コーシーの積分定理と1/zの周回積分がカギです

1. 複素積分
Hanpen Robot

2. 問1: 𝐶
𝑒 𝑧
𝑧(𝑧−2)
𝑑𝑧 (𝐶: 𝑧 = 1)
• 解答
• 𝑓 𝑧 =
𝑒 𝑧
𝑧(𝑧−2)
の特異点は 𝑧 = 0, 𝑧 = 2 である.
• 積分経路𝐶の内部にある特異点は𝑧 = 0ですね.
• 𝑓 𝑧 を𝑧 = 0でローラン展開すると，以下のようになるはず！
• 𝑓 𝑧 =
𝑒 𝑧
𝑧(𝑧−2)
=
𝑎−1
𝑧
+ 𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + ⋯ (1)式

3. 問1: 𝐶
𝑒 𝑧
𝑧(𝑧−2)
𝑑𝑧 (𝐶: 𝑧 = 1)
• 解答
• 両辺に𝑧をかけて，𝑧 → 0 の極限をとってみましょう！
•
𝑒 𝑧
(𝑧−2)
= 𝑎−1 + 𝑎0 𝑧 + 𝑎1 𝑧2 + ⋯
• 𝑎−1 = lim
𝑧→0
𝑒 𝑧
(𝑧−2)
= −
1
2
• ゆえに，
𝑒 𝑧
𝑧(𝑧−2)
= −
1
2
1
𝑧
+ 𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + ⋯

4. 問1: 𝐶
𝑒 𝑧
𝑧(𝑧−2)
𝑑𝑧 (𝐶: 𝑧 = 1)
• 解答
• コーシーの積分定理から， 𝐶
𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + ⋯ 𝑑𝑧 = 0
• ∴ 𝐶
𝑒 𝑧
𝑧(𝑧−2)
𝑑𝑧 = −
1
2 𝐶
𝑑𝑧
𝑧
= −
1
2
⋅ 2𝜋𝑖 = −𝜋𝑖

5. 問2: 𝐶
𝑧𝑠𝑖𝑛(𝑧)
𝑧−1 2 𝑑𝑧 (𝐶: 𝑧 − 𝑖 = 1)
• 解答
• 𝑓 𝑧 =
𝑧𝑠𝑖𝑛(𝑧)
𝑧−1 2 の特異点は𝑧 = 1です.
• 特異点は𝑧 = 1 は 1 − 𝑖 = 2 > 1 なので，積分経路𝐶の外部
にありますね
• ということは，積分経路𝐶の内部で
𝑧𝑠𝑖𝑛(𝑧)
𝑧−1 2 は正則です.
• ゆえに，コーシーの積分定理から
• 𝐶
𝑧𝑠𝑖𝑛(𝑧)
𝑧−1 2 𝑑𝑧 = 0

6. END