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1. 1 Ing. Eco. Marcial M. Guevara - Apuntes de clase

2. CONCEPTO
Una sumatoria es un símbolo que se ocupa para denotar en
forma comprimida la suma sucesiva de los términos de una
sucesión.
El signo  corresponde a la letra mayúscula sigma, del alfabeto
griego. Es equivalente a la letra S, de nuestro alfabeto.
Para representar el índice de la suma, puede utilizarse cualquier
otra letra j, l, k, …
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3. PROPIEDADES
1. El valor de la sumatoria no depende del símbolo que se use como
índice.
ai = aj = ak
n
k=1
n
j=1
n
i=1
2. 0≤p ≤n, c es una constante real que no depende del índice i.
c = c(n − p + 1)
n
i=p
Para el caso particular de:
1 = n
n
i=1
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4. PROPIEDADES
3. Si c es una constante:
cai = c ai
n
i=1
n
i=1
4.
(ai+bi) = ai + bi
n
i=1
n
i=1
n
i=1
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5. PROPIEDADES
5. La suma del producto de 2 variables xi y yi:
xiyi = x1y1 + x2y2 + x3y3 + ⋯ + xnyn
n
i=1
6. La suma del producto de una constante y una variable:
axi = a xi = a(x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn)
n
i=1
n
i=1
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6. PROPIEDADES
7. La suma de una constante es igual a n veces la constante:
a = a1 + a2 + a3 + ⋯ + an
n
i=1
8. La suma del producto de 3 variables por sus correspondientes
constantes:
(axi + byi + czi = a xi + b yi +
m
i=1
c zi
m
i=1
m
i=1
m
i=1
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7. PROPIEDADES
9. PropiedadTelescópica:
(ai+1−ai) = an+i − ap
n
i=p
; 0 ≤ p ≤ n
También
(ai−ai+1) = ap − an+1
n
i=p
; 0 ≤ p ≤ n
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8. PROPIEDADES
10.
a) ai = ai+r
n−r
i=p−r
; p − r ≥ 0
n
i=p
; 0 ≤ p ≤ n
b) ai = ai−r
n+r
i=p+r
;
n
i=p
0 ≤ p ≤ n
11. Sea p ≤ n entonces:
ai = ai − ai
p−1
i=1
n
i=1
n
i=p
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9. FÓRMULAS DE LA SUMATORIA
1. 𝐶 = n C
n
i=1
2. 𝑖 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
n
i=1
3. 𝑖2
=
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
n
i=1
4. 𝑖3
=
𝑛2
(𝑛 + 1)2
4
n
i=1
5. 𝑖4
=
𝑛(𝑛 + 1)(6𝑛3
+ 9𝑛2
+ 𝑛 − 1)
30
n
i=1
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10. EJERCICIOS
Cuál es el valor de:
𝑎) 𝑗2
= 12
+
5
𝑗=1
22
+ 32
+ 42
+ 52
=
𝑏) (−1)𝑘
= (−1)4
+(−1)5
+(−1)6
+(−1)7
+(−1)8
=
8
𝑘=4
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11. EJERCICIOS
Cuál es el valor de:
𝑐) 1 =
4
𝑘=1
𝑑) (2)𝑘=
3
𝑘=0
𝑒) (𝑗 + 2)𝑗=
9
𝑗=5
𝑓) 𝑘(2𝑘 − 1) =
8
𝑘=4
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12. EJERCICIOS
Cuál es el valor de:
𝑔) (2𝑖 + 2) =
3
𝑖=1
ℎ)
1
𝑖 + 3
=
8
𝑖=5
𝑖) 2 =
4
𝑗=1
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13. EJERCICIOS
Escribamos en forma de sumatoria, la suma de los n primeros
términos de cada una de las expresiones siguientes:
a) 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + · · ·
b) 1 x 11 + 2 x 12 + 3 x 13 + · · ·
c) 1 x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 + · · ·
d) 1 x 3 + 2 x 5 + 3 x 7 + · · ·
e) 1 x 3 + 3 x 5 + 5 x 7 + · · ·
f) 9 + 11 + 13 + 15 + · · ·
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14. Ejemplos:
Sea 𝑎1 = 3, …, 𝑎𝑛 = 6𝑛 − 3. Calcular:
𝑎𝑘−1𝑎𝑘+1 =
6
𝑘=3
Sol. Notamos que la sumatoria consta de cuatro términos, así,
𝑎𝑘−1𝑎𝑘+1 =
6
𝑘=3
𝑎2𝑎4 + 𝑎3𝑎5 + 𝑎4𝑎6 + 𝑎5𝑎7
= 9x21 + 15x27 + 21x33 + 27x39 = 2340
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15. Ejemplos:
Dado:
𝑥𝑗 = 7; 𝑦𝑗 = −3; 𝑥𝑗𝑦𝑗 = 5
4
𝑗=1
4
𝑗=1
4
𝑗=1
Hallar:
𝑎) (𝑥𝑗 − 3)(2𝑦𝑗 + 1) =
4
𝑗=1
𝑏) (2𝑥𝑗 + 5𝑦𝑗) =
4
𝑗=1
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16. Solución:
𝑎) (𝑥𝑗 − 3)(2𝑦𝑗 + 1) =
4
𝑗=1
= (2
4
𝑗=1
𝑦𝑗𝑥𝑗 − 6𝑦𝑗 + 𝑥𝑗 − 3)
= 2 𝑦𝑗𝑥𝑗
4
𝑗=1
− 6 𝑦𝑗
4
𝑗=1
+ 𝑥𝑗
4
𝑗=1
− 3
4
𝑗=1
= 2(5) – 6(-3) + 7 – 12 = 21
𝑥𝑗 -3
2𝑦𝑗 +1
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17. Solución:
𝑏) (2𝑥𝑗 + 5𝑦𝑗) =
4
𝑗=1
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18. SUMATORIAS DOBLES
Sea 𝑎𝑖𝑗 una sucesión tal que i, j ∈ N x N, así se definen:
𝑎) aij = ( aij) = ( aij); n, m ∈ N
n
i=1
m
j=1
m
j=1
n
i=1
m
j=1
n
i=1
Note que en ( aij)
m
j=1
n
i=1
, la sumatoria entre paréntesis suma sobre j
manteniendo i constante, análogamente para ( aij)
n
i=1
m
j=1
, suma sobre
i y j la considera constante.
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19. SUMATORIAS DOBLES
b) Si es el caso que aij= bicj , entonces:
aij = bicj = ( bi)( cj)
m
j=1
n
i=1
m
j=1
n
i=1
m
j=1
n
i=1
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20. SUMATORIAS DOBLES
c) Ahora si se trata de aij entonces:
i
j=1
n
i=1
aij = ( aij)
i
j=1
n
i=1
i
j=1
n
i=1
Y en este caso la sumatoria indicada entre paréntesis es la que
se debe efectuar necesariamente en primera instancia.
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21. Ejemplos:
Desarrollaremos y calcularemos:
𝑎) (
1
j
+ k)
2
𝑗=1
=
3
𝑘=1
𝑏) 2ji
𝑖
𝑗=1
=
2
𝑖=1
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22. Solución:
𝑎) (
1
j
+ k)
2
𝑗=1
=
3
𝑘=1
= (
1
j
2
𝑗=1
+ k
2
𝑗=1
3
𝑘=1
)
= (
1
1
+
1
2
+ 𝑘 ∗ 2
3
𝑘=1
)
=
3
2
+ 2 k
3
𝑘=1
3
𝑘=1
) =
3
2
∗ 3 + 2 1 + 2 + 3 =
33
2
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23. Solución:
𝑏) 2ji
𝑖
𝑗=1
= 2j
1
𝑗=1
+ 4j = 2 ∗ 1 + 4 ∗ 1 + 4 ∗ 2 = 14
2
𝑗=1
2
𝑖=1
Ó
2ji
𝑖
𝑗=1
= (2i
2
𝑖=1
j) = 2i
2
𝑖=1
1
2
i(i + 1) = 𝑖2
(𝑖 + 1)
2
𝑖=1
𝑖
𝑗=1
2
𝑖=1
= 12 ∗ 2 + 22 ∗ 3 = 14
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