Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.            Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

# խնդիրներ մաթեմատիկայից

364 views

Published on

խնդիրներ մաթեմատիկայից
http://matematika.advandcash.biz/mathematika-xndirner/

Published in: Education
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
Your message goes here • Be the first to comment

• Be the first to like this

### խնդիրներ մաթեմատիկայից

1. 1. M p s u n m i u n m i u u i m Ն Ո Ր Ը Լ Ա Վ Մ Ո Ռ Ա Ց Վ Ա Ծ Հ Ի Ն Ն է Ա. Ս. Մ ի ք ա յ ե լ յա ն Ե րևա նի թ իվ 32 մ ի ջ ն ա կ ա ր գ դ պ ր ո ց Հա յտ նի ճշմա րտ ությա ն դրսևորման մեկ օրինա կի մասին էխոսվում ստորև ներկա յա ցվող հոդվածում: Գ.Գ.Գևորգյանի և Ի.Վ.Միքայելյանի «777 խ նդիրներ մա թեմա տ իկա յից» գրքում, ա ռ ա ­ ջա րկվում է լուծել հետևյալ խնդիրը. Խ ն դ ի ր 1: Տ րվա ծ է ABC եռանկյունը (գծ. 1): AB , BC և CA կողմերի վ ր ա հ ա մ ա պ ա տ ա ս խ ա ն ա բ ա ր վ ե ր ց վ ա ծ են M, N և P կ ե տ ե ր ա յն պ ե ս , որ 2 ■A M = MB , 2 ■BN = NC , 2 •CP = PA : A -ն մ ի ա ց վ ա ծ է Л/֊ին, В ֊ն Я -ին, С ֊ն М ֊ին: Ա պ ա ց ո ւ ց ե լ, որ АХВХСХ ե ռ ա ն կ յ ա ն մ ա կ ե ր ե ս ը հ ա ր ա բ ե ր ո ւ մ է ABC ե ռ ա ն կ յա ն մ ա կ ե ր ե ս ի ն , ա յն պ ե ս ինչպ ես 1:7: (Տես  էջ 40 խ ն դ ի ր 324): в Գծ. 1 Գ .Ա .Տ ոնոյա նի « Մ ա թ ե մ ա տ ի կ ա կ ա ն ը ն տ ր ո վ ի թ ե ո ր ե մ ն ե ր և խ ն դ ի ր ն ե ր » գ ր ք ի տ ր ա մ ա բ ա ն ա կ ա ն բա ժնում ա ռա ջա րկվում է լուծել հետևյալ խնդիրը. Խ ն դ ի ր 2: Կ ա ղ Ս ի լվ ե ս տ ր ը և վեց ծ ո վ ա հ ե ն ն ե ր , ո ր ո ն ք կ ե ն դ ա ն ի էին 30
2. 2. ԱՐՏԱԴԱԱԱՈՄԼւե'Կն!1ւ մ ն ա ց ե լ մ ա ր տ ի ց , բ ա ժ ա ն ո ւ մ են ա վ ա ր ը : Ն ր ա ն ք պ ե տ ք Է բ ա ժ ա ն ե ն ե ռ ա ն կ յ ո ւ ն ա ձ և ո ս կ յա թ ի թ ե ղ ը ա յ ն պ ի ս ի մ ա ս ե ր ի , ո ր ո ն ց մ ա կ ե ր ե ս ն ե ր ը (կա մ կշիռները) հ ա ր ա բ ե ր ե ն , ի ն չպ ե ս 5:5:5:3:1:1:1: Ե ր կ ա ր վիճ ելո ւց հ ե տ ո Ս ի լ վ ե ս տ ր ը կ ա ց ն ի ե ր ե ք հ ա ր վ ա ծ ո վ կ տ ր տ ե ց թիթեղը: Ի նչպ ե՞ս նա ա յդ ա րեց: (Տես  Էջ 163 խ ն դ ի ր 68): Ա րտ ա քինից իրա ր հետ ոչ մի նմա նություն չունեցող այս խ նդիրները, բովա նդա կա յին ա ռումով ըստ Էության միևնույն փ ա ս տ ի տ ա րբեր մոտ եցումներ են, մեկ տ ա րբերությա մբ, որ խ նդիր 1-ում ձևա կերպ ումն ու պ ա հա նջը խ իստ կոնկրետ են, մինչդեռ խ նդիր 2-ում պ ա հ ա ն ջ վ ա ծ բա ժա նումը ըստ Էության ծ ա ծ կ վ ա ծ Է ա նորոշությա ն ք ո ղ ո վ չբա ցա ռելով ա յդպ իսի բա ժա նմա ն ոչ միակությունը: Խ ն դ ի ր 3: ABC ե ռ ա ն կ յ ա ն AB , BC և CA կ ո ղ մ ե ր ի վրա , հ ա մ ա պ ա տ ա ս խ ա ն ա բ ա ր , վ ե ր ց վ ա ծ են R, P եւQ կ ե տ ե ր ն ա յն պ ե ս , որ RB CP QA AR B P ՜ CQ ՜ ( 1) (տես գծ. 2): Գտնել ARM, EQC, BNP և M N E չորս եռանկյունների, ինչպես նաև AMEQ, PNEC, BNMR երեք քա ռա նկյունների մա կերեսները, եթե հա յտ նի Է, որ ТшЬ.АВС = Տ0: Լ ո ւ ծ ո ւ մ : Ն շա նա կենք AR ֊ X , BP = у ; CQ = z : (1)-ից հետ ևում Է RB = x ; P C - Х у ; QA =Xz : Հետ և ա բ ա ր Մ ա կճ/1 /? ^ ք= 5 1; ՄակABNP = Տշ; ՄակACEQ = s3, Шх^А MNE = s0 Մակ AMEQ = s4; Մակ PNEC = s5 Մակ RMNB = s6: Տ ա նենք RK // PD // AC (տես գծ. 2): В Գծ. 2 31
3. 3. ա՜>տսԴե՝ւ1սոտւ1!Կս1է Այժմ ըստ հերթա կա նությա ն, DBP և ABC . ա յնուհետ և ADP և ARK ինչպես նաև R M K և AMC նմա ն եռա նկյունների զույգերից կ ս տ ա ն ա ն ք Ш) ADPB ֊ A A B C = * ֊ = — = — = — —i Z = Я+ 1, DB = — = лг,DP = — = z DB DP BP у A +1 A+l Բ) AAPK ~ A ADP => — = ֊ ֊ = A,>քա նիոր= A S - DB = Xx, ուստի RK = — = —. RK AR A A Գ) ARMK ֊ A AMC => ЯЛ/ :M C = R K :A C = ֊ :AA+ : Ճ ա 1 . — „ . „ , 2 , , D 1 , _ D J / n 2 ______________ < RM 1■RC = MC+ RM = R M (2+ճ ) + RM = RM(X2+A + 1) կամ ж : aaa + i ; /гс a2+ a + i Մյուս կողմից Մակձ/Ա1?^ _ ЛЯ _ 1 Մակճ АВР _ BP _ 1 ՄակճՏ(?ճ՛ _ CQ _ 1 Մ ա կճ ABC АВ А+ Г JmAABC ВС A+ l ’ UmAABC AC A+ l ’ որտեղից՝ С Մ ա կ ճ ARC = Մ ա կճ АВР = Մ ա կ ճ BQC = ------— • ГА + ) ■ Միևնույն ժա մա նա կ' JiiAARM _ RM _ 1 1шАARC ~ ЯС ~A2+ A + l ’ որտ եղից և կ ս տ ա ն ա ն ք * = (A+ 1)(A +A + 1) Կա նգուն դա տ ողություններ կա տ ա րելով այս ա նգա մ ABNP ֊ի և ACEQ -ի նկա տ մա մբ տա նելով, հ ա մ ա պ ա տ ա ս խ ա ն ա բ ա ր PP'WQQ'WAB և QQ"RR'BC , կստ ա նա նք տ„ , 1 2 " * ! ~ ( А + 1) Д 2 + * + 1) : (2) Այժմ ա րդեն դժվա ր չէ տեսնել, որ 32
4. 4. ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ մ ն ա ց ե լ մ ա ր տ ի ց , բ ա ժ ա ն ո ւ մ են ա վ ա ր ը : Ն ր ա ն ք պ ե տ ք է բ ա ժ ա ն ե ն ե ռ ա ն կ յ ո ւ ն ա ձ և ո ս կ յա թ ի թ ե ղ ը ա յ ն պ ի ս ի մ ա ս ե ր ի , ո ր ո ն ց մ ա կ ե ր ե ս ն ե ր ը (կա մ կշիռները) հ ա ր ա բ ե ր ե ն , ի նչպ ե ս 5:5:5:3:1:1:1: Ե ր կ ա ր վ իճ ելո ւց հ ե տ ո Ս ի լ վ ե ս տ ր ը կ ա ց ն ի ե ր ե ք հ ա ր վ ա ծ ո վ կ տ ր տ ե ց թիթեղը: Ի նչպ ե՞ս նա ա յդ ա րեց: (Տես  էջ 163 խ ն դ ի ր 68): Ա րտ ա քինից իրա ր հետ ոչ մի նմա նություն չունեցող այս խ նդիրները, բովա նդա կա յին ա ռումով ըստ էության միևնույն փ ա ս տ ի տ ա րբեր մոտ եցումներ են, մեկ տ ա րբերությա մբ, որ խ նդիր 1-ում ձև ա կերպ ումն ու պ ա հա նջ ը խ իստ կոնկրետ են, մինչդեռ խ նդիր 2-ում պ ա հ ա ն ջ վ ա ծ բա ժա նումը ըստ էության ծա ծ կ վ ա ծ է ա նորոշությա ն ք ո ղ ո վ չբա ցա ռելով ա յդպ իսի բա ժա նմա ն ոչ միակությունը: Խ ն դ ի ր 3: ABC ե ռ ա ն կ յ ա ն AB , BC և CA կ ո ղ մ ե ր ի վրա , հ ա մ ա պ ա տ ա ս խ ա ն ա բ ա ր , վ ե ր ց վ ա ծ են R, P եւ Q կ ե տ ե ր ն ա յն պ ե ս , որ (տես գծ. 2): Գտնել ARM, EQC, BNP և M N E չորս եռանկյունների, ինչպես նաև AMEQ, PNEC, BNMR երեք քա ռա նկյունների մա կերեսները, եթե հա յտ նի է, որ Մ ա EABC ֊ Տ0: Լ ո ւ ծ ո ւ մ : Ն շա նա կենք AR = X , B P - y ; CQ = z : (1)-ից հետ ևում է RB = X x P C = X y ; QA = Xz : Հետ և ա բ ա ր Մ ա կ ճ A R M = 5,; Մ ա կ ճ BNP = s21 Մ ա կճ CEQ = 53. Մ ա կճ MNE = Sq; Մ ակ AMEQ - տ4 Մ ա կ PNEC = տ5 Մ ակ RMNB = տ6: Տ ա նենք RK // PD // AC (տես գծ. 2): RB CP QA A R ՜ B P ՜ C Q ՜ ( 1) В Q Z Գծ. 2 31
5. 5. Ա ո Տ Ա Դ ւ ա Ա Ր Ա ՚ Ա Ա ւ յ Ա է է 50 , , , 50 2^0 50(А2 + А -1 ) 54= т;— : : ՜ ( 51+ 5յ) = - ՜ ---------------------- (A + l) (A + l) (A + 1)(A2 + A + 1) (A + 1)(A2 + A + 1) ' Ուստի 5 0(Л2+ А ֊1 ) Sa ~ S5 ֊ S6 ֊ (?1+!)(Х2+ Ш ) : (3) (2)-ից և(3)-ից կ ստ ա նա նք Տ „ ( ճ ՜ 1 ) յ s° = 0^N Ty(4) Խ նդիր 3-ը լուծվա ծ Է: Երբ А = 1(4)фд կ ս տ ա ն ա ն ք տ0 = 0, որը հնա րա վոր Է M; N; Е կետ երի հա մընկնելու դեպ քում (եռւսնկյան երեք միջնա գծերը հա տ վեցին մի կետում, բա ցի այդ, ն ր ա ն ք իրենց _ _ _ _ _ _ հ ա տ մ ա ն կ ե տ ո ւմ ե ռ ա ն կ յո ւն ը տ ր ո հ ե ց ի ն վ ե ց «у, - տ2 - տ3- տ4 - տ5 - տ6 - — RM 1 1 հ ա վ ա ս ա ր ա մ ե ծ մա սերի, իսկ իրենք բա ժա նվեցին R(~, ՜ յ գ լ + լ յ ՜ շ հա րա բերությա մբ մա սերի հա շվա ծ գա գա թից): Տ 35 Երբ A = 2 , (4)-ից կ ս տ ա ն ա ն ք տ0 = — = ՜^ յ՜ Ւ^ԴԻՐ "՝՜ն): 5 55 Այնուհետև (2)-ից և (3)-ից Տյ = տ2 = տ3= ; 54 = 55= տ6 = ~ : Հետ ևա բա ր՝ տ4 :տ5:տ6 :տ0 :5, : տ2 :53= 5:5:5 :3 :1:1:1: (տ ես խ նդիր 2-ը): Ամենայն հա վա նա կա նութ յա մբ Ա իլվեստրը ABC եռա նկյունա ձև ոսկյա թիթեղը կա ցնի երեք հ ա րվա ծով բա ժա նել Է յոթ մա սի տ ա նելով CM, ANx Տ /^գծերը (տես գծ. 1-ը): Ը նդհա նուր դեպ քում (2)-ից, (3)-ից և(4)-ից կստ ա նա նք' տ4:5fl :5] = . 50(A + 1)(A֊1)- :----------Տհ ---------- = (я2 +х_1) :(А+ 1)(А֊1)2:1 (А 4՛ 1)(А" + А +1) (А + 1)(А՜ + А +1) (А + 1)(А՜ + А +1) Տ ա լով А ՜ին ա րժեքներ' կ ս տ ա ն ա ն ք եռա նկյունա ձև ոսկյա թիթեղի բա ժ ա ն մ ա ն այլ հա րա բերություններ: Օ րինա կ 33
6. 6. ■ Ա ր Տ Ա Դ Ա Ա Ա Ր Ա ն Ա Կ Ա է է Л = 3; տ4 ^ 3 2 + 3 -1 = 11; 50 -»(3 + 1КЗ֊1)2 =16=» 11:11:11:16:1:1:1; А = 4 ; s4 —> 42 + 4 - 1 = 19; S q —^ (4 + 1)(4 —I ) 2 = 45 => 19 :1 9 :1 9 :4 5 :1 :1 :1 * Ուստ ի այս ա նգա մ կ ս տ ա ն ա ն ք q(p2+pq-q2):q(p2 + pq-q2) q{p2+ p q ֊q 2){p + q ){p ֊q )2 :q3 : q3 : q3; Օ րինակ' p = 3 ; q = 2 => s4 : s5 : s6 : -s0 : : s2 : s3 = 22 :22 :22 :5 :8 :8 :8 Խ նդիր 3-ի լուծման վերը նշվա ծ մեթոդը, որի հիմքում ընկա ծ Էր CR,APx £<Ձուղիղները իրենց հ ա տ մա ն M, N և £ կետ երում բա ժա նվում Էին հա րա բերությա մբ մասերի, որն Էլ հա շվա րկվում Էր R, £և (Չ բա ժա նմա ն կետ երով եռա նկյան կողմերին զուգա հեռ ուղիղներ տ ա նելով օրին ա կ RK || DP || AC , թույլ Է տ ա լիս լուծելու նրա ընդհա նրա ցվա ծը: Խ ն դ ի ր 4: ABC ե ռ ա ն կ յ ա ն կ ո ղ մ ե ր ը R; P; Q կ ե տ ե ր ո վ բ ա ժ ա ն վ ա ծ Է BR , CP AQ _ A R ՜ ' B P ՜ ^ ’ QC ( } հ ա ր ա բ ե ր ո ւ թ յ ա մ բ մ ա ս ե ր ի (տ ե ս գծ. 3-ը): Գ տ ն ե լ ա ռ ա ջ ա ց ա ծ ARM, EQC, BNP ե MNE չորս ե ռ ա ն կ յո ւն ն ե ր ի և AMEQ, PNEC, BNMR երեք ք ա ռ ա ն կ յ ո ւ ն ն ե ր ի մ ա կ ե ր ե ս ն ե ր ը , եթե հ ա յտ ն ի Է Մակճ ABC = SQ: R M : M C = P N : NA = QE: ЕВ = 1-Հճ2 + X) В Գծ. 3 34
7. 7. Unsunmupwxtimai Լ ո ւ ծ ո ւ մ Նշ. AR = х,ВР = у; CQ = z ( Դ ի ց ВР = Хх, С P = [iy ; AQ = v z => AB = (A + 1)лг; CB = (i + ) -у ; A C = (v + l) z : Տ ա նենք R K D P A C : A B D P ~ A A B C ^ = ^ = ^ = b ^ = (» + l), DB DP BP у , AB (A + l) * nn AC {v+ l )z որտ եղից DB = -------- = ;D P - ------r = —— — : (ц + 1) (ц + 1) Ц+ 1 (ц + 1) a adit л лnr> AD DP (A + l) x ц(А + 1);г A ARK ~ A A D P ^ — - = —— որտ եղ AD - A B -D B = (X + l) x — - — = ֊— AR RK (Ц+ 1) (ц + 1) <^+1) Ո Ծ - ( ^ +1) (v+ )z _ {v + )z, DP )J-(A + 1) , , o r- _ IM- + v ™ _ 3Ի — = . .ո ր տ ե ղ ի ց ~ D P -ц(А + 1) ՜ ՜ ц(А + 1) (ք + l) ц(А +1) а п л г г ^ а , . / л R M RK { V + l ) z 1 A RMK ~ ААМ С = \$ ------= -------= — —— :{v+ 1)г = МС АС ц(А + 1) ц(А + 1 )’ RM 1 RC = МС+ RM = R M ц(Л +1) + RM = R M { + ц(А +1)) RC 1+ ц(А + 1)- Մյուս կողմից Մ ակճ ARC = ; Մ ա կ ճ ^ 5 /} = ֊ ֊ ^ ; Մակճ2?ՕՉ = ^ ^ (տես խ նդիր 3-ը): Մակճ ARM _ R M _ 1 Յետևաբւսր Մ ա կ ձ ARC ՜ RC - 1+ ц(Я + 1) ’ որտ եղից և Մ ա կ ճ А /2Л / = տ, = — : (5) 1 (А + 1)(1 + ц(А + 1)) Հւսնգունորեն կ ս տ ա ն ա ն ք Մ ա կ ճ B N P = Տ2 = 7֊ T T T T -b— 7Մ ; Մ ա կ ճ CEQ = Տ, = 35
8. 8. U P S U n ii l l U P U X i li l J l i t i Մ ա կ ճ AMEQ = Տ 4 = — ֊ (տ,+ Տ 3 ) = ֊ ^ ֊- Տո (A+1)(1 + |X(A + 1)) (v+ 1)(1 + A(v+ 1)) ц (^-+ 1) i) _ ձ>_________ ■?„ М-_______________S o ________ (Я + 1)(1 + м А + 1)) ( v + 1)(1 + Х (к + 1)) ՜ (1 + JLI(X+1)) ( v + l) ( l + A (v + l)) S 0(ji v + цЯ v 2 + 2|хХv ֊ 1) (v+ 1)(1+ цбА + 1))(1+ А(к+1)) (ц v + [ik v 2+ 2цА у - 1).Տ՛օ (А ц+А кц2 + 2A |iv 1)SC (к+1)(1 + Л(к+1))(1 + 1х(Л + 1 ))’ (ц + 1)(1 + к(ц + 1))(1 + ц(А + 1)) (6) (vA + v|j.A + 2 v A |+ -l)S 0 (А + 1)(1 + ц(А + 1))(1 + г(ц + 1 ) ) : s0 = Մ ա կ ճ APC - Մ ա կ PNEC- Մ ա կ AMEQ- Մ ա կ CEQ , բայց PC S ■u 9 9 Մ ա կճ APC = S0- — = . Մակ PNEC = ֊ (s2+ s3); Մակ AMEQ = ֊ ^ ֊ - (s, + s,) ВС (ц + l) ’ n k+ 1 3 ’ v A + l 3 Ուստի |x+l /9 9 Հ —^— (s, + s3) н- — (s, + s3) v + l 2 3 A + l 1 3 •s, = ^ - ^ - T^ + s1+ s 2+ s3 = |X+1 v+ A + 1 + Տդ v^ + 1 У ' S 0 v + l ■-S-, - s. У y X + l У *^0^ \$>______ jx + 1 (ր. + 1)(1 + v(jx +1)) v + l (v + 1)(1 + A(v + 1)) ’0 A +1 (A + 1)(1 + |+(A +1)) ճ՚օյւ 1+ v(jx + 1) 1+ A(v + 1) 1+ ц(А + 1) Որտեղից և կստանանք Տօ ՜ (1+ |X(A, + 1))(1 + ( Ц+ 1))(1 + A(v + 1)) (7) 36
9. 9. ԱրՏԱԴաԱՈԱէւԱԿւա Դ ի տ ո ղ ո ւթ յո ւն : Խ նդիր 4-ը և վերը ս տ ա ց վ ա ծ ա րդյունքները նույնպ ես նոր չեն: Հա մ.  Էջ 185 և 545 խ նդիր N 93: Ն կ ա տ ե ն ք հետ ևյալը (5), (6), (7) բա նա ձև երի ս տ ա ց մ ա ն հա մա ր, որպ ես ելա կետ ընդունվել Է գծ. 3-ը, ո ր տ ե ղ հա րա բերութ յունները հ ա սկա ցվել են ոչ միա յն որոշա կի ուղղությա մբ օր ի ն ա կ գծ. 3-ում ա յդ ուղղությունը հա մընկնում Է ժա մա ցույցի սլա քի հա կա ռա կ ուղղությա ն հետ AQ —>QC —>СР -» РВ —>BR —>RA , այլ նաև այն հ ա ն գ ա ­ մա նքը, որ /Է/կետը գտ նվում Է £?<Չուղղի ստ որին (ձա խ) կիսա հա րթությունում: Օ րինա կ եթե B Q n АР = N և B Q n CR = E կետ երը գտ նվում են АРгл CR = M կետ ի ձ ա խ կողմում, տ ես գծ. 4-ը, ա պ ա խ նդիր 4-ում եղա ծ Sj,s2,s3,£4,s5,56 նշա նա կումները փ ոխ ում են իրենց բովա նդա կությունը, ուստ ի (5) և (6) բա նա ձևերը, որպ ես խ նդիր 2-ում նշվա ծ հա րա բերություններ չեն գործում: Հա սկա նա լի Է խ նդիր 4-ում տ ր վ ա ծ մոտ եցումը հնա րա վորություն Է տ ա լիս հա րցը լուծել նաև գծ. 4-ում ունեցա ծ դեպ քում: Այստեղ ա րդեն 5, = Մակճ ANQ ' Տշ = Մակճ BRE ՜' 53 = Մ ա Կճ РМС ՏՀ = Մակ QNMC : 55 = Մակ ВЕМР Տ6 = Մակ ANER Տ ա նելով' PP'WBQ և դ ի տ ա ր կ ե լո վ 'A P P 'C ֊ ABQ C և AANQ ֊ AAPP' նմա ն r , rru ս ս , r г ^ = ON Кц + 1) . ON [IV .եռա նկյունների զույգերը կ ստ ա նա նք D/n ,, , , -— = -------------- =>----- - = --------------- . 1 4 J 4 I L B Q H+ 1 P F 1+ v(|u.+ 1) BQ l + K l^ + l) v S r . v 2 թ-Տ՚օ Մյուս կողմից' Մ ա կ ABO = — - >որտ եղիցևստ ա նումենք = -— — — , տ ես 4 F+1 (к+1)(1 + г(ц + 1)) գծ. 4-ը: Ընթերցողներին ենք թողնում հա մոզվելու X 2 v S 0 Ц2Х Е 0 Տշ՜ ( ձ + 1)(1+ X(v+ 1)) ՚ 53 ՜ (X+ 1)(1+ ц(Л + 1)) : ) Ինչ վերա բերվում Է (7)-ով ներկա յա ցվ ող տ0-ին, ա պ ա ա յն ուղղությա ն պ ա հ պ ա ն մ ա ն դեպ քում AQ —»QC —>СР —>РВ —>BR —»RA պ ա հպ ա նվում Է: (Ստուգել տ0 = Մ ա Կ ա ^ ^ 6 = (Л + 1)(1+°ц(Я, +1)) ՜ ^Մ ա Կ />kABQ ՜ 5ւ ՜ 52) = __________ (ЛцF—1)2Տ(]__________ (1+ ц(Л + 1))(1+ к(ц + 1))(1+ Л(к + 1)) Միևնույն ժա մա նա կ (7) բա նա ձևից ստ ա նում ենք CR, АР, ВО երեք ուղիղների միևնույն կետ ում հա տ վելու ա նհրա ժեշտ և բ ա վա րա ր պ ա յմա նը: Այն Է М, Ц Е կետ երը կհա մընկնեն այն և միա յն այն դեպ քում, երբ տ0 = 0 , որն Էլ հ ա մ ա ր ժ ե ք Է, երբ Xiv = 1, կա մ որ նույնն Է 37
10. 10. Upsun uiiunuuuими BR CP AQ _ AR BP Q C ՜ [Տես  էջ 320, Չևայի թեորեմը]: Ընթեթցողներին, որպ ես նոր խնդիր, ա ռա ջա րկվում է լուծել խ նդիր 5-ը: Գծ. 4 Խ ն դ ի ր 5: Տ ր վ ա ծ է ABC ո ւ ղ ղ ա ն կ յ ո ւ ն ե ռ ա ն կ յո ւ ն ը , ո ր ի հ ա մ ա ր A B = 90° և ճ-4 = 60°: С գ ա գ ա թ ի ց տ ա ր վ ո ւ մ է CM մ ի ջ ն ա գ ծ ի ր ը , -4-ից Aլ կ ի ս ո ր դ ը , ի ս կ £ -ի ց BH բ ա ր ձ ր ո ւ թ յո ւ ն ը : ա ) Ա պ ա ց ո ւց ե լ, որ C M , AL և B H գ ծ ե ր ո վ ա ռ ա ջ ա ց ա ծ PRQ ե ռ ա ն կ յա ն մ ա կ ե ր ե ս ը , ո ր տ ե ղ p = CM cAL', R = B H n C M և Q = A L n B H , հ ա ր ա բ ե ր ո ւ մ է ABC ե ռ ա ն կ յ ա ն մ ա կ ե ր ե ս ի ն , ա յն պ ե ս ի ն չ պ ե ս 1:210: բ) В գ ա գ ա թ ի ց տ ա ր վ ա ծ BF ո ւ ղ ի ղ ը հ ա ր ա բ ե ր ո ւ մ է A S -ի ն ի ն չ պ ե ս V7: 2; Գ տ ն ե լ Մ ա կ ճ P R 'Q ՛:Մ ա կ ճ А В С -Կ, ո ր տ ե ղ Q'= B F n A L ; R'= B F n C M : Ցուցում: (տես գծ. 5-ը) A Գծ. 5 ա) = X = 1, — ֊ = ււ = 2, — - = V= - : (Սա կա րելի է լուծել նաև օգ տ ա գ ո ր ծ ե լո վ A M BL НС 3 կիսորդի հատկությունը): բ) B F : AB = : 2 ֊ից ստ ա նում ենք AF :FC = v = 3: Դ ի տ ո ղ ո ւթ յո ւն : Եթե հա յտ նի է (*) AB :ВС :СА = с :a :b , որ տ ե ղ max(a;£;c) = b : 38
11. 11. U n s u n u i i u p u i t u w i i Ապա В գա գա թից տ ա րվա ծ է B H բարձրությունը, հա տ վելով A և Сգա գա թներից տ ա րվա ծ միջնա գծի և կիսորդի հետ, կա ռա ջա ցնի եռա նկյուն (AE M N ) կա մ կետ, որի մա կերեսի հա րա բերությունը տ ր վ ա ծ եռա նկյա ն մա կերեսին միշտ կա րելի է հաշվել: Բ ա վա կ ա ն է նկա տ ել, որ եթե օր ի ն ա կ CM ֊ը միջնա գիծ է, ա պ ա ճ = 1, A L -ը կիսորդ է' CL A C b _b_ L B ՜ А В ՜ с ' ((*) ֊Ի ց ունենք AB = с■к ; ВС = а- к; С А - Ь- к , որտ եղ к > 0 ): л л AfA — Այնուհետև, մի կողմից A H = AB- cos A , իսկ մյուս կողմից Օօտ ճ = -------------------------- 2A C -A B A C 2+ A B 2- B C 2 „ r r լո . A C 2+ В С 2֊ A B 2 որտ եղից և AH = ------------------------— : Կ ա նգունորեն' CH = 2AC 2 AC А Н A C 2+ A B 2- B C 2 _ {b k )2 + (ck)2 -(a k )2 _ b 2+ c2- a 2 CH ~ A C 2+ B C 2֊ A B 2 ~ (b k f +{ak)2~ {ck)2 " b2+ a2֊ c 2 1 Я 5-ում, փ ա ս տ ո ր ե ն ունենք A B : В С :СА = sin30°:sin60° :sin90° = - : — :1: Այնպես, որ 2 2 խ նդիրը նույն կերպ լուծվում է, եթե CM ֊ը լինի կիսորդ, իսկ AL ֊ը միջնա գիծ, կա մ նրա նցից յուրա քա նչյուրը լինեն միջնա գիծ կա մ կիսորդներ: Ընդհա նրա պ ես, եթե հա յտ նի է ABC եռա նկյա ն a և (3 անկյունները, ա պ ա մեծ ա նկյա ն գա գա թ ից տ ա ր վ ա ծ բարձրությունը հա տ վելով մյուս երկու ա նկյա ն գա գա թ ներից տ ա ր վ ա ծ կիսորդի և միջնա գծի (կամ միա յն կիսորդների (միջնագծերի) հետ) կա ռա ջա ցնի եռանկյուն (կամ կետ), որի մա կերեսի հա րա բերությունը տ րվա ծ եռա նկյա ն մա կերեսին միշտ կա րելի է հաշվել: Վերջինս հետևում է սինուսների թեորեմից. a :b :c = sina:sin(3:siny = ВС :A C : AB , ո ր տ ե ղ .siny = sin^a + (Յվ: 39
12. 12. T i p S U T U liU P U h li Կ Ш 1 ՕԳՏԱԳՈՐԾՎ ԱԾ ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ  Լ.Ս.Ա թանասյան և ուրիշներ «Երկրւսչափություն 6-8», Երևան, 1996թ.:  Գ.Գ.Գևորգյւսն, Ի.Ի.Միքայելյան «777 խ նդիրներ մա թեմա տ իկա յից» , Երևան, 1975թ.:  Գ.Ա.Տոնոյան «Մ աթեմատիկական ընտ րովի թեորեմներ և խնդիրներ», Երևան, «Լույս», 1970թ.:  П.С.Моденов “Сборник задач по специальному курсу элементарной математики” . Москва, Высшая школа, 1960г. ԽՆԴԻՐՆԵՐ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅՈՎ ԶԲԱՂՎՈՂՆԵՐԻ ՀԱՄԱՐ 1. а ֊ի ո՞ր ա րժեքների դեպ քում 4х + 2 - a-2Xsinnx հա վա սա րում ունի ճիշտ մեկ լուծում: 2. Լուծել հա վա սա րումը 2 x 2+ lo g ^-f 2 x - x 2)= 4 + x 4: 3. 1 երկա րությա մբ հ ա տ վ ա ծ ի վրա մի քա ն ի հա տ վա ծ ներ ներկվա ծ են ա յնպ ես, որ ց ա ն կ ա ց ա ծ երկու ներկվա ծ կետ երի հեռա վորությունը հ ա վա սա ր չէ 0,1 ֊ի: Ապացուցել, որ ներկվա ծ բոլոր հա տ վա ծների երկա րությունների գումա րը չի գերա զա նցում 0,5 ֊ը: 4. Գտնել բոլոր պ ա րզ թվերը, որոնց հնա րա վոր չէ ներկա յացնել երկու բա ղա դրյա լ թվերի գումա րի տ եսքով: 5. Ասում են, որ f ֆ ունկցիան a,b հա տ վա ծ ի վրա բա վա րա րում է Լիպ շիցի պ ա յմա նին, եթե ա յդ հ ա տ վա ծ ի ցա ն կ ա ց ա ծ x { և x 2 թվերի հա մա ր գոյություն ունի ա յնպ իսի с թիվ, որ f{x 2) - f { x x'<cx2- x x Ա պացուցել, որ ab հա տ վա ծում, Լիպ շիցի պ ա յմա նին բ ա վ ա ր ա ր ո ղ ֆ ունկցիա ն նաև ա նընդհա տ է: ճ ի ՞շտ է ա րդյոք հա կա դա րձ պնդումը: 40