Fisica III

1. Y
X
X (X,2L)
E10
Ɵ
2l
X
E20
(L, L + Y)
y
(L+X,L)
X
E30
E40
y
(X,2L)
E 1.1.11. Una carga total Q<0 [C] se distribuye uniformemente entre los cuatro
alambres rectilíneos de longitud L
AB//CD//OE y BC//DE//OA. Calcule la magnitud y dirección del campo eléctrico en
el punto O. {2000/2}
I ) λ =
𝑄1
𝑙
=
𝑑𝑄1
𝑑𝑥
Q1 = Q2 = Q3=
𝑄
4
𝐸10 = 𝐾 ∫
𝑑𝑞 .^𝑟
𝑟3
𝐿
0
= 𝐸10 = 𝐾 ∫
λ dx (xi+2Lj)
[𝑋2+(2𝐿)2]
3
2
𝐿
0
𝐸10 = 𝐾𝜆 [∫
x dx
[ 𝑋2+(2𝐿)2]
3
2
𝐿
0
+ ∫
2L dx j
[ 𝑋2+(2𝐿)2]
3
2
𝐿
0
]
Tg Ɵ =
𝑋
2𝐿
x = 2LTg Ɵ
dx = 2L 𝑠𝑒𝑐2Ɵd Ɵ
𝑋2 = 4𝐿2 𝑇𝑔2Ɵ
𝐸10 = 𝐾𝜆 [∫
2LTgƟ .2𝐿𝑠𝑒𝑐2
ƟdƟ i
[4𝐿2
𝑇𝑔2
Ɵ + 4𝐿2]
3
2
26.56
0
+ ∫
2L .2L 𝑠𝑒𝑐2
Ɵd Ɵ
[4𝐿2
𝑇𝑔2
Ɵ+ 4𝐿2]
3
2
26.56
0
]

2. 26.56
0
26.56
0
Ɵ
( L+y )
L
𝐸10 = 𝐾𝜆 [∫
4𝐿2
TgƟ . 𝑠𝑒𝑐2
ƟdƟ i
[4𝐿2
(1 + 𝑇𝑔2
)]
3
2
26.56
0
+ ∫
4𝐿2
𝑠𝑒𝑐2
Ɵd Ɵ
[4𝐿2
(𝑇𝑔2
Ɵ+ 1)]
3
2
26.56
0
]
𝐸10 = 𝐾𝜆 [∫
4𝐿2
TgƟ . 𝑠𝑒𝑐2
ƟdƟ i
8𝐿3. 𝑠𝑒𝑐3Ɵ
26.56
0
+ ∫
4𝐿2
𝑠𝑒𝑐2
Ɵd Ɵ
8𝐿3. 𝑠𝑒𝑐3 Ɵ
26.56
0
]
𝐸10 = 𝐾𝜆 [∫
TgƟ . dƟ i
2𝐿. 𝑠𝑒𝑐Ɵ
26.56
0
+ ∫
d Ɵ
2𝐿𝑠𝑒𝑐Ɵ
26.56
0
]
𝐸10 =
𝐾𝜆
2𝐿
[∫ 𝑠𝑒𝑛Ɵ dƟ i
26.56
0
+ ∫ 𝑐𝑜𝑠Ɵ dƟ
26.56
0
]
𝐸10 =
𝐾𝜆
2𝐿
[(−𝑐𝑜𝑠Ɵ )i + ( 𝑠𝑒𝑛Ɵ ) 𝑗 ]
𝐸10 =
𝐾𝜆
2𝐿
{[−cos(26.56) − (−cos0) 𝑖] + [ 𝑠𝑒𝑛(26.56)− 𝑠𝑒𝑛0 ] 𝑗}
𝐸10 =
𝐾𝜆
2𝐿
[0.105𝑖 + 0.447 𝑗]
𝐸10 =
𝐾𝜆
𝐿
[0.053𝑖 + 0.2236 𝑗]
II )
𝐿+𝑌
𝐿
= Tg Ɵ
L Tg Ɵ -L = y
dY = L 𝑠𝑒𝑐2Ɵd Ɵ

3. L
2L
L
2L
𝐸20 = 𝐾 ∫
𝑑𝑞 .^𝑟
𝑟3
2𝐿
𝐿
= 𝐸20 = 𝐾 ∫
λ dy (Li+(L+y)j)
[𝐿2+(𝐿+𝑦)2]
3
2
2𝐿
𝐿
𝐸20 = 𝐾λ [∫
dy (L)i
[𝐿2 + (𝐿 + 𝑦)2]
3
2
2𝐿
𝐿
+ ∫
(L+ y)dy j
[𝐿2 + (𝐿 + 𝑦)2]
3
2
]
2𝐿
𝐿
𝐸20 = 𝐾λ [∫
L.L 𝑠𝑒𝑐2
Ɵd Ɵ i
[𝐿2 + (𝐿 + L Tg Ɵ − L)2]
3
2
2𝐿
𝐿
+ ∫
(L + L Tg Ɵ − L) L 𝑠𝑒𝑐2
ƟdƟ j
[𝐿2 + (𝐿 + L Tg Ɵ − L)2]
3
2
]
2𝐿
𝐿
𝐸20 = 𝐾λ [∫
𝐿2
𝑠𝑒𝑐2
Ɵd Ɵ i
[𝐿2 + (L Tg Ɵ )2]
3
2
2𝐿
𝐿
+ ∫
𝐿2 (Tg Ɵ ) 𝑠𝑒𝑐2
ƟdƟ j
[𝐿2 + (L Tg Ɵ )2]
3
2
]
2𝐿
𝐿
𝐸20 = 𝐾λ [∫
𝐿2
𝑠𝑒𝑐2
Ɵd Ɵ i
[𝐿2(1 + 𝑡𝑔Ɵ2
)]
3
2
2𝐿
𝐿
+ ∫
𝐿2 (Tg Ɵ ) 𝑠𝑒𝑐2
ƟdƟ j
[𝐿2(1+ 𝑡𝑔Ɵ2
)]
3
2
]
2𝐿
𝐿
𝐸20 = 𝐾λ [∫
𝐿2
𝑠𝑒𝑐2
Ɵd Ɵ i
𝐿3. 𝑠𝑒𝑐3Ɵ
2𝐿
𝐿
+ ∫
𝐿2 (Tg Ɵ ) 𝑠𝑒𝑐2
ƟdƟj
𝐿3. 𝑠𝑒𝑐3Ɵ
]
2𝐿
𝐿
𝐸20 = 𝐾λ [∫
𝑐𝑜𝑠ƟdƟ
𝐿
2𝐿
𝐿
+ ∫
senƟ dƟj
𝐿
]
2𝐿
𝐿
𝐸20 =
𝐾λ
𝐿
[∫ 𝑐𝑜𝑠ƟdƟ i
2𝐿
𝐿
+ ∫ senƟ dƟ
2𝐿
𝐿
𝑗]
𝐸20 =
𝐾λ
𝐿
[ 𝑠𝑒𝑛Ɵ + −𝑐𝑜𝑠Ɵ ]
𝐸20 =
𝐾λ
𝐿
[
( 𝐿+𝑦) 𝑖
√(𝐿+𝑦)2+𝐿2
+
−𝐿𝑗
√(𝐿+𝑦)2+𝐿2
]

4. Ɵ
( L+X )
L
𝐸20 =
𝐾λ
𝐿
[ (
( 𝐿+2𝐿) 𝑖
√( 𝐿+2𝐿)2+𝐿2
−
( 𝐿+𝐿) 𝑖
√(𝐿+𝐿)2+𝐿2
+ (
−𝐿𝑗
√( 𝐿+2𝐿)2+𝐿
2
− −𝐿𝑗
√( 𝐿+𝐿)2+𝐿
2
]
𝐸20 =
𝐾λ
𝐿
[ (
(3𝐿) 𝑖
√10𝐿
−
(2𝐿) 𝑖
√5𝐿
+ (
−𝐿𝑗
√10𝐿
−−𝐿𝑗
√5𝐿
]
𝐸20 =
𝐾λ
𝐿
[ (
(3−2√2)𝑖
√10
+
(√2−1) 𝑗
√10𝐿
]
𝐸20 =
𝐾λ
𝐿
[ (
(3−2√2)𝑖
√10
+
(√2−1) 𝑗
√10𝐿
]
𝐸20 =
𝐾λ
𝐿
[ 0.0542i + 0.131 j]
III)
𝐿+𝑋
𝐿
= Tg Ɵ
L Tg Ɵ -L = X
dx = L 𝑠𝑒𝑐2Ɵd Ɵ
𝐸30 = 𝐾 ∫
𝑑𝑞 .^𝑟
𝑟3
2𝐿
𝐿
= 𝐸30 = 𝐾 ∫
λ dx ((L+x)i+Lj)
[𝐿2+(𝐿+𝑥)2]
3
2
2𝐿
𝐿
𝐸30 = 𝐾λ [∫
dx(L + x)i
[𝐿2 + (𝐿 + 𝑥)2]
3
2
2𝐿
𝐿
+ ∫
Ldx j
[𝐿2 + (𝐿 + 𝑥)2]
3
2
]
2𝐿
𝐿
𝐸30 = 𝐾λ [+ ∫
(L + L Tg Ɵ − L) L 𝑠𝑒𝑐2
ƟdƟi
[𝐿2 + (𝐿 + L Tg Ɵ − L)2]
3
2
+ ∫
L. L 𝑠𝑒𝑐2
Ɵd Ɵ j
[𝐿2 + (𝐿 + L Tg Ɵ − L)2]
3
2
2𝐿
𝐿
]
2𝐿
𝐿

5. L
2L
L
2L
𝐸30 = 𝐾λ [+ ∫
𝐿2 (Tg Ɵ ) 𝑠𝑒𝑐2
ƟdƟ i
[𝐿2 + (L Tg Ɵ )2]
3
2
+ ∫
𝐿2
𝑠𝑒𝑐2
Ɵd Ɵ j
[𝐿2 + (L Tg Ɵ )2]
3
2
2𝐿
𝐿
]
2𝐿
𝐿
𝐸30 = 𝐾λ [∫
𝐿2 (Tg Ɵ ) 𝑠𝑒𝑐2
ƟdƟi
[𝐿2(1 + 𝑡𝑔Ɵ2
)]
3
2
+ ∫
𝐿2
𝑠𝑒𝑐2
Ɵd Ɵ j
[𝐿2(1 + 𝑡𝑔Ɵ2
)]
3
2
2𝐿
𝐿
]
2𝐿
𝐿
𝐸30 = 𝐾λ [+ ∫
𝐿2 (Tg Ɵ ) 𝑠𝑒𝑐2
ƟdƟ i
𝐿3. 𝑠𝑒𝑐3Ɵ
+ ∫
𝐿2
𝑠𝑒𝑐2
Ɵd Ɵ j
𝐿3. 𝑠𝑒𝑐3Ɵ
2𝐿
𝐿
]
2𝐿
𝐿
𝐸30 = 𝐾λ [+ ∫
senƟ dƟ i
𝐿
+ ∫
𝑐𝑜𝑠ƟdƟ j
𝐿
2𝐿
𝐿
]
2𝐿
𝐿
𝐸30 =
𝐾λ
𝐿
[+ ∫ senƟ dƟ
2𝐿
𝐿
𝑖 + ∫ 𝑐𝑜𝑠ƟdƟ j
2𝐿
𝐿
]
𝐸30 =
𝐾λ
𝐿
[ −𝑐𝑜𝑠Ɵ + 𝑠𝑒𝑛Ɵ ]
𝐸30 =
𝐾λ
𝐿
[
−𝐿𝑖
√(𝐿+𝑥)2+𝐿2
+
( 𝐿+𝑥) 𝑗
√(𝐿+𝑥)2+𝐿2
]
𝐸30 =
𝐾λ
𝐿
[ (
−𝐿𝑖
√( 𝐿+2𝐿)2+𝐿2
−
−𝐿𝑗
√( 𝐿+𝐿)2+𝐿2
] + (
( 𝐿+2𝐿) 𝑖
√( 𝐿+2𝐿)2+𝐿2
−
( 𝐿+𝐿) 𝑖
√(𝐿+𝐿)2+𝐿2
)
𝐸30 =
𝐾λ
𝐿
[ (
−𝐿𝑖
√10𝐿
−
−𝐿𝑖
√5𝐿
] + [ (
(3𝐿) 𝑗
√10𝐿
−
(2𝐿) 𝑗
√5𝐿
]
𝐸30 =
𝐾λ
𝐿
[ (
(√2−1)𝑖
√10
+
(3−2√2) 𝑗
√10𝐿
]
𝐸30 =
𝐾λ
𝐿
[ 0.131i+ 0.0542 j]

6. Ɵ
2L
y
L
0
L
0
L
0
L
0
Iv ) I )
𝐸40 = 𝐾 ∫
𝑑𝑞 .^𝑟
𝑟3
𝐿
0
= 𝐸40 = 𝐾 ∫
λ dy (2Li+yj)
[𝑦2+(2𝐿)2]
3
2
𝐿
0
𝐸40 = 𝐾𝜆 [∫
2L dyi
[ 𝑦2+(2𝐿)2]
3
2
𝐿
0
+ ∫
y dy j
[ 𝑦2+(2𝐿)2]
3
2
𝐿
0
]
Tg Ɵ =
𝑦
2𝐿
y = 2LTg Ɵ
dy = 2L 𝑠𝑒𝑐2Ɵd Ɵ
𝑦2 = 4𝐿2 𝑇𝑔2Ɵ
𝐸40 = 𝐾𝜆 [∫
2L .2L 𝑠𝑒𝑐2
Ɵd Ɵi
[4𝐿2
𝑇𝑔2
Ɵ+ 4𝐿2]
3
2
+ ∫
2LTgƟ . 2𝐿𝑠𝑒𝑐2
ƟdƟ j
[4𝐿2
𝑇𝑔2
Ɵ+ 4𝐿2]
3
2
𝐿
0
𝐿
0
]
𝐸40 = 𝐾𝜆 [∫
(4𝐿2
𝑠𝑒𝑐2
Ɵd Ɵ)i
[4𝐿2
(𝑇𝑔2
Ɵ+ 1)]
3
2
+ ∫
(4𝐿2
TgƟ . 𝑠𝑒𝑐2
ƟdƟ)j
[4𝐿2
(1+ 𝑇𝑔2
)]
3
2
𝐿
0
𝐿
0
]
𝐸40 = 𝐾𝜆 [+∫
4𝐿2
𝑠𝑒𝑐2
Ɵd Ɵ
8𝐿3. 𝑠𝑒𝑐3Ɵ
𝐿
0
+ ∫
(4𝐿2
TgƟ . 𝑠𝑒𝑐2
ƟdƟ )
8𝐿3. 𝑠𝑒𝑐3Ɵ
𝐿
0
]
𝐸40 = 𝐾𝜆 [∫
d Ɵ i
2𝐿𝑠𝑒𝑐Ɵ
+ ∫
TgƟ .dƟ j
2𝐿. 𝑠𝑒𝑐Ɵ
𝐿
0
𝐿
0
]
𝐸40 =
𝐾𝜆
2𝐿
[∫ 𝑐𝑜𝑠Ɵ dƟ i
𝐿
0
+ ∫ 𝑠𝑒𝑛Ɵ dƟ
𝐿
0
]
𝐸40 =
𝐾𝜆
2𝐿
[( 𝑠𝑒𝑛Ɵ )i + ( −𝑐𝑜𝑠Ɵ ) 𝑗 ]
𝐸40 =
𝐾𝜆
2𝐿
[
𝑦 𝑖
√(2𝐿)2 + 𝑦2
+
−2𝐿 𝑗
√(2𝐿)2 + 𝑦2

7. 𝐸40 =
𝐾𝜆
2𝐿
[
𝐿 𝑖
√(2𝐿)2 + 𝐿2
+
−2𝐿 𝑗
√(2𝐿)2 + 02
𝐸40 =
𝐾𝜆
2𝐿
[
𝐿 𝑖
√5𝐿
+ (
−2𝐿 𝑗
√5𝐿
+
2𝐿 𝑗
2𝐿
]
𝐸40 =
𝐾𝜆
𝐿
[
1 𝑖
2√5
+ (
−1 𝑗
√5
+ 0.5)𝑗]
𝐸40 =
𝐾𝜆
𝐿
[0.2236𝑖 + 0.053𝑗]
E total = E10 + E20 + E30 + E40 =
𝐸10 =
𝐾𝜆
𝐿
[0.053𝑖 + 0.2236 𝑗]
𝐸20 =
𝐾λ
𝐿
[ 0.0542i + 0.131 j]
𝐸30 =
𝐾λ
𝐿
[ 0.131i+ 0.0542 j]
𝐸40 =
𝐾𝜆
𝐿
[0.2236𝑖 + 0.053𝑗]
E TOTAL =
𝐾𝜆
𝐿
[0.4618𝑖 + 0.4618𝑗]
E TOTAL =
𝐾𝑄
4𝐿
[0.4618𝑖 + 0.4618𝑗]
E TOTAL =
𝑄
16𝜋𝜖0𝐿2
[0.4618𝑖 + 0.4618𝑗]
K =
1
4𝜋𝜖0
λ =
𝑄
4
arctgƟ =
0.4618
0.4618
Ɵ = 45 °

8. R
Q
43. Una esferauniformemente cargadade radioR esta centradaenel origencon unacarga Q.
Determine lafuerzaresultante que actúasobre unalíneauniformementecargada,orientada
radialmente yconuna carga total q con sus extremosenr= R y r = R + d
λ=
𝑄
𝑑
=
𝑑𝑄
𝑑𝑟
F =
𝐾.𝑄.𝜆 .𝑑 ^𝑟
𝑅.(𝑅+𝑑)
F =
.𝑄.𝜆 .𝑑 ^𝑟
4πϵ0𝑅.(𝑅+𝑑)
dF = E . dQ
F =(
𝐾.𝑄 .^𝑟
𝑟2
) . λ dr
F = ∫
𝐾.𝑄.^𝑟
𝑟2
𝑅+𝑑
𝑅
. λ dr
F = K.Q. λ ∫
𝑑𝑟.^𝑟
𝑟2
𝑅+𝑑
𝑅
.
[
−1
𝑟
)] . ^rF = K.Q. λ
r
R +d
R