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### 球面フィッティングの導出と実装

1. 1. 球面フィッテイングの 導出と実装 ロケット小僧 2018/2/20
2. 2. はじめに • 適当にやったから，合ってるかは保証できないです．
3. 3. やりたいこと • 球面に沿っているはずの３次元データから、中心と半径を求めたい 中心：(X0,Y0,Z0) 半径：r ロケットを飛ばして測定した 3次元地磁気データ(61800個)
4. 4. 最小二乗法 1. データ列がどんな関数に一致するかは知っている • 例:𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 2. 残差の二乗和でコスト関数を設定する． • 例:i番目のデータを(Xi,Yi)とするとき • Σ 𝑎𝑋𝑖 + 𝑏 − 𝑌𝑖 2とか y = 1.9524x + 0.2508 R² = 0.9912 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y=2x+1 + (-1から1までランダム)
5. 5. 最小二乗法 3. コスト関数が最小になるように係数を決定する． • 例なら，aやbで偏微分して0になるときの値 • 𝜕Σ 𝑎𝑋 𝑖+𝑏 −𝑌 𝑖 2 𝜕𝑎 = 0 のときのaの値 • 𝜕Σ 𝑎𝑋 𝑖+𝑏 −𝑌 𝑖 2 𝜕𝑏 = 0 のときのbの値 y = 1.9524x + 0.2508 R² = 0.9912 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y=2x+1 + (-1から1までランダム)
6. 6. 球面の関数 • 中心を(X0,Y0,Z0)とする半径rの球面の式 𝑥 − 𝑋0 2 + 𝑦 − 𝑌0 2 + 𝑧 − 𝑍0 2 = 𝑟2 • 右辺を左辺に移項 𝑥 − 𝑋0 2 + 𝑦 − 𝑌0 2 + 𝑧 − 𝑍0 2 − 𝑟2 = 0
7. 7. 𝑥 − 𝑋0 2 + 𝑦 − 𝑌0 2 + 𝑧 − 𝑍0 2 − 𝑟2 の意味 • 𝑥 − 𝑋0 2 + 𝑦 − 𝑌0 2 + 𝑧 − 𝑍0 2 − 𝑟2 = 0のとき 点(x,y,z)が球面上 • 𝑥 − 𝑋0 2 + 𝑦 − 𝑌0 2 + 𝑧 − 𝑍0 2 − 𝑟2 > 0のとき 点(x,y,z)が中心より離れすぎている． • 𝑥 − 𝑋0 2 + 𝑦 − 𝑌0 2 + 𝑧 − 𝑍0 2 − 𝑟2 < 0のとき 点(x,y,z)が中心に近すぎている．
8. 8. コスト関数 • 𝑥 − 𝑋0 2 + 𝑦 − 𝑌0 2 + 𝑧 − 𝑍0 2 − 𝑟2は正負の値を持つので， コスト関数には不適 • 二乗して和をとってコスト関数とする． • コスト関数 Σ{ 𝑥𝑖 − 𝑋0 2 + 𝑦𝑖 − 𝑌0 2 + 𝑧𝑖 − 𝑍0 2 − 𝑟2 } 2
9. 9. コスト関数の書き換え • コスト関数 Σ{ 𝑥𝑖 − 𝑋0 2 + 𝑦𝑖 − 𝑌0 2 + 𝑧𝑖 − 𝑍0 2 − 𝑟2 } 2 X0,Y0,Z0,rに関して4次関数 →偏微分して0でも最小とは限らない．
10. 10. コスト関数の書き換え • 書き換える 𝐹 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = Σ(𝑥𝑖 2 +𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 + 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑖 + 𝐶𝑧𝑖 + 𝐷)2 𝐴 = −2𝑋0 𝐵 = −2𝑌0 𝐶 = −2𝑍0 𝐷 = 𝑋0 2 + 𝑌0 2 + 𝑍0 2 − 𝑟2
11. 11. コスト関数が最小な条件を求める 𝜕𝐹 𝜕𝐴 = Σ2𝑥𝑖 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 + 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑖 + 𝐶𝑧𝑖 + 𝐷 = 0 𝜕𝐹 𝜕𝐵 = Σ2𝑦𝑖 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 + 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑖 + 𝐶𝑧𝑖 + 𝐷 = 0 𝜕𝐹 𝜕𝐶 = Σ2𝑧𝑖 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 + 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑖 + 𝐶𝑧𝑖 + 𝐷 = 0 𝜕𝐹 𝜕𝐷 = Σ2 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 + 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑖 + 𝐶𝑧𝑖 + 𝐷 = 0
12. 12. 行列にする Σ𝑥𝑖 2 Σ𝑥𝑖 𝑦𝑖 Σ𝑥𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑥𝑖 Σ𝑥𝑖 𝑦𝑖 Σ𝑦𝑖 2 Σ𝑦𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑦𝑖 Σ𝑥𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑦𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑧𝑖 2 Σ𝑧𝑖 Σ𝑥𝑖 Σ𝑦𝑖 Σ𝑧𝑖 Σ1 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 = −Σ𝑥𝑖(𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 ) −Σ𝑦𝑖(𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 ) −Σ𝑧𝑖(𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 ) −Σ (𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 )
13. 13. 行列にする 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 = Σ𝑥𝑖 2 Σ𝑥𝑖 𝑦𝑖 Σ𝑥𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑥𝑖 Σ𝑥𝑖 𝑦𝑖 Σ𝑦𝑖 2 Σ𝑦𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑦𝑖 Σ𝑥𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑦𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑧𝑖 2 Σ𝑧𝑖 Σ𝑥𝑖 Σ𝑦𝑖 Σ𝑧𝑖 Σ1 −1 −Σ𝑥𝑖(𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 ) −Σ𝑦𝑖(𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 ) −Σ𝑧𝑖(𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 ) −Σ (𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 ) A,B,C,DからX0,Y0,Z0,rが求められる．
14. 14. 実装してみた • Python + NumPy + matplot • SS_fit(data)に球面っぽいデータを与えると，中心と半径のベクトルを 返してくれる． • ソースコード https://github.com/J-ROCKET-BOY/SS-Fitting
15. 15. 実行結果 中心 X0 = 57.3 Y0 = -10.4 Z0 = 39.2 半径 r = 40.7
16. 16. 中心が原点になるように平行移動 原点(0,0,0)が中心っぽくなったし， たぶん合ってるんじゃないかな（適当
17. 17. 参考文献 「一般式による最小二乗法（円の最小二乗法）」-画像処理ソリューション http://imagingsolution.blog107.fc2.com/blog-entry-16.html 「月読アイの理系なお話『最小二乗法』」-ニコニコ動画 http://www.nicovideo.jp/watch/sm30270214