Functia exponentiala, radical, putere, logaritmica

1. FUNCŢIA
RADICAL
FUNCŢIA
PUTERE
FUNCŢIA
LOGARITMICĂ
FUNCŢIA
EXPONENŢIALĂ
TIPURI DE
FUNCŢII

2. •PUTERI CU EXPONENT NUMĂR NATURAL
PUTERI. PROPRIETĂŢI
2,, ≥∈∈ nNnRa
se numeşte puterea n a lui a, unde a este baza, n-exponentul.
•PUTERI CU EXPONENT NUMĂR ÎNTREG
NnRa
a
a n
n
∈∈=−
*,,
1
şi *,, Rba
a
b
b
a
nn
∈





=





−
,...
orin
n
aaaa
−
⋅⋅⋅=

3. •PUTERI CU EXPONENT NUMĂR RAŢIONAL
,2,,, ≥∈= nZnmaa n mn
m
a>0
PROPRIETĂŢI
,,1 10
aaa ==Pentru 0≠a avem 00
- nu se defineşte
RaQnm ∈∈ ,,Pentru
1. am
· an
= am+n
2. am
: an
= am-n
3. (am
)n
= am·n
0, ≠=





a
b
a
b
a
n
nn
4. (a· b)n
= an
· bn
5.

4. FUNCŢIA PUTERE
*
,)(,: NnxxfRRf n
∈=→
n=2k,
f(x) =x2k
Funcţia putere cu
exponent par
*Nk ∈ n=2k-1,
f(x) =x2k-1
Funcţia putere cu
exponent impar
*Nk ∈

5. 3
)(,: xxfRRf =→
4
)(,: xxfRRf =→
REPREZENTARE GRAFICĂ

6. FUNCŢIA RADICAL
2,,)(,,: ≥∈=⊂→ nNnxxfRDRDf n
se numeşte funcţia radical de ordin n
Pentru [ )
[ ) k
xxfRf
DNkkn
2
)(,,0:
,0*,,2
=→+∞
+∞=∈=
Funcţia radical de ordin par.
Pentru
12
)(,:
*,,12
+
=→
=∈+=
k
xxfRRf
RDNkkn
Funcţia radical de ordin impar.

7. REPREZENTARE GRAFICĂ
[ ) xxfRf =→+∞ )(,,0: 3
)(,: xxfRRf =→
n - impar
y
xO
3
)( xxf =

8. FUNCŢIA EXPONENŢIALĂ
DEF. Fie a > 0, a ≠ 1. Funcţia f : R →(0, ∞), f(x) = ax
se numeşte funcţia exponenţială de bază a.
Graficul funcţiei exponenţiale se trasează în două cazuri:
aa ∈∈ (0, 1)(0, 1)
baza este
subunitară
a > 1a > 1
baza este
supraunitară

9. −1−2 1 2 3
C
8
4
2
−1−2−3 1 2
8
4
2
1
X X
O
A
B
C
O
A B
D
E
F
FD E
YY
x -3 -2 -1 0 1 2
f(x) 8 4 2 1 1/2 1/4
x -2 -1 0 1 2 3
f(x) 1/4 1/2 1 2 4 8
f(x)=
x






2
1
f(x)=2xCazulCazul
aa ∈∈ (0, 1)(0, 1)
CazulCazul
a > 1a > 1

10. PROPRIETĂŢILE
LOGARITMILOR
1log =aa
01log =a
1,0, ≠>∈∀ aaRa

11. Fie A şi B două numere pozitive, iar
a un număr real a>0, a≠1, atunci:
loga
(A⋅B) = loga
A + loga
B
logaritmul produsului a două numere
pozitive este egal cu suma logaritmilor
celor două numere
Obs. Proprietatea se poate extinde pentru n
numere pozitive A1
,A2
,...,An
, adică:
loga
(A1
⋅A2
⋅…
An
)=loga
A1
+loga
A2
+…+loga
An.

12. logaritmul câtului a două numere pozitive este egal
cu diferenţa dintre logaritmul numărătorului
şi logaritmul numitorului
BA
B
A
aaa logloglog −=
Observaţie:
Dacă A=1 şi ţinem cont că loga
1=0, obţinem egalitatea:
B
B
aa log
1
log −=

13. Dacă A este un număr pozitiv şi n un număr real
arbitrar, atunci:
loga
An
= n⋅loga
A
logaritmul puterii unui număr pozitiv este egal cu
produsul dintre exponentul puterii şi logaritmul
numărului.
Dacă A este un număr pozitiv şi n un număr
natural , atunci:2≥n
logaritmul radicalului de ordin n dintr-un număr
pozitiv este egal cu câtul dintre logaritmul numărului
şi ordinul radicalului.
A
n
A a
n
a log
1
log ⋅=

14. FORMULA DE SCHIMBARE A BAZEI
LOGARITMULUI ACELUIASI NUMAR
Dacă a şi b sunt două numere pozitive, diferite de 1, iar A
un număr pozitiv oarecare, are loc egalitatea:
a
A
A
b
b
a
log
log
log =
Obs. Dacă în egalitatea de mai sus A= a, obţinem:
b
a
a
b
log
1
log =
loga
A=logb
A·loga
b SAU

15. FUNCŢIA LOGARITMICĂ
DEF. Fie a > 0, a ≠ 1. Funcţia f : (0, ∞) → R, f(x) = logax
se numeşte funcţia logaritmică de bază a.
Graficul funcţiei logaritmice se trasează în două cazuri:
a ∈ (0, 1)
baza este
subunitară
a > 1
baza este
supraunitară

16. REPREZENTARE GRAFICĂ
f : (0, ∞) → R, f(x) = log2xxxfRf
2
1log)(,),0(: =→+∞
1 2 3 x
y
1 2 3 x
y