teoria de control

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGENIERÍA
EXTENSIÓN MATURÍN
MATERIA: TEORIA DE CONTROL
TRANSFORMADA DE LA PLACE
Profesor: Bachiller:
.
Sección: “V”
Jose Rivas
Maturín, Enero de 2017.

2. 1) Hallar la transformada de Laplace de cada una de las siguientes
funciones:
a) 2sent+ 3cos2t
L{eat
. f(t)} = f(s − a) ;a = 2
f(t) = sen(3t) => 𝐿{f(t)} = f(s) => 𝐿{sen(3t)}
L{sen(wt)} ;w = 3
Aplicando la tabla de Laplace,tenemos que:
L{sen(wt)} =
w
s2 + w2
=
3
s2 + 32
= f(s)
L{e2t
. sen(3t)} =
3
(s − 2)2 + 32
=
3
(s − 2)2 + 9
b) T2e4t
3L{e−t
. cos(2t)} = 3L{e2t
f(t)} = f(s − a)
f(t) = cos(2t) => 𝐿{cos(2t)} =
s
s2 + w2
; w = 2 => 𝐿{cos(2t)}
s
s2 + 22
=> 3𝐿{e−t
. cos(2t)} =
3(s + 1)
(s + 1)2 + 4
c) E-2tsen5t
L{t3
. sen(3t)} = L{tn
f(t)} = (−1)n
fn(s) ; fn(s) =
dn
dsn
; n = 3
L{sen(3t)} =
w
s2 + w2
; w = 3 => 𝐿{sen(3t)} =
3
s2 + 32
= f(s)
L{t3
. sen(t)} = (−1)3
f3(s) ; f3(s) = Tercera derivada de f(s).f′′′(s)
f(s) =
3
s2 + 32
=> f′(s) =
−2s(3)
(s2 + 32)2
=
−6s
(s2 + 32)2
f′′(s) =
(−6)(s2
+ 32
)2
− 2(s2
+ 32
)(2s)(−6s)
((s2 + 32)2)2
f′′(s) =
(−6)(s4
+ 18s2
+ 81) − 2(s2
+ 32
)(2s)(−6)
(s2 + 32)4

3. f′′(s) =
−6s4
− 108s2
− 486 − 2(12s4
− 108s2)
(s2 + 32)4
f′′(s) =
−6s4
+ 24s4
− 108s2
+ 216s2
− 486
(s2 + 32)4
=
18s4
+ 108s2
− 486
(s2 + 32)4
f′′(s) =
(72s4
+ 216s)(s2
+ 32
)4
− 4(s2
+ 32
)3
(18s4
+ 108s2
− 486)
(s2 + 32)3
L{t3
sen(t)} = (−1)f′′′(s)
"Porque: L{tn
f(t)} = (−1)n
fn
(s) ;siendo fn
(s) ;La derivada enesima de f(s)
d) 𝐭 𝟐
𝐞 𝐭
𝐜𝐨𝐬( 𝐭)
L{t2
et
cos(t)} = L{tn
f(t)} = (−1)n
dn
f(s)
dsn
= (−1)n
fn(s)
f(t) = et
cos(t);L{et
cos(t)} =
s + a
(s + a)2 + w2
; a = 1; w = 1
L{et
cos(t)} =
s + 1
(s + 1)2 + 1
L{t2
et
cos(t)} = (−1)1
f′(s);f(s) =
s + 1
(s + 1)2 + 1
f′(s) =
(1)(s + 1)2
+ 1 − 2(s + 1)(s + 1)
((s + 1)2 + 1)2
f′(s) =
s2
+ 2s + 1 + 1 − (2s − 2)(s + 1)
[(s + 1)2 + 1]2
=
s2
+ 2s − 2s2
− 2s + 2s
[(s+ 1)2 + 1]2
f′(s) =
−s2
+ 2s + 4
[(s + 1)2 + 1]2
L{t2
et
cos(t)} = (−1)[
−s2
+ 2s + 4
[(s + 1)2 + 1]
] =
s2
− 2s − 4
[(s + 1)2 + 1]2
e) 𝐞−𝟑𝐭
𝐜𝐨𝐬( 𝟐𝐭+ 𝟒)
L{e−3t
cos(2t + 4)} = L{eat
f(t)} = f(s + a)
f(t) = cos(2t + 4) => 𝑐𝑜𝑠(wt + y)
L{cos(wt + y)} ;w = 2 ;y = 4
cos(wt + y) = cos(wt) + cos(y)− sen(wt). sen(y)
cos(wt + y) = cos(4)cos(2t) − sen(4)sen(2t) cos(4)y sen(4)Son Constantes

4. L{cos(wt + y)} = cos(4)L{cos(2t)} − sen(4)L{sen(2t)}
L{cos(2t)} =
s
s2 + w2
; L{sen(2t)} =
w
s2 + w2
L{cos(2t)} =
s
s2 + 22
; L{sen(2t)} =
2
s2 + 22
L{e−3t
cos(2t + 4)} = (cos4)
(s + 3)
[(s+ 3)2 + 22]
− (sen4)(
2
(s + 3)2 + 22
)
f) ∫ 𝒓. 𝐜𝐨𝐬( 𝒓) 𝒅𝒓
𝒕
𝒐
𝐿 {∫ 𝑟. 𝑐𝑜𝑠( 𝑟) 𝑑𝑟
𝑡
0
} =
𝐹( 𝑠)
𝑠
= 𝐿 {∫ 𝐹( 𝑢) 𝑑𝑢
𝑡
0
}
𝐹( 𝑢) = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠( 𝑟) 𝑑𝑟 => 𝐿{ 𝐹(𝑢)} = 𝐹(𝑠)
𝐿{ 𝑟. 𝑐𝑜𝑠( 𝑟)} = 𝑟 = 𝑡 => 𝐿{ 𝑡. 𝑐𝑜𝑠( 𝑡)} = 𝐿{ 𝑡 𝑛
. 𝐹( 𝑡)} = (−1) 𝑛
. 𝐹 𝑛( 𝑠)
𝐹( 𝑡) = 𝑐𝑜𝑠( 𝑡) => 𝐿{ 𝑐𝑜𝑠( 𝑡)} =
𝑠2
𝑠2 + 12
𝐿{ 𝑟. 𝑐𝑜𝑠( 𝑟)} = (−1).
𝑑
𝑑𝑠
(
𝑠2
𝑠2 + 12
) = (−1)[
2𝑠( 𝑠2
+ 1) − 2𝑠( 𝑠2)
𝑠2 + 1
]
𝐿{ 𝑟. 𝑐𝑜𝑠( 𝑟)} = (−1)[
2𝑠3
+ 2𝑠 − 2𝑠3
𝑠2 + 1
] =
−2𝑠
𝑠2 + 1
= 𝐹( 𝑠)
𝐿 {∫ 𝑟. 𝑐𝑜𝑠( 𝑟) 𝑑𝑟
𝑡
0
=}
1
𝑠
(
−2𝑠
𝑠2 + 1
) =
𝑠
𝑠2 + 1
2) Calcule la transformada inversa de las siguientes funciones:
a) 𝓛−𝟏
{
𝟏
𝐬(𝐬+𝟏)
}
Aplicamos fracción parcial:
1
s(s + 1)
=
A
s
+
B
(s + 1)
1
s(s + 1)
=
A(s + 1) + B(s)
s(s + 1)

5. 1 = As + A + Bs
1 = s(A + B) + A
Buscamos los valores de A y B:
A = 1 ; A+ B = 0
B = −A
B = −1
Sustituimos
ℒ−1
= {
1
s(s + 1)
} = ℒ−1
{
1
s
} − ℒ−1
{
1
s + 1
}
ℒ−1
= {
1
s(s + 1)
} = 1 − et
b) 𝓛−𝟏
= {
𝟑
(𝒔−𝟏) 𝟐} = 𝟑𝓛−𝟏
{
𝟏
(𝒔−𝟏) 𝟐} = 𝟑𝒕𝒆 𝒕
c) 𝓛−𝟏
= {
𝟓
𝒔 𝟐( 𝒔−𝟓)
}
Aplicamos fracción parcial:
5
s2(s − 5)
=
A
s2
+
B
s
+
C
s − 5
5
s2(s − 5)
=
(s − 5)A + s(s − 5)B + s2
C
s2(s− 5)
5 = sA − 5A + (s2
− 5s)B + s2
C
5 = (B + C)s2
+ (A − 5B)s − 5A

6. Buscamos los valores de A, B y C
ℒ−1
= {
5
s2(s− 5)
} = −ℒ−1
{
1
s2
} −
1
5
ℒ−1
{
1
s
} +
1
5
ℒ−1
{
1
s − 5
}
ℒ−1
= {
5
s2(s− 5)
} = −t −
1
5
+
1
5
e5t
d) 𝓛−𝟏
{
𝟏
( 𝐬−𝐚)( 𝐬−𝐛)
}
Aplicando fracciones parciales
1
(s − a)(s− b)
=
A
s − a
+
B
s − b
1
(s − a)(s− b)
=
A(s − b) + B(s − a)
(s − a)(s− b)
1 = s(A + B) + (−bA − aB)
Buscamos los valores de A y B
{
A + B = 0
−bA − aB = 1
{
bA + bB = 0
−bA − aB = 1
B + C = 0
C = −B
C =
1
5
A − 5B = 0
−5B = −A
−5B = 1
B = −
1
5
−5A = 5
A = −
5
5
A = −1
( 𝑏 − 𝑎) 𝐵 = 1
𝐵 =
1
𝑏 − 𝑎
𝐴 = −𝐵
𝐴 = −
1
𝑏 − 𝑎

7. ℒ−1
{
1
(s − a)(s − b)
} = −
1
b − a
ℒ−1
{
1
s − a
} +
1
b − a
ℒ−1
{
1
s − b
}
ℒ−1
{
1
(s − a)(s − b)
} = −
1
b − a
eat
+
1
b − a
ebt
ℒ−1
{
1
(s − a)(s − b)
} =
ebt
− eat
b − a
e) 𝓛−𝟏
{
𝟏
𝐬 𝟐+𝟒𝐬+𝟐𝟗
}
s2
+ 4s + 29
s =
−b ± √b2 − 4ac
2a
s =
−4 ± √−100
2
; s = −2 ± j5 ;
s2
+ 4s + 29 = (s + 2 − j5)(s+ 2 + j5)
Aplicando fracciones parciales.
1
s2 + 4s + 29
=
k1
s + 2 − j5
+
k2
s + 2 + j5
1
s2 + 4s + 29
=
k1(s + 2 + j5) + k2(s + 2 − j5)
s2 + 4s + 29
1 = k1s + 2k1 + j5k1 + k2 s + 2k2 − j5k2
1 = (k1 + k2)s + 2(k1 + k2) + j5(k1 − k2)
Buscamos los valores de k1 y k2
𝑘1 + 𝑘2 = 0
No satisface la ecuación
2( 𝑘1 + 𝑘2) = 1
2(2 𝑘1) = 1
4 𝑘1 = 1
𝑘1 =
1
4
𝑘1 − 𝑘2 = 0
Si satisface la ecuación
𝑘1 = 𝑘2 =
1
4

8. ℒ−1
{
1
s2 + 4s + 29
} = k1ℒ−1
{
1
s + 2 − j5
} + k2ℒ−1
{
1
s + 2 + j5
}
ℒ−1
{
1
s2 + 4s + 29
} =
1
4
ℒ−1
{
1
s + 2 − j5
} + ℒ−1
{
1
s + 2 + j5
}
=
1
4
ℒ−1
{
s + 2 + j5 + s + 2 − j5
s2 + 4s + 29
} =
1
4
ℒ−1
{
2(s + 2)
s2 + 4s + 29
}
Competición de cuadrado
𝑠2
+ 4𝑠 + 29 + (
4
2
)
2
− (
4
2
)
2
= 0
𝑠2
+ 4𝑠 + 4 + 25 = 0
( 𝑠 + 2)2
+ 25 = 𝑠2
+ 4𝑠 + 29
1
4
ℒ−1
{
2( 𝑠 + 2)
( 𝑠 + 5)2 + 25
} =
1
2
ℒ−1
{
𝑠 + 2
( 𝑠 + 2)2 + 52
}
ℒ−1
{
1
𝑠2 + 4𝑠 + 29
} =
1
2
𝑒−2𝑡
cos(5𝑡)
f) 𝓛−𝟏
{
𝟐𝐬
( 𝐬 𝟐
+𝟏)
𝟐} = 𝟐𝓛−𝟏
{
𝐬
( 𝐬 𝟐
+𝟏)
𝟐}
ℒ−1
{
2s
(s2 + 1)2
} =
2t. sen (at)
2a
=
t. sen(at)
a
3) Hallar la transformada de Laplace de:
a) 𝐟( 𝐭) = {
𝟎 ; 𝐭 ≤
𝟏
𝟐
𝟏 + 𝐭 ; 𝐭 >
𝟏
𝟐

9. Corte con los ejes
f(s) = 1 + t = l
para t = 0 → f(t) = 1 → (0;1)
para f(t) = 0 → t = 1 +
1
2
=
3
2
→ (
3
2
; 0)
ℒ = r (t −
1
2
)
ℒ = {f(t)} = ℒ {r (t −
1
2
)} +
3
2
ℒ {u (t −
1
2
)}
1
(s −
1
2
)
2
+
3
2
1
(s −
1
2
)
= f(s)
b) 𝒇( 𝐭) = {
𝐭 , 𝐭 ≤ 𝟐
𝟐 , 𝐭 > 2
f(t) = r(t) − r(t − 2) + 2u(t − 2)
ℒ{f(t)} = ℒ{r(t)} − ℒ{r(t − 2)} + 2ℒ{u(t − 2)}
f(s) =
1
s2
−
1
(s − 2)2
+
2
s − 2