Документ содержит множество математических заданий и уравнений, связанных с тригонометрическими функциями и их преобразованиями. Включает расчеты, графические преобразования и анализ функций. Также описываются условия и пределы для множества уравнений.

1. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
С-1
B l. а) — 2sin(2х 7); б) 2 .2 у = У З х +
У з л
6
В-2- 1- а) ֊ 2COS (3 - 2*); б) - ֊ ՜ ա ռ - 2• 2* = - V J x +
+ 1 + Ճ 1 Ճ .
В-3, sin2 (2 — 3X)"’ б) — 2 cos ( т ~ * ) ՜ 2 sin (2х ՜'՜ 2‘ У = •*+
+ 4 2-
В А *• а) соГ2~(3 ^ + 9 Т : б) ֊ 4 sin ( ! ֊ + * ) - - у cos 2. У -
я 1
= — Х — ֊ ^ — ֊շ .
2
В.5. 1. a) cos2~(9 7 ~~7)՜: б) cos * cos (2х — 3) — 2sin х sin (2х — 3) =
п
— cos (Зх — 3) — sin х sin (2х — 3). 2. у — — 4х -f- 1 + ~շ-
շ
В.6. 1. a) sin2 (3 _ 2Х) ; б) 2cos л: cos (2х + 5) — sin * sin (2х + 5) = cos х
cos (2х + 5) + cos (Зх + 5). 2. у = 6х + 1 — ՜շ*.
С-2
В.1. 1. а) — Уз-, б) Ճ 1 . 2. а) 1,5; б) 2.
В.2. 1. а) —УЗ; б) 0,5. 2. а) ֊; б) 0,5.
2
В.З. 1. а) 1; б) 0. 2. а) у ; б) 0,5.
4
В.4. 1. а) 1; б) 0. 2. а) д-; б) 2.
151

2. В.5. 1. а) 0; б)—1. 2. a) - j ; б) — 1,5.
В.6. 1. а) 0; б)■ ֊. 2. а) 0,5; б)- ֊
С-3
В.1. 1. Да. 2. у" = —4у; А = 1; Т = я ; со = 2; ф = 0.
11я
В.2. 1. Нет.2. у" = —у; А = 1; 7 *'= 2я; со = 1; <р = —g~.
В.З. 1. Да. 2. у" = —-4у; А = 1; Т — я ; со = 2; <р = 2я — 1.
В.4. 1. Нет. 2. у" = —0,25у; А = 1; Т = 4л; со = 0,5; ф =
2
В.5. 1. Например, у — cos * + ~g" jl вообще, решением данного урав­
нения является функция у = A cos (у ՞6 д: + <р) при любых Л > 0 и ф. 2. у " =
„ _ 2я 11л
— —9у; А = 2; Т = - д - ; со = 3; ф = — .
В.6. 1. у = Л cos ( у г г * ՜՜Ւփյ. Л > 0 и ф — любые, например, при Л =
= 2, Ф = 1 имеем у = 2 cos ^j- 2՛ У" ~ ■—4,у; А = 3; Т —л;ш — 2;
п
ф = ֊ з ֊.
С-4
В.1. а) Выполняется сжатие в отношении 1 : у (т. е. в отношении 2) к
оси Оу; б) график получается из графика функции у = cos 2х (см. а)) парал­
лельным переносом г ^-g-; o j. Например, £—՜շ՜*® յ; յ^~շ~> и т-
В.2. а) Выполняется сжатие в отношении 1 ! -Հ к оси Оу; б)после а) вы­
полняется параллельный перенос г ^ Например, |^0 ;՜՜3՜յ-
В.З. а) Выполняется сжатие в отношении 1 ! -g- к оси Оу; б) после а) вы-
-*■ / п Л ,, Г п яполняется параллельный перенос г l-g-; 0 |. Например, —-jj-; -g- .
В.4. а) Сжатие к оси Оу в отношении 1 : 2; б) после а) выполняется па-
"■/ 2я ,, Г 2л 4я1
раллельныи перенос г I —- ՜ շ ՜ ; 0 1. Например, — ~з~>~з~ Г
В .5. а) Выполняется сжатие к оси Оу в отношении 1 : -g-; б) после
а) выполняются параллельный перенос г { — и сжатие к осиОх в отно­
шении 1 : 3. Например,
152
Зя я Г

3. В.6. а) Выполняется сжатие к оси и
1 1
Оу в отношении 1 : д-; б) после а) вы- 2-
полняются параллельный перенос г 1-
^1 ՜ ; Oj и сжатие к оси Ох в отношении 1 / 1
я я Г ® I ! I Л
Например,
-1- / I /
/ О / /
С-5
Рис. 1
В.1. 1. а) 1; б) — cos2 а ‘
В.2. 1.а) У З ; б) ֊0 , 5 . 2. sin2 а.
В.З. 1.a) — K jL ; б) —у Т . 2. — sin 4а.
В.4. 1.а) ]/з 7 б) ֊0 , 5 . 2 . —cos2p .
В .5. 1. a) —sin 11°; б) —ctg у . 2. 2 при а Ф Щ-
յլ тгЬ
В.8. 1. a) —sin 27°; б) tg -g-. 2. 0 при а ф ֊շ - , ft
, ft 6 Z .
6 Z .
С-6
B.l. 1. {0}; Г—֊շ - ; o f ; lo; -^-1. 2. Нет. 3. Возрастает на F— ֊շ ՝ , -շ-j.
4. [ - 1 ; 1]. 5. Да.
я |; J^O; -շ-F. 2. Нет. 3. Убывает на [0; я]. 4. [— 1; 1].В.2. 1.
5. Да,
5. Да.
[ я Г 1 я Г Т л я
0; ֊շ - ; —-շ՜; 0 . 2. Нет. 3. Возрастает на —-շ-; ~շ . 4. R.
В.4. 1. լ՜շ ՜յ; 0; ՜շ՜ I ՜ շ ՛ л • 2• ^ет. З. Убывает на ]0; я[. 4. R. 5. Да.
я
В.5. 1. {—я; 0; я}; ]—я; 0[; ]о; я[. 2. Минимум в точке — ՜շ ՜; максимум з
возрастает на
я я ՜ " я
-շ-. 3. Убывает на —я; Т и на ՜շ ՜; я
[ я я ՜
~ Т Г ; ՜2՜
В.6. 1. —
. 5. Нет.
Я 31
շ ■ 2
Г л;
и
я
т ; я
я я Г
լ-л; ~ т > ՜ ՜ շ ՜
[ я я 1
- Т - т ] -
2. Максимуме
точке 0 .3 . Возрастает на [-^-я; 0]; убывает на [ 0 ;я ] . 4. [—я ; 0] а
[0; я ]. 5. Нет.
153

4. С-7
п С п . „ ■
В.1. 1. ք շ . 2. — ֊շ ֊ + k e z
!■
В.2. 1. 2.
f . . я яА
В.З, 1. а) 0,5; б) 0,5. 2. (— )k+l. ֊ ա + ֊շ
j.
я nk
k c Z j.
2
B.4. 1. a) 0,1; 6) 2. ֊ b֊ — (— l)ft. у + nk k e z
{
я и я nk ՛
T - ( - 1) -1 2 + — }.
B.6. 2. + 2я6
}•
C-8
В.!. 1. 0. 2. ± -д -+ nk
, я я£
в.2. 1. о. М - б ՜ + ֊ շ -
в.з,
( я nk
.3. 2 . - 1 . 3 . (т + т
k £ Z j . 3. tg 2; tgO; tg 1.
k £ zj. 3. cos 2; cos 1; cos 0.
k e z j.
B.4. 1. 0 . 2. — y = . 3. {2я + 4я/г|
B.5. 1. Множество изображено на рис. 2. 2.
J 2я&
1~ з ~
k e z j. 3. tg 2;
tg 3; tg 1.
B .6. 1. Множество изображено на рис. 3. 2. {я 4՜ 2л/г| к 6 Z ). 3. cos 3;
cos 2 ; cos 1.
Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

5. B .l. 1. я . 2. х + Т " k е z
С-9
В.2. 1. я. 2. |
5я
-Ь 2л k k ez
В.З. 1. ctg 80s; ctg 40е; ctg 20°; ctg 10°. 2. Множество изображено на
рисунке 4.
В.4. 1. ctg 140°; ctg 130°; ctg 120°; ctg 100°.
В .5. 1. ctg 3; ctg 2; ctg 1; ctg 4. 2.
ctg 1,5 — ctg 2,5
B.6. 1.
ctg 2,5 — ctg 3,5
< 0
( я nk
■2' T + ՜շ՜
+ nk
k e z
k e z
}՛
C-10
C-ll
B.l. 1.
5
~ / 2 6
B.3. 1
. ± 2 ^ 2 . 2 . З и —. В.2.
3 4 3
1 35 11
, 4- ----՜- 2. ՜ոք И
/ 2 6 37 ~ ~ 2 12-
4 12 35
± УТ7 • 2- 35 И - 1 2
V 2 + V 2 „ 3
---------------- . 2. -
2
— “7 = и
V 13
и — 5.
1 24 7
B,4‘ U * / T o • 2> ՜ 25 и ~ 24 ■
2 7 24
• B,6> K ^ • 2' 24 и 7 *
3 1Հ 2 — V 2
—. B.2. 1. — —— — —
2 2
. լ / " 2 + з + շ ^ շ . շ. - 1 и — в.4 . 1. ՜ [
2 — Y 2 ^ / 1 3 / Т з V
■V2
2 + V 2
: V 3 ֊2 y 2 . J . m , 7 .
В.5. I. -Y-. и 7. 2. — cos 6. В.в. 1.Л, — i- a. sin С!.
10 5 3
С-12
B .l. 1. sin 4а, а Ф -շ + яй, k е Z . 2. 0,8; 0,6; 0,75.
Tt Л> 4
В.2. 1.sin 2а, а -շ- + nk, а Ф И— շ- , k еZ . 2. —0,8; 0,6; ——.
зт& 4
В.З. I. 3, а Ф ~վ~,k e z . 2. 0 ,6; 0 ,8; у .
В.4. 1. sin 4а, а Ф у + яй, k e z . 2. —0,5;0,8; —0,75.
я/г , 24 24 7
В .5. 1. cos 2а, а^Фշ , k еZ . 2՛ շ^; ղ ; շ^.
Я 7 24 7
В .6* 1<sin 4а, a ՚ շ ՜է՜ яй,keZ . 2» ՜- շ^; “ ; շ^.
155

6. С-13
B.l. 1. 2 ~ ^ 3 - 2. sin 4лг В.2. 1. ճ + ճ ճ 2. sin 2x.
4 4
В.З. 1. -1+-Ճ1. 2. —sin7х. В.4. 1. 2~}С1... 2. —sin10х.
4 4
В.5. 1. 0,25. 2. 2 cos 5х cos 2х. В.6. 1. 0,25. 2. 2 cos 8х cos 6х.
С-14
л 5я
B.l. 1. -g- + 2 я /i < х < -g- 4՜ 2 я/г, &6 Z. 2.
я яй я я/г
Т + Т < л :< Т + 2 ’
fc£Z.
5я я 5я
В.2. 1, — ֊^~ + 2 я А < х < - ^ - + 2 яй, /г £Z . 2. —-д~ 4՜ 4я/г < х <
5я
^ g 4nk, k е Z .
я Зя я nk 5я
В.З. 1. -g- 4 ֊ nk< х < ~g~4՜Я&, k £ Z 2.— ՜յշ- + - у < x < -gg-4՜
, nk
4՜՜յ~> k 6 Z .
„ . . я , 2nk 5я 2nk , „ n t nk я
B.4. 1. ֊ց + շ < x < ց + շ ,k £ Z . 2. — 4 + շ< X < g +
, я/г
+ ~շ~. &6 Z .
я
B.5. 1. — -yg- 4 ֊ я& < x
я 7я
+ я/г и - у + nk < х < -jQ- 4՜ яй, ft £ Z.
7я
12
2я я
■яй, ft £ Z . 2. — -jg- 4՜ nk < х < - у +
B.6. 1.
5Я
ТУ
7я 7я
4՜ я/г < х < ՜յշ՜ + nk, k £ Z. 2. — ՜ւո՜ 4 ֊ я/г < x < — ՜շ ՜ +
10
я 2я
4 ֊ nk и — ֊շ --nk < х < -jg- + nk, k ^ Z .
C-15
B.l. 1.
B.2. 1.
(— 1)* • у + я/г
2я
;fc ՜ց ՜ 4՜ 2ЯЙ
t e z . շ. т + я4
ft £ Z j. 2. |-д- 4- яй
ft£Z
)•
ft£Z
B.3. 1. 4՜ nk՛, a 4՜ nk
k e z y
B.4. 1. j —— 4՜ nk a 4՜ nk
2. {nk k e Z ).
k e Z , a — arctg 3 и 1.25.
( 5я
2- |֊ 1 2
k e Z }, a — arctg ( — 4՜
4֊ я/г
0,32.
B.5. 1. — ֊2 + 2nk ke z. 2. {nk ~n— Ւ nk
B.6. 1. {я 4՜ 2я/г I k e Z }. 2. (nk; -g- --nk
k e z .
k e z .
156

7. B.l. 2. в.2. 2. В.З. 2. — ~ + х + 1 .
В.4. 2. —2л2 + х + 12. В.5. 2. 2,5 —cos*. В.6. sin х + 1 ,5 .
С-17
С-18
*3
B .l. 1. — 2 cos х + 3 sin х--С. 2. &Ух + у + С.
В.2. 1. —3 cos х —• 2 sin х + С. 2. * 3 — ~ |г + С.
В.З. 1. - c o s ֊- s i n - | + С. 2 . ֊ У ( 7 х + 1) * + < ? .
В.4. 1. —cos - j + sin тр + С. 2. у^(6л; — 2)4 4- С.
1
В.5. 1. — -5-cos (1,5* — 1) —- r V (l — л)3 + С. 2. —y t g (7 — х )+ ֊т г + С .
В.6. 1. у sin (1,5* — 1) + -3 / ( 1 + * ) 3 + С. 2. -5 ctg (3 — х ) g- +
+ С.
С-19
В.1. 1. 9. 2. 2. В.2. 1. 1 + Ճ 1 . 2. 0. В.З. 1. 4-I-. 2. Vr3.
9 о
В.4. 1. 0,5. 2. 17—. В.5. 1. 3 — . 2. -Ճ Ճ . В.6 . 1. 21— . 2. V 3 ~ Լ
3 3 4 3 4
С-20
в.1. 60,9 (ж), в.2. 2 — T q rf- в.з. у (а *).
В.4. 0,02 (дж). В .5. 1200 (м) и 0,4 (м/сек2).
B.6. S (D = — - — + է - 1; а (0 = 2< - 1.
с-21
B .l. 1. 10,5. 2. 3 уТГ — 3. В.2. 1. 6,2. 2 . у "3 _ 1.
В.З. 1. 0,4. 2. ֊֊. В.4. 1. ֊1 3 . 2. i .
Уз 3
В.5. 1. 8. 2. 1,5 Уз. В.6. 1. 3. 2. 8 / 3 .
С-22
B .l. 1. {—3; 1}. 2. ]—00; —0,5].
в.2. 1. {—у}- 2- 3-2; »[■
В.З. 1. {0}. 2. ] - о о ; - 4 [ (J ]4; оо[.
В.4. 1. {4}. 2. ] — 1;1[. В.5. 1. {1 + log3 2}. 2. [4;оо[. В.6. 1. {1}.
2- j —00; — i - j и ]0; с о ,
157

8. շշ-г+з
2 In2
/ 1 0,5-r+2 32 - *
В.2. l . - ա շ վ շ ) . 2. ֊ 1 ^ 3 + C .
В.З. I. у = —X + 2. շ. —3 In 0,7 • 0,71-s*. 3. —e2jr-*4 - С.
B.4. 1. у = x + 2. 2. 2 In 2,5 • 2,5 « - i. 3. —бе7՜ ^ + С.
В.5. 1. -In 2 . ( I ) 2" - г * 2. - — . 2~x 4- ֊Ւ C.
3. У к а з а н и e. (0,2)-x = 5-*՜.
J 2ЛГ-1
С-23
/ 1 x 3
B.6. 1. 6 In 2 • 41+sr 4- - .2 . — 4eI- r — - 9,, - o --+ C-ve ) ' 2 In 3
3. У к а з а н и е . 5 ՜ * = 0,2л:.
C-24a
B .l. 1. a) In 0,7 < 0 ; 6) log0 5 0,75 > 0. 2. 1— ooj^.
B.2. 1. a) In 2,3 > 0; 6) lo g , 0,9 > 0. 2. ]0,5; co[.
В.З. 1. a) logo,3 4 < 0 ; 6) In 3 — 1 > 0. 2. ]3; 4 [ լ |] 4 ; oo[. 3. У к a-
3 a m e . In — —In x.
B.4. 1. а) log / _ e > 0; 6) log2 3 4- log2 0 , 9 > 0 . 2. ] _ 2 ; _ 1 [ Ա ] - l ;
oo[. 3. У к a 3 а н и e. In Y x = 0,5 In x.
B.5. 1. a) log/ 7 j = —2 < 0; 6) In 0,7 — 0,7 < 0. 2.] —со ; 1՜[Ա] 1;
oo[. 3. У к а з а н и е. In (ex) = 1 4՜ In х.
В.6. 1. a) In (2е) — 1 > 0 ; б) log0 3 3 ■ log2 4 , 5 < 0 . 2.] - с о ; — 1[Լյ
Ս]-- 1i » [ •
С-246
В-1• 1. j e 3. 2. 3՜: 4
В.2. 1. {0,001; 10}. 2. ] —4; 0 [Ա ] 0; 4[.
В.З. 1. {1}. 2. З—оо ; 0 CiJ J2; оо[.
В.4. 1. {1,5}. 2. [—3; —2 [ (J ] —2; - 1 ] .
В.З. 1. {25}. 2. ]0; 1[. В.8. 1. {9}. 2. j y ; l|
С-25
4х — 3
ВЛ- '• (2х2 — Зх 4՜ 1) In 3 2‘ 2-
В-2- (1 - 2х) in 2 2- 2-
158

9. В.З.
В.4.
В.5.
В. б.
I. - c t g * . 2 . 0,5 in (2х + 1 ) 4 - С.
I. —lg е tg х. 2. 0,5 In (2х — 1) 4՜ С.
1. In (х — 1) 4՜ 4. 2. у = ՚ շ՜յ՜ո՜շ * + 1
1. In (х 4՜ 1) 4՜ 3. 2. у = — ~]£՜շ" * 4՜ 1 +
In 2 ՚
i
Т п Т
С-26
B .l. Р е ш е н и е . Տ
1
lnx
1
= In 1 — In — = In 2.
1 2
2
— dx = In x
x
շ
B.3.
= In e =
B.4.
C-27
B.l.
B.2.
B.3.
B.4.
B.5.
= In 4 — In 2 = ln — = in 2.
2
eza
1. P e ա e
: 1.'
0,5.
f 1н и е . —
J *
B.5. կ .
|f2Q e2a
dx = In jc = In (e2a) — In (ea) = In — :
ea
B.6 . 2 j .
1. У 3 ( * ^ J '‘4-jt /3 ’ ). 2. {17}.
y T ( / 2 - ' + ^ ՜ / 2 ՜ ') . 2. {8}.
B.6. 1
y j X 1 2x-3. 2. {— 3; 4}.
/ З х ^ " ' ֊! ^ . 2. {4 ]/T }.
- Й (շ - *> ■ •* 4 ֊ C. 2 . ( 4 } .
- — (1 - * ) » . » + C. 2. {3}.
C-28
B .l. {(1; —3; 7)}. B.2. 0 . B.3. { ( - l ; - 5 ; 2 ) } .
B.4. {(24 — 22г; 9 — 8z; г) | z g tf}.
В.5. {(—8 ; 1; 2)}. В.б. 0 .
С-29
B .l.
В.2.
В.З.
В.4.
{(3; 0)} при Ь Ф —1; {(3 4- 2у; у)| У 6 /?} при Ь = —1
4 4 2 4 — 8 ծ Х՝)
8Т Ь ’ 3(8 4-Ь) ) ) ПрИ M " 8 i 0 ПР“ Ь = ~ 8-
У Հ R при т =0 при т ф — -1 ֊; 4՜ Зу; у
Г/ 2m — 1,5 1
ձ
з-
Լ т — 1,5 ’ т — 1,5
при т Ф 1,5; 0 при т = 1,5.
159

10. м . {(m + l ’ ~ т + 1֊) } при т ф ±1; 0 при т = —1; {(у + 1; у)|
1.
; /я — շ ) ] ПРИ m ^ ± 2 ; 0 ПРИ m = 2; Ա՜՜2'՛ ~~4у:
У 6 R} при т — 1
(/ 2 т
В.б.
[2 — т
У € R} при т = —2
С-30
В.1. {(2; 6); (6 ; 2)}. В.2. {(9; 7)}. В.З. {(3; 6); (6 ; 3)}.
В.4. {(5; 4)}. В.б. {(5; 2)}. В.б. {(2; 6)}.
С-31
м . {(շոհ + 4 - , ֊ - 2як k e z
}
В.З.
В.4.
В.б.
В.б.
Т ± - 0 + 2яй; ց ±
я я я
■
-J-" 2ш ՛0՜ •+- ՚ ֊ձ~
2я я
■ ± " 3 ՜
՛ -f՜ 2ttk — շ +
5я
• у + 2як
я 5я 5я
2я
3
я
± 12 + 12 + як< 12 + 12 ■
Յէ зт
nk
nk
л я я я
Т ± 7Г + nk՜՝ я ^ fi
}•
}•
k e z
k e z
k e z
k e z } .
C-32
B .l. 1. a) 2,9 • 102; 6) 57,9. 2. a) 10,3 ± 0 ,2; e = 0,02; 6) 0,8 ± 0,2;
E = 0,3.
B.2. 1. a) 4,8 • 102; 6) 55,6. 2. a ) —3,0 ± 0,08; e = 0 ,0 3 ; 6) 0,5 ± 0,07;
6 = 0,14 я 0,2.
В.З. 1. a) 3 • 101; 6) 47,9. 2. a) 11,58 ± 0,09, e = 0,01; 6) 0,4 ± 0,06,
e = 0,15 0,2.
B.4. 1. a) —5 • 102; 6) 64. 2. a) 3,2 ± 0 ,3 ,e = 0 ,1 ; б) у ± e = 0,1.
В.б. 1. a) 31; 6) 46,8. 2. a) 18,5 ± 0 ,3 ,e = 0,02; 6) 14,7 ± 0,9,8 = 0,06.
B.8 . 1. a) 1; 6) 62,2; 2. a) 4,1 ± 0,4; e = 0,1; 6) 29 ± 1,4, s = 0,05.
C-33
B .l. 1. a) 0,1327; 6) 3,46; в) 5610. 2. 49,8 (ж3).
В.2. 1. a) 13,45; б) 6,43; в) 420 000. 2. 83,6 (ж3).
В.З. 1. а) 10,31; б) 6,89; в) 6,45. 2. 13,6 (кг).
В.4. 1. а) 0,01715; б) 150,6; в) 8,14. 2. 63 (дм3).
В.б. 1. а) 59 800; б) 11,97; в) 0,43. 2. 1 377 000.
В.б. 1. а) 76 900; б) 266; в) 0,694. 2. 116 900.
С-34
B .l. 1. .0 при а Ф 2, а Ф —с2, а Ф с2 — 2. 2. {— 10}.
В.2. 1. 2Д | է լ i Ь Ф а, Ь Ф 2а. 2. {11}.
160

11. В.З. 1.
Х*У у
tf4 --- V
, xf у =^= 0. 2 . {—3}«
в -4 - х' 7 у Т ՝ Ь ф ^ 2> {4 }-
L 2—
B.5. 1. b (a + b), b* ф а , Ь ф 0. 2. { - 1 ,5 } .
ւ ւ ֊
В.б. 1. Եձ (ծ3 — 2а), 4а? Փ Եձ , b փ 0. 2. j - ֊֊j .
С-35
1 1
B .l. 1. и 17,6%. 2. у = 2 * + 3. В.2. 1. 6,25% . 2. յ = - յ ^ - ք 2 - շ-,
В.З. I. 25%. 2. у -= —Зх + 8. В .4. 1. ~ 3 3 ,3 % . 2. у = Зх — 10.
В.5. 1. 21,6 (ел); 19,44 (еж2). 2. ]0,2; 2].
В.б. 1. 6 (л); 1,2 (л2)
С-36
■ 2 ' H i
B .l. 1. ] —оо; 0,5 ](J[ 1; со[ и ]0,5; 1[. 2. (х — 2) (х — 5). 3. 5х2 +
+ 26х + 5 = 0.
В.2. 1. 0 , R. 2. (х + 3) (х + 6). 3. Зх2 + 10х + 3 = 0.
■ у ! оо[. 2 . (2х + 5)2. 3. 12х2+В.З.
1 1
~ 2 * ՜ 3
и
1
- ° ° ; - j и
1
~~ 3
+ х - 1 = 0 .
1 1 ՝ 1 ,, ГւВ.4. 1.
~ Т ; 2 И
֊т и Iշ
3. 20х2 + х 1 = 0.
2 . (9х — 1) (х — 1).
В.5. 1. ] —с о ;—5 ]Ա - 5 ;-
X х — 5 — У՞33 ). 3. х2 ֊ 2 / 7 х + 6 = 0 .
г!
2 . 2 х
5 + У ЗЗ j
X
Г
В.б. 1. - 6 ; и ] —со; —6][J — — ; со
6
X (х-
С-37
Ճ ւ ւ ճ յ® j . 3. X2 — 2 / 6 x + 2 = 0 .
4 5
B .l. 1. а) —jg j б) — у^. 2. Да, например, [3,5; 4].
1 5
В.2. 1. а) — 1-д-; б) jg. 2. Да, например, [3; 4].
2
В.З. 1. а ) — у ; б) 0. 2. Нет.
з
В.4. 1. а) —З-^-; б) 0. 2. Да, например, [0; 1].
В .5. 1. а) 1-1; б) Ճ Ճ
33 2
. 2. У к а з а н и е. v„
շп
4п — 1
В.б. 1. а) б) Ճ ? . , 2. У к а з а н и е. ип — 1 — — .
՛ 3 4 п 3"
6 Заказ 48 161

12. B .l. 1. 6 ! = 720. 2. а) 0; б) 2s = 256.
В.2. 1. A*Q= 5040. 2. а) 0; б) 27 = 128.
В.З. 1. ճ յ2= 1320. 2. а) 0; б) 2™ — 1 = 1023.
В.4. 1. 7! = 5040. 2. а) 0; б) 2 9 — 1 = 511.
В.5. 1. Лз0 • Ժ28 = Сз0 • ճշ7 = 2 850 120. 2. а) 1;б) —.
В.б. 1. Շշ0 • c f8 = Շշ0 • C i5 = 1 627 920. 2. а)4;б) —.
С-40
B .l. 1. —ЬаЧ-ь. 2. (1 + 2)Е = 243.
В.2. 1. 15а26 ֊8. 2. — 1.
В.З. 1. 84օ՜8ծ6.2. З6 = 729.
В.4. 1. 165а-361в. 2. 64.
В .5. I. 5с2. 2. —1.
В.б. 1. 462с. У к а з а н и е . Tk = Cf1c - !l5(I,- ' V * =>
^ С ^ С 3.5* ՜ 18.6; 3 ,5 * - 16,5 = 1 при k = 5. 2. 1024.
С-41
B .l. 1. а) 0; б)1. 2. —0,25; В.2. 1. а) —3; б) 2. 2.
В.З. 1. а) 0; б)2. 2. —0,4. В.4. 1. а) 0; б) 2. 2. —
3
С-39
В.б. 1. а) — 4 ֊; б) / 2 . 2. —5. В.б. 1. а) —1; б) ] / У 2 — 1. 2 . 5 .
О
С-42
„ — У Т—1 sin л; — х In л՛ cos х
B .l. 1. а) 9х2 + 2 / 2 х ; б) — -----------. 2. а) 3 sin2*cos х;
х sin2х
б) 102 (х2 — х3)101 • (2х — Зх2).
„ „ » /— I'T —1 — х In х sin х — cos x
B.2. 1. a) 8x3 — З / З х ; 6) ----------------------------- .
X in2 X
2. a) —3 cos2 x sin x; 6) 204 (x3 + l,5x2)07 (x3 + x).
B.3. 1. a) 16x3 — г / З х ^ - Ч 1; 6) Ճ 1 £ 10 ,
x In 10 lg2 x
2. a) 8 sin3 2x cos 2x; 6) 921 x2 (x3 -f l)300.
8.4. I. ,) 5 Г З / Г ~ ' - 8* ; 6) Ճ ճ _ է 2 ճ . 2 . , , _ 15с„ . 3л si„ 3, .
COS Я
6) 402 x (Зх2 — l)66.
B.5. 1. a) e2x (2 / З х 6 -f 5 / 3 x 4 - 4x/2 - 2 / 2 х / 2 ~ ’); 6) - ~ *" * .
X2
2. a) ctg лг; 6) —2x sin х2есо&x
В.б. 1. a) es* (3 / 2x4 + 4 / 2 x 3 - 3 x / j - 9 / 3 x ^ 3 ՜ ' ) ; 6) _ 3
X3
2. a) —tg x; 6) —3x2 cos x3e sin* .
162

13. С-43
на
B .l. Убывает на
; минимумы в точках
՜ 1 Г 1
на —оо; — — и на
1<^՛
о»
; возрастает на
1 1
— и — ; максимум в точке 0.
Н - »]
В.2. Убывает на ]—оо; 0]; возрастает на [0 ;о о [; минимум в точке 0.
В.З. Убывает на ]—оо; —4] и на [0; 1]; возрастает на [—4; 0] и на [1;
со[; минимумы в точках —4 и 1; максимум в точке 0.
В.4. Убывает на [0; 2] и на [4; оо[; возрастает на ] —оо; 0] и на [2; 4];
минимум в точке 2; максимумы в точках 0 и 4.
В.б. Убывает на [—3 ; — 1[ и на ]—1; 1]; возрастает на ] —оо ; —3] и
на [1; со[; минимум в точке 1; максимум в точке —3. В точке —1 функция тер­
пит разрыв.
В.б. Убывает на [— 1; 1[ и на ] 1; 3]; возрастает на ]—оо ; — 1] и на [3; оо[;
минимум в точке 3; максимум в точке — 1. В точке 1 функция терпит разрыв.
С-44
В.1. 5 / 3 (см). У к а з а н и е , v
I
/ 3 ՜
V 4 <"»•
n R 2H = - я Я (/2 - Н2). V' (И) =
0 при Н =
В.2. 10
3
В.З. ■ У к а з а н и е . S = 2яД 2 + 2nRH = շ (^/?2 + — -j, так
как Н • Տ ՛ (R) = 0 при R — 1 /
я R2 У
В . , у у
V
2я
н =
3 r ~ „ 2V
У к а з а н и е . 5 = я R- ֊ Ь 2nRH — я R 2 + — так как
R
- » " p - * = V T
В.б. 2. У к а з а н и е . Рассмотрим круго­
вой сектор с центральным углом а. Тогда
а/՜2
/ = 2г + га (г — радиус круга). S = ----- =
а /2
-. S ' (а) = 0 при а = 2.
2 (2 + а )2
В .б .— . Р е ш е н и е . Обозначим через հ
2R
и г высоту и радиус основания цилиндра, вписан­
ного в данный конус. Рассмотрим осевое сечение
конуса (рис. 5). Из подобия треугольников АВО
| SO | |С £ | Н
и АСЕ получаем т. е. — =
АО А Е R
h . H ( R ֊ r )
откуда հ = ; V = n r h
R - r ’ R Рис. 5
6 * 163

14. V (0) = V (R) = 0. V (—/?) > 0, поэтому в точке — Я функция V достигает
* " ( * ֊! * ) , т н
наибольшего значения. Наконец, — = к = Հ՜™ = огГ*
г ք ։ Ճ-հ tR
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
К-1
B .l. 1. а) 4 cos 4х + 4 sin 4х; б)
1
= - 4 у .
cos2 (* + 5)
1
. 2. —2. 3. у = 2 . 4. у"—
. 2. 4. 3. у = 0. 4. у *=В.2. 1. а) 4 cos 4х — 4 sin 4х; б ) -
տա (х + 1)
= —0,25у.
В.З. 1. а) 3 cos Зх + 3 sin Зх; б) — — -----—. 2. —4. 3. у = 0. 4. у"—
cos՛* (х + 4)
= —0,36у.
В.4. 1. а) 3 cos Зх — 3 sin 3.v; б) — -— - . 2. —6. 3. у = х— — + 1.
՛ cos2 (2.V—5) 2
4. у" — —0, 64у.
К-2
nk п ( п nk
B.l. 1. — 1, а Ф —— . 2. — — . 4. { — + —
2 6 [ 8 2
nk ք ո
В.2. 1. — 1, а ф — . 2. 0. 4. | — —- + 2 я/г
В.З. 1, —1, а ф
nk
. 2. 1. 4. |
k e z j.
k e z j.
k e z }.
k -з
nk 1 ( 5я }
B.4. 1. - 1 , а ф — . 2.y=. 4. | ± — + nk keZ j .
* £ * } . 5. | +B.l. 1. 1. 2. a) —cos 9°; 6) ctg — . 4
14
+ 4я/г < x < — + 4nk, k e z .
О
՜ք՜ JT&

15. В.З. 1. —. 2. a) tg 21 б) —sin ^ г ~ — 4 ՜. 4. {я + 2я/г| k е Z ).
25 6 2
5зт 7зх
5 . Н 4яй < х < ֊ — + 4я&, k е Z.
3 3
В.4. 1. — . 2. a) tg 32°; б) —sin Л = — ճ ճ . 3. {я + 2nk k (է Z } .
25 4 2
7я 2nk я 2яй „
5. — — + --- < х < — + - г - , k e z .
18 3 18 3
К-4
B .l. 1. х3 — х2 + 1. 2. Y + 1. з. 12.
В.2. 1. х3 + зг + 1. 2. ֊ (8 / 2 — 1). 3. 4.
В.З. 1. х3 — Зх + 2. 2. 4 (я + 2 / 2 ) . 3. 1C
О
В.4. 1. 2х3 + 2х2 + 3. 2. 7,5. 3. 4.
К-5
B .l. 1. а) 2егх՜ 1՛, б) е* (sin Зх + 3cos Зх). 2. а) {—4 }; б) {1}. 3. у =
= х In 0,6 + Г.
В.2. 1. а) Зех+1; б) —е՜2* (sin х + 2 cos х). 2. а) {3 }; б) {1}. 3. у =
= х In 3,5 + 1.
В.З. 1. а) 2ех ; б) е2* (2 tg х Н------ ~ ). 2. а) { - 5 } ; б) {1}. 3. у =
COS X )
= a: In 0,3 + 1.
В.4. 1. а) б е '^ б ) r r(ctg 2х — ֊~ -j. 2. а) {2 };б ){4 }.3 . y = x l n 3 , 4 +
+ ь Տ1Ո
К-6
— B .l. 1. a) In 0,5 < 0; б) log0 2 0,8 + log0 25 < 0. 2. ] - о о ; ֊2 [ լ | ] 5 ; оо[;
2х — 3
V՛ W , о 777,- 3. [3; оо[. 4. In 3 я 1,0986.
In 10 (х2 — Зх — 10)
В.2. 1. a) In 1,3 > 0 ;б) log2 7 — log2 10 < 0. 2. ] —5; 1[ ;/ ' (х) =
2х -I- 4
= ֊ — . 3. ] —2,5; —2[. 4. 4 In 2 я 2,7724.
х2 + 4х — 5
В.З. 1. a) log0i35 < 0 ;б ) In 6 — 1 > 0. 2. ]- с о ; —5[Ա ] 3; оо[; g' (*) =
2х 4- շ
= ! 3> ] 2; оо[. 4. In 2 == 0,6931.
In 10(х2 + 2х — 15)
— 2х 4- 1
В.4. 1. a) log, У 5 > 0 ; б) 1 п 2 -1 < 0 . 2. ] - 3 ; 2[; h'{x) = , ՛
х2 + х — 6
з. ] - ֊ ; — 1[- 4- 1.
165

16. У ,
^ Л /
~1, 3.
3 1 /
х
' ~ Т
К-7
B .l. !. { ( - 1 ; ֊I ; 2)}. 3. {(9;
12); (- 1 2 ; ֊9 ) } .
В.2. 1. {(1; — 1; 0)}. 2. Мно­
жество изображено на рисунке 6.
3. {(8; 1)}.
В.З. 1. {(1; 2 ; — 1)}. 2. Множе­
ство изображено на рисунке 7.
3. {(1. 8); (8; 1)}.
В.4. 1. { ( 1 ;—2; 1)}. 2. Множес­
тво изображено на рисунке 8. 3. {(3;
5)}.
К-8
B .l. 1. 1,25. 2. езх՜ 2 3tg2x +
+ 3. —. 4. 17—
3 3
In 9
cos2 2xj
i»15,1361. 5. Убывает н а ] —оо ; — 1]
и на [ 0 ; 1]; возрастает на [— 1; 0] и
на [ 1; оо [; минимумы в точ к ах— 1
и 1, максимум в точке 0 (рис. 9).
В.2. 1. — .
9
2 . З* - 1 (In 3 X
Рис. 9
1 2
X sin 2х + 2 cos 2х). 3. — . 4. 4— +
О о
■+■ In 4. :=6,0530. 5. Возрастает на
166

17. [—1} 13; убывает на ] —оо; — 1] и
на [ 1; оо[; минимум в точке — 1; мак­
симум в точке 1 (рис. 10).
В.З. 1. 32.x5 — 80.nr4 y ' x Jr H0xi—
— 40х3 V х + 10х3 — х2 Vic. 2. На­
пример, у = cos Зх и у = 2 cos(3x—
1
1). 3. ս ի d[. 4. у =
5. Квад-
Например, у — ՜ է օօտ
рат.
В.4. 1. х5 + Юл:4 У х + 40л:4 +
+ 80x3 У х + 80л:3 + 32л:2 У х . 2.
1
И У = ։
= 2 cos (4л: — 2). 3. ]—2; 3]. 4. у =
г- ( х Зл
= *—У 2 ֊- ֊ + 1j 5. Квадрат,
В .5. 1. Квадрат, 4 (<?ж2). 2. {8}. 3. {(1; 1)>. 4.
Зя
4՜ nk < х < - +
я я
4- я/г и — — 4՜ я/г < л: < — + nk, k Հ Z .
я
В.б. 1. Ink՝, — 4 - nk
I 4
k (է zj. 2. При k Ф 4,5. Система имеет положи­
тельные решения при 2,4 < k < 4,5. 3. Убывает на [1; оо[; возрастает на
]—оо; 1]; максимум в точке 1; у — —4* 4՜ 14. 4. {19}.
В.7. 1. Минимум в точке 4; максимум в точке —4; —6. 2. При п ф —10,
я
Гл:3 — л:2 + Зл: + —. 4. — — 4 ֊
3 3
2 Г я
В .8. 1. 10— 2. — — 4֊ nk
nk
2 ’
k e z
< X <
я nk , _
ւշ՜ ՜շ՜’ kez՜
13 10
3. 0 . M l - ;
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ДС-1
— cos л: 4՜ 2 V z . 1 , ՜/~3 я
В .‘ . I. а) 3 со. 3 * ; б) շտ1ո, է ■ 2. , - ֊ դ , + 1 + Ц ± -
2 -f- sin лс 1 т/ТГ я
В.2. 1. а) 2 sin 2х; б) - ? ^ 7 . 2.
4х
В.З. 1. а) —5 sin 5л:; б) . 2. / ' (л:) = 2,0 — 2,5 cos (1 —
cos2 (2л2 — 1)
— 2,5л:) > 0 для любого х 6 R.
6jc
В.4. 1. а) 5 cos 5л:; б) . 2- / ' М = 4 sin (1 — 4л:) — 4,1 <
sin (2 — Зх2)
< 0 для любого х 6 R.
167
i

18. В .5. 1. а) 0, х ф + як, х ф 1 .+ ~ + як, к 6 Z ; б) 3 sin 4х (sin 2х—
cos 2х). 2. г (х) = —2,5х — cos 2х и г' (х) — —2,5 + 2 sin 2х < 0 для
любого х 6 R.
В.б. 1. а) —■. , է , — ; б) — 16х cos3(2x2—3) sin (2х2 — 3) 2. г (х) ~
sin (2х + 2)
= 2 ,1х + sin 2х и г' (х) = 2,1 + 2 cos 2х > 0 для любого x £ i?.
ДС-2
B .l. 1. а) ֊1 ; б) / 3 . 2. а) 2; б) ֊2 .
В.2. 1. а) — 1; б) — 1. 2. а) 0,4; б) 1.
В.З. 1. а) 1,5; б) / 3 . 2. У к а з а ни е. При х > 0 верно неравенство
sin х < х (при * փ ֊ի sin х < х по лемме п. 77, а при х 6
я Г
— ; оо имеем
sin х < 1 < — < х); если х = 0, то sin х = х.
В .4. 1. а) 0,75; б)
У Т
ДС-3
В.5. 1. а) — ; б) 1.
3
В .8. 1. а) 0,75; б) 2.
B .l. 1. / ' (х) = 2 — 2 sin 2х > 0 на промежутке 0; ; /"(х) == —
—4 cos 2х < 0 на промежутке
ленно на промежутке
я
0; —
4
; итак, функция ք возрастает замед-
я
0 ; 7
. 2. у " — — 9у; А — 7 ; Т = — ; со = 3; ф = — .
3 4
1 лВ.2. 1. Функция / убывает ускоренно на промежутке 0; —
35я
. 2 . у " =
= —0,25у; Л = 3; Т = 4я; (о = 0,5; ф =
1 / я
В.З. 1. х = —.2. у = 5 cos 12х + ֊
18
2 / я .
В.4. 1.х = ֊ ֊ . 2- У = 2.5 cos 13х + — ].
В.5. 1.х = 0 и х = —. 2. 2,5.
я , як 1
в.б. ւ.* = — + — , л ez. շ. з—.
ДС-4
B .l. у = 2 cos -g- cos х +
15я
я
. Решение.• У1 + Уг = cos ^ + cos (՛* — 1 ՜ 1=
: 2 COS ՜
х + х — — X — х + л
4 4 я / я
■շ cos շ = 2 cos у - cos | х — —
168

19. В.2. у = / 7 cos (х + ф), где tg փ = 1 ^ Լ ; փ €
5
JT Г
о; т [. Р е ш е н и е .
ЗТ
у (0) = Уг (О) + у2 (0) = 2 + cos ՜1֊- = 2 + — = 2,5, т. е. A cos ф = 2,5.
о Հ
у' (0) = y 'l (0) + у'а (0) = -
киы образом, имеем систему
-2 sin 0 — sin — , т. е. — Л sin փ = — • Та-
3 Հ
A cos փ = 2,5
Л sin փ = ,
2
откуда А2 (cos2 փ + sin2 փ) = 2,52 +
Уз
-— •j = 6,25 + 0,75 = 7, поэтому Л =
= У 7 и tg փ =
cos փ > 0.
Уз . Փ — угол первой четверти, так как sin փ > 0 ,
В.З. у — У 37 cos (2х + փ), где tg ф
2 / 3
;փփ ; ֊[ .
В.4. у 25 — 12 У 2 cos (Зх + ф), где tg ф =
3 / 2
2л
8—3 / 2
Л Зя.
- , ф е | ֊ .
В.5. у = 13 cos ф |, где tg ф = —2,4; փ 6 J-— ; 2я
В.б. у = ՃԼ c o s jj. + փյ , где tg ф = -Ճ3 и փ£jo; JL
ДС-5
B .l. 1. a) —tg 89; 6) c o s ֊—. 2. —cos (a + {5 ).
8
Jt
B.2. 1. a) —ctg 21s; 6) —sin— = —— . 2. cos (a + P ) .
6 2 t
B.3. 2. cos2 — . B.4. 2. —0,5.
2
uk „ ЯЙ
B.5. 2. —cos2 а, а Փ k £ Z . B.6. 2. —sin2 a , a Z ,
ДС-6
В .,. 1. ( 0); _ i[u ]0i i[; ] - f ; o[u]f i X . 2. Возрастает
на — я;
В.2. 1.
я Г
՜ ՜ շ ՜ ’ ° [ ;
, на
1 я я Г 1 я Г 1 л я Г „ _ „
Г т ; т [ и на Т ; л [ • 3-г т [ 4- Нет՝ 5- 3-
փ ք[.
на J0; я[ и на
я;
я;
Зя
2
Зя
; J — y ՛’ ° [ U ] Y՛՛ " [ ’ 2' Убьшает
я 5я
. 3. [0; яГ. 4. Нет. 5. х = —• и х = — .
4 4
169

20. точке
Г 2я Г я
В.З. 1. {0; я}; — — ; 0 ; ]0; я[. 2. Минимум в точке — — ; максимум в
я „ Г 2я я Г я 1 Г я
— . 3. Убывает на j— — ; — — и на — ; я ; возрастает на I— — ;
Я ' я я 1
. 4. _— • —
2. 2 ’ շJ
( я jt 1 Г 2я я Г , . ] я я я Г „
вл ’•г Г Т ;- 7 и Т ; nJ;J~T;Т ■2■Максимум
Г 2я 1
в точке 0. 3. Убывает на [0; я]; возрастает на — — ; 0 4. [0; я] 5. Нет.
В.5. 1. |о; ֊ ; я | ; J^— ֊֊; 0 Ա я |; jo; — J Ա {я}. 2. Минимум в точ-.
Зя я ւ
ке - j- ; максимум в точке — . 3. Убывает на | — ;
’ Зя
возрастает на
Г я
г г ՝
я
4
В.б. 1.
и на я
я я Зя
Т’ Т* 4
1 г -
[ Я я 1 Г я Зя
— — ; — или — ; -—
4 4 . Լ 4 4
" я Зя 1 Г я я 1 ,, Г Зя I
т ; т > г т т М т ” }
Зя
4
. 5. Нет.
я г я 1
2. Минимум в точке — ; максимум в точке 0. 3. Убывает на 0; — ; возрас-
[ г - 4 5-тает на
Г Я J ' я я ' Г
լ- т °
и на
2 ’ я
. 4.
01 2~.
или Нет,
ДС-7
1 nk
B.l. 1. ՜77=- 2. ֊+ ց
/ 3
քЯ
В.2. 1. ֊1 . 2. [т
ք Я
В.З. 2. l ± — + n k
k £ Z .
я/г k £ Z
k £ Z . В.4. 2. | ՜ 7 + nk k (շ Z .
( я nk 1 ( я nk .
B.S. 1 . { T + T В.б. 1 . { ± - + т
ДС-8
B.l. 2. {2яА I k £ Z ) . 3. cos 4; cos 8; cos 4.
( 8я 2я „ ,
В.2. 2. | ± — — — + fink
f я n nk
B.3. 2. — + — + —
1 12 “ 8 2
B.4.
nk
k e Z j . 3. tg 4; tg 12; tg 8.
k e z ) . 3. tg 8; tg 2; tg 6; tg 4.
.4. 1. +
1 18 3 ,
B.5. 1. Множество состоит из двух точек; М (1; 0) и М (— 1; 0).
kՀZ к 3. cos 6; cos 8; cos 2; cos 4.
( , я nk
]я£; — + —
[ 4 2
f я
6՛ 2-{± T
k e Z . 3. (tg 4 — t g 3) • (tg 2 — tg 1) (tgO — t g (— 1)) < o.
B.e
X (cos 2 — cos 1) < 0.
170
՜՜Ւ nk; ± -f՜ nk
о
k e z }. 3. (cos 6 — cos 5) (cos 4 — cos 3) X
i

21. ДС-9
B .l. 2. (ctg (— 1) — ctg (—2)) (ctg (—3) — ctg (—4)) < 0.
B.2. 2. ctg 12; ctg 8 ; ctg 4.
I я я
B.3. 1. arc ctg 3; arcctg 7; arcctg 9; arcctg 11. 2. j ± շշ՜՜^՜՜ք՜
k £ Z
)•
B.4. 1. arcctg 16; arcctg 12; arcctg 8 ; arcctg 4.
nk ,
k e z .
{
я я як
՜ 18 ± ՜ 9 ՜ + ՜3
В.5. 1
2. (ctg з
в.б. ւ.
k e z .
як
6
ctg 4) (ctg 5
nk
4 + T :
■ctg 6) (ctg 7 — ctg 8) < 0.
я , ,
4^~~~՜ -f~ я/? k e z
2 . (arcctg 3 — arcctg 4) (arcctg 5 — arcctg 6) > 0.

22. В.З. 1. ֊ , а ф ^ , а ф — ^ + nk, k£Z. 2. — ֊ и — —
cos 2 а 2 4 25 25
3. U —i )ft+1 ■ Y + nk k t z
1 я nk . 24 7 ( it , „ , , 1
B.4. 1. ~~ sin 4 а , а Ф — + — , ft £ Z . 2. — и — . 3. j ± — ֊-2nk k € Z [.
2 4 2 25 25 լ 6 J
„ „ nk я 16 63
B.5. 1. cos2f3, (3=^ — ; Р Ф —~ ~ + nk, ft g Z. 2.— и— —.
2 4 o5 Ե5
f t e z .
1 „ я 5 12 ( я
B.6. 1. —7~тт . P Ф — “ Г + п ^> ft€ Z . 2. 7 ^ И ~~Г5- 3> I — — +
sin2p 4 13 13 լ 6
+ nk k i Z
ДС-13
B.l. 1. У , շ. շ cos 4x cos 2x.
4
B.2. 1.
У ъ —2 . 2. 2 cos x cos 8*.
1
В.З. 1. ^ . Р е ш е н и е , cos 10° sin 20° sin 40° = —cos 10° (cos (40°—
8 2
1 /1
—20°) - cos (40° + 20°)) = — (cos 1 0 °cos 2 0 °— - c o s 1 0 °j= — Լ- c o s 1 0 °+
+ — cos 30s — — cos 10°) = — cos 30° = iQ L . 2. — . 3. ( ± — + nk) — +
2 4 / 4 8 4 Լ 6 4
}
nk
+ ՜շ՜
f t €Z} .
1 3 f я , я , nk
B.4. 1. - . 2. - . 3. J ± յ + nk- 4 + շ ft£ Z
я я 2я 4я
sin —cos —cos — cos —
1 я 2я 4я 7 7 7 7
B.5. 1. — — . Р е ш е н и е , cos —- cos — cos — = ----------------------------- =
8 . 7 7 7 . я
1 2я 2я 4я
— sin — cos — cos —
2 7 ՚ 7 7
1 4я 4я 1 8я
— sin — cos — — sin —
4 7 7 8 7
sin -
я
sin-
я
1 „ (nk , J
2 . - 7 . 3 . { T k t z ) .
я
sin —
7
sin -
я
յ_ ՜ Տ1Ո՜7՜
8 я
sin Y
1 3
В.б. I. —. 2. — . 3. {nk ftg Z }.
172
I

23. 1 Зл . я Г .. 1 5л , я , Г , . 1 Л ,
В'5՜ *' J 14 + 126+ Пк [ U J 42՜+ 7 + L U J Т + '
43я Г 1 19я , 85я Г " я , Зя , , „
126 + ^ 1 շ ՜ + 126+ ЯТ € z 2՜ ^ + Т +
, я я/г Зя я/г „ я Зя^
В.б. 1. — + — < х < — + — , /г е Z . 2. я /г< х < ֊ — + я/г, /г €Z.
42 2 28 2 4 4
ДС-15
B.l. 1. f(— 1)* • — + я/г
I 6
В.2. I. |( — 1) * + » •— + я /s
feez • г.
я я /յ я
— 4-— : ± — + я/г
4 2 3
, ( я , як я
k £ Z . 2. { — + — ; ± — + я /г
В.З. 1.
я
■ ֊■ + 2я/г; ֊ ֊ + ( — l)ft+1- ^ + я / г fe € Z . 2,
fe€ Z |.
}՛
+ лА;
fe g Z
_Я
2
(— 1)A+1 • — + л/г
b
fee z
2Я
B.4. 1. j я + 2я fe; ± ^ + 4я/г
0,38.
I՜ a , яй
‘ ^ • Ч т + т fe£ Z ի a = arctg — ss
a nk
B.5. M T + Y
Я
( ֊ 1)* • ~ r + л/г
О
fegZ I
fee Z I , a = arctg j — ֊ j « — 1,17. 2. j — у +2nfe;
B.6. 1. j ± — +2л/г; y - f 2я/г kez . շ.
я 2яй
5 + T ;
2я fe fe£Z
}
ДС-17
B .l. 2. — ctg x + У з . B.2 . 2 . tg X — p = = .
B.3. 2. Первой, / 3 — 1
У3
. У к а з а н и е . Первая первообразная
имеет вид tg х — р = ; вторая — вид tg х + 1 — У 3.
В.4. 2. Первообразные совпадают (ctg х + 0,5), их разность равна 0.

24. . 1 sin 2л: „ 5
B.5. 1. а) / х 2 — 1 + С; б) — х ֊ | --------- + С. 2. Первой, 1—. Ь к а з а -
2 4 6
н и е. (х) = ֊ —֊ ֊ х2 + 2х + 5 ; F 2 (х) = յ — ֊՜ х2+ 2х + 4.
J 2%
В.б. 1. а)У х * + 1+ С; б)֊ ֊ — —— + С.2. Первой,3,5.
ДС-18
В.1. 1.Y + ֊ sin (4 - 6л) + С. 2. ֊ sin (2х— 1) —— / ( 6 х + 3 ) 3+ С.
у 1 3 з-
В.2. 1.— + —sin (6х + 4х) + С. 2. —2cos(0,5x— 0,5)— - ~ У (3+0,5х)4-|-С.
2 8 2
3 о _______________________ ]______
В.З. 1. — — У(1 — х)® + С. 2. sin х — х cos х 4՜ — У(2х — I)3 + С.
5 3
3 о _______________________ 1_ __
В.4. 1. — — У(1 — хУ + С. 2 . x sin х + cos х — — У(1 + 2а) 8 + С.
7 3
В.5. 1. 2 tg {х — 1) — cos (4 — Зх) + х + С.
2 3
3 ;
2. F (х) =
■X2 + С при х > 0,
з
-д-(— х)2 + С при X < 0.
з
В.б. 1. —2 ctg (х + 1) — Y sin (3 — 4х) — х + С.
( 0,5 х2 ՜է՜ х + С при х > 0
2. F (х) Լ — о,5 л:2 + л:+ С при х < 0.
ДС-19
2 „ 2 1
В. 1. 1.2 — . 2. 0. В.2. 1. 10— . 2. —.
3 3 6
В.З. 1.4,5. 2. 2,5. В.4. 1. 10-^-. 2. 2 — / 3 ՜
О
п
Cdx , 1
В.б. 1. 1,5. 2. 1. У к а з а н и е . " Г = 1 — — ■
J * п
1
1
г— 2п С dx - .Г 1
В.б. 1. 2 / 3 - ֊. 2. 2, У к а з а н и е . —= = 2 — 2 1 / —.
3 J У х ' п
լ г
п
ДС-20*>
В. I. 48g (дж).
В.2. 0,5 (дж). Р е ш е н и е . Поверхностная плотность диска равна
*) В вариантах 1,3, 4 g — числовое значение ускорения свободного падения,
в системе СИ g « 9,81.
174
4

25. m m 8 [кг 0,5
p = — = ——= — — . Разобьем диск на кольца ширины Дх = — , Пло-
S яг* я м*1 п
щадь кольца, ограниченного окружностями радиусов х и х + Дх, равна
я ((х + Дх)2 — х2)) = я (2хДх + Дд:2) ~ 2ях Дх. Масса такого кольца рав-
8
на т х = pS = ; — • 2яхДх = 16хДх. Скорость этой части диска приблизи-
я
m X Vl
тельно равна и = 2х, а ее кинетическая энергия З2х3. Кине­
тическая энергия всего диска приближенно равна ^ Дх • 32х^ (где Х£=*
k =
հ լ
= --------• Дх), т. е. п-й интегральной сумме функции у = З2х3 по отрезку [0j
п
0,5]. Таким образом,
о,- 0,5
W = Г32x3dx = 8х4 =
о о
լ *
2 ,
0 1 = ֊ (д ж ).
В.З. 616 — g (к).
О
В .4. 624g (н). Р е ш е н и е вариантов 3 и 4. Подсчитаем давление на
одну сторону стенки. Разобьем трапецию на полоски ширины Дх|^Дх = —j
(рис. 11). Найдем давление воды на полоску, верхнее основание которой ле-
х — с + հ
жит на глубине х. Длина верхнего основания равна lx=b~֊(a— b ) —— ,
площадь приближенно равна S x 1ХДх. Давление воды на эту полоску
/, (а — Ь) (х — с + К)х
приблизительно равно рх S x • х • g ~ g b x Ч-------------- -----------
ление на одну сторону стенки есть р = | g (Ьх -
е—ft
(а— Ь) (х — с + h)x
Ах. Дав-
dx, т. е.
ю
в В.З. g 6х +
4 (х ֊5 )
х ) dx = g I^ * 3+
10 1
= 308 — g; и в В.4.
5 3 s
12
I 8x -
2
4 (x — 6) x
6 ~
dx
12
= 312 g.=g (б*2֊ j * 3)
B.5. 4 (дж). Р е ш е н и е . Пусть
высота цилиндра равна Н. Тогда
плотность цилиндра равна р = — =
nR 2H
. Рассмотрим часть цилиндра,
Рис. И
175

26. ограниченного цилиндрическими поверхностями радиусов х и х + Ах. Объем
„ 2тхАх
этой части цилиндра приближенно равен 2пх НАх, масса — , скорость
R2
R
и кинетическая энергия Wx ■■
т Л тх» д _
Y « Ьх. Поэтому
W =
С mxsdx mxi
J R4 = 4£*~ 0 4 R 4
В.б. яг3р£ (к), p — плотность воды, g — ускорение свободного падения.
Р е ш е н и е . Площадь части сферы, заключенная между плоскостями,
проведенными на глубине х и х + Ах, равна S x = 2ягДх, давление на
Г
эту часть рх = : х • S x • pg = ; 2яrpg • х • Ах. Поэтому р = j 2nrpgx dx —
— 2nrpg J xdx = 2ллр£
о 2
2яФ ё — ° ) = nr*pg (н).
ДС-21
B .l. 1. 2,5. 2.
В.З. 1. — 1 5 ^ . 2. -j- ՜ ^ ձ .
16 8
26
В.2. 1. 9— . 2. ֊3 .
35
25
В.4. 1. 18— . 2. 0.
27
В.5. 1. 38,4. 2. 2. — — .
6
В.б. 1. — 132 —. 2 . 1 ( Л _ ! _ т
15 8 V 2 8 1
ДС-22
В.1. 1. {2}. 2.
В.З. 1. {1}. 2.
В.5. 1. {6}. 2. ] —5; ՅԸՍ]4 ; оо[.
֊ք »[•
м
В.2. 1. {2}. 2. [0; 9[.
В.4. 1. 0. 2.
В.б. 1. 2
[ М
Ы [ -
ДС-23
/ 1 6 Х ֊4
J.I. 1. у = 2. 2. —6 — ) . 3.
22Х-1-- 1 *
2 in 2
+ С.
0,92*—0.9
В.2. 1. у = —х + 1. 2. 1п 3 • З3* ՜ 3 — 2 х е-*2. 3. + С.
14
В.З. 1. Убывает на ] —оо ; 0] и на [2; со[; возрастает на [0; 2]. 2. -——տ
In 2
; 20,199.
В.4. 1. Убывает на
1
In 3
— оо ;
1
In 2
•j; возрастает на J^-
ln 2
202
• 2 - V 3 x
176
Հ

27. '*ЯШк
В.5. 1. Минимум в точке 1; максимум в точке 0,5. 2, 1 + -j—j (1
շ 1 - 0 , 4 դ з . о.
2 3 Х - 1
В.б. 1. Минимум в точке —0,5; максимум в точке 1. 2.
2,5
3 In 2
1
3. е — 1.
48 In 2
ДС-24
В.1. 1. ]1 ;оо [. 2 . Часть графика функции у = cos х, лежащая выше
оси абсцисс.
В.2. 1. {—3,5). 2. Часть графика функции у — tg х, лежащая выше
оси абсцисс.
В.З. 1. {1}. 2. 0 .
U ]4; °°С-В.4. 1. {— 1}. 2.
В.5. 1. {2}. 2. Часть графика функции у = ]х 4- 1! — 2, лежащая выше
оси абсцисс.
В.б. 1. լ ~ | . 2. Часть параболы у = х2 =— 4х + 3, лежащая выше оси
абсцисс.
ДС-25
В .1. 1. —2 — . 2. 2 In (х — 2) + 2.
2 In 2
В.2. 1. — — — — . 2. 3 In (х + 2) + I.
in 10 In 2
В.З. 1. Минимумв точке j / ՞ — . 2 . 1,5 — 2 In 2 = 0,1138. 3. ֊1 .
В.4. 1. Минимумв точке V е- 2- 7,5 — 8 In 2 ~ 1,9552. 3. 1,5.
В.5. 1. Убывает на ]0; 1] и на [е; оо[; возрастает на [1 ;е]. 2- In 10 «
я 2,3026. 3. {0,1; 1}.
, £6
В.б. 1. Убывает на [0,1; 1]; возрастает на ]0 ; 0,1] и на [1; оо[. 2. Ш у я *
я 1,3122. 3. {5}.
ДС-26
B .l. In exp (а + b) — а + Ь; Гп (ехра • ехрб) = In ехра + In ехрй =
= а + Ь, т. е. In exp (а + b) = In (ехра - ехрЬ), поэтому ехр (а + Ь) =
= ехра- • ехр&.
В.З. и В.4. (см. рис. 12). In равен площади криволинейной трапеции,
ограниченной линиями у = — , у = 0 , х = 1 и л : = п. Эта площадь меньше
площади ступенчатой фигуры £ 5 хЛ гВ 2Л3В 3 ... В ^ А ^ , т. е. 1 + — +
177
>

28. + Ч-----^—7 и больше площади ступенчатой фигуры Ը Շ ^ շ Շ շ Յ Ք * . . .
3 п — 1
• ■ • c « - i S « D> т- е* 1 + i + т + • ՛ • + п •
х2+ 2 х
ох Д- շ Ի dt
В.5. ] —со; —2[Ա ]0; оо[; / ' ( * ) = ֊ — . У к а з а н и е , j —=
In (х2 + 2х).
В.б. ]0; 2[; Д х) =
2 — 2х
2х— х2‘
ДС-27
В.2. 1. . . . о
7 3
В.З. 1. Убывает на
В.4. 1. Убывает на
B.l. 1. — ֊( 1 — 2х)0,з + С. 2. { i + p - J .
2. ( r i + m
0; - ^ ֊
/ 2 + 1
0 ; ճ / 3
շ Г
; возрастает на
/ 3 + 1 J
В.5. 1. 0,5 ( / х)х (1 + In х). 2. [ - 3 ; 2]
В.б. 1. 2х2Л (In х + 1). 2 . {0 ; 1}.
; возрастает на
/ 2
/ 2+1
2 / 3
. / 3 + 1
. 2. {3}.
. 2. {5}.
ДС-28
2 г— 16
B.l. 2z— 5; — ; г
)՛
Г/ 8 6
В.2. { ( б Г з ; 6; - 3 -
В.З. {(1; 1; 0; - 2 ) } .
178

29. В.4. {(1; ֊3 ; 7; 2)}.
В .5. {(6z — 13; 7г — 19; г; 7 — 2z) г £ R};
В.б. 0.
B .l. При р = О {(1,5у; у)| у £ R } ; при р = 4 {(1,5у + 8 ; у)| у £ R}՛,
при остальных р решений нет.
1 р 4 2
ДС-29
В.2.
,3 3 3(р — 2)’ 3(р — 2)
У 6 R) при р = —2; 0 при р = 2.
В.З. 0 при т = — 1; {(3 — у; у)| у £ R ) при т = 2 ;
при остальных т .
В.4. {(1 — у; у)| у £ R } при т = —1; 0 при m =
при р Ф ± 2 ; {(1 — 2у; у)|
. (р±1 _JL!
lm + 1 m + 1/ j
1 2 — 2т
1 — 3п '
т + 1
при остальных т .
1 — З т
В.5. Ь ф 1 и с Փ 1.
В.б. При р 6 ] —2; 2 [(J]2 ; 4[; при р = 2 и 1 < л г < 3 .
ДС-30
В .1. {(2 ; 7)}. в.2. {(3; —5)}. В.З. {(2 ; 1); ( - 1; - 2)}.
В.4. { ( - 2 ; 1); (1; ֊2 ) ; (1; 2); (2; 1); (0; ֊3 ) ; ( - 3 ; 0)}.
В.5. { ( - 1 ; 1); (4; 32)}. В.б. {(1; 6); (2; 7); (3; 8)}.
— + nk; nk
~ ֊ + nk; nk
n n
— + nk; — ■
3 3
n
— + nk; nk
nk; “ * ^ -j՜ nk
nk;
nk
■ J + nk)
k £ Z . .
k £ z )
;}՛
j k £ Z j.
a
5я nk
k £ Z j, a = arctg 3 я 1,25.
ДС-31
B.l.
B.2.
B.3.
B.4.
B.5.
B.6.
ДС-32
B .l. 1.a) 14,0;6) 10,2.2. a) 20,3 ± 0,4; e = 0,02; 6) 4,2 ± 0,5; e = 0 ,1 .
В.2. I. a) 37; 6) 22,4. 2. a) 30,4 ± 0,2; e = 0,01; 6) 19 ± l ; e = 0,05.
В.З. 1. a) 27; 6) 35. 2. a)9,9 ± 0,14; e = 0,014; 6) 340 ± 15; e = 0,05.
B.4. 1.a) 1,1; 6) 38. 2. a) 7,7 ± 0,2; e = 0,02; 6) 11 ± 4; e = 0,3.
B.5. 1. a) 16,3; 6) 99,1. 2. a) 6,8 ± 0,13; e = 0 ,0 2 ; 6) 8000 ± 500;
8 = 0,06.
n nk
7 + ¥ : 7 + "2՜+ Հ i e z
я n
о; "гг * h r;
я
179

30. В.б. 1. а) 13,0; б) 81. 2. а) 5,3 ± 0,3; е = 0,05; б) (2,2 ± 0,4) • 102;
е = 0,15.
ДС-33
B .l. 1. а) 1,584; б) 2,615; в) 0,00596. 2. 112 100.
В.2. 1. а) 158,9; б) 8,70; в) 9,45. 2. 0,3516.
В.З. 1. а) 4,305; б) 2488; в) 407. 2. 33,65 (м) и 48,7 (м).
В.4. 1. а) 2,516; б) 12 610; в) 343,5. 2. 33,8 (дм),18,6 (дм).
В.5. 1. а) 6,02; б) 32 300; в) 221,6. 2. 10,0 (кг).
В.б. 1. а) 4,47; б) 11 850; в) 1,063. 2. 0,573 (дм).
ДС-34
ւ
В.1. 1. — 2. {—3}.
2а՜
լ
В.2. 1.
2ь
-. 2. {0,5}.
В.З. 1. (хл
1
у2)2. 2. а = —9.
В.4. 1. х у. 2- а
Ժ + 9
В. 5. 1.
Ժ — 9
13.
2. 0.
16 + с3 Г
в - 6 - »• 3 ՝ Ь ^ а16 — с3
2. / 6
2 - Դ } -
ДС-35
B .l. 1. 67,2 (сл<); 188,16 (с.и2). 2. ] —10; 0,7].
В.2. 1. 120 (см); 480 (см2). 2. ]1 ;°о [.
В.З. 1. 48 (см); 96 (см2). 2. ] - « ; —0,1[.
В.4. 1. 33,6 (м); 30,24 (ж2). 2. 0 .
В.5. 1. 30 (см); 30 (см2). 2. ] —6; —2] Ա [ - 0 ,5 ; 6[.
В.б. 1. 84 (см); 210 (см2). 2. ]—4 : ֊ 3 1 U [ ֊ +
ДС-36
B .l. 1. Я ; { - 2 } .
3. X2 — 2 / 8* — 1 = 0 .
1
В.2. 1.
2. 3 х
2 + У Т З յ է _ 2 - / 1 3 j
U С6; °°[ и '5 х
—3 + V 109
10
. —э — Z ՜109 j- 3. х2 — 2 / 5 х + 1 = 0.
В.З. 1. (2х2 + 5)(х - 1) (х + 1). 2. а < 1, а ф 0. 3. —4.
В.4. 1. (Зх2 + 5) (х —1) (х + 1). 2. |a |s£ 2,а ф 0. 3.4.
В.5. 1. ( / З х - 1 ) ( / З х + 1) (х - / 3 ) ( х + / 3 ) . 2. |ծ | > 1.
3. 7.
180
<

31. В.б. 1. (2л:3 + 1) (хг + 2)- 2. Ь| > 1,5. 3. Сумму найти невозможно,
так как уравнение не имеет корней.
ДС-37
В-1. 1. а) 2; б ) ֊ В.2. а) 2 ֊; б) ֊.
В.З. 1. а) ■֊-; б) — 1,5. 2. Да, возрастает. Р е ш е н и е .
ո + 2«+1
п + 1 I п(п + 2) Л+» п + 1
/ | 1 "+ 1 /п
п+1 п + 1/ _ U -.
Ьп ( 1 « (ո "+ 1 ո ( я + I)2 /
J «+1 и + 1
( п + О2
+
( ^ Г , ( { ֊ )
/ я + 2 ո+2 П + 1
U + ij
1 п+2 /г / п + 2
5 2
В.4. 1. а) —; б) — . 2. Да, убывает. Р е ш е н и е .
6 3
) > п + 1 я (п + 2) / п + 1ո (ո + 2)
5 -
В.5. 1. а) — — ; б) —У 2. 2. Да, убывает. У к а з а н и е . * ,
6
1
V(n+ п(п+ 1)+ V «շ
В.б. 1. а) 1; б) 2 2. Нет. Р е ш е н и е . у2< у3, так как У 2 < у 3,
3
3 _ 4 _ __
а Уз > У4» так как | / " 3 > у 4 = У 2 .
ДС-39
B .l. 1. Аь ■ С| 3 = С| 5 • А222= 1 062 600. 2. а) — 1; б) 8.
В.2. 1. 15• С^4 = 45 045. 2. а) 3; б) 0,75.
В.З. 1. 15• 51 = 1800. 2. а) d£}_22; б) 22«՜*+ ւ
В .4. 1. 25 • 5! = 3000. 2. а)с£+ 2 ; б) 2"֊a*+i_
Л К /71 ~I—3
В.5. 1. Сէ • С ? ,= 1 441 440. 2. а)— 1— ; б) 22« ֊з « .
' п — т
В.б. 1. С{8 • С?4 = 9 189 180. 2. а) б) 2з('Л
ДС-40
B .l. 1. 6л:՜1. 2. З7 — 1 = 2186.
В.2. 1. 10. 2. (—2)s — 1 = 255.
181

32. В.З. 1. 9. 2. —— . В.4. 1. 5. 2 . ----- .
32 256
В.5. 1. 2. 2. 1024. В.б. 1. 25. 2. 81.
B .l. 1. а) 0; б) 3. 2. 6. В.2. 1. а) —1,1; б) 0. 2. 4.
В.З. 1. —. 2. а) - ; б) 1,5. В.4. 1. ֊ . 2. а) 1,6; б) — —.
15 3 15 3
В.5. 1. а) 0; б) 7. 2. —0 ,6. В.б. 1. а) 0,5; б) /Г б . 2 . 1,5.
д с -42 ]
In х • — — — tg х • —
B .l. 1. а) У 5 е ~ х (6х5 — хв); б) C° S“*
ДС-41
2. а) 5 cos 5х (при sin 5х > 0 ) ; б)
In2х
sin lg Зх
Зх In 10
ctg х lg х
„ , xl nl O sin2 x 3
B . 2 . 1. a) V 3 • « « • ֊ w . «> -------- ^ ---------• 2 - .)
cos In —
4
tg 3x > 0); 6) ------------ .
з ~ г —V x . + yT՜
2 / x 3 j / x՜2
В.З. 1. a) 6sin2x(sinx —cos2x); 6) --------------- —
17 / 2 ( x ^ 2 — l)U •
2. а) (Зх2 - 1) e * - * ; 6) ( xV2 _ l f + 2
V 2—1
ex e ^ x 4x3 + 1
B.4. 1. a) 2 sin 2x; 6) —- 4՜ , / —՛՛. 2. a)
2 4 / x ' (x4 + x) In (x4+ x) ’
I Y ~ , Л13 ՝/ ,/o-
6)
. - - 2 X (x In 2 • In Ix I + 1)
B.5. 1. a) 25 sin4 5x cos 5x; 6) — ----------------- —---------- .
2x In2 1x I
c; (՜ւ^Ղ з—1 Ox՜2)
2. a) cose*2՜ * • exZ~ x (2x — 1); 6) , г-------- .
( х Уз + 2 X ՜ 1) In 10
„ 3~x (In 3 4՜ cos x)
В.б. 1. a) — 16 cos3 4x sin 4x; 6) —--------- —— .
2. a) — sin (2x 4՜ 1); 6) 15 In 2 • 2(x~ 1>lS (x — l)u .
ДС-43
B .l. Убывает на [—3; 1[ и на ]1; 5 ]; возрастает на ] —со; —3] и на [5;
оо[; минимум в точке 5; максимум в точке «=-3.
182

33. В.2. Убывает на [—4 ; — 1[ и на ] —1 ;2 ]; возрастает на ] —с о ;—4] и
на [2 ; оо[; минимум в точке 2 ; максимум в точке —4.
В.З. Убывает на [0; 1] и на [4; оо[; возрастает на ] —со; 0] и на [1; 4];
минимум в точке 1; максимумы в точках 0 и 4.
В.4. Убывает на lOje՜ 1՜ 2 ] и на [е^2 ; оо[; возрастает на [ е ՜ * ՜ 2 ; е^ 2 ];
минимум в точке е ~ ~ ; максимум в точке е^ 2 .
В.5. Убывает на ] —оо; — 1 — j/՜Յ] и на [0; У З — 1]; возрастает на
[—1 — У З ; 0] и на [У З — 1; оо[; минимумы в точках — 1 — У 3 и —1 + } / 3 ;
максимум в точке 0 .
В.б. Убывает на ]0; е՜1] и на [е1-5; оо[; возрастает на [е 1; е1՛6]; минимум
в точке е ՜1; максимум в точке е1՛6.
ДС-44
В.1. / б . У к а з а н и е. Пусть г и հ — радиус основания и высота ко­
нуса. Тогда г2 + հ2 = З2 = 9. V — — яг2/1= — nh (9 — /г2). V' (հ) = 0 при
3 3
Վհ = У з , при этом г = У 9 — Л2 = У 6.
4]/3
В.2. -------. У к а з а н и е . Пусть г и հ — радиус основания и высота
3
4
цилиндра. Тогда V = nr2h = яН (16 — А2). V' (հ) — 0 при h =
В.З. 2. У к а з а н и е . Пусть радиус основания и высота цилиндра
V
объема V равны г к հ. Тогда Տ = 2яг2 + 2 n r h = 2яг2 + 2кг — - =
я гг
2V 2V
= 2яг2 Н • S ' (г) = 4яг — — . S ' (г) — 0 при 4ял3 - 2V, т. е. 4яг3=
г г2
հ
= 2ял2Л, откуда 2г = հ, т. е. — = 2.
В.4. У 2 . У к а з а н и е . Пусть радиус основания, высота и образую-
3V г_______
щая конуса объема V равны г, հ и /. Тогда А = ■——.Տ = яг/ = лгу г2 + А2 =
яг2
_ QT/2 QI/2
= я г I / г2 4՜ — = я | / г* + . Достаточно найти максимум функ-
9V2 181/2
ции / (г) = г* + /'W = 4г3 — ;/'(/•) = 0 при 18V2 = 4 n V , т. е.
9У2 = я 2/-4Л2 = 2я2г6, откуда Л2 = 2г2 и — = ] /2 .
г
В.5. 1,8 (м). У К а з а н и е. Задача, подобная данной, разобрана в
учебном пособии (см. упражнение 1042).
В.б. 2 | / ^ — : 3 | / 2,4 ՜ յ / У к а з а н и е . Пусть стороны ос-
183

34. SV 5V
нования равны 2x и Зх. Тогда 5 = 12л;2 + — • S' (х) = 24л: — — 7- •£' (я) = О
Зх Зх*
при X
5V
72՜
ДС-45
B .l. 1. а) 3 cos (За: — 2) cos х — sin (Зл; — 2) sin х; б)
3 5
1
cos2 (х + 2)
- 2, ֊. 3. у = — 2дс 1. 4. у = V i c o s 2х + —
տտ2 (Зл: — 2) 8 8
В.2. 1. а) 2 cos (4а:+3) co s 2а: — 4 sin (4х + 3) sin 2а:; б)
-1
sin2 (х — 3)
+
2I o 7
3. у = 1 .4 . у
1 cos2 (2x —
. Հ-*
5) 4 '
ДС-48
B .l. 1. — 1, a —P Ф nk, k e z .
пример, a)
К
n
T ; б)
n „
— — ; 0
2
т - Ч
я я/г
12 + ~
k e z j . 5. На-
В.2. 1. —1, а + թ ^ — + я k, k e z . 2 . — . 4. ((— l)f t .— + —
շ 4 լ 6 շ
k e Z j. 5. Например, a) [0; 2я]; б) ]—я ; я [; ]3я; 5я[.
ДС-47
B .l. 1. 0. 2. a) cos 39е; б) t g — . 4. Минимумы в т о ч к а х - + nk;
8 12
максимумы в точках
k e z .
5я 10я
12
nk, ke Z. 5. 2я -j- 4nk < х — - + 4nk,
3
В.2. 1. 0. 2. a) —cos 14s; б) ctg-^-. 4. Минимумы в точках — — + я А ;
7 3
я я я
максимумы в точках — + nk, k e z . 5. — — -J- nk Վ x Վ — — -{-nk, k e z .
ДС-48
B .l. 1. 2a:3 — a:2 + 5. 2. — — 1. 3. 4.
B.2. 1. x3 — x2 - f x — 1. 2. — . 3. 2.
ДС-49
B .l. 1. a) 2 In 4 • 4 *; 6) 2e%x (sin (1 — 2л;) — cos (1 — 2x)). 2. a) {—2;
4 }; 6) {0}. 3. у = x In 0,9 + 1 — 3 In 0,9.
184

35. В.2. 1. а) 3 In 9 • 9-r ; б) —2е~2х+1 (cos 2х + sin 2х). 2. а) {—3;1);
б){0 }. 3. у = х In 2,2 + 3 In 2,2 + 1.
B .l. 1. a) logj я < 0; б) In 0,8 — 0 ,8 < 0 . 2. ]- о о ; —7 [Ա ] 4; оо[/' (х) =■
е
= з. ] - о о ; -3 C U 3 1 ; 5 [ լ) ] 5;օ օ [. 4. e - j = 2,3504.
В.2. 1. a) In (2е) — 1 > 0; б) log02 4 ■ log2 4,3 < 0. 2. ] —4; 2[;
2л: 4- 2 1
н'( х ) = Х2 + 2Х_ ~ 8 - 3- ] - ° ° ; ՜ 5 [Ս ] ՜ 5; - 1 [U ] 3>00[- 1>4428-
Ь ДС-50
f Jp.
i
I
i
I
.
ДС-51
B .l. ,. « I ; l ; 1)). 3. { ( - I ; j ) ; ( 1 ; i
B.2. « > ; 2, - 1 ) } . 3. ( { ; fA Ո : j
ДС-52
B .J. 1. ]0; 4[. 3. — -— , x Փ nk, k £ Z . i . у = 2ег’5. 5. 4,5.
2 cos x
В.2. 1. ] —3; 0[. 3. ~ — , x փ Հ - + nk, k 6 Z . 4. у = 2e. 5.
2 sin x 2 12
ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ
ПР-1
B .l. 1. N. 3. 2,5. 4. 3. 5. 4—x, x > 0. 6. 576 (деталей). 7. ]6;oo[.
xy
8 . (3x + 2) (4x — 1). 9. 4,24 и 4,52. 10.
*■ — У
119
В.2. 1. Z. 3. —43— . 4. 10. 5. 4, m > 0. 6. 7 (кх/ч). 7. Да. 8. Напри­
мер, / (х) = 2х + 1. 9. 2,79 и — 1,79. 10. а — ծ, а Ф ± Ь .
ПР-2
B .l. 1. {0,05}. 2. Л = - ֊ , ծ = —2. з. 2400 (г). 5. ] —2; 4[. 6. {(2; 6);
Ժ՜
(6 ; 2)}. 7. ьп = 162 • ( ւ - ) ՞ " 1; = 243 (1 - ( յ ) ՞ ) ; « = 6- 8-6-3- 9- y=-
= 2x — 6. 10. X2 — 2 / З х + 1 = 0.
B.2. 1. 3,12. 4. a = —0,5; b = 2; с = 1. 5. {(2; 3);(3; 2); (—2; —3);
(—3; —2)}. в. an = I7n — 141; S n = 17'г ~ 265„ . „ = 7. 7. 4,3- 0,41 >
> l,3-o-42. 8. 60 (кл/ч). 9. 0,63.
185

36. я քЗя nk 4я 1
7. я; 8. а) | — + — k £ Z j; б) | — 2 ± ֊ + ink k 6 Z j. 9.
2
= ± •—?=■; а может лежать во II или IV четверти; sin a < 0 при а , лежащем
У 5
зх зт/շ зх jx/s ( Jt !
в IV четверти. 10. а) — + — < х < — + — , k £ Z ; б) | — — --2nk | k£Z |.
186
В .!. 1. 0,(63). 3. а) 5; б) —5; в) —. 4. Д а! ых = 2, ип+1 — Зи„ при
О
л > 1. 5. Да, 1. 6. 2,369. 7. 4,8 (л2) < 5 < 8,4 (л!2). 9. а) 4, 2, 7, 3; б) 1,
4, 3. !0. ху = 12,15 ± 3,645= 12 ± 4; — = 15 ± 4,5 = 15 ± 5.
У
В.2. 1. —. 3. а) 3; б) 0; в) —2. 4. 2 / 2 . 5. Нет. 6. 0,029. 7. 0,7 <
3
< с < 1,4. 9. а) 0,01; 0,004; б) 0,01 •105; 0,003. 10. х + у = 438,3± 0,4;
х _ у = 310,5 ± 0,4.
ПР-4
B .l. 1. [—0,5; 1]. 2. 6. 3. 4. 5. у = —4* — 4. 6. 9ха — 9л:. 7. g ' (/) =
= / Г Г Г Ч т = = g '(3 )~ 2.75. 9. Убывает на [0; 1]; возрастает на [1;
2 14՜ 1
1 1
оо[. 10. Минимум в точке — ; максимум в точке — —.
О О j
В.2. 1. [— 1; 0,5]. 2 . - 2 . 3. —6. 5. у = 2 * — 1. 6. 5х — 5л:4.
2 — у I
7. — :— — ; 0. 9. Возрастает на ]—оо ; оо[. 10. Максимум в точке —.
2у2 / у — 1 4
ПР-5
B .l. 1. —0,8; 0,6. 2. 0 ; —1. 3. ± — -- 4. 0. 6.cos 350° • sin գ < 0 .
7. Например, / (х) = х3. 8. 0. 9. 0 и — 1. 10. 0,75. 11. 0. 12. 2 sin (a — fi)x
Xcos (a + թ).
В.2. 1. —0 ,6 ;—0 ,8 .2 . 0; 1. 3. ± 0 ,5 .4 . 2,5 sin 2a. 6 . sin ֊ • cos 250c<
О
2
< 0. 7. Например, / (x) = x3. 8 . 1.9. —1 и 0. 10. — —. 11. —1. 12. 2 sin (a +
О
+ թ) sin (a — թ).
ПР-6
4
B.l. 1. a) — 2cos(4 — 2x); 6) — - . 2. —1. 3. y " = —3y. 4. а) Сжа-
sin2 (2x + 2)
тие к оси Оу в отношении 1:0.5; б) параллельный перенос г ; Oj; в) ежа-
3lk
тие к оси Ох в отношении 1:3. 5. — 0,5, а = £ — , k £ Z . 6. sin 4; sin 9; sin 8.
с , - - 1
sin a =
ПР-3
2
i

37. В.2. 1. а) — 2sin4x; б) — ----------------- . 2. 1,5. 3. у = A cos (0,5/ + q>).
*փ + ք )
4. у = 3 cos (1,5л:+ 3). 5. — 1. 6. а) 0; б) 1. 7. а) — — б) — 8. а) ( б +
2 О Լ
+ ( - D ft ■ ֊ + 3 n k k t z } - , б)| ± у + ֊ у A g z J . 9.c tg a = ± 2 > /T ; a
лежит в 1 или 11 четверти; ctg a < 0при а ,лежащем во IIчетверти. 10. а) 0 ;
п nk n n k
б) - - + Y < х < 8 + 2 ' е
ПР-7
B.l. 1. Да. 2. — — -— (22Х — 1). 3. а) — + 4 [ & + С; б) — 0,5cos(2x—
2 In 2 3
X
_ 3 ) — tgx + C. 4. 0,2. 5. 1; 2. 6. 12,4. 7. sin x2; 3 + j" sin I2 dt. 8. 1 + 2t +
0
+ T—in'- »• s.(ft « -!(» •+ (}) + ( ֊) + - +(?£T lL>)‘-Ի * ~
0
= 6,4. 10. In 2.
2X
B.2. 1. sin (x2 — 3) + C. 2. а ) —— + C; 6) 2 sin (0,5* — 1) — ctgx + C.
ln22
1 4 1
3. ֊I n (2x —1) + 2. 5. —. 6. 18,6. 7. — —; 0. 8. 0; ֊4 . 9. 2. 10. 26.
2 3 3
ПР-8
В .,. 2. ] j ; I [. 3. & « + — ■ 4. , = 1. S. ֊ ֊ « - “ + } « - ’ ■ e. 7; 3.
7. ]— oo; 4 [ Ա] 4; oo[. 8. у = 0,7е~՜2*. 9. Минимум в точке 1; максимум в точ­
ке — 1. 10. Убывает на [0; 1]; возрастает на ]1; оо[. D (<р) = [0; оо[.
В.2. 2. ] —оо; 1[1П1; оо[. 3. — 8 In 10 • 1 0 ՜ ^ + ֊. 4. 1. 5. — l n x + 1.
х 2
6. log3 2 ~ 0,631. 7.' D(y) = ]0; оо[; у' = — л х ~ л՜ 1 + е х е~ 8. у' = In 0,5 • у-
1
9. Ветвь гиперболы у = —, лежащая в I координатной четверти. 10. Убывает
х
на ]0; е—1[ и на [ 1; е]; возрастает на [г- 1 ; 1] и на [е; оо[.
I

38. УКАЗАТЕЛЬ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА, СООТВЕТСТВУЮЩЕГО СОДЕРЖАНИЮ
САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ И КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
С-1, ДС-1 пп. 75, 76 С-28, ДС-28 п. 120
С-2, ДС-2 пп. 77, 78 С-29, ДС-29 п. 120
ДС-3 пп. 79, 80 С-30, ДС-30 п. 122
С-3 п. 80 С-31, ДС-31 п. 122
С-4 п. 81 С-32, ДС-32 Приближенные
ДС-4 п. 82 вычисления
С-5, ДС-5 п. 83 С-33, ДС-33 Логарифмическая
С-6, ДС-6 п. 84 линейка
С-7, ДС-7 п. 85 С-34, ДС-34 Преобразования;
С-8, ДС-8 пп. 86, 87 дроби
С-9, ДС-9 п 88 С-35, ДС-35 МП*— 6, 7, 8
С-10, ДС-10 п. 89 С-36, ДС-36 МП— 10
С-11, ДС-11 п. 90 С-37, ДС-37 МП— 11
С-12, ДС-12 п. 91 С-38, ДС-38 МП— 12
С-13, ДС-13 п. 92 С-39, ДС-39 МП— 13
С-14, ДС-14 п. 93 С-4Э, ДС-40 МП— 13, формула
С-15, ДС-15 п 94 Ньютона
С-16, дс-16 п 95 С-41, ДС-41 МП—14
С-17, ДС-17 пп. 97, 98 С-42, ДС-42 МП—15
С-18, ДС-18 п. 99 С-43, ДС-43 МП—16
С-19, ДС-19 пп. 100, 101 С-44, ДС-44 МП—16
С-20, ДС-20 пп. 103, 105 К-1, ДС-45 § 15, 16
С-21, ДС-21 п. 106 К-2, ДС-46 § 17
С-22, ДС-22 п. 108 к-з, ДС-47 § 18
С-23, ДС-23 п. 109 к-4, ДС-48 Глава VII
С-24а, б, ДС-24 п. 111 К-5, ДС-49 § 21
С-25, ДС-25 п. 113 К-6, ДС-50 § 22
С-26, ДС-26 пп. 113, 114 К-7, ДС-51 Глава VIII
С-27, ДС-27 пп. 115, 116 К-8, ДС-52 Повторение
* Материал для повторения

39. ОБОЗНАЧЕНИЯ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В ПОСОБИИ
всех натураль-
Z
Zo
Q
R
R +
R2
N — множество
ных чисел
— множество всех целых чисел
— множество всех неотрица­
тельных целых чисел
— множество всех рациональ­
ных чисел
— множество всех действитель­
ных чисел, числовая пря­
мая
— множество всех положитель­
ных действительных чисел
— числовая плоскость
[я; 6]— замкнутый промежуток
(отрезок) с началом а и
концом b, а < b
]а; ԵԼ— открытый промежуток (ин­
тервал) с началом а и кон­
цом Ь, а < Ь,
]а; ծ], [а; ԵԼ — полуоткрытые проме­
жутки с началом а и
концом b, а < b, b — а
длина промежутка с кон­
цами а и Ь
]а; оо[, [а; со[, ] — со; й], ] — оо; ծ [ -
бесконечные промежут­
ки, лучи числовой пря­
мой
] — со; оо[ — бесконечный проме­
жуток, числовая прямая
— знак следования
— знак равносильности
— знак принадлежности
— число п принадлежит
множеству натуральных
чисел N
— знак включения
— множество С включе­
но в множество D, или С
есть подмножество множе­
ства D, или множество D
содержит множество С
(J — знак объединения
С լ) D — объединение множеств С
и D
€
п € N
а
С cz D
а — обозначение вектора
а(*о! Уо)— вектор, отображающий
точку (0; 0) в точку (%; у0).
Числа х0, у0 называются
координатами вектора а
]а — е ; а + 8 [ — е-окрестность точ­
ки а
{а; Ь; ...} — множество, состоя­
щее из элементов
а, Ь, ...
(а; Ь) — упорядоченная пара
(а; Ь с) — упорядоченная
тройка. Если а, Ь, с
попарно различные,
то (а; Ь), (а; Ь; с) обо­
значают также упо­
рядоченные множе­
ства
— «-факториал — произведение
первых п натуральных чисел
— число перестановок из п
элементов
— число размещений из п по т
—• число сочетаний из п по т
п
Рп
д т
л п
րէՈ
ип
[Л В] отрезок прямой с концами
Л и В
(АВ) — прямая, проходящая через
точки А к В
АВ — длина отрезка [Л В]
АВ — вектор, отображающий точ­
ку Л в точку В
[х] — целая часть числа х
{.х} — дробная часть числа х
х — модуль (абсолютная величи­
на) числа х
(хп), (ап), (/„) — бесконечные после­
довательности
lim хп = а — число а является
П-»СО
f(x) — значение функции / в точ­
ке х
D{f) — область определения функ­
ции {
189
♦

40. E(f) — множество значений функ­
ции ք
Дх — приращение переменной х
Дf(x0), Д/ — приращение функции /
в точке х0
lim f (х) = b — число b является
х-*а
пределом функции / при х,
стремящемся к а
I' W — производная функции ք в
точке х0
ձ АОВ — угол АОВ
Rq — поворот плоскости (луча,
вектора) на угол а вокруг
точки О. Если О — начало
координат, то просто: R^
sin — функция синус
cos ֊ функция косинус
tg — функция тангенс
ctg — функция котангенс
ехра — показательная функция с
основанием о
е — число е, основание показа­
тельной функции, для ко­
торой (ех)' — ех
ехр — показательная функция с
основанием г
loga — логарифм с основанием а
lg — десятичный логарифм
In — натуральный логарифм
(логарифм с основанием ё)
max / — наибольшее значение функ-
[з; Ь]
ции / на отрезке [а; ծ]
min ք — наименьшее значение функ-
1а; Ь]
ции ք на отрезке [а; ծ]
Г — знак интеграла
ь
j '/ ( x ) d x — интеграл функции ք в
а
пределах от а до ծ
arcsin— функция арксинус
arccos— функция арккосинус
arctg — функция арктангенс
arcctg— функция арккотангенс