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1. MOVIMIENTO VIBRATORIO

2. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Consideraremos que no existen fuerzas retardadoras
m
m
s
𝑭 = 𝒌𝒔
𝒙
𝑭 = 𝑾
𝒌𝒔 = 𝒎𝒈 𝑭 = −𝒌 𝒔 + 𝒙 + 𝒎𝒈
𝒎𝒂 = −𝒌𝒔 − 𝒌𝒙 + 𝒎𝒈
𝒎𝒂 = −𝒌𝒙
𝒎
𝒅𝟐
𝒙
𝒅𝒕𝟐
= −𝒌𝒙
Movimiento
Sin estirar
Equilibrio

3. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
La ecuación de movimiento esta dada por
𝒎
𝒅𝟐
𝒙
𝒅𝒕𝟐
+ 𝒌𝒙 = 𝟎 ó 𝒎𝒙′′ + 𝒌𝒙 = 𝟎
Que tiene como condiciones iniciales
𝒙 𝟎 = 𝜶 , 𝒙′ 𝟎 = 𝜷

4. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
Consideraremos el signo para los desplazamientos como
sigue
𝑥 < 0
𝑥 > 0
𝑥 = 0 Posición de equilibrio

5. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
La ecuación de movimiento es una ecuación homogénea con
coeficientes constantes
𝑚
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2 + 𝑘𝑥 = 0
𝑚𝑥′′ + 𝑘𝑥 = 0
𝑥′′ + 𝜔2
𝑥 = 0
𝑟2
+ 𝜔2
= 0 ⇒
𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
𝑘
𝑚
= 𝜔2
𝑟2 = −𝜔2
𝑟 = 0 ± 𝜔𝑖

6. EJEMPLO
Un cuerpo que pesa 8lb sujeto a
un resorte esta sometido a un
movimiento armónico simple.
Determine la ecuación de
movimiento si la constante del
resorte es 1lb/pie y si el cuerpo se
suelta desde un punto que esta a
1/2pie debajo de la posición de
equilibrio con una velocidad
dirigida hacia abajo de 3/2pie/s
𝑊 = 8
𝑘 = 1
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑘𝑥 = 0
𝑥 0 = 1/2 , 𝑥′
0 = 3/2
𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 , 𝜔2
=
𝑘
𝑚
Para hallar la masa 𝑚
𝑊 = 𝑚𝑔 → 𝑚 =
𝑊
𝑔
=
8
32
=
1
4
𝜔 =
𝑘
𝑚
= 4 = 2
𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛2𝑡
Usando las condiciones iniciales
𝑥 𝑡 =
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝑡 +
3
4
𝑠𝑒𝑛2𝑡

7. EJEMPLO
Un cuerpo que pesa 24 lb
sujeto al extremo de un resorte
lo estira en 1/3pie, obtenga la
ecuación de movimiento si el
peso en reposo se suelta desde
un punto que está 1/4pie sobre
la posición de equilibrio

8. FORMAALTERNATIVA DE LA SOLUCIÓN
Si la solución 𝑥(𝑡) es tal que 𝑐1 ≠ 0 𝑦 𝑐2 ≠ 0 entonces
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙
Donde
𝐴 = 𝑐1
2
+ 𝑐2
2
𝐴 Amplitud
𝑡𝑎𝑛𝜙 =
𝑐1
𝑐2
𝜙 ángulo fase
𝑐1
𝑐2
𝜙
𝒔𝒆𝒏𝝓 =
𝒄𝟏
𝑨
𝒄𝒐𝒔𝝓 =
𝒄𝟐
𝑨
Periodo
𝑻 =
𝟐𝝅
𝝎
Frecuencia
𝒇 =
𝟏
𝑻

9. EJEMPLO
Un cuerpo que pesa 64 lb sujeto
al extremo de un resorte lo estira
0.32pie. El cuerpo ocupa una
posición que esta 2/3pie sobre la
posición de equilibrio y desde ahí
se le comunica una velocidad
dirigida hacia abajo de 5pie/s
a) Encuentre la ecuación de
movimiento
b) Calcule la amplitud y el
periodo
c) ¿Cuantas oscilaciones
completas habrá realizado el
peso después de 3𝜋
segundos?
d) ¿En que instante pasa el
cuerpo por la posición de
equilibrio en dirección hacia
abajo por segunda vez?