1. Логарифмические
неравенства (С3)
Урок №17-18

2. Основные типы простейших
неравенств:
𝒂 > 𝟏 𝟎 < 𝒂 < 𝟏
1)
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑓 𝑥 > 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑔 𝑥
𝑔 𝑥 > 0
𝑓 𝑥 > 0
𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥)
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑓 𝑥 > 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑔 𝑥
𝑓 𝑥 > 0
𝑔 𝑥 > 0
𝑓 𝑥 < 𝑔(𝑥)
2)
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑓 𝑥 > 𝑏
𝑓 𝑥 > 𝑎 𝑏
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑓 𝑥 > 𝑏
𝑓 𝑥 > 0
𝑓 𝑥 < 𝑎 𝑏
3)
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑓 𝑥 < 𝑏
𝑓 𝑥 > 0
𝑓 𝑥 < 𝑎 𝑏
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑓 𝑥 < 𝑏
𝑓 𝑥 > 𝑎 𝑏

3. Примеры (𝑎 > 1):
 1). 𝑙𝑜𝑔4 𝑥 + 6 ≤ 2𝑙𝑜𝑔4 𝑥
 2). 𝑙𝑔 2x − 3 ≥ 𝑙𝑔 3x − 4
 3). 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 > 3
 4). 𝑙𝑜𝑔2 𝑥2
+ 𝑥 + 2 > 3
 5). 𝑙𝑜𝑔2 𝑥2 + 𝑥 + 2 < 3
 6). 𝑙𝑜𝑔4
5−𝑥
𝑥−2
>1
 7). 𝑙𝑛 2𝑥 + 15 < ln 5𝑥 + ln(𝑥 − 4)
 8). 𝑙𝑜𝑔4 𝑥 − 2 + 𝑙𝑜𝑔4 𝑥 − 8 < 2
 9). 𝑙𝑜𝑔2 1 +
1
𝑥
> 1

4. Примеры (0 < 𝑎 < 1):
 1). 𝑙𝑜𝑔0,8 2𝑥 − 3 ≥ 𝑙𝑜𝑔0,8 3𝑥 − 4
 2). 𝑙𝑜𝑔0,1 𝑥 + 4 ≤ 𝑙𝑜𝑔0,1 𝑥 − 2 2
 3). 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 + 7 > −3
 4). 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥−2
1−𝑥
≤ −4
 5). 𝑙𝑜𝑔1
2
2𝑥−1
𝑥+1
> −2
 6). 𝑙𝑜𝑔1
6
10 − 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔1
6
𝑥 − 3 ≥ −1
 7). 𝑙𝑜𝑔1
3
𝑥2 − 8𝑥 > −2
 8). 𝑙𝑜𝑔1
2
3 − 4𝑥 ≥ −2

5. Примеры (разные):
 1. ) (𝑙𝑜𝑔0,1 𝑥)2
+ 𝑙𝑜𝑔0,1 𝑥 < 6
 2. ) 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 − 1) 2
− 2𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 1 ≤ −1
 3. ) 𝑙𝑜𝑔7 𝑙𝑜𝑔1
3
𝑙𝑜𝑔8 𝑥 > 0
 4. ) 𝑙𝑜𝑔5 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑙𝑜𝑔9 𝑥 < 0
 5. )
𝑙𝑜𝑔0,5(𝑥2−3)
𝑙𝑔3
≤ 0
 6. ) |𝑙𝑜𝑔2 𝑥| ≥ 2
 7. ) 2𝑙𝑜𝑔5 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔 𝑥125 ≤ 1
 8. )
2𝑙𝑔𝑥+3
𝑙𝑔𝑥+1
≥ 1

6. Основные типы неравенств, содержащих
переменную в основании логарифма
1). 𝒍𝒐𝒈 𝒈 𝒙 𝒇 𝒙 ∗ 𝟎
𝑓 𝑥 − 1 ∙ 𝑔 𝑥 − 1 ∗ 0 ОДЗ:
𝑓 𝑥 > 0
𝑔 𝑥 > 0
𝑔(𝑥) ≠ 1
2). 𝒍𝒐𝒈 𝒈 𝒙 𝒇 𝒙 ∗ 𝐛
𝑓 𝑥 − (𝑔 𝑥 ) 𝑏 ∙ 𝑔 𝑥 − 1 ∗ 0 ОДЗ:
𝑓 𝑥 > 0
𝑔 𝑥 > 0
𝑔(𝑥) ≠ 1
3). 𝒍𝒐𝒈 𝒈 𝒙 𝒇 𝒙 ∗ 𝒍𝒐𝒈 𝒈 𝒙 𝒉(𝒙)
𝑓 𝑥 − ℎ(𝑥) ∙ 𝑔 𝑥 − 1 ∗ 0 ОДЗ:
𝑓 𝑥 > 0
ℎ 𝑥 > 0
𝑔 𝑥 > 0
𝑔(𝑥) ≠ 1

7. Примеры:
 1. ) 𝑙𝑜𝑔 𝑥2−3 4𝑥 + 7 > 0
 2. ) 𝑙𝑜𝑔 𝑥3−3𝑥2+3𝑥−1 9 − 𝑥 ≥ 0
 3. )𝑙𝑜𝑔 𝑥−1
5𝑥−6
6 − 2𝑥 < 0
 4. ) 𝑙𝑜𝑔(𝑥−1)2 𝑥2
≤1
 5). 𝑙𝑜𝑔 1
1+𝑥2
4𝑥 − 2 > −1

8. Домашнее задание (1):

9. Домашнее задание (2):