proiect-de-lectie

1. PROIECT DE LECȚIE
Colegiul Național “Dimitrie Cantemir” Oneşti
Clasa: a X-a G
Data: 12.04.2022
Disciplina: Matematică - Geometrie
Profesor: Boros Frumuzache - Marian
Unitatea de învățare: Geometrie
Tema lecției: aplicatii recapitulative
Tipul lecției: recapitularea cunoștințelor
Timp: 50 de minute
Competențe specifice:
C1) Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism şi
perpendicularitate:
 reamintirea expresiilor analitice ale conditiei de paralelism si de perpendicularitate a
doua drepte
 verificarea intelegerii rezolvarii unei probleme in ansamblul ei
C2) Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor
proprietăţi ale acesteia şi calcul de distanţe:
 determinarea distantei dintre doua puncte
 calculul distantei dintre doua drepte
C3) Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul :
 determinarea corecta a ecuatiei dreptei
 verificarea intelegerii rezolvarii unei probleme in ansamblul ei
Obiectiv cadru: Calculul unor distante.
Obiective operaționale: Pe parcursul și la sfârșitul lecției elevii vor fi capabili :
O 1) să scrie diversele forme ale ecuației unei drepte:determinată de un punct și pantă,
determinată de două puncte;
O 2) să calculeze lungimea unui segment când se cunosc coordonatele capetelor;
O3) să calculeze panta unei drepte;
O 4) să calculeze distanța de la un punct la o dreaptă;

2. O 5) să aplice formule invățate de calcul a ariei unui triunghi;
Strategii didactice: Exersativ-aplicative, algoritmice
a) Metode: explicația, conversația euristică, problematizarea, exerițiul
b) Mijloace: manual, fișe de lucru
c) Metode de evaluare: aprecieri individuale și colective, notarea elevilor, observarea
sistematică a elevilor şi aprecierea verbală
Bibliografie:
• Burtea M., Burtea G. -„ Manual de Matematică pentru clasa a X-a TC+CD”, Ed.
Carminis, 2021;
• Burtea M., Burtea G. -„Culegere de exerciții și probleme Matematică M2” pentru clasa a
X-a, Ed. Campion, București 2021

3. Desfasurarea lectiei
Evenimentele
instruirii
Activitatea profesorului Activitatea elevilor
Resurse şi
strategii
didactice
Evaluare
1. Organizarea clasei Profesorul notează absenţele.
Face observaţii şi recomandări, dacă este
cazul
Elevii răspund la întrebările puse de
profesor, îşi însuşesc observaţiile şi
recomandările primite
conversaţia,
2. Verificarea temei Verifică tema pentru acasă Elevii răspund la întrebările
profesorului
conversaţia,
exerciţiul,
problematizarea,
descoperirea
Observarea
sistematică
aprecierea
verbală
2.
Reactualizarea
cunoștințelor
Se vor reactualiza cunostintele cu
ajutorul unei fise care va contine
notiunile teoretice(formulele) predate –
invatate pana in acest moment.(Anexa1)
precum si cu ajutorul unor intrbari .
Elevii primesc fisa, o studiaza si
raspund la intrebările profesorului
conversaţia,
3. Comunicarea titlului
lecţiei şi a obiectivelor
operaţionale ale acesteia
Profesorul anunţă titlul lecţiei: „Aplicatii
recapitulative”
Elevii notează titlul lecţiei pe caiete Expunerea
4. Desfăşurarea lecţiei Se va rezolva la tablă următoarea
problemă din fișă:
1.În reperul cartezian xOy se consideră
punctele
A(1,3); B(−1,− 1,);C(−3,0 ). Să se
rezolve următoarele cerințe:
a) Să se reprezinte triunghiul ABC
în reperul cartezian xOy;
b) Aflaţi distanta AB
c) Aflaţi mijlocul segmentului AB
d) Scrieţi ecuaţia dreptei
determinată de punctele A şi B
e) Determinati aria triunghiului
ABC
Elevii notează în caiete explicaţiile
profesorului.
Elevii rezolva la tabla pe rand
cerintele problemei sub indrumarea
atenta a profesorului:
Manual, fisa de
lucru, conversaţia,
exerciţiul,
problematizarea,
descoperirea
Observarea
sistematică a
elevilor şi
aprecierea
verbală

4. 2. Fie punctul M (4,2). Scrieţi ecuaţia
dreptei determinată de punctul M şi pantă
m=2
3. Găsiţi m astfel încât dreapta d1: y= -
9x+6 să fie paralelă d2: y=mx+3
4. Demonstraţi ca dreptele d1: y=2x-1 şi
1a)
b) AB=    2
1
2
2
1
2 y
y
x
x 


AB=
    5
2
20
3
1
1
1
2
2







AC=    2
1
2
2
1
2 y
y
x
x 


c) M )
2
,
2
( 2
1
2
1 y
y
x
x 

M )
2
1
3
,
2
1
1
(


M(0,1)
d)
1
2
1
1
2
1
y
y
y
y
x
x
x
x





3
)
1
(
3
1
)
1
(
1






 y
x
2(x-1)=y-3)
Ec dreptei d: 2x-y+1=0
y-y1=m(x-x1)
y-2=2(x-4)
)
9
(
1
1
9







m
m
Manual, fisa de
lucru, conversaţia,
exerciţiul,
problematizarea,
descoperirea

5. d2: y= - 2
1
x+3 sunt perpendiculare
5.Stabiliti, care din perechile de drepte,
sunt paralele si care perpendiculare:a)
(d1) :3x – 2y + 1 = 0, (d2) :9x – 6y + 10
= 0 ) (d1) : - x + 5y + 3 = 0, (d2) :x – 2y
+ 4 = 0.
Profesorul supraveghează corectitudinea
calculelor
Arat ca m1*m2=-1
m1= 2
m2=-1/2
m1*m2=2* -1/2= (-1)→d1┴d2
5. Obţinerea
performanţei
Profesorul propune spre rezolvare mai
multe exerciţii cu grade diferite de
dificultate.
6. În reperul cartezian xOy se consideră
punctele P(1,3) si R(3,3) . Determinaţi
coordonatele punctului Q , stiind că R
este mijlocul segmentului PQ.
7. În reperul cartezian xOy se consideră
punctele A(−6,3) si B(2,5) . Determinati
coordonatele mijlocului segmentului
(AB) .
8. În reperul cartezian xOy se consideră
punctele A(4,3) şi B(4,1). Calculaţi
distanţa de la punctulA la punctul B .
9. În reperul cartezian xOy se consideră
punctele O(0,0),M (0,4) şi N (4,0) .
Arătați că triunghiul MON este isoscel.
10. În reperul cartezian xOy se consideră
Elevii ies la tablă pentru a rezolva
exerciţiile.
6.
7. )
2
,
2
( 2
1
2
1 y
y
x
x
M


 
4
,
2
2
8
,
2
4
)
2
5
3
,
2
2
6
(







 




M
M
M
8. AB=    2
1
2
2
1
2 y
y
x
x 


AB =
   
2
4
3
1
4
4
2
2





9.MO 4 2p
ON 4deci MON este isoscel 3p
10. M mijlocul segmentului AB
Manual, culegeri,
conversaţia,
exerciţiul,
problematizarea,
descoperirea
Observarea
sistematică a
elevilor şi
aprecierea
verbală

6. punctele A(2,4) si B(6,4) . Determinaţi
coordonatele mijlocului segmentului AB

)
2
,
2
( 2
1
2
1 y
y
x
x
M



6. Tema pentru
acasă
Profesorul noteaza elevii care s-au
evidentiat si anunţă tema pentru acasăsi
ofera indicatii pentru rezolvarea ei:
Fisa de lucru exercitiile ramase;
5.Stabiliti, care din perechile de drepte,
sunt paralele si care perpendiculare:a)
(d1) :3x – 2y + 1 = 0, (d2) :9x – 6y + 10
= 0 ) (d1) : - x + 5y + 3 = 0, (d2) :x – 2y
+ 4 = 0.
12. Calculaţi distanţa dintre dreptele
paralele de ecuaţii x+2y=6 şi 2x+4y =11.
Elevii îşi notează tema si indicatiile
oferite de profesor.
5. Verificati conditiile de paralelism
si perpendicularitate . Conditia de
paralelism este: m1=m2
Conditia de perpendicularitate este:
m1*m2= - 1

7. FIșĂ DE LUCRU
1.În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,3); B(−1,− 1,);C(−3,0 ). Să se rezolve următoarele cerințe:
a) Să se reprezinte triunghiul ABC în reperul cartezian xOy;
b) Aflaţi distanta AB
c) Aflaţi mijlocul segmentului AB
d) Scrieţi ecuaţia dreptei determinată de punctele A şi B
e) Determinati aria triunghiului ABC
2. Să se determine ecuaţia dreptei care conţine punctul C(1,3) şi este paralelă cu dreapta determinată de punctele A(-1,1) şi B(2,-1) .
3. În reperul cartezian XOY se consideră punctele A(2,-1) , B(-1,1) şi C(1,3). Să se determine coordonatele punctului D ştiind că patrulaterul ABCD este paralelogram.
4. În reperul cartezian XOY se consideră punctele A(2,-1) , B(-1,1) , C(1,3) şi D(a,4). Să se determine valorile lui a astfel încât dreptele AB şi CD să fie paralele.
5. În reperul cartezian XOY se consideră punctele A(2,-1) , B(-1,1) , C(1,3) şi D(a,4). Să se determine valorile lui a astfel încât dreptele AB şi CD să fie perpendiculare.
6. În reperul cartezian XOY se consideră punctele A(0,-3) şi B(4,0). Să se calculeze distanţa de la punctual O la dreapta AB.
7. Să se demonstreze că într-un paralelogram suma pătratelor lungimilor laturilor este egală cu suma pătratelor lungimilor diagonalelor.
8. Să se determine R
a pentru care punctele A(1,-2), B(4,1 ) şi C(-1,a) să fie coliniare.
9. Se consideră dreptele de ecuaţii 0
1
3
2
:
1 

 y
x
d , 0
2
3
:
2 

 y
x
d şi 0
:
3 

 a
y
x
d . Să se determine R
a pentru care cele trei drepte sunt concurente.
10. Stabiliti, care din perechile de drepte, sunt paralele si care sunt perpendiculare:
a) (d1) : 3x – 2y + 1 = 0, (d2) : 9x – 6y + 15 = 0 b) (d1) : - x + 5y + 3 = 0, (d2) : x – 2y + 4 = 0.
ANEXA 1 – GEOMETRIE- NOTIUNI TEORETICE

8. Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de intersecţie al mediatoarelor;
Centrul cercului înscris într-un triunghi este punctul de intersecţie al bisectoarelor;
Centrul de greutate al triunghiului este punctul de intersecţie al medianelor.
Ortocentrul triunghiului este punctul de intersecţie al înãlţimilor.
Suma Sn a mãsurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi:
Sn = (n – 2)180
Poligonul regulat este inscriptibil într-un cerc şi poate fi circumscris unui alt cerc.
Geometria dreptei
Fie )
,
( 1
1
1 y
x
M , )
,
( 2
2
2 y
x
M atunci: 2
1
2
2
1
2
2
1 )
(
)
( y
y
x
x
M
M 


 )
,
( y
x
M mijlocul segmentului
2
2
1
2
1
x
x
x
M
M


 şi
2
2
1 y
y
y

 ;
2
3
2
1 x
x
x
x
greutate
de
centru
G G



 ,
2
3
2
1 y
y
y
yG



Ecuaţia dreptei ce trece prin )
,
( 0
0
0 y
x
M şi are panta m : )
( 0
0 x
x
m
y
y 

 . Panta dreptei
1
2
1
2
2
1 :
x
x
y
y
m
M
M


 .
Sau Panta dreptei este coeficientul lui x din ecuaţia dreptei d: y=mx+n
Fie 1
1
1 : n
x
m
y
d 
 , 2
2
2 : n
x
m
y
d 
  1
; 2
1
2
1
2
1
2
1 





 m
m
d
d
m
m
d
d
Distanţa de la )
,
( 0
0
0 y
x
M la dr. 0
: 

 c
by
ax
d
2
2
0
0
0 )
,
(
b
a
c
by
ax
d
M
d





Fie 1
1
1 : n
x
m
y
d 
 , 2
2
2 : n
x
m
y
d 
 
1
2
1
2
1
2
1
2
1







m
m
d
d
m
m
d
d
. Unghiul  determinat de dreptele:
1
1
1 :
)
( n
x
m
y
d 
 şi 2
2
2 :
)
( n
x
m
y
d 
 ; )
1
(
,
1
2
1
2
1
1
2




 m
m
m
m
m
m
tg
2
1M
M j
y
y
i
x
x


)
(
)
( 1
2
1
2 


 (vectorul determinat de punctele 1
M , 2
M )
Oricare ar fi P
N
M ,
, trei puncte în plan MP
NP
MN 

 , )
( 
regula
v
u


, coliniari 
 )
0
(v

coord. sunt proporţionale R


  a.î. v
u





9. Produsul scalar Fie j
y
i
x
u



1
1 
 şi j
y
i
x
v



2
2 
 doi vectori în plan
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
)
,
cos(
);
,
cos(
y
y
x
x
v
u
y
x
y
x
y
y
x
x
v
u
v
u
v
u
v
u
v
u
v
u






























