Incluye un ejercicio aplicando las tecnicas de integración por parte. - Includes an exercise applying the integration techniques by part.

1. B y : C . A v i l é s G á l e a s
𝟐 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐(𝒕) = 𝟐 − (𝟏 − 𝒔𝒊𝒏 𝟐(𝒕)) = 𝟏 + 𝒔𝒊𝒏 𝟐(𝒕)
be 𝒖 = 𝒔𝒊𝒏(𝒕); 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔(𝒕)𝒅𝒕
Solve for the Integration by parts method:
∫
esin(t)[2 cos( 𝑡) − cos3( 𝑡) − cos( 𝑡) sin( 𝑡)]
[2 − cos2( 𝑡)]
3
2
𝑑𝑡
Solution
I = ∫
esin(t)
cos(𝑡) [(2 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑡)) − sin(𝑡)]
[2 − cos2(𝑡)]
3
2
𝑑𝑡 = ∫
esin(t)
cos(𝑡) (2 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑡))
[2 − cos2(𝑡)]
3
2
𝑑𝑡 − ∫
esin(t)
cos(𝑡) sin(𝑡)
[2 − cos2(𝑡)]
3
2
I = ∫
esin(t)
cos(𝑡) (2 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑡))
[2 − cos2(𝑡)]
3
2
𝑑𝑡 − ∫
esin(t)
cos(𝑡) sin(𝑡)
[2 − cos2(𝑡)]
3
2
𝑑𝑡 = ∫
esin(t)
cos(𝑡)
√2 − cos2(𝑡)
𝑑𝑡 − ∫
esin(t)
cos(𝑡) sin(𝑡)
[2 − cos2(𝑡)]
3
2
𝑑𝑡
I = ∫
esin(t)
cos(𝑡)
√1 + sin2(t)
𝑑𝑡 − ∫
esin(t)
cos(𝑡) sin(𝑡)
(1 + sin2(t))
3
2
𝑑𝑡 ⟹
I = ∫
e 𝑢
√1 + u2
𝑑𝑢 − ∫
u ∙ e 𝑢
(1 + u2)
3
2
𝑑𝑢 =
1
√1 + u2
∫ 𝑒 𝑢
𝑑𝑢 − ∫ {
𝑑
𝑑𝑢
(
1
√1 + u2
) ∫ 𝑒 𝑢
𝑑𝑢} 𝑑𝑢 − ∫
u ∙ e 𝑢
(1 + u2)
3
2
𝑑𝑢
[𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑏𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑠]
I =
1
√1 + u2
∙ 𝑒 𝑢
− ∫ −
1
2(1 + 𝑢2)
3
2
∙ 2𝑢 ∙ 𝑒 𝑢
𝑑𝑢 − ∫
u ∙ e 𝑢
(1 + u2)
3
2
𝑑𝑢 + 𝐶

2. B y : C . A v i l é s G á l e a s
I =
𝑒 𝑢
√1 + u2
+ ∫
𝑢 ∙ 𝑒 𝑢
(1 + 𝑢2)
3
2
𝑑𝑢 − ∫
u ∙ e 𝑢
(1 + u2)
3
2
𝑑𝑢 + 𝐶
I =
𝑒 𝑢
√1 + u2
⟹ ⇒ ∴
𝑒sin(𝑡)
√1 + sin2(𝑡)
+ 𝐶
∴ ∫
esin(t)[2 cos( 𝑡) − cos3( 𝑡) − cos( 𝑡) sin( 𝑡)]
[2 − cos2( 𝑡)]
3
2
𝑑𝑡 =
𝑒sin( 𝑡)
√1 + sin2
( 𝑡)
+ 𝐶
sea 𝒖 = 𝒔𝒊𝒏(𝒕)