
€ ε Pi l p Pʹ′j lʹ′ Pk lʹ′Plʹ′ʹ′ lʹ′ʹ′Pmʹ′ lʹ′ʹ′ = 0
q ʹ′ r s ʹ′ t
€
縮約されるテンソルは入れ替え可能なので
ijklm p q r s t
lp lʹ′ lʹ′ lʹ′ʹ′lʹ′ε
q r s t ʹ′ Pi Pʹ′j Pk Plʹ′ʹ′ Pmʹ′ = 0
ʹ′ ʹ′
€ 5重線形拘束
15. 5焦点テンソル
• 5焦点テンソルはp,q,r,s,tより3×3×3×3×3の5階のテンソルになる
pqrst ijklm p q r s t
R =ε Pi Pʹ′j Pk Plʹ′ʹ′ Pmʹ′
ʹ′ ʹ′
5焦点テンソル
€
16. 点や直線に関する5重線形拘束
• 4次元空間から2次元画像への投影を行う
l=x×y
拡張カメラが5つ存在する場合(5視点幾何)
lp = ε pja x j y a
lp lʹ′ lʹ′ lʹ′ʹ′lʹ′ʹ′ pqrst = 0
q r s tR lp = ε pja x j
a,b,c,d,e={1,2}
x i lʹ′ lʹ′ lʹ′ʹ′lʹ′ε pia R pqrst = 0 a
q r s t ʹ′
x i xʹ′ j lʹ′ lʹ′ʹ′lʹ′ε piaε qjb R pqrst = 0 ab
r s t ʹ′ €
€
x i xʹ′ j xʹ′ k lʹ′ʹ′lʹ′ε piaε qjbε rkc R pqrst = 0 abc
s t ʹ′
€
x i xʹ′ j xʹ′ k xʹ′ʹ′l lʹ′ε piaε qjbε rkcε sld R pqrst = 0 abcd
t ʹ′
€
x i xʹ′ j xʹ′ k xʹ′ʹ′l xʹ′ʹ′ mε piaε qjbε rkcε sld ε tme R pqrst = 0 abcde
€
17. 点や直線に関する5重線形拘束
• 4次元空間から2次元画像への投影を行う
拡張カメラが5つ存在する場合(5視点幾何)
独立な式の数
lp lʹ′ lʹ′ lʹ′ʹ′lʹ′ʹ′ pqrst = 0
q r s tR 1
x i lʹ′ lʹ′ lʹ′ʹ′lʹ′ε pia R pqrst = 0 a
q r s t ʹ′ 2
x i xʹ′ j lʹ′ lʹ′ʹ′lʹ′ε piaε qjb R pqrst = 0 ab
r s t ʹ′ € 4
€
x i xʹ′ j xʹ′ k lʹ′ʹ′lʹ′ε piaε qjbε rkc R pqrst = 0 abc
s t ʹ′ € 8
€
x i xʹ′ j xʹ′ k xʹ′ʹ′l lʹ′ε piaε qjbε rkcε sld R pqrst = 0 abcd
t ʹ′ € 16
€
x i xʹ′ j xʹ′ k xʹ′ʹ′l xʹ′ʹ′ mε piaε qjbε rkcε sld ε tme R pqrst = 0 abcde
€ 32
€
18. 4次元空間中の視点拘束
• 4視点拘束
ijklm p t q r s qrs
ε iptε Pi P Pʹ′j Pk Plʹ′ʹ′ = Q
m ʹ′ i
• 3視点拘束
€
ε iptε iqsε ijklm Pip Pm Pʹ′jq Plʹ′sPk r = Tijr
t
ʹ′
19. 4次元空間中の視点拘束
• 4視点拘束
x i xʹ′ j xʹ′ k xʹ′ʹ′lε qjaε rkbε slcQiqrs = 0 abc 8
x i xʹ′ j xʹ′ k lʹ′ʹ′ qjaε rkb Qiqrs = 0 ab
sε 4
x i xʹ′ j lʹ′ lʹ′ʹ′ qja Qiqrs = 0 a
r sε 2
€ €
x i lʹ′ lʹ′ lʹ′ʹ′Qiqrs = 0
q r s 1
€ €
lp lʹ′ lʹ′ lʹ′ʹ′ ipd Qiqrs = 0 d
q r sε 2
€ €
• 3視点拘束
€
€
x i xʹ′ j xʹ′ kε rka Tijr = 0 a €
€ 2
x i xʹ′ j lʹ′Tijr = 0
r 1
x i lʹ′ lʹ′ε jqc Tijr = 0 c
q r 2
€ €
lp lʹ′ lʹ′ε ipbε jqc Tijr = 0 bc
q r 4
€ €