transformada de laplace

1. UNIVESIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE INGENIERIA
CABUDARE – EDO. LARA
INTEGRANTES:
NARIÑO,KAREN 21.759.611
NAVAS, SADDAM 21.756.852
TAMPOA,ROBERTH 25.149.524

2. RESPUESTAS:
1era Parte:
ℒ{ 𝐹(𝑡)} = ∫ 𝐹(𝑡)𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
+∞
0
senh( 𝑤𝑡) =
𝑒 𝑤𝑡−𝑒−𝑤𝑡
2
= ∫ (
5
3
− √7 + 5senh(√7 𝑡))𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
+∞
0
= ∫
5
3
𝑡 𝑒−𝑠𝑡
− √7𝑒−𝑠𝑡
+ 5senh(√7 𝑡)𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
+∞
0
=
5
3
∫ 𝑡 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡 − √7 ∫ 𝑒−𝑠𝑡
+∞
0
+ 5 ∫
𝑒√7𝑡 − 𝑒−√7𝑡
2
+∞
0
. 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
+∞
0
=
5
3
∫ 𝑡 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡 − √7 ∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
+∞
0
+
5
2
∫ 𝑒(√7−5) 𝑡
+∞
0
𝑑𝑡 −
+∞
0
5
2
∫ 𝑒−(√7−5) 𝑡
+∞
0
𝑑𝑡
=
5
3
lim
𝑎→+∞
∫ 𝑡 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡 − √7 lim
𝑎→+∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
𝑎
0
+
5
2
lim
𝑎→+∞
∫ 𝑒(√7−5) 𝑡
𝑎
0
𝑑𝑡 −
𝑎
0
5
2
lim
𝑎→+∞
∫ 𝑒−(√7−5) 𝑡
𝑎
0
𝑑𝑡
=
5
3
lim
𝑎→+∞
𝑡𝑒−𝑠𝑡
−𝑠
+
𝑒−𝑠𝑡
−𝑠2
|
𝑎
0
− √7 lim
𝑎→+∞
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
|
𝑎
0
+
5
2
lim
𝑎→+∞
𝑒(√7−5) 𝑡
(√7 − 5)
|
𝑎
0
−
5
2
lim
𝑎→+∞
𝑒−(√7+5) 𝑡
−(√7 + 5)
|
𝑎
0
=
5
3
lim
𝑎→+∞
(
𝑎𝑒−𝑠𝑎
−𝑠
+
𝑒−𝑠𝑎
–𝑠2 − (
𝑎𝑒−𝑠0
−𝑠
+
𝑒−𝑠0
–𝑠2
)) − √7 lim
𝑎→+∞
(
𝑒−𝑠𝑎
𝑠
−
𝑒−𝑠0
𝑠
)
+
5
2
lim
𝑎→+∞
(
𝑒(√7−5) 𝑎
(√7 − 5)
−
𝑒(√7−5)0
(√7 − 5)
) −
5
2
lim
𝑎→+∞
(
𝑒−(√7+5) 𝑎
−(√7+ 5)
−
𝑒−(√7+5)0
−(√7+ 5)
)
=
5
3
lim
𝑎→+∞
𝑎𝑒−𝑠𝑎
−𝑠
+
𝑒−𝑠𝑎
– 𝑠2 −
1
– 𝑠2 − √7 lim
𝑎→+∞
(
𝑒−𝑠𝑎
𝑠
−
1
𝑠
) +
5
2
lim
𝑎→+∞
(
𝑒(√7−5) 𝑎
(√7 − 5)
−
1
(√7 − 5)
)
−
5
2
lim
𝑎→+∞
(
𝑒−(√7+5) 𝑎
−(√7+ 5)
−
1
−(√7+ 5)
)

3. =
5
3
lim
𝑎→+∞
𝑎
−𝑠𝑒 𝑠𝑎 +
1
– 𝑠2 𝑒 𝑠𝑎 −
1
𝑠2 − √7 lim
𝑎→+∞
(−
1
𝑠
) +
5
2
lim
𝑎→+∞
(−
1
(√7 − 5)
)
−
5
2
lim
𝑎→+∞
(−
1
(√7+ 5)
)
=
5
3
(−
1
𝑠2
) − (√7 (−
1
𝑠
) +
5
2
(−
1
(√7 − 5)
) −
5
2
(−
1
(√7 + 5)
)
=
5
3𝑠2 −
√7
𝑠
−
5
2(√7 − 5)
+
5
2(√7 + 5)
ASI TENEMOS QUE:
ℒ {
5
3
𝑡 − √7 + 5senh(√7 𝑡)} =
5
3𝑠2
−
√7
𝑠
−
5
2(√7 − 5)
+
5
2(√7 + 5)
2da parte
a) F(t) =
7
2
𝑒5𝑡 (
2
3
cos(2√5𝑡) + 2 senh(2√3𝑡) − 4𝑡))
F(t) =
7
3
𝑒5𝑡
cos(2√5𝑡) + 7 𝑒5𝑡
senh(2√3𝑡) − 14𝑒5𝑡
𝑡
ℒ{ 𝐹(𝑡)} = ℒ {
7
3
𝑒5𝑡
cos(2√5𝑡) + 7 𝑒5𝑡
senh (2√3𝑡) − 14𝑒5𝑡
𝑡}
=
7
3
ℒ{𝑒5𝑡
cos(2√5𝑡)} + 7ℒ{𝑒5𝑡
senh(2√3𝑡)} − 14ℒ{ 𝑒5𝑡
𝑡}
=
7
3
𝑠 − 5
(𝑠 − 5)2 + (2√5)2
+ 7
2√3
(𝑠 − 5)2 − (2√3)2
− 14
1
(𝑠 − 5)2
7( 𝑠 − 5)
3((𝑠 − 5)
2
+ 20)
+
14√3
( 𝑠 − 5)2 − 12
−
14
( 𝑠 − 5)2

4. Asi tenemos que
ℒ{ 𝐹(𝑡)} =
7( 𝑠 − 5)
3(𝑠 − 5)2
+ 60
+
14√3
( 𝑠 − 5)2
− 12
−
14
( 𝑠 − 5)2
b) 𝐹( 𝑡) =
11
5
𝑡 (7 senh(2𝑡) − 5
cos(3𝑡)
𝑡2
)
=
77
5
𝑡 senh(2𝑡) − 11
cos(3𝑡)
𝑡2
No se puede calcular la transformada de Laplace de F(t) porque
∫
cos(3𝑡)
𝑡
+∞
0
𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡 es una integral impropia mixta que es diferente.
c) 𝐹( 𝑡) =
7
4
cos 7𝑡 − 2 𝑒−𝑠𝑡
+
3
5
𝑡3
= −
49
4
sen 7𝑡 + 6 𝑒−3𝑠𝑡
+
9
5
𝑡2
=
343
4
cos 7𝑡 − 18 𝑒−3𝑡
+
18
5
𝑡
𝐹′′′( 𝑡) =
2401
4
sen 7𝑡 + 54 𝑒−3𝑡
+
18
5
ℒ{ 𝐹′′′( 𝑡)} = ℒ {
2401
4
sen 7𝑡 + 54 𝑒−3𝑡
+
18
5
}
=
2401
4
ℒ{sen7𝑡} +54ℒ{ 𝑒−3𝑡} + ℒ{
18
5
}
=
2401
4
7
𝑠272
+ 54
1
𝑠 − (−3)
+
18
5𝑠
=
16807
4𝑠2 + 196
+
54
𝑠 + 3
+
18
5𝑠

5. Asi tenemos que
ℒ{ 𝐹′′′( 𝑡)} =
16807
4𝑠2
+ 196
+
54
𝑠 + 3
+
18
5𝑠
3era parte:
A b c d
A) {
11( 𝑠−
3
4
)−√5
3( 𝑠−
5
4
)
2
−8
+
11( 𝑠−5)+√7
9( 𝑠2−10𝑠+125)3
−
7𝑠−4
8𝑠2−18
+
4√5
𝑠2+3
}
a)
5
4
−
3
4
=
1
2
ℒ−1
(
11( 𝑠−
3
4
)−√5
3( 𝑠−
5
4
)
2
−8
) = ℒ−1
(
11( 𝑠−
3
4
)−√5
3(( 𝑠−
5
4
)
2
−
8
3
)
)
= ℒ
−1
(
11( 𝑠 −
5
4
+
5
4
−
3
4
) − √5
3(( 𝑠 −
5
4
)
2
−
8
3
)
)
= ℒ−1
(
11(𝑠 −
5
4) +
11
2 − √5
3((𝑠 −
5
4
)
2
−
8
3
)
)
= ℒ−1
(
11(𝑠 −
5
4
)
3((𝑠 −
5
4
)
2
−
8
3
)
+
(
11
2
− √5)
3
∗
1
(𝑠 −
5
4)
2
−
8
3
)
= ℒ−1
(
11
3
∗
𝑠 −
5
4
(𝑠 −
5
4
)
2
− (√8
3
)
2 +
(
11
2
− √5)
3√8
3
∗
√8
3
(𝑠 −
5
4
)
2
−
8
3
)

6. =
11
3
𝑒
5
4
𝑡
cosh(√
8
3
𝑡) +
(
(
11
2
− √5)
3√8
3 )
𝑒
5
4
𝑡
cosh(√
8
3
𝑡)
b) = ℒ−1
(
11( 𝑠−5)+√7
9( 𝑠−5)6 )=
11
9
∗
( 𝑠 − 5)
( 𝑠 − 5)6 +
√7
9
∗
1
( 𝑠 − 5)6 =
= ℒ−1
(
11
24 ∗ 9
∗
24
( 𝑠 − 5)5 +
√7
120(9)
∗
120
( 𝑠 − 5)6
)
=
11
216
∗ 𝑡4 𝑒5𝑡 +
√7
1080
𝑡4 𝑒5𝑡
c) = ℒ
−1
(
7𝑠 − 4
8 𝑠2 − 18
)
= ℒ−1
(
7(𝑠 −
4
7
)
8(𝑠
2
−
18
8
)
)
= ℒ−1
(
7
8
∗
𝑠 −
4
7
𝑠2 −
18
8
)
= ℒ−1
(
7
8
∗
𝑠 −
4
7
𝑠2 −
9
4
)
= ℒ−1
(
7
8
∗
𝑠
𝑠2 −
9
4
−
4
7
𝑠2 −
9
4
)
= ℒ−1
(
7
8
∗
𝑠
𝑠2 −
9
4
−
4
7
3
2
∗
3
2
𝑠2 −
9
4
)
=
7
8
ℒ−1
(
𝑠
𝑠2 −
9
4
) −
8
21
ℒ−1
(
3
2
𝑠2 −
9
4
)
=
7
8
cosh
3
2
𝑡 −
8
21
senh
3
2
𝑡

7. d) =
4√5
𝑠2+3
= ℒ−1
(
4√5
𝑠2 + 3
)
= ℒ−1
(4√5 ∗
1
𝑠2 + 3
)
= ℒ−1
(
4√5
√3
∗
√3
𝑠2 + 3
)
=
4√5
√3
sen √3 𝑡
Asi Tenemos que:
ℒ−1
{
11( 𝑠 −
3
4
) − √5
3( 𝑠 −
5
4
)
2
− 8
+
11( 𝑠 − 5) + √7
9( 𝑠2 − 10𝑠 + 125)3
−
7𝑠 − 4
8𝑠2 − 18
+
4√5
𝑠2 + 3
}
=
=
11
3
𝑒
5
4
𝑡
cosh(√
8
3
𝑡) +
(
(
11
2
− √5)
3√
8
3 )
𝑒
5
4
𝑡
cosh(√
8
3
𝑡) +
11
216
∗ 𝑡4
𝑒5𝑡
+
√7
1080
𝑡4
𝑒5𝑡
−
7
8
cosh
3
2
𝑡 −
8
21
senh
3
2
𝑡 +
4√5
√3
sen √3 𝑡

8. a b
B) ℒ−1 {
4𝑠+7
𝑠2+
5
3
𝑠+
17
4
−
6𝑠−4
𝑠2−
1
3
𝑠+9
}
ℒ−1 {
4𝑠+7
(𝑠+
5
6
)2+
32
9
−
6𝑠−4
(𝑠+
1
6
)2+
26
3
}
a) ℒ−1 {
4𝑠+7
(𝑠+
5
6
)2+
32
9
} =
ℒ−1 {
4(𝑠 +
7
4
)
(𝑠 +
5
6
)2 +
32
9
}
ℒ−1 {
4(𝑠 +
5
6
−
5
6
+
7
4
)
(𝑠 +
5
6
)2 +
32
9
}
ℒ−1
{
4(𝑠+
5
6
)−
11
3
(𝑠+
5
6
)2+
32
9
}=
ℒ−1
{
4(𝑠+
5
6
)
(𝑠+
5
6
)2+
32
9
−
11
3
(𝑠+
5
6
)2+
32
9
}=
4ℒ−1
{
𝑠+
5
6
(𝑠+
5
6
)2+
32
9
−
11
3
(𝑠+
5
6
)2+
32
9
}=

9. 4ℒ−1
{(
𝑠+
5
6
( 𝑠+
5
6
)
2
+
32
9
) −
33
12√2
(
4√2
3
( 𝑠+
5
6
)
2
+
32
9
)}=
4𝑒−
5
6
𝑡
cos (
4√2
3
) 𝑡 −
33
12√2
𝑒
5
6
𝑡
sen (
4√2
3
) 𝑡
b) ℒ−1 {
6𝑠−4
( 𝑠−
1
6
)
2
+
26
3
} =
ℒ−1
{
6(𝑠 −
2
3
)
(𝑠 −
1
6
)
2
+
26
3
} =
=ℒ−1 {
6(𝑠−
1
6
+
1
6
−
2
3
)
(𝑠−
1
6
)
2
+
26
3
} =
ℒ−1 {
6(𝑠 −
1
6
) −
1
2
)
( 𝑠 −
1
6
)
2
+
26
3
} =
ℒ−1 {
6(𝑠 −
1
6
)
( 𝑠 −
1
6
)
2
+
26
3
−
1
2
( 𝑠 −
1
6
)
2
+
26
3
} =

10. 6ℒ−1
{
(
( 𝑠 −
1
6
)
( 𝑠 −
1
6
)
2
+
26
3
) +
1
2
ℒ−1
(
√26
√3
( 𝑠 −
1
6
)
2
+
26
3
)}
= 6𝑒
1
6
𝑡
cos (
√26
√3
𝑡) −
1
2
𝑒
1
6
𝑡
sen (
√26
√3
𝑡)
Asi tenemos que:
ℒ−1 {
4𝑠 + 7
𝑠2 +
5
3
𝑠 +
17
4
−
6𝑠 − 4
𝑠2 −
1
3
𝑠 + 9
} =
4𝑒−
5
6
𝑡
cos (
4√2
3
) 𝑡 −
33
12√2
𝑒
5
6
𝑡
sen (
4√2
3
) 𝑡 − 6𝑒
1
6
𝑡
cos (
√26
√3
𝑡)
−
1
2
𝑒
1
6
𝑡
sen(
√26
√3
𝑡)
C) ℒ−1 {
𝑠2 +2𝑠+8
(𝑠2+2𝑠+2)(𝑠2+2𝑠+5)
} =
ℒ−1 {
(𝑠 + 1)2
+ 7
(𝑠 + 1)2 + 1(𝑠 + 1)2 + 4
} =

11. 𝑠2
+ 2𝑠 + 8
(𝑠2 + 2𝑠 + 2)(𝑠2 + 2𝑠 + 5)
=
𝐴𝑠 + 𝐵
(𝑠2 + 2𝑠 + 2)
+
𝐶𝑠 + 𝐷
(𝑠2 + 2𝑠 + 5)
=
𝒔 𝟐
+ 𝟐𝒔 + 𝟖 = ( 𝑨𝒔+ 𝑩)( 𝒔 𝟐
+ 𝟐𝒔 + 𝟓) + ( 𝑪𝒔 + 𝑫)(𝒔 𝟐
+ 𝟐𝒔 + 𝟐) =
s2
+ 2s + 8 = (As3
+ 2s2
+ 5As + Bs2
+ 2Bs + 5B + Cs3
+ 2Cs2
+ 2Cs + Ds2
+ 2Ds+ 2D)
s2
+ 2s + 8 = (A + C)s3
+ (2A + B + 2C + D)s3
+ (2A + B + 2C + D)s2
+ (5A + 2B + 2C + 2D)s
+ (5B + 2D)
{0 = 𝐴 + 𝐶
{1 = 2𝐴 + 𝐵 + 2𝐶 + 𝐷
{2 = 5𝐴 + 2𝐵 + 2𝐶 + 2𝐷
{8 =5𝐵 + 2𝐷
0 = 𝐴 + 𝐶
𝐴 = −𝐶
1 = −2𝐶 + 𝐵 + 2𝐶 + 𝐷
1 = ( 𝐵 + 𝐷) ∗ 2 = 2𝐵 + 2𝐷
−𝐵 = 𝐷
2 = 5𝐴 + 2𝐵 + 2𝐶 + 2𝐷

12. 2 = −5𝐴 + 2𝐵 + 2𝐶 + 2𝐷
2 = −3𝐶 + 2𝐵 + 2𝐷
2 = −3𝐶 + 2 → 0 = 𝐶
1 = 𝐵 + 𝐵
1
B
= D
8 = 5𝐵 + 2𝐷
−2 = −2𝐵 − 2𝐷
8 = 5𝐵 + 2𝐷
6 = 3𝐵
6
3
= 𝐵 → 2 = 𝐵
1 = 𝐵 + 𝐷
1 = 2 + 𝐷
−2 + 1 = 𝐷
−1 = 𝐷
ℒ−1 {
2
𝑠2 + 2𝑠 + 2
+
−1
𝑠2 + 2𝑠 + 5
}
ℒ−1 {
2
(𝑠 + 1)2 + 1
+
−1
(𝑠 + 1)2 + 4
} =
ℒ−1 {(
2
(𝑠 + 1)2 + 1
) − ℒ−1 (
1
(𝑠 + 1)2 + 4
)}
2ℒ−1 (
1
(𝑠 + 1)2 + 1
) −
ℒ−1
2
(
2
(𝑠 + 1)2 + 4
)
= 2𝑒−𝑡
sen(𝑡) −
1
2
𝑒−𝑡
sin(2𝑡)