ejercicios de sismo

1. UniversidadNacional de
Ingeniería.
Instituto de estudio superiores
Facultad de Tecnología de la construcción.
Trabajo de un grado de libertad
Trabajo de sismología
Docente:
ING. Carlos Gilberto Zepeda Navarrete.
Sección:
5T1-C
Autores: Anotar sus Nombres y N# de Carnet


 Luis Antonio Martínez Urbina. 2016-0447I
Lunes 06 de septiembre del 2021

2. Managua -Nicaragua.
4) Determine la frecuencia natural de un peso w suspendido de un resorte en
el punto medio de una viga simplemente apoyada (ver figura). La longitud de
la viga es L y su rigidez a la flexión es EI. La rigidez del resorte es k. suponga
que la viga carece de masa. Explique conceptualmente el procedimiento
realizado.
Entonces tendremos que Kv para la rigidez de la viga y Kr la del resorte ambas
rigideces se encuentran en serie, por lo tanto:
Para encontrar Kv debemos conocer la deflexión máxima en el punto de la carga de
una viga simplemente apoyada con una carga puntual en el medio, donde la
deflexión es:
𝛿 =
𝑃𝐿3
48𝐸𝐼
=
𝑃
𝐾
→ 𝐾𝑣 =
48𝐸𝐼
𝐿3
El resorte es simplemente K
𝐾𝑟 = 𝐾
De esto calculamos la rigidez equivalente en serie, con la formula para un sistema
en serie Ke
𝐾𝑒 =
𝐾1 ∗ 𝐾2 . …𝐾𝑛
∑ 𝐾𝑛
𝑛
𝑖=1

3. 𝐾𝑒 =
𝑘 ∗ (48 ∗
𝐸𝐼
𝐿3 )
𝐾 + 48 ∗
𝐸𝐼
𝐿3
Y como la frecuencia es igual a
𝜔𝑛 = √
𝐾𝑒
𝑚
𝑚 =
𝑊
𝑔
Tenemos que:
𝜔𝑛 = √
𝑔 ∗ 𝑘 ∗ (48 ∗
𝐸𝐼
𝐿3 )
𝑊 ∗ (𝐾 + 48 ∗
𝐸𝐼
𝐿3 )

4. 5) Una masa m1 cuelga de un resorte k y está en equilibrio estático. Una
segunda masa m2 cae a través de una altura h y se pega a m1 sin rebote (ver
figura). Determine el movimiento subsecuente u(t) medido desde la posición
de equilibrio estático de m1 y k.
Para la solución de este ejercicio debemos plantearnos la ecuación de equilibrio
medido de u desde la posición de equilibrio de m1 y k y antes del impacto es:
La solución general de esa ecuación es:
y sabemos que la frecuencia siempre es:
Diagrama de cuerpo libre
(𝑚1 + 𝑚2)𝑢̈ + 𝑘𝑢 = 𝑚2 ∗ 𝑔
EC.1
𝑢(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝜔𝑛𝑡 +
𝑚2 ∗ 𝑔
𝐾 EC.2
𝜔𝑛 = √
𝐾
𝑚1 + 𝑚2

5. Ahora pasamos a tomar las condiciones iniciales:
La condición inicial de la velocidad se determina por la conservación de momento
durante el impacto:
Aplicamos las condiciones iniciales para encontrar A y B:
Cuando 𝑢(0):
Cuando 𝑢̇(0) = 𝜔𝑛𝐵 =
EC.3
𝑢(0) = 0 𝑢̇(0) =
𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
∗ √2𝑔ℎ EC.4
𝑚2𝑢̇2 = (𝑚1 + 𝑚2)𝑢̇(0)
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢̇2 = √2𝑔ℎ
u(t) = A cos𝜔𝑛0 + 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑛0 +
𝑚2𝑔
𝑘
𝐴 = −
𝑚2𝑔
𝐾
EC.5
𝐵 =
𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
∗
√2𝑔ℎ
𝜔𝑛
EC.6

6. Sustituimos las constantes obtenidas en (Ec.5) y (Ec.6) en (Ec.2) para determinar
el movimiento subsecuente 𝑢(𝑡):
𝑢(𝑡) =
𝑚2𝑔
𝐾
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡) +
𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
∗
√2𝑔ℎ
𝜔𝑛
∗ sin𝜔𝑛𝑡 EC.7

7. 9) Deduzca la ecuación para la repuesta en desplazamiento de un sistema de
1GDL con amortiguamiento viscoso en repuesta a la velocidad inicial para tres
casos:
(a) sistemas sub amortiguados.
(b) sistemas críticamente amortiguados.
(c) sistemas sobre amortiguados
Grafique
𝒖(𝒕)
𝒖(𝟎)
̇
𝝎𝒏
⁄ 𝒗𝒆𝒓𝒔𝒖𝒔 𝒕
𝑻𝒏
⁄ 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝝃 = 𝟎. 𝟏,𝟏 𝒚 𝟐
Primero establecemos la ecuación general de una vibración libre amortiguado:
Se asume que la solución es:
Sustituimos la solución en EC.1:
Y como 𝑒𝑠𝑡
nunca es cero:
Las raíces de esta ecuación dependen de ζ:
𝑢̈ + 2𝜁𝜔𝑛𝑢 + 𝜔𝑛
2𝑢̇ = 0
̇ EC.1
𝑢(𝑡) = 𝑒𝑠𝑡
(𝑠2
+ 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
𝑠) ∗ 𝑒𝑠𝑡
= 0
(𝑠2
+ 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
𝑠)=0 EC.2

8.  Sistemas sub amortiguados, es decir, ζ < 1
Al resolver la ecuación en la que la variable principal es s, se observa que 𝑒𝑠𝑡
≠ 0;
entonces para resolver la ecuación es necesario igualar a 0 la ecuación.
s2
+ 2ζωns + ωn
2
= 0
Aplicando la ecuación general, tenemos:
𝑠 =
−2ζωns± √(2ζsωn)2 − 4𝑠2ωn
2
2
A diferencia del sobre amortiguado sistema sub amortiguado posee dos raíces con
valores complejos para ζ<1
𝑺𝟏 = (−ζ +i√1− ζ2
)ω
n
𝑺𝟐 = (−ζ −i√1− ζ2
)ω
n
Se plantea la siguiente ecuación:
𝑢(𝑡) = 𝐴1 𝑒𝜆1𝑡
+ 𝐴2𝑒𝜆2𝑡
Pero como en este caso 𝜆 = 𝑠 solo obtuvimos un valor tenemos
que después de sustituir se convierte en:
𝑢(𝑡) = 𝐴𝑒𝑆1𝑡
+ 𝐴2𝑒𝑆2𝑡
𝑢(𝑡) = 𝐴1 𝑒(−ζ+i√1−ζ2)ωn𝑡
+ 𝐴2𝑒(−ζ−i√1−ζ2)ωn𝑡
Si 𝜔𝑥 = 𝜔𝑛√1 − ζ2
Entonces 𝑢(𝑡) = 𝑒−ζωn𝑡
(𝐴1𝑒iωx𝑡
+ 𝐴2𝑒−iωn𝑡
)
EC.1.1
EC.2.1
EC.3.1
EC.4.1

9. Podemos reescribir la ecuación en términos de f unción trigonométrica
𝑢(𝑡) = 𝑒−ζωn𝑡
(𝐴1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥𝑡 + 𝐴2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑥𝑡)
Aplicamos las condiciones de u (0) y ů (0):
𝑢(0) = 𝑒−ζωn0
(𝐴1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥0 + 𝐴2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑥0)
0 = 𝐴1
Al derivar la ecuación
𝑢(𝑡) = 𝑒−ζωn𝑡
(𝐴1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥𝑡 + 𝐴2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑥𝑡)
obtenemos:
ů(t) = 𝑒−ζωn𝑡
(−𝐴1𝑠𝑒𝑛𝜔𝑥𝑡 + 𝐴2𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥𝑡)
Al aplicar nuevamente las condiciones de u (0) y ů (0):
ů(0) = 𝜔𝑥𝑒−ζωn0
(−𝐴1𝑠𝑒𝑛𝜔𝑥0 + 𝐴2𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥0)
ů(0) = A2ωx
Con estas ecuaciones evaluadas en 0 podemos sacar los valores de 𝐴2 𝑦 𝐴1
A2 =
ů(0)
ωx
A1 = 0
Sustituyendo en la ecuación 𝑢(𝑡) = 𝑒−ζωn𝑡
(𝐴1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥𝑡 + 𝐴2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑥𝑡) los
valores de A1 y A2 tenemos
𝑢(𝑡) = 𝑒−ζωn𝑡
[
ů(0)
ωx
𝑠𝑒𝑛𝜔𝑥𝑡]
𝑢(𝑡) = 𝑒−ζωn𝑡
[
ů(0)
𝜔𝑛√1 − ζ2
𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛√1 − ζ2 𝑡]
EC.7.1
EC.6.1
EC.5.1

10.  Sistemas críticamente amortiguados, es decir, ζ = 1
Las raíces de la EC.2 ahora son:
La solución general es:
Condiciones iniciales 𝑢(0) = 0 𝑦 𝑢̇(0):
Sustituimos las condiciones iniciales en EC.9:
 Sistemas sobre amortiguados, es decir, ζ > 1
Las raíces de la EC.2 ahora son:
La solución general es:
𝑠1 = −𝜔𝑛 𝑠2 = −𝜔𝑛
𝑢(𝑡) = 𝐴1𝑒−𝜔𝑛𝑡
+ 𝐴2𝑒−𝜔𝑛𝑡
𝐴1 = 0 𝐴2 = 𝑢̇(0)
EC.8
EC.9
EC.10
𝑢(𝑡) = 𝑢̇(0)𝑡𝑒𝜔𝑛𝑡
𝑠1,2 = 𝜔𝑛 (−𝜁 ± 𝑖√1 − 𝜁2)
𝑢(𝑡) = 𝐴1𝑒𝑠1𝑡
+ 𝐴2𝑒𝑠2𝑡
EC.11
EC.12
EC.13

11. Ahora sustituimos en la EC.13 las raíces de la EC.12 obtenemos:
Condiciones iniciales 𝑢(0) = 0 𝑦 𝑢̇(0):
Sustituimos las condiciones iniciales en EC.14:
Graficaremos la EC.7 con ζ = 0,1; EC.11 con ζ = 1 y EC.16 con ζ = 2:
𝑢(𝑡) = 𝐴1𝑒
(−𝜁±𝑖√1−𝜁2)𝜔𝑛
+ 𝐴2𝑒
(−𝜁±𝑖√1−𝜁2)𝜔𝑛𝑡
−𝐴1 = 𝐴2 =
𝑢̇
2𝜔𝑛√𝜁2 − 1
𝑢(𝑡) =
𝑢̇ (0)𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡
2𝜔𝑛√𝜁2 − 1
∗ (𝑒𝜔𝑛𝑡
√𝜁2 − 1 − 𝑒−𝜔𝑛𝑡
√𝜁2 − 1)
EC.14
EC.15
EC.16
-0.800
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000
(𝒖
(𝒕))⁄((𝒖(𝟎))
̇
/
𝝎_𝒏
)
𝒕⁄𝑻_𝒏
(𝒖(𝒕))⁄((𝒖(𝟎)) ̇/𝝎_𝒏 ) 𝒗𝒆𝒓𝒔𝒖𝒔 𝒕⁄𝑻_𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂𝝃=𝟎.𝟏,𝟏
𝒚 𝟐
EC.7 ζ=0.1
EC.11 ζ=1
EC16 ζ=2