Ejercicios de Calculo, Grupo II Seccion 3410

1. INTEGRALESIMPROPIAS
Ejercicios n°4
1
+∝
𝑥
𝑥 + 1
𝑑𝑥
Sustitución :
∪= 𝑥 → 𝑥 =∪2
→ 𝑑𝑥 =2∪ 𝑑 ∪
𝑥 = 1 → ∪= 1 = 1
𝑥 =→∝ → ∪ −∝
±=
1
+∝
∪∙ 2 ∪ 𝑑 ∪
∪2+1
=
1
+∝
2 ∪2
𝑢2+1
𝑑 ∪
±
1
+∞
2 ∪2
+1 − 2
∪2 +1
𝑑 ∪=
1
+∝
2 ∪2
+1
∪2 +1
−
2
∪2+1
𝑑 ∪
±
1
+∝
2 −
2
∪2+1
𝑑 ∪

2. ± lim
𝑏→+∞ 1
𝑏
2 −
2
∪2+1
𝑑 ∪
± lim
𝑏→+∞
2𝑏 − 2 tan−1
𝑏 − 2 + 2 tan−1
1
± +∞ − 2
𝜋
2
− 2 +
𝜋
4
± +∝→ 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
Ejercicios n°13
±
𝟎
+∝
𝒙 𝟐
𝟏 + 𝒙 𝟐 ²
ⅆ𝒙
Solución:
𝑥 = tan 𝜃 → 𝑑𝑥 = sec2
𝜃 𝑑𝜃 ; 𝑥 = 0 → tan 𝜃 = 𝜃 = 0
1 + 𝑥2
= 1 + tan2
𝜃 = sec2
𝜃 ; 𝑥 →∝→ tan 𝜃 →∝→ 𝜃 =
𝜋
2
0
+∝
𝑥2
1 + 𝑥2 ²
𝑑𝑥 =
0
𝜋
2 tan2
𝜃
sec2 𝜃 ²
∙ sec2
𝜃 𝑑𝜃

3. b
=
0
𝜋
2 tan2
𝜃 ∙ sec2
𝜃
sec4 𝜃
𝑑𝜃 =
0
𝜋
2 tan2
𝜃
sec2 𝜃
𝑑𝜃
= lim
𝑏→
𝜋
2 0
𝑏
tan2
𝜃
sec2 𝜃
𝑑𝜃
= lim
𝑏→
𝜋
2 0
𝑏
sec2
𝜃
cos2 𝜃
1
cos² 𝜃
𝑑𝜃 = lim
𝑏→
𝜋
2 0
𝑏
sin2
𝜃 𝑑𝜃
= lim
𝑏→
𝜋
2 0
𝑏
1 + cos 2𝜃
2
𝑑𝜃
= lim
𝑏→
𝜋
2
1
2
𝜃 −
sin 2𝜃
2
= lim
𝑏→
𝜋
2
1
2
𝑏 −
sin 2𝑏
2
=
1
2
𝜋
2
− sin
𝜋
2
=
𝜋
4
0

4. Ejercicios n°10
I= 𝟎
∞ 𝟏
𝒙𝟑+𝟏
Dx. Sug. Descomposicion de fracciones Parciales
Factorizando
X³+1= (X+1) (X²-X+1)
X³+1= (X+1) (X²-X+¼+¾)
X³+1= (X+1) ((X-½)²+¾)
I= 𝟎
+∝ 𝟏
𝑿+𝟏)((x−½ ²+¾)
+ⅆ𝒙
Funciones Racionales
𝟏
𝑿+𝟏)((x−½ ²+¾)
=
𝐴
𝑥+2
+
𝐵(𝑥 −
1
2
)+𝐶
x−½ 2 + ¾
1 = 𝐴 x−½ ² + ¾) + (𝐵 x−½ +𝐶) (𝑥 + 1)
1 = 𝐴 x²−x+1 + 𝐵 x²+x−½ +𝐶 𝑋 + 𝐶
1 = 𝐴 𝑥2 − 𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵𝑥2 +
𝐵
2
𝑥 −
𝐵
2
+ Cx + C
1 = 𝐴 + 𝐵 𝑋² + (−𝐴 +
𝐵
2
+ 𝐶)𝑋 + (𝐴 −
𝐵
2
+ 𝐶
A+B=0
-A+
𝐵
2
+ 𝑐 = 0
A-
𝐵
2
+ c=1
𝐴 =
1
3
B= -
1
3
C=
1
2

5. Luego
I= 𝟎
+∝ 𝟏/𝟑
𝑿+𝟏
+
−
1
3
𝑋 −
1
2
+
1
2
𝑋−
1
2
2
+3/4
𝑑𝑥
I= 𝟎
+∝ ⅆ𝒙
𝑿+𝟏
-
1
3
.
1
2 𝟎
+∝ 𝟐(𝑿−
𝟏
𝟐
)
𝑿−
𝟏
𝟐
2
+¾
+
1
2 𝟎
+∝ ⅆ𝒙
𝑿−
𝟏
𝟐
2 +
3
4
CAMBIOS
Para 1: ∪= 𝑥 + 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
Para 2: 𝑈 = 𝑥 −
1
2
2
+
3
4
» 𝑑𝑢 = 2(𝑥 −
1
2
) 𝑑𝑥
Para 3: 𝜔 = 𝑥 −
1
2
» 𝑑𝜔 = 𝑑𝑥
Luego
I=
1
3
𝑑𝜔
𝑢
−
1
6
𝑑𝜔
𝜔2+(
3
2
)²
I=
1
3
ln(𝑢) −
1
6
ln 𝑢 +
1
2
.
1
3
2
. tan−1 𝑢
3
2
I= lim
𝑏→+∞
2
6
ln 𝑥 + 1 −
1
6
ln( 𝑥 −
1
2
2
+
3
4
)
+
1
3
. tan−1
2(𝑥−
1
2
)
3
𝑏
0
}

6. I= lim
𝑏→+∞
1
6
ln 𝑥 + 1 2
− ln(𝑥2
− 𝑥 + 1) +
1
3
tan−1 2𝑥−1
3
𝑏
0
}
I= lim
𝑏→+∞
1
6
𝑙𝑛
(𝑥+1)²
𝑥²−𝑥+1
+
1
3
tan−1 2𝑥−1
3
]
I= lim
𝑏→+∞
1
6
𝑙𝑛
𝑏²+2𝑏+1
𝑏²−𝑏+1
−
1
6
ln 1 +
1
3
tan−1
𝑏 −
1
3
tan−1 −1
3
]
I= lim
𝑏→+∞
1
6
𝑙𝑛
1+
2
𝑏
+
1²
6
1−
1
6
+
1²
6
− 0 +
1
3
tan−1
𝑏 -
1
3
.
(−𝜋)
0
]
I=
1
6
ln 1 − 0 +
1
3
.
𝜋
2
+
1𝜋
6 3
I=
𝜋
2 3
−
𝜋
6 3
=
3𝜋+𝜋
6 3
=
4𝜋
6 3
.
3
3
I=
4𝜋 3
18
=
2𝜋 3
9