ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ по АЛГЕБРЕ ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ http://matematika.advandcash.biz/proverochnie-raboti-po-algebre/ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА для 10 класса стр. 138-150

1. ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ
Проверочная работа 1 по материалу алгебры 8-летней школы
Вариант 1
1. Какое множество является пересечением множества целых
чисел и множества положительных чисел?
Приведите пример пересечения двух конечных множеств.
2. Сформулируйте и запишите с помощью букв переместитель­
ные законы сложения и умножения.
3. Выполните действия:
(8 — 4,75), • 1- — (3,45 — 2,73) : 0,24 • 0,5.
13
1_
4. Найдите значение выражения (]/а + 1) (а2— 1) при а — 4.
з _ 2 g---0.2
5. Упростите выражение У х • х + Ах5
X 1
6. За определенное число дней бригада рабочих должна была
изготовить 480 деталей. Перевыполняя дневную норму на 12 дета­
лей, эта бригада за 1 день до срока перевыполнила план на 5%.
Сколько деталей изготовит бригада к сроку, если будет работать
с той же повышенной производительностью труда?
Как найти k % от г?
Сколько процентов составляет р от г?
Как найти г, если k % от него равно /??
7. Решите неравенство 3 • (7 — Зх) + 2х < (3 — Зх) • 3 + 4х.
Что называется решением неравенства с одной переменной?
8. Разложите на множители многочлен 12х2 + 5х — 2.
9. Известно, что 3,2 < х < 4,6. Найдите границы для значения
выражения 3,6 + 0,2 • х.
10. Упростите выражение -------- j : (х -՜ ^
Вариант 2
1. Какое множество есть объединение множества целых от­
рицательных чисел, числа 0 и множества натуральных чисел?
Приведите пример объединения двух конечных множеств.
2. Сформулируйте и запишите с помощью букв сочетательные
законы сложения и умножения.
138

2. 3. Выполните действия
(12,7 ֊ 0,6) • ֊ - (25,6 - 1-1) • 0,46 : 0,24.
4. Найдите значение выражения ^1՜-— при а = 81.
у а — 1
„ __ 3 g---0.8
5. Упростите выражение т у т ъ + 2т + 4т
т 1
6. Лодка прошла 30 км по течению реки и 24 км против течения
за 9 ч. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость те­
чения на всем участке пути равна 3 км/ч?
Напишите формулу пути при равномерном движении. Как най­
ти скорость по заданному пути и времени движения?
7. Масса 34 л керосина равна 27,2 кг. Уместится ликеросин
массой в 24 кг в бидон емкостью 32 л>
Какие две переменные называются пропорциональными?
8. Приведите пример функции с областью определения X ~
— [1; 3] и множеством значений Y — [3; 7].
9. Найдите приближенные значения корней уравнения
х2 — х — 5 = 0
с точностью до 0,01.
10. Упростите выражение ( ֊֊ + *) = ( ֊ ֊ ֊ +
Проверочная работа 2 по материалу 8-летней школы
Вариант 1
3*
1. Решите уравнение —
Что называется пропорцией? Сформулируйте основное свой­
ство пропорции.
2. Прямая у = kx + b проходит через точку М (—3; —3)
и параллельна прямой х—З у ֊6 = 0 . Найдите коэффициенты k и Ь.
Что называется угловым коэффициентом прямой?
3. Решите задачу с помощью системы уравнений:
Сплав из цинка и меди содержал на 1280 г больше меди, чем цин­
ка. После того как из сплава удалили 60% цинка и 30% меди, его
масса стала 1512 г. Какова первоначальная масса сплава?
4. На верхнем слева рисунке изображен график функции
(* + 2,5) (*-2 ,5 )
* + 2,5
139

3. Почему точка М (—2,5; —5) не при­
надлежит графику этой функции? Как
найти множество чисел, которое яв­
ляется областью определения дроби?
5. Воспользуйтесь графиком фун­
кции (см. нижний рисунок) у — х2 —
— 2х — 8 для решения неравенства
(.х + 2) (х — 4) < 0. Что называется
решением неравенства?
Какая кривая является графиком
квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с?
(х + у = 8,
6. Решите систему j j , _l__ 2_
(х у. 3՜
7. Найдите п-й член и сумму п
членов геометрической прогрессии,
у которой Ьх = 162, q<=—. Чему
3
иравна п, если оп = —?
3 1
Какая последовательность назы­
вается геометрической прогрессией?
Что называется знаменателем
геометрической прогрессии?
8. С помощью графика (см. рису­
нок) найдите приближенное решение
уравнения lg х — 0,8 с точностью
до 0,5.
9. Функция / задана формулой у = —х + 3. Задайте с помо
щью формулы функцию g, обратную функции /. Постройте график!
функций f u g . Каково свойство графиков взаимно обратных функ
ций?
Что можно сказать о возрастании или убывании функции, об
ратной возрастающей функции? Убывающей функции?
140

4. 10. Составьте квадратное уравнение, если его корнями являют­
ся числа У З + У 2, У З —У 2. При каком соотношении между
коэффициентами квадратный трехчлен можно разложить на линей­
ные множители?
Вариант 2
1. Масса 1 см3 алюминия равна 2,5 г, а масса 1см3 железа —
7,8 г. Во сколько раз шарик железа имеет большую массу,чем ша­
рик такого же объема алюминия?
Какие две переменные обратно пропорциональны? Какая линия
служит графиком обратно пропорциональной зависимости?
2. Какие из перечисленных величин связаны обратной про-,
порциональной зависимостью, а какие — прямой пропорциональ­
ной зависимостью:
а) длина и ширина прямоугольника при постоянной площади;
б) скорость и путь движения за одно и то же время;
в) время и путь при постоянной скорости;
г) время и скорость при постоянном пути?
3. Докажите неравенство ^ — ■'^УаЬ (а, b > 0 ).
4. На рисунке изображен график ква­
дратного трехчлена у —ах2 + bx+ с. Най­
дите, чему равны его коэффициенты
а, b и с.
5. Решите систему уравнений 3
*2 + у* = 13
ху — 6.
6. Найдите п-й член исумму п членов ариф­
метической прогрессии, если ах= —124,
d—17. Чему равно п, если а —— 22?
Какая последовательность называется
арифметической прогрессией?
7. Сравните выражения 4,3~0՛41и 4,3՜0՛42,
используя свойства показателей функции
у = 4,3- ,
8. Решите задачу с помощью уравнения:
Товарный поезд должен был попасть в город N, отстоящий на
420 км от станции отправления. Из-за задержки отправления поезда
на 1 ч, чтобы попасть вовремя в город N, пришлось скорость поезда
увеличить на 10 км/ч. Какова первоначально запланированная
скорость поезда?
9. Пользуясь графиком (см. рисунок на стр. 275 слева)), найди­
те приближенное решение уравнения 3х = 2 с точностью до 0,05.
На рисунке изображены графики двух взаимно обратных функ­
ций fu g . При этом / = 10* и g = lg х. Глядя на графики, скажите,
141

5. каковы: а) область определения функции /; б) множество значений
функции g; в) область определения функции g; г) множество зна­
чений функции /. Каким свойством обладают графики функций /
и <7? Чем служит прямая у = дс (на рисунке справа она изображена
тонкой линией) для графиков данных функций / и g?
Проверочная работа 3
по теме «Бесконечные числовые последовательности и действитель­
ные числа», «Приближенные вычисления»
Вариант 1
7
1. Представьте число— в виде бесконечной десятичной дроби.
Какими бесконечными десятичными дробями представляются
рациональные числа?
2. Сформулируйте теорему о пределе произведения двух после­
довательностей.
3. Известно, что lim хп = 2; lim уп = 3. Найдите предел после-
Ո -+ 00 Ո-+ со
/х
довательности: а) (хп + у„); б) (2х„ — Зу„); в) է դ
4. Можно ли задать геометрическую прогрессию 2; 6; 18 рекур-
рентно?
5. Изобразите геометрически (двумя способами) последователь-
շ
ность а„ = 1 ----- . Имеет ли эта последовательность предел?
п
Какой?
Сформулируйте определение предела последовательности.
142

6. 6. Пусть х — 1,6348744 ... и у = 0,7351146 . . . . Найдите
первые три десятичные знака суммы х + у.
7. В результате измерения сторон а и b прямоугольника было
получено, что 4 м < а < 6 м 1,2 м < b < 1,4 м. Используя эти
данные, оцените площадь прямоугольника.
8. Сформулируйте теорему о почленном сложении верных число­
вых неравенств.
9. Укажите верные цифры в записи приближенного значения
величины:
а) * = 427,35 ± 0 , 1 ; б) х = 1,438 • 10՜4 ± 0,03 • Ю ֊ 4.
Какие цифры называются верными?
10. Заданы приближенные значения чисел х и у: х « 13,5 с
относительной погрешностью 0,2 и у я» 0,9 с относительной погреш­
ностью 0,1. Найдите —. Укажите границу относительной погреш-
у
ности частного. Как найти границу относительной погрешности
произведения и частного?
Что называется относительной погрешностью приближенного
значения величины? Границей относительной погрешности?
Вариант 2
1. Представьте в виде обыкновенной периодическую десятич­
ную дробь 0,(6).
Какие десятичные дроби называются периодическими? Как
найти период такой дроби?
2. Сформулируйте теорему о пределе частного двух последо­
вательностей.
3. Известно, что lim хп = 1; lim уп = —2. Найдите предел
Ո -у СО П -у 00
последовательности: а) (хп — уп) б) (4хп + 2уп); в) (хп уп).
4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с
первым членом ах = У 2 и знаменателем q = —
5. Изобразите геометрически (двумя способами) последователь­
ность ип = п2. Имеет ли эта последовательность предел?
Каков геометрический смысл определения предела последова­
тельности?
6. Пусть л: = 1,3167 . . . ; у = 0,0221865 . . .. Найдите первые
три десятичные знака произведения ху.
7. В результате измерения было получено, что периметр тре­
угольника р и две его стороны а и ծ заключены в пределах:
2,7 < р < 3,1; 0,6 < а < 0,7; 1,1 < b < 1,3.
Используя эти данные, оцените третью сторону треугольника.
8. Сформулируйте теоремы о почленном умножении верных
числовых неравенств.
143

7. 9. Укажите границу погрешности и границу относительной
погрешности приближенного значения величины (в записи все циф­
ры верные):
а) х ж 2,53; б) х « 4,51 • 105.
Что называется погрешностью приближенного значения вели­
чины? Границей погрешности?
10. Пусть х = 374,4 ± 0,1; у = 63,9 ± 0,3. Найдите х + у
и х — у. Укажите границу погрешности полученных значений.
Как найти границу погрешности суммы и разности?
Проверочная работа 4
по теме «Предел функции, производная, применения производной»
(IV и V главы пособия для IX класса)
Вариант 1
1. Найдите область определения функции у = У ֊ 2хг + х + 1.
2. Найдите lim — 5.
* - ! 2дс— 1
3. Найдите lim ~Д Г՜4 .
ы К 7 ֊ 2
4. а) Сформулируйте теорему о пределе суммы; б) сформулируй­
те теорему о пределе произведения.
5. Напишите уравнение касательной к графику функции у — —
в точке с абсциссой х = — ֊.
2
6. Найдите производную функции у — Зх3 — 4,5л:2. Какой фи­
зический смысл производной в точке х0?
7. g(x) = x V х + 1. Найдите g' (/); g' (3).
8. Сформулируйте теорему о производной частного.
9. Найдите промежутки монотонности функции
f (х) = х — 2
10. Найдите максимумы и минимумы функции у — х? —
О
Вариант 2
1. Найдите область определения функции у = У 1 — х — 2х2-
2. Найдите lim .
х -*֊—1 2х2 + 1
3. Найдите lim —
x -t-9 V X —3 ՜
4. Сформулируйте теорему о пределе частного.
144

8. 5. Напишите уравнение касательной к графику функции у —
— 2х — 1 в точке с абсциссой х — 3.
6. Найдите производную функции у = 2,5х2 — я5. Какой гео­
метрический смысл производной в точке лг0?
7. / (х) = У х ~ 1. Найдите /' (у), /' (2).
8. Сформулируйте теорему о производной произведения.
9. Найдите промежутки монотонности функции
у = г* + х.
10. Найдите максимумы и минимумы функции
g (х) = V х — х.
Проверочная работа 5
по теме IX класса «Тригонометрические функции
числового аргумента»
Вариант 1
1. Точка Р, единичной окружности имеет координаты ^ ֊; — ֊ ֊
Найдите значения sin է и cos է.
2. Найдите значения sin я; cos я.
3. Чему равен cos а, если sin а = —?
4. Упростите выражение
(sin а + cos а)2 + (sin а — cos а)2 — 2.
5. Докажите равенство
1 + tg2 а 1 + ctg2а
5«гт
6. Определите знак произведения cos 350° • sin — .
7. Приведите пример нечетной (не тригонометрической)
функции.
8. Чему равно значение cos 450°?
зя
՜շ~ -*
9. Чему равны координаты вектора а — R0 (г), где точка О —
начало координат?
3
10. Найдите cos (я — а), если cos а = ----- ,
4
11. Найдите sin 2а, если cos а = 1.
12. Представьте в виде произведения
sin 2а — sin 2р.
145

9. 1. Точка Pt единичной окружности имеет координаты (—0,8;
—0,6). Найдите значения sin է и cos է.
2. Найдите значения cos — ; sin —•
2 2
3. Чему равен sin а, если cos а = ՃՃ.
4. Упростите выражение
(cos а + sin а)2 — (cos а — sin а)2 -f cos а • sin а.
5. Докажите равенство
!---- -j-cos2а = (1 + tg2a) • cos2а.
1 + ctg2 а
7я
6. Определите знак произведения s i n — , cos 250°.
7. Приведите пример четной (не тригонометрической) функции.
8. Чему равно значение sin (—630°)?
Зл
9. Чему равны координаты вектора а = Ro (/), где точка О—
начало координат?
2
10. Найдите sin (л — а), если sin а = ------.
3
11. Найдите cos 2a, если sin a = 1.
12. Представьте в виде произведения
cos 2(3 — cos 2a.
Проверочная работа 6
(по материалу главы VI учебного пособия для X класса)
В а р и а н т . 1
1. Найдите производную функции / (х):
а) / (*) = sin (4 — 2х) б) / (х) = tg (х + 1) — ctg (х + 1).
2. Чему равен предел lim cos 2х + ֊ —)? Почему?
я 3 /
х~*з
3. Напишите дифференциальное уравнение гармонического коле­
бания у = 2 cos (У Зх — 1).
4. Укажите последовательность преобразований, переводящих
график функции у = cos х в график функции у — 3cos [2 х -:-
' I я sin — + a sin (я + ct)
Вариант 2
շ
5. Упростите выражение — -----
/ Зя
cos — + 2a
. 2
Назовите формулы приведения для аргумента (я — а).
146

10. 6. Расположите в порядке возрастания числа sin 4, sin 8, sin 9.
Перечислите основные свойства функции синус. Укажите промежу­
ток, на котором функция синус обратима.
7. Найдите arccos (—1); arccos j. Сформулируйте определе­
ние функции арккосинус. Монотонна ли эта функция? Укажите ее
область определения и множество значений.
8. Решите уравнение:
a) t g (2х — = 1; б) 2cos ( | + l) = ֊1 .
Напишите формулу для решения уравнения sin х = а.
9. Найдите sin а, если известно, что tg а = —2. В какой четверти
может лежать а? При каком условии sin а положителен?
10. Решите неравенство:
a) tg 2х > 1; б) sin х Հ. —1.
Вариант 2
1. Найдите производную функции f (х):
а) f (х) — cos2 2-г> б) / (х) = ctg + — Y
2. Вычислите lim
х-о 2х
Чему равен предел отношения длины хорды к длине стягиваемой
ею дуги при стремлении длины дуги к нулю?
3. Запишите общий вид решений дифференциального уравнения
у" = -0 ,2 5 у.
4. Напишите уравнение гармонического колебания, график
которого получается из графика функции у — cos Зх следующей
последовательностью преобразований:
а) сжатием к оси Оу в отношении 1 : 2;
б) параллельным переносом г (—2; 0);
в) сжатием к оси Ох в отношении 1 : 3.
_ „ - - sin 157° • sin 113° __„շ n /i7°
5. Вычислите без таблиц cos^ 24/ .
ctg 293°
Назовите формулы приведения для аргумента + ос)-
6. Вычислите: a) tg У 2 + tg (—Y 2); б) tg • ctg .
/ I /
Перечислите основные свойства функции тангенс. Укажите проме­
жуток, на котором функция тангенс обратима.
7. Найдите 2arctg (—1); arcsin Укажите область опреде­
ления и множество значений функции arcsin. Почему арксинус —
нечетная функция?
147

11. 8. Решите уравнение:
a) 4sin - — 2j = 2; б) tg2 Зх = 3.
Напишите формулу для решения уравнения cos х = а.
9. Найдите ctg а, если известно, что sin а = —. В какой четвер-
3
ти может лежать а. При каком условии ctg а отрицателен?
10. Решите неравенство: a) cos х > 1 ; б) tg 2х Վ 1.
Проверочная работа 7
(по материалу главы VII учебного пособия для X класса)
Вариант 1
1. Дайте определение первообразной. Является ли функция
у = 2л:2— 3 первообразной для функции у —4л: на промежутке [0; 1]?
2. Найдите первообразную функции h (х) — —22х, график ко­
торой проходит через точку (0; 0).
3. Найдите первообразную для функции:
а) л:2 + 5/lc; б) sin (2х — 3 )------1—.
cos2*
Чему равна первообразная суммы двух функций?
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = cos 5л:; у = 0; х = 0; х = — .
' 10
5. Чему равна производная переменной площади 5 (я) (см. рис.)
в точке 2? в точке 1?
4
6. Вычислите интеграл j V х э dx.
1
Дайте определение интеграла от а до ծ функции ք {х).
7. Найдите производную функции
X
Ф (х) = | sin /2dt.
1
Запишите первообразную функции sin Р, принимающую в точке 0
значение 3.
8. Ускорение точки (при движении по прямой) в момент է равно
1 + sin է. Найдите координату как функцию времени, если в мо­
мент է—0 координата равна 1и скорость равна 1.
9. Запишите интегральные суммы
Տ ո (0; 2) для функции у = х 4 по отрез­
ку [0; 2]. Чему равен lim Տռ (0; 2)?
10. Чему равна работа, совершен­
ная переменной силой / (х) = -
х -)- 1
при перемещении материальной точ­
ки из точки 0 в точку I? __________
148

12. 1. Одна из первообразных функции ք (х) на промежутке [0; 1]
равна sin (х2 — 3). Как найти все первообразные функции / (л:)?
Сформулируйте признак постоянства функции.
2. Найдите первообразную функции:
a) h (х) = ; б) h (х) = cos (0,5л: — 1) Н----- — .
In 2 sin2*
3. Найдите функцию F (х), если F' (х) = —^— и F (1) = 2.
2х —1
4. Сформулируйте правила нахождения первообразных.
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х2 — 2х + 1 и у — 1.
Какая фигура называется криволинейной трапецией?
8 3 —
6. Вычислите интеграл J у.х2dx.
1
Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
X
7. Пусть ф (х) = ^t2dt. Найдите <р (0), ф '(0). Чему равна
1
производная интеграла с переменным верхним пределом?
8. Материальная точка движется по прямой, при этом ее ско­
рость в момент времени է равна 21 — է2. Найдите путь, пройденный
точкой от է = 0 до է = 3, и ее ускорение в конце пути (т. е. при
է = 3).
9. Найдите предел lim bn, если
ГС֊*СО
и л / . ո ւ ■ п , . 2л , , •( я — 1) я ч
b„ = — (sin 0 + sin — + տտ--- Ւ ... + sin ),
я 4 я ո
п я
вычислив f sin х dx. Почему lim bn = f sin x dx?
0 0 о
10. Найдите работу, затраченную на перемещение материальной
точки из точки М (1) в точку М (3) переменной силой / (х) = Зг2.
Вариант 2
Проверочная работа 8
(по материалу главы VIII учебного пособия для X класса)
Вариант 1
1. Изобразите схематически график функции g (х):
a) g (х) = 2 ,3 * ֊2; б) g (х) = log0)7 (х + 2).
При каких а показательная функция у — ах убывает? возрастает?
2. Решите неравенство log0)6 (2х — 1) < log0j5 (Зх — 2).
149

13. 3. Найдите производную функции у — е9х + lg (8л:). Укажите
приближенное значение числа е.
4. Напишите уравнение горизонтальной касательной к графику
функции h (х) — х — In х.
5. Найдите F (х), если известно, что F' (х) = е~3х и что F (1) = 0.
6. Вычислите: а) 21օ§շ7; б) 0,71օ&>”3. Дайте определение
логарифмической функции loga.
7. Найдите область определения функции у = In (х2 — 8х + 16).
8. Найдите решение дифференциального уравнения у' — —2у,
принимающее в точке 0 значение 0,7.
9. Найдите экстремумы функции
у — З*3—з*.
10. Найдите промежутки монотонности функции
Ф (х) = j/®՜— V 2 x VT.
Найдите область определения функции <р.
В а р и а н т 2
1. Изобразите схематически график функции g (л:):
a) g (х) = 0,7Х+ 2; б) g (х) = log2,3 (х — 2).
При каких а логарифмическая функция loga убывает? возрастает?
2. Решите неравенство 2х2-1 > 4 *՜1.
- 3. Найдите производную функции у = 10՜8* + In (8х). Сформу­
лируйте определение функции In.
4. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ­
ции h (х) = ех In (х + 1) в точке с абсциссой х = 0.
5. Найдите первообразную функции р (л:) = график которой
проходит через точку М (1; 1).
6. Вычислите log3 2, если известно, что lg 2 « 0,3010 и lg 3 «
л; 0,4771. Как вычисляется loga b при помощи таблиц В. М. Бра-
диса?
7. Найдите область определения функции у = хгл + X е. Чему
равна производная этой функции?
При каких р степенная функция у = хр возрастает? убывает?
8. Напишите дифференциальное уравнение, решением которого
является функция у = 0,5*.
9. Начертите график функции
у = շ-iog**.
Запишите основное логарифмическое тождество.
10. Найдите промежутки монотонности функции
•փ(л:) = In4х — 21п2 х.