Detyra të zgjidhura

1. Integrali i pacaktuar
Detyra të zgjidhura
1. .
sin
dx
x
Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën
 
2
cos
2
tg2
2
cos
2
sin2sin 2 xx
dx
xx
dx
x
dx
e pastaj zëvendësojmë ,
2
cos22 2
dt
x
dx
t
x
tg  kemi
2
ln | | ln tg ( ).
sin 22tg cos
2 2
dx dx d x
t C C x k
x xx t
        
2. 2
.
3 2 5
dx
x x 
Zgjidhje: Integralin e dhënë e shkruajmë në formën
2 22
2
1 1 1
,
2 53 2 5 3 3 31 1 5 1 14
3 3 3 9 3 3 9
dx dx dx dx
x x x x x x
  
              
   
   
e pastaj zëvendësojmë ,
3
14
3
14
3
1
dtdxtx  kemi
Ct
t
dt
t
dt
xx
dx





  arctg
14
1
114
9
3
14
3
1
9
14
9
14
3
14
3
1
523 2
2
2
=
1
3
1 1 3 13
arctg arctg .
14 14 14 14
x
x
C C
 
       

2. 3. 2
.
3 5
dx
x x
Zgjidhje: Integralin e dhënë e shkruajmë në formën
 











100
9
10
35
1
5
35
1
53 2
2
2
x
dx
xx
dx
xx
dx
e pastaj zëvendësojmë ,
10
3
10
3
10
3
dtdxtx  kemi
 





 13
2
19
100
10
3
5
1
100
9
100
9
10
3
5
1
53 22
2
2
t
dt
t
dt
t
dt
xx
dx
=
10
1 1
2 1 1 1 1 6 103ln ln ln .
103 2 1 3 3 101 1
3
x
t x
C C C
t xx
 
 
     
  
4.
2
.
1 3
dx
x x 

Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën
  











3
1
3
13
1
3
1
3
13
1
31 22
2
xx
dx
xx
dx
xx
dx
 
























22
6
1
36
133
1
3
1
36
1
6
13
1
x
dx
x
dx
e pastaj zëvendësojmë
1 13 13
,
6 6 6
x t dx dt    kemi:
2 2 2
13
1 1 6
3 31 3 13 1 13 13
36 6 36 6
dt
dx dx
x x
x t
 
     
     
   
  

3. 2
1 13 6 1 1 6 1
arcsin arcsin .
63 13 3 3 131
dt x
t C C
t

    


5.
2
.
2 3 1
dx
x x 

Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën
  











2
1
16
9
4
32
1
2
1
2
32
1
132 2
2
2
x
dx
xx
dx
xx
dx









16
1
4
32
1
2
x
dx
e pastaj zëvendësojmë
3 1 1
,
4 4 4
x t dx dt    kemi:
  Ctt
t
dt
t
dt
xx
dx






  1ln
2
1
12
1
16
1
16
1
4
1
2
1
132
2
2
2
2
  .1)34(34ln
2
1 2
Cxx 
6.
2
.
4 4 5
dx
x x 

Zgjidhje:Integralin e dhënë e transformojmë në formën
 









1
2
12
1
544 22
x
dx
xx
dx
, e pastaj zëvendësojmë
1
,
2
x t dx dt    kemi
 2 2
2 2
1 1 1 1 5
ln 1 ln .
2 2 2 2 44 4 5 1
dx dt
t t x x x C
x x t
 
           
    
 

4. 7. 2 2
.a x dx
Zgjidhje: Zëvendësojmë sin cos ,x a t dx a tdt   kemi :
2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos2
sin cos cos
2 2
t
a x dx a a a t tdt a tdt a dt
 
      
 
   
2
1
sin2 .
2 2
a
t t C
 
   
 
Meqenëse sin arcsin ,
x
x a t t
a
   atëherë
2 2
2 2
2
2
sin 2 2sin cos 2 sinarcsin 1 2 1 .
x x x x x
t t t a x
a a a a a
     
           
     
Rrjedhimisht
2 2
2 2 2 2
2
1 1 2
sin2 arcsin
2 2 2 2
a a x x
a x dx t t C a x C
a a
   
          
   

2
2 2
arcsin .
2 2
a x x
a x C
a
   
8. 2
1 4 .x x dx 
Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në këtë formë:
   dxxdxxx 22
)2(541
e pastaj zëvendësojmë dtdxtx 552  dhe zbatojmë rezultatin e gjetur në detyrën 7, kemi
dttdxxdxxx    222
15)2(541 21 2
5arcsin ( 2) 1 4 .
2 5
x
x x x C
 
      
 
9. 2
ln .x xdx
Integrimi me pjesë bëhet sipas kësaj formule: .udv u v vdu   
Zgjidhje: Integrojmë me pjesë,
3
2
( ln ) ,
3
dx x
u x dv x dx du v
x

       
 
Kemi: 2 3 2 3 31 1 1 1
ln ln ln .
3 3 3 9
x xdx x x x dx x x x C     

5. 10.
2
.x
xe dx
Zgjidhje: Integrojmë me pjesë 2 21
( )
2
x x
u x dv e dx du dx v e
 
       
 
dhe kemi
2 2 2 21 1 1
(2 1) .
2 2 4
x x x x
xe dx xe e dx e x C     
11. .x arctgxdx
Zgjidhje: Integrojmë me pjesë
2
2
( ) ,
1 2
dx x
u arctgx dv xdx du v
x

       
 
kemi
 

 dx
x
x
arctgx
x
xarctgxdx 2
22
12
1
2
2
1
.
2 2
x x
arctgx C

 
12. sin .x
e xdx
Zgjidhje: Integrojmë me pjesë ( sin ) ( cos ),x x
u e dv xdx du e dx v x       
kemi
sin cos cos .x x x
e xdx e x e xdx   
Përsëri integrojmë me pjesë ( cos ) ( sin ),x x
u e dv xdx du e dx v x      
kemi
  xexexdxexexdxe xxxxx
sincoscoscossin  xdxex
sin
1
sin (sin cos ) .
2
x x
e xdx e x x C   
13.  .
ln
2
dx
x
x
Zgjidhje: Integrojmë me pjesë 2
1
ln ,
dx dx
u x dv du v
x x x
   
         
   
kemi:
.
1lnln1lnln 2
2
C
xx
x
dxx
x
x
x
dx
xx
x
dx
x
x
  


6. 14. .22
dxax 
Zgjidhje: Vejmë  2 2
2 2
,
xdx
u x a dv dx du v x
x a
 
        
 
kemi:
  



 dx
ax
aax
axxdx
ax
x
axxdxax
22
222
22
22
2
2222
  




22
2
22
22
22 )(
ax
dx
adx
ax
ax
axx
2 2 2 2 2
2 2
.
dx
x x a x a dx a
x a
    

 
Meqenëse  2 2
2 2
ln ,
dx
x x a C
x a
   

 atëherë
 dxax 22
  dxaxaxx 2222
  Caxxa  222
ln
  dxax 22 22
2
1
axx   
2
2 2
ln .
2
a
x x a C   
15. 2
3 2 .x x dx 
Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën
 





 dxxdxxx
4
1
2
3
23
2
2
e pastaj zëvendësojmë
3
,
2 2 2
t dt
x dx    kem
2
2 23 1 1
3 2 1
2 4 4
x x dx x dx t dt
 
       
 
  
 2 21 1 1
1 ln 1 .
4 2 2
t t t t C
 
      
 
  .23232
8
1
23)32(
4
1 22
Cxxxxxx 

7. 16. .22
dxax 
Zgjidhje:Vejmë  2 2
2 2
,
xdx
u x a dv dx du v x
x a
 
        
 
kemi:
  



 dx
ax
aax
axxdx
ax
x
axxdxax
22
222
22
22
2
2222
  




22
2
22
22
22 )(
ax
dx
adx
ax
ax
axx
2 2 2 2 2
2 2
.
dx
x x a x a dx a
x a
    

 
Meqenëse  2 2
2 2
ln ,
dx
x x a C
x a
   

 atëherë
 dxax 22
  dxaxaxx 2222
  Caxxa  222
ln
  dxax 22 22
2
1
axx    Caxx
a
 22
2
ln
2
17. 2
2 .x x dx 
Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën
dxxx  22
dxx 






4
7
2
1
2
e pastaj zëvendësojmë
1 7 7
,
2 2 2
x t dx dt    kemi
2
2 21 7 7
2 1
2 4 4
x x dx x dx t dt
 
       
 
  



 1
2
1
4
7 2
tt   Ctt 


 1ln
2
1 2
2 21 7 2 1 2
(2 1) 2 ln 2 .
4 8 7 7
x
x x x x x C
 
         
 

8. 18.
2 3
.
5 4
x
dx
x


Zgjidhje: Kemi:
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
 



















5
4
1
5
7
2
5
1
5
4
32
5
1
45
32 1 7 1 7 4
2 2 ln .
45 5 5 5 5
5
dx
dx x x C
x
 
   
        
  
 
 
19.
3 2
2 7 4 2
.
2 3
x x x
dx
x
  

Zgjidhje: Kemi:
3 2 3 2
22 7 4 2 1 2 7 4 2 1 5
2 4 2
3 32 3 2 2
2 2
x x x x x x
dx dx x x dx
x x x
 
      
     
   
 
  













    
2
3
5242
2
1 2
x
dx
dxxdxdxx =
Cxx
xx







2
3
ln52
2
4
3
2
2
1 23 3
2 5 3
ln .
3 2 2
x
x x x C     
Integrimi i funksioneve racionale:
Funksioni i formës
)(
)(
)(
xq
xp
xf  ku qp, janë polinome quhet funksion racional.
(1) .
A
dx
x a
(2) ( 2).
( )k
A
dx k
x a


(3) 2
2
( 4 0).
Ax B
dx p q
x px q

 
 
(4)
 
2
22
( 2 4 0).
Ax B
dx k p q
x px q

   
 
 ,

9. 1.  
.
1 2
x
dx
Zgjidhje: Meqenëse ),1)(1(1 2
xxx  atëherë funksionin nënintegral mund ta shkruajmë në formën
BAxBABxBAxA
x
B
x
A
x






)(11
111
1
2
1
( 0) ( 1) .
2
A B A B A B        
Rrjedhimisht:
2
1 1 1 1 1
ln(1 ) ln(1 ) ln .
1 2 1 2 1 2 2 1
dx dx dx x
x x C C
x x x x

         
     
2.  

.
45
12
2
dx
xx
x
Zgjidhje: Meqenëse ),4)(1(452
 xxxx atëherë
BBxAAxx
x
B
x
A
xx
x







412
4145
12
2
)14()2()4()(12  BABABAxBAx
).3()1(  BA
Rrjedhimisht:
3
2
2 1 ( 4)
3 ln( 1) 3ln( 4) ln .
5 4 1 4 1
x dx dx x
dx x x C C
x x x x x
 
          
      
3. 2
3 4
.
6
x
dx
x x

 
Zgjidhje: Zerot e trinomit 62
 xx janë 21 x dhe 2 3.x   Prandaj
32)3)(2(
43
6
43
2









x
B
x
A
xx
x
xx
x
3 4 ( 3) ( 2) 3 4 3 2x A x B x x Ax A Bx B           
3 4 ( ) 3 2 3 3 2 4x A B x A B A B A B           

10. .12
423
3






 BA
BA
BA
Prej nga rrjedh se
2
3 4 2
2ln 2 ln 3 .
6 2 3
x dx
dx dx x x C
x x x x

      
     
4. 2
5 7
.
(2 4 6)
x
dx
x x x

 
Zgjidhje: Integralin e dhënë e shkruajmë në formën:



 dx
xxx
x
)642(
75
2 2
1 5 7
.
2 ( 2 3)
x
dx
x x x

 
Meqenëse zerot e trinomit 0322
 xx janë: ,1,3 21  xx 322
 xx
( 3)( 1).x x   Prandaj
13)1)(3(
75






x
C
x
B
x
A
xxx
x
)3()1()1)(3(75  xCxxBxxxAx
CxCxBxBxAAxAxx 33275 222

)3()32()(75 2
AxCBAxCBAx 
( 0) ( 2 3 5) ( 3 7)A B C A B C A            

7
,
3
A  3,C   .
3
2
B
Prej nga 2
5 7 7 1 2 1 3
.
( 2 3 3 3 3 1
x
x x x x x x

    
   
Rrjedhimisht
    











1
3
33
2
3
7
2
1
)32(
75
2
1
2
x
dx
x
dx
x
dx
dx
xxx
x 1 7 2
ln | | ln | 3| 3ln | 1|
2 3 3
x x x C
 
      
 
7 1 3
ln | | ln | 3| ln | 1|
6 3 2
x x x C     
7 2
6 7 33
6
9
( 3)
ln ln 3 ln ( 1) ln .
( 1)
x x
x x x C C
x

       


11. 5.   1892 23
2
xxx
dxx
.
Zgjidhje: 3 2 2 2
2 9 18 ( 2) 9( 2) ( 2)( 9) ( 2)( 3)( 3),x x x x x x x x x x x             
prandaj
332)3)(3)(2(
2






 x
C
x
B
x
A
xxx
x
)3)(2()3)(2()3)(3(2
 xxCxxBxxAx












.
2
3
,3rep
10
3
,3rep
5
4
,2rep
Cx
Bx
Ax



Rrjedhimisht
3
1
2
3
3
1
10
3
2
1
5
4
1892 23
2






 xxxxxx
x
dhe
2
3 2
4 3 3
ln 2 ln 3 ln 3 .
2 9 18 5 10 2
x dx
x x x C
x x x
       
  
6. 2 2
.
(3 15 18)
xdx
x x 
Zgjidhje: Meqenëse  

 2222
)65(9
1
)65(9 xx
xdx
xx
xdx
dhe meqenëse zerot e trinomit
0652
 xx janë 1 22, 3,x x    atëherë
3)3(2)2()3()2( 2222








 x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
)3()2()2()3)(2()3( 2222
 xxDxCxxBxAx
.5,3,5,2  DCBA
Prej nga

12. 3
5
)3(
3
2
5
)2(
2
)65( 2222








 xxxxxx
x
dhe:      







 3
5
)3(
3
2
5
)2(
2
)65( 2222
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
xx
xdx
Rrjedhimisht: 2 2
1 1 2 3
5ln | 2| 5ln | 3| .
9 ( 5 6) 9 2 3
xdx
x x C
x x x x
 
       
    

7.  
.
)52( 2
xxx
dx
Zgjidhje: Meqenëse trinomi ,0522
 xx nuk ka zero reale, atëherë
52)52(
1
22



 xx
CBx
x
A
xxx
xCBxxxA )()52(1 2

2 1 1 2
1 ( ) (2 ) 5 , ,
5 5 5
A B x A C x A A B C           
52
5
2
5
1
5
1
)52(
1
22





xx
x
xxxx
2 2
1 1 1 2
.
( 2 5) 5 2 5
x
x x x x x x
 
   
    
2 2
1 2
ln .
( 2 5 5 2 5
dx x
x dx
x x x x x
 
   
    
  Meqenëse
  






5252
)22(
2
1
52
2
222
xx
dx
xx
dxx
dx
xx
x
atëherë
 
 52( 2
xxx
dx










   5252
)22(
2
1
ln
5
1
22
xx
dx
xx
dxx
x .
Tani nga se
 


52
)22(
2
1
2
xx
dxx 21
ln | 2 5|
2
x x C  

13. 2 2 2
1 2 1 1 1 1
arctg
22 5 ( 1) 4 2 1 2 2 2
x tdx dx dt x
t arctg
dx dtx x x t
  
    
      
rrjedh se
2 2
1 1 1
ln .
( 2 5) 5 2 22 5
dx x x
arctg C
x x x x x
 
   
    

8. 4
.
1
dx
x 
Zgjidhje: Meqë 4 2 2 2
1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1),x x x x x x        atëherë
4 2
1 1 1 1
, , 0,
1 1 1 1 4 4 2
A B Cx D
A B C D
x x x x

         
   
1
1
2
1
1
1
4
1
1
1
4
1
1
1
24








xxxx
4
1 1 1
ln | 1| ln | 1|
1 4 4 2
dx
x x arctgx C
x
      

4
4
1 1
ln .
1 1 2
dx x
arctgx C
x x

   
 
9.
6 4 2
3 2 2
4 2
.
( 1)
x x x
dx
x x
  

Zgjidhje: Meqenëse
1)1()1(
24
22223223
246








x
GFx
x
EDx
x
C
x
B
x
A
xx
xxx
)1()1()1(24 222222246
 xCxxBxxAxxx
323
)1)(()( xxGFxxEDx 
456246
)2()()(24 xFDCAxGBxFCxxx 
ABxxCAxGEB  23
)2()2(
2, 0, 0, 2, 0, 1, 0.A B C D E F G        

14. Prej nga
    





1)1(
2
2
)1(
24
2223223
246
x
xdx
x
xdx
x
dx
dx
xx
xxx
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
ln( 1) ln 1 .
1 2 ( 1)
x C x C
x x x x
        
 
Integrimi i funksioneve irracionale:
1.
3
3
.
x
dx
x x x x

Zgjidhje: Zëvendësojmë ,6 56
dttdxtx  kemi
 
dx
xxxx
x
3
3
 



 C
t
t
tt
dt 1
ln6
)1(
6 .
1
ln6 6
6
C
x
x


2. 2
2 1
.
x
dx
x


Zgjidhje: Zëvendësojmë ,12 2
tdtdxtx  kemi
dx
x
x


2
12 2 2
2 2 2 2
4
4 .
( 1) ( 1)
t t
dt dt
t t
 
  
Meqenëse
1)1(1)1()1()1()1( 2222
2
22
2










 t
D
t
C
t
B
t
A
tt
t
t
t
)1()1()1()1()1()1( 22222
 ttDtCttBtAt
.
4
1
,
4
1
,
4
1
,
4
1
 DCBA
dx
x
x


2
12
 
 dt
t
t
22
2
)1(
4






   14
1
)1(4
1
2
t
dt
t
dt
4
14
1
)1(4
1
2






  t
dt
t
dt

15. Ct
t
t
t




 |1|ln
1
1
|1|ln
1
1
C
t
t
t
t
C
t
t
t
t











1
1
ln
1
2
1
1
ln
1
2
22
2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1
ln ln .
2 1 1 2 1 1 2 1 1
x x x x
C
x xx x
     
    
     
3.
3
3
1 1
.
1 1
x
dx
x
 
 

Zgjidhje: Zëvendësojmë ,31 23
dttdxtx  kemi



 dx
x
x
3
3
11
11
 




dt
t
tt
dtt
t
t
1
3
1
1
3
32
2
Cttt
t






 |1|ln22
3
3 2
3
.)11ln(12)1(
3
1
3 2333 2
Cxxx
x







4. 3
7 4 .x x dx
Zgjidhje: Zëvendësojmë 3 2
4 3 ,x t dx t dt    kemi
dxxx 3
47   dtttt 23
)4(37 CttC
t
t  )7(3
4
843 34
4
7
.4)12(3)3)(4(43 323
Cxxxxxx 
5. 2
1 1
.
x
dx
x x


Zgjidhje: Zëvendësojmë 2
2 2 2
1 1 2
,
1 ( 1)
x t
t x dx dt
x t t
 
    
 
kemi
33
2 2 2
2 2 2
1 1 2 1
2 ( 1) 2 2 .
( 1) 3 3
x t t x
dx t t dt t dt C C
x x t x
  
            
  
  

16. 6.
4
3
.
x
dx
x x

Zgjidhje: Zëvendësojmë 12 11
12 ,x t dx t dt   kemi dx
xx
x
 3
4
  


 dt
tt
t
dtt
tt
t
)1(
1212 24
14
11
64
3
 
 dt
t
t
1
12 2
10
Ctarctgt
tttt







3579
12
3579
.12124
5
12
7
12
3
4 1212412 512 74 3
Cxarctgxxxxx 
7. 3
.
1 1
xdx
x x  

Zgjidhje: Zëvendësojmë 6 6 5
1 1 6 ,x t x t dx t dt       kemi
  113
xx
xdx
 








 C
tttttt
dtt
tt
t
456789
6
1
6
456789
5
32
6
6 73 43
)1(
7
6
)1(
4
3
)1(
3
2
 xxx
.)1(
2
3
)1(
5
6
)1( 3 26 5
Cxxx 
Integrali i formës: 2
( , ) .R x ax bx c dx  Njehsimi i integraleve të kësaj forme bëhet me zëvendësimet
e Eulerit:
( )a Nëse 0a merret zëvendësimi 2
.ax bx c t ax   
( )b Nëse 0c merret zëvendësimi 2
.ax bx c xt c   
( )c Nëse ))(( 21
2
xxxxacbxax  merret zëvendësimi
2
1( )ax bx c x x t    ose .)( 2
2
txxcbxax 

17. 1.
2
.
4 4
dx
x x x 

Zgjidhje: Meqenëse ,01a merret zëvendësimi  xtxx 442
2 2 2
2
2
4 4 4 4 4
4 4 ,
2( 2) 2( 2) 2( 2)
t t t t t
x x x dx dt
t t t
         
           
       
kemi
  442
xxx
dx
.
2
44
24
2
2
2
C
xxx
arctgc
t
arctg
t
dt




 
2.
2
.
( 1) 1
dx
x x x  

Zgjidhje:Meqenëse ,01 c merret zëvendësimi  11 2
txxx
2 2
2
2 2 2 2
1 2 1 2( 1)
1 ,
1 1 ( 1)
t t t t t
x x x dx
t t t
        
          
       
kemi
22
2 2 ( 1)
2 2( 1) 1
dx dt
arctg t C
t tx x x
     
   
 
.1
11
2
2
C
x
xx
arctg 











3.
2
.
7 10
xdx
x x  

Zgjidhje: Meqenëse ),2)(5(1072
 xxxx merret zëvendësimi

















1
3
107
1
25
)5(107 2
2
2
2
2
t
t
xx
t
t
xtxxx 2 2
6
,
( 1)
t
dx
t
 
 
 
kemi
2
2 22
5 2 3
2 7
( 1) 17 10
xdx t t
dt arctgt C
t tx x

     
   
 
.
29142
)5)(2(3
5
2
7 2
C
xx
xx
x
x
arctg 







18. 4.
2
.
2 3
dx
x x x 

Zgjidhje: Meqenëse ,01a merret zëvendësimi  xtxx 322
3 2 2
2
2
3 2 3 1 2 3
2 2 ,
2(1 ) 2(1 ) 2 (1 )
t t t t t
x x x dx
t t t
           
           
       
kemi
2
2 2 22
1 ( 2 3) 2(1 ) 2(1 )
2 (1 ) ( 3)( 2 3)2 3
dx t t t t
dt
t t t tx x x
      

     
 
2
1 3 1 3
2 2 ln ln
3 2 3 3 3 3
dt t t
C C
t t t
 
    
  

.
332
332
ln
3
1
2
2
C
xxx
xxx




5. .
11
11
2
2
dx
x
x
 

Zgjidhje: Meqenëse ,01 a zëvendësojmë 




 

t
t
xtxx
2
1
1
2
2





 





 
 dt
t
t
dx
t
t
x 2
22
2
2
1
2
1
1 dhe kemi:
2 2 2 3 2
2 2 22
1 1 ( 2 1)( 1) 1 1 4 2 1
( 2 1) 2 2 ( 1)1 1
x t t t t t t
dx dt t dt
t t t t tx
       
  
   
  
 






 dt
ttt
t 22
)1(
841
2
1
2
1
C
t
t
t
t 


1
4
||ln2
2
1
2
1
.
1222
)1ln(2
22
2
C
x
xxx
xx 



19. 6.
2
.
3 2
dx
x x x  

Zgjidhje: Meqenëse ),1)(2(232
 xxxx integrali i dhënë zgjidhet me zëvendësimin
 )2()1)(2( xtxx 














 222
2
)1(
2
1
12
t
tdt
dx
t
t
x
2
2
3 2 .
1
t
x x
t
 
    
 
Kemi:
2 2
2 2 2 22
2 ( 1)( 1)
2 2 2
( 1) (2 1) 2 13 2
dx t t t dt
dt arctg t C
t t tx x x
 
   
    
  
.
2
1
2222 C
x
x
arctgtarctg 










7.
2
2
1 1
.
1 1
x
dx
x
 
 

Zgjidhje: Meqenëse ),1)(1(1 2
xxx  atëherë merret zëvendësimi






















 222
2
2
2
2
)1(
4
1
2
1
1
1
)1(1
t
tdt
dx
t
t
x
t
t
xxtx
dhe kemi
2 22
2 2 2 22
2 2
2
2
1 4
1 1 ( 1)1
4
2 ( 1) ( 1)1 1 1 ( 1)
1
t
t
x tt
dx dt dt
t t tx t
t
 
       
      
 
  
Ctarctg
tt











)1(2
1
1
1
4 2
.
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
4
2
2
2
2
C
x
x
arctg
x
x
x
x

















































20. Integrimi i funksioneve trigonometrike:
(1) Integralet e tipit  sin ,cos ,R x x dx ku R është funksion racional në lidhje me xsin dhe cos .x
Këto integrale shndërrohen në integrale të funksioneve racionale me ndihmën e zëvendësimit
).(
2
 x
x
tgt
(2) Këto integrale mund të zgjidhen edhe me zëvendësime tjera në këto raste:
( )a Nëse ),cos,(sin)cos,sin( xxRxxR  merret zëvendësimi .cos tx 
( )b Nëse ),cos,(sin)cos,(sin xxRxxR  merret zëvendësimi .sin tx 
( )c Nëse ),cos,(sin)cos,sin( xxRxxR  merret zëvendësimi .sin tx 
(2) Integralet e tipit sin cos .m n
x xdx Këto integrale shndërrohen në integrale të funksioneve
racionale kështu:
( )a Nëse m është numër tek ,merret zëvendësimi .cos tx 
( )b Nëse n është numër tek , merret zëvendësimi .sin tx 
( )c Nëse ,m n janë numra çift natyror, zbatohen formulat
.
2
2cos1
cos
2
2cos1
sin 22 x
x
x
x




( )d Nëse ,m n janë numra çift me shenja të kundërta, merret zëvendësimi ttgx  ose .tctgx 
(3) Integralet e tipit: dxnsmx sinsin
dxnsmx cossin
cos cos .mx nsdx
Këto integrale zgjidhen duke zbatuar formulat:
1.  xnmxnmnxmx )cos()cos(
2
1
sinsin  ; 2.  xnmxnmnxmx )cos()cos(
2
1
coscos 
3.  xnmxnmnxmx )sin()sin(
2
1
cossin 

21. 1. .
3sin 4cos
dx
x x
Zgjidhje: Zëvendësojmë
2
2 2 2
2 1 2
sin cos ,
2 1 1 1
x t t dt
t tg x x dx
t t t

     
  
atëherë
2
2
2
2 2
2 1
1 11 2ln
36 4(1 )3sin 4cos 2 5 21
21 1
dt
t
dx dtt C
t tx x tt t
t t

   
  
 
  
1
1 2 2ln .
5 2
2
x
tg
C
x
tg

 

2.
1 sin
.
sin (1 cos )
x
dx
x x


Zgjidhje: Zëvendësojmë
2
2 2 2
2 1 2
sin cos ,
2 1 1 1
x t t dt
t tg x x dx
t t t

     
  
kemi
2
1 sin 1 1 1
2 ln | | 2
sin (1 cos ) 2 2 2
x t
dx t dt t t C
x x t
   
        
    
  .
.
2
2
22
1
2
ln
2
1 2
C
x
tg
x
tg
x
tg 






3.
1
.
sin sin2
dx
x x
Zgjidhje: Ky integral i takon tipit (1) ( ),b prandaj merret zëvendësimi
2
2
sin cos 1 .
1
dt
t x x t dx
t
     

Kemi:
 




 C
t
t
ttt
dt
xx
dx
dx
xx 1
1
ln
2
1
2
1
)1(2
1
cossin2
1
2sinsin
1
222
.
sin1
sin1
ln
2
1
sin2
1
C
x
x
x





22. 4.
3
2
sin
.
cos 1
x
dx
x 
Zgjidhje: Meqenëse
3 3
2 2
( sin ) sin
,
cos 1 cos 1
x x
x x


 
funksioni nënintegral është tek sipas sin ,x prandaj
zëvendësojmë cos sinx t xdx dt    dhe kemi:
3 2 2 2
2 2 2 2
sin sin 1 cos 1
sin sin
cos 1 cos 1 1 cos 1
x x x t
dx xdx xdx dt
x x x t
 
     
      
.)(cos2cos2
1
2
1 2
CxarctgxCarctgttdt
t







 
5.
3
2
cos
.
4sin 1
x
dx
x 
Zgjidhje: Meqenëse funksioni nënintegral është tek sipas cos ,x zëvendësojmë
dtxdxtx  cossin dhe kemi:
   













dt
tt
dt
t
t
dx
x
x
12
1
8
3
12
1
8
3
4
1
14
1
1sin4
cos
2
2
2
3
1 3 2 1 1 3 2sin 1
ln sin ln .
4 16 2 1 4 16 2sin 1
t x
t C x C
t x
 
       
 
6. 2 2
2 3
.
sin 2cos
tgx
dx
x x


Zgjidhje: Ky integral i takon tipit (1) ( ),c prandaj merret zëvendësimi tgx t dhe kemi:
2
2 2 2
2 3 2 3 3
ln( 2) arctg
sin 2cos 2 2 2
tgx t t
dx dt t C
x x t
 
    
  
2 3
ln( 2) arctg .
2 2
tgx
tg x C   
7. 2 2
.
sin 4sin cos 5cos
dx
x x x x 
Zgjidhje: Meqenëse funksioni nënintegral është çift sipas xsin dhe cos ,x zëvendësojmë
22 2
1
sin cos
11 1
u du
tgx t x x dx
uu u
     
                    
dhe kemi

23.   



 1)2(54cos5cossin4sin 2222
u
du
uu
du
xxxx
dx
.)2( Ctgxarctg 
8.
3
6
cos
.
sin
x
dx
x
Zgjidhje: Ky integral i takon tipit (2) ( ),b prandaj merret zëvendësimi sint x dhe kemi:
3
6 2 6 2
6
cos
sin cos cos sin (1 sin ) (sin )
sin
x
dx x x xdx x x d x
x
 
    


 )(sinsin 6
xxd Cxxxxd  

354
sin
3
1
sin
5
1
)(sinsin
.
sin5
1
sin3
1
53
C
xx

9.
4
6
sin
.
cos
x
dx
x
Zgjidhje: Ky integral i takon tipit (2) ( ),d prandaj merret zëvendësimi tgx t dhe kemi:
  dx
x
xtgdx
x
x
2
4
6
4
cos
1
cos
sin 5
4
( ) .
5
tg x
tg xd tgx C  
10. 4 2
sin cos .x xdx
Zgjidhje: Ky integral i takon tipit (2) ( ),c prandaj duke zbatuar formulat
2 21 cos2 1 cos2
sin cos ,
2 2
x x
x x
 
   kemi
 xdxx 24
cossin
2
21 cos2 1 cos2 1
(1 cos 2 )(1 cos2 )
2 2 8
x x
dx x x dx
  
    
 
 
2 2 21 1 1
sin 2 (1 cos2 ) sin 2 sin 2 cos2
8 8 8
x x dx xdx x xdx     
   )2(sin2sin
16
1
4cos1
16
1 2
xxddxx
.
48
2sin
64
4sin
16
2
C
xxx


24. 11. sin 4 cos2 .x xdx
Zgjidhje: Meqenëse
1
sin4 cos2 (sin6 sin2 ),
2
x x x x  atëherë:
1 1
sin4 cos2 (sin6 sin2 ) sin6 (6 )
2 12
x xdx x x dx xd x    
1 1 1
sin2 (2 ) cos6 cos2 .
4 12 4
xd x x x C    
12. cos cos2 cos5 .x x xdx
Zgjidhje: Meqenëse
1 1
cos cos2 cos5 (cos( ) cos3 )cos5 (cos cos5 cos3 cos5 )
2 2
x x x x x x x x x x    
1
((cos( 4 ) cos6 ) (cos( 2 ) cos8 ))
4
x x x x     
1
(cos2 cos4 cos6 cos8 ),
4
x x x x   
Atëherë:  xdxxx 5cos2coscos
1
(cos2 cos4 cos6 cos8 )
4
x x x x dx   
.8sin
32
1
6sin
24
1
4sin
16
1
2sin
8
1
Cxxxx 
13. .
sin sin
dx
x a
Zgjidhje: Meqenëse ,
22
coscos 




 



axax
a atëherë
 
dx
ax
dx
sinsin  





 


 dx
axax
axax
a
2
cos
2
sin
22
cos
cos2
1 sin
1 2ln (cos 0 sin sin ).
cos cos
2
x a
C a x a
x aa

    


25. 14. ( ) .tgxtg x a dx
Zgjidhje: Kemi
 








 dx
axx
axxaxx
dxaxtgtgx 1
)cos(cos
)sin(sin)cos(cos
)(
C
ax
x
ctgaxxdx
axx
a




  )cos(
cos
ln
)cos(cos
cos
ku .0)cos(0cos  axx
15. sin sin5 .x xdx
Zgjidhje: Kemi:   .6sin
12
1
4sin
8
1
)6cos4(cos
2
1
5sinsin Cxxdxxxxdxx
16.  xdxx 5cos3cos .
Zgjidhje: Kemi
   dxxxxxxdxx )]53cos()53[cos(
2
1
5cos3cos
   dxxxdxxx )8cos2(cos
2
1
]8cos)2[cos(
2
1
= .8sin
16
1
2sin
4
1
Cxx 
17.  xx
dx
2sinsin
.
Zgjidhje: Zëvendësojmë sin cos ,x t xdx dt   kemi
2 2 2 2 2
cos 1
sin sin2 2sin cos 2sin (1 sin ) 2 (1 )
dx dx xdx dt
x x x x x x t t
  
    
C
t
t
t




1
1
ln
2
1
2
1
.
sin1
sin1
ln
2
1
sin2
1
C
x
x
x





26. 18.
3
sin
.
2 cos
xdx
x
Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë e pastaj zëvendësojmë cosx t  sin ,xdx dt  kemi:
3 2 2 2
sin sin sin (1 cos )sin 1 3
2
2 cos 2 cos 2 cos 2 2
xdx x x x x t
dx dx dt t dt
x x x t t
   
        
     
    
2
21
2 3ln | 2| cos 2cos 3ln(cos 2) .
2 2
t
t t C x x x C         
19. dx
xx
tgx
 

22
cos2sin
32
.
Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë e pastaj zëvendësojmë tgx t 2
1
,
cos
dx dt
x
  kemi:
2
2
2 2 2
(2 3)
2 3 3cos ln | 2| .
sin 2cos 2 2 2
dx
tgx
tgx xxdx tg x arctg C
x x tg x


    
  
20. sin5 sin3 .x xdx
Zgjidhje: Kemi:
1 sin8 sin2
sin5 sin3 (cos2 cos8 ) .
2 16 4
x x
x xdx x x dx C      
21.  xdxx 24
cossin .
Zgjidhje:Kemi:
2
4 2 (1 cos2 ) 1 cos2
sin cos
4 2
x x
x xdx dx
 
 
21
sin 2 (1 cos2 )
8
x x dx 
  xdxxxdx cos2sin
16
1
2sin
8
1 22
3
sin4 sin 2
.
16 64 48
x x x
C    .

27. 22. sin5 sin3 .x xdx
Zgjidhje: Kemi
1 sin8 sin2
sin5 sin3 (cos2 cos8 ) .
2 16 4
x x
x xdx x x dx C      
23.
3
6
cos
.
sin
x
dx
x
Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë e pastaj zëvendësojmë sin x t cos ,xdx dt  kemi:
3
6 2 6 2
6
cos
sin cos cos sin (1 sin )cos
sin
x
dx x xdx x x xdx
x
 
    
5 3
1 1
... .
3sin 5sin
C
x x
   
24.
4
6
sin
.
cos
x
dx
x
Zgjidhje:Kemi
   .
5coscos
sin 5
2
4
6
4
C
xtg
x
dx
xtgdx
x
x