Kuliah Hidraulika membahas metode penyelesaian persamaan aliran berubah lambat laun untuk menghitung kedalaman aliran di sepanjang saluran, termasuk metode integrasi numerik, integrasi grafis, dan langkah langsung.

1. Kuliah Hidraulika
Wahyu Widiyanto
Teknik Sipil
Universitas Jenderal Soedirman
(Metode Integrasi Numerik, Integrasi Grafis, Langkah Langsung)

2. Persamaan Aliran Berubah Lambat Laun
• Kedalaman aliran di sepanjang saluran dapat
dihitung dengan menyelesaikan persamaan
diferensial untuk aliran berubah lambat laun.
3
2
0
1
gA
T
Q
I
I
dx
dy f



y : kedalaman aliran
x : jarak
I0 : kemiringan dasar saluran
If : kemiringan garis energi
Q : debit aliran
T : lebar bagian atas saluran
g : percepatan gravitasi
A : luas tampang saluran

3. Penyelesaian Persamaan
• Ada beberapa metode untuk
menyelesaikan persamaan di atas, di
antaranya:
1. Metode integrasi numerik
2. Metode integrasi grafis
3. Metode langkah langsung (direct step)
4. Metode langkah standar (standar step)

4. Metode Integrasi Numerik
Persamaan aliran berubah lambat laun dibawa ke
dalam bentuk sbb:
3
2
3
/
4
2
2
2
0
1
gA
T
Q
R
A
Q
n
I
dx
dy



Selanjutnya persamaan tersebut akan diselesaikan
secara numerik dan ditulis sbb:
3
2
3
/
4
2
2
2
0
1
gA
T
Q
R
A
Q
n
I
f



i
i
i
i
i x
f
f
y
y 


 

2
1
1
dan
dengan f = dy/dx

5. Ingat…!!!
3
2
3
/
4
2
2
2
0
1
gA
T
Q
R
A
Q
n
I
f



i
i
i
i
i x
f
f
y
y 


 

2
1
1
……………………..... (a)
……………………..... (b)
Lambang I boleh diganti S
Lambang y boleh diganti h

6. Langkah-langkah Penyelesaian
1. Berdasarkan nilai yi awal yang diketahui, dihitung nilai fi
dari persamaan (a)
2. Pertama kali dianggap fi+1 = fi
3. Hitung nilai yi+1 dari persamaan (b) dengan
menggunakan nilai fi+1 yang diperoleh dalam langkah 2
atau nilai fi+1 yang diperoleh dalam langkah 4
4. Hitung nilai baru yi+1 dengan menggunakan nilai fi+1
yang dihitung dari nilai yi+1 dari langkah 3
5. Apabila nilai yi+1 yang diperoleh dalam langkah 3 dan 4
masih berbeda jauh, maka langkah 3 dan 4 diulangi lagi
6. Sesudah nilai yi+1 yang benar diperoleh, dihitung nilai
yi+2 yang berjarak x dari yi+1.
7. Prosedur di atas diulangi lagi sampai diperoleh nilai y di
sepanjang saluran

7. Contoh hitungan
• Suatu saluran lebar dengan tampang
segiempat dengan debit tiap satuan lebar
2,5 m3/d/m. Kemiringan dasar saluran
0,001 dan koefisien Manning n = 0,015.
Pada suatu titik diketahui kedalaman air
adalah 2,75 m. Berapakah kedalaman air
pada jarak setiap interval 200 m dari titik
tersebut ke arah hulu? Gunakan metode
integrasi numerik.

8. Penyelesaian
i
gA
T
Q
i
R
A
Q
n
S
fi



















3
2
3
/
4
2
2
2
0
1
i
gh
q
i
h
q
n
S
fi



















3
2
3
/
10
2
2
0
1
Untuk saluran lebar R ≈ h sehingga:

9. 2
1
3
2
2
1
3
2 1
1
S
R
n
Bh
S
R
n
A
Q n
n
n
n 

2
1
3
2
1
S
R
n
h
q n
n
 2
1
)
001
,
0
(
015
,
0
1
5
,
2
3
/
5
n
h

hn
5/3 = 1,186 → hn = 1,1076 m
Kedalaman kritik :
m
8605
,
0
81
,
9
5
,
2
3
2
3
2



g
q
hc
Karena hn > hc maka aliran adalah subkritis, dan hitungan profil
muka air dilakukan dari hilir ke hulu.
Kedalaman normal :

10. Untuk i = 1 :
0009818
,
0
75
,
2
81
,
9
5
,
2
1
75
,
2
5
,
2
015
,
0
001
,
0
3
2
3
/
10
2
2
1 

















 


f
Pertama kali dianggap f2 = f1 sehingga dengan persamaan (b)
dapat dihitung h2 :
1
2
1
1
2
2
x
f
f
h
h 



m
5536
,
2
200
2
0009818
,
0
0009818
,
0
75
,
2 




Kedalaman air pada jarak 200 m ke arah hulu.
i
i
i
i
i x
f
f
y
y 


 

2
1
1 Untuk aliran subkritis Δx bernilai negatif

11. Dihitung kemiringan profil muka air di titik i = 2 :
0009755
,
0
5536
,
2
81
,
9
5
,
2
1
5536
,
2
5
,
2
015
,
0
001
,
0
3
2
3
/
10
2
2
2 

















 


f
Kedalaman air di titik i = 2 dengan memperhitungkan
kemiringan profil muka air di titik 1 dan 2, yaitu f1 dan f2,
adalah :
m
5543
,
2
200
2
0009755
,
0
0009818
,
0
75
,
2
2 




h

12. Kemiringan profil muka air di titik i = 2, yaitu f2, dihitung
berdasarkan kedalaman h2, yaitu :
0009756
,
0
5543
,
2
81
,
9
5
,
2
1
5543
,
2
5
,
2
015
,
0
001
,
0
3
2
3
/
10
2
2
2 

















 


f
h3 = h2 – f2∆x2 = 2,5543 – 0,0009756 x 200 = 2,3592 m
Kemiringan profil muka air di titik i = 3 :
0009664
,
0
3592
,
2
81
,
9
5
,
2
1
3592
,
2
5
,
2
015
,
0
001
,
0
3
2
3
/
10
2
2
3 

















 


f
Kedalaman air pada jarak 400 m ke arah hulu.

13. 2
3
2
2
3
2
x
f
f
h
h 



m
3601
,
2
200
2
0009664
,
0
0009756
,
0
5543
,
2 




Hitungan selanjutnya dikerjakan dengan
langkah yang sama dan hasilnya diberikan
dalam tabel dan gambar berikut ini.

14. Titik i xi+1 – xi (m)
Jarak kumulatif
(m)
hi (m)
1 0 2.7500
200
2 200 2.5543
200
3 400 2.3601
200
4 600 2.1681
200
5 800 1.9796
200
6 1000 1.7966
200
7 1200 1.6223
200
8 1400 1.4625
200
9 1600 1.3268
200
10 1800 1.2268
200
11 2000 1.1673
Tabel hasil hitungan profil muka air.

15. 1
2
3
4
5
y1=2,75
y2
hc=0,86
hn=1,1
M1
GKN
GKK
Sketsa profil muka air M1 (pembendungan)
GKN : garis kedalaman normal
GKK : garis kedalaman kritik

16. Metode Integrasi Grafis
3
2
0
1
gA
T
Q
I
I
dx
dy f



Persamaan semula
Ditulis menjadi:
f
I
I
gA
T
Q
dy
dx



0
3
2
1
Ruas kanan persamaan di atas hanya merupakan fungsi dari
y untuk bentuk saluran tertentu, sehingga dapat ditulis
sebagai f (y) dan dapat ditulis menjadi:
dx = f(y) dy
………………………. (a)
………………………. (b)

17. y1
y2
y
y
y1
y2
1








dy
dx
2








dy
dx








dy
dx








dy
dx
dy
dy
dy
dx
x
y
y
 








2
1
O
Sketsa integrasi grafis
O

18. Dari gambar di atas
• Dipandang suatu pias saluran yang dibatasi dua tampang lintang
yang berjarak x1 dan x2 dari titik O yang mempunyai kedalaman y1
dan y2.


 

2
1
2
1
2
1
)
(
y
y
y
y
x
x
dy
dy
dx
dy
y
f
dx
x = x2 – x1
Dengan menggunakan persamaan (b) untuk setiap nilai y
dapat dihitung nilai dx/dy dan selanjutnya dapat digambar
grafik hubungan antara dx/dy dan y seperti terlihat dalam
gambar. Nilai x adalah sama dengan luasan yang diarsir.
Dengan menghitung luasan tersebut maka dapat diperoleh
nilai x.
…………. (c)

19. Contoh Hitungan
• Suatu saluran segiempat dengan lebar
dasar B = 10 m. Kedalaman air normal yn
= 2,71 m dan kedalaman air di batas hilir
adalah 4,87 m. Kemiringan saluran Io =
0,0005. Koefisien kekasaran Chezy C =
50 m2/d. Koefisien Coriolis a = 1,11 dan
percepatan gravitasi g = 9,81 m/d2. Hitung
profil muka air dengan metode integrasi
grafis.

20. Penyelesaian
Menghitung debit aliran
Luas tampang basah: A = 10 x 2,71 = 27,1 m2
Keliling basah: P = 10 + 2x2,71 = 15,42 m
Jari-jari hidraulis: R=A/P = 1,76 m
Menghitung profil muka air


 

2
1
2
1
2
1
)
(
y
y
y
y
x
x
dy
dy
dx
dy
y
f
dx
Debit aliran: Q=AC√(RI) = 27,1 x 50 √(1,76 x 0,0005) = 40,2 m3/d

21. f
f I
I
A
I
I
gA
T
Q
y
f









0
3
2
0
3
2
81
,
9
10
2
,
40
11
,
1
1
1
)
(
a
f
I
A
y
f



0005
,
0
5
,
1828
1
)
(
3
Dimana nilai If dapat dihitung dengan rumus Chezy:
Q = A C R1/2 If
1/2
atau
 
2
2
2
2
2
2
2
6464
,
0
50
2
,
40
RA
RA
C
RA
Q
I f 


………………………. (1)
Hitungan selanjutnya berdasarkan persamaan (1), dilakukan
dengan menggunakan tabel di bawah.

22. Profil y B A P R If f(y)
(m) (m) (m2
) (m) (m)
0 2,71 10 27,1 15,42 1,757 0,000501 ∞
I 3,00 10 30,0 16,00 1,875 0,000383 7972
II 3,50 10 35,0 17,00 2,059 0,000256 3928
III 4,00 10 40,0 18,00 2,222 0,000182 3053
IV 4,50 10 45,0 19,00 2,368 0,000135 2683
V 4,87 10 48,7 19,74 2,467 0,000110 2527
Tabel Hitungan profil muka air dengan metode integrasi grafis
Nilai y pada kolom kedua dari tabel tersebut ditentukan secara
sembarang kecuali nilai pada batas hulu dan hilir yang telah diketahui.

23. 7972
2527
2683
3053
3928
y
f(y)
2,71 3,0 3,5 4,0 4,5 4,87
0 I II III IV V

24. x0 - x1 = x01 = ( ∞ + 7972 ) ∙ 0,29/2 = ∞
x1 – x2 = x12 = (7972 + 3928 ) ∙ 0,50/2 = ….. m
x2 – x3 = x23 = (3928 + 3053) ∙ 0,50/2 = ….. m
x3 – x4 = x34 = (3053 + 2683 ) ∙ 0,50/2 = …… m
x4 – x5 = x45 = (2683 + 2527 ) ∙ 0,37/2 = ……. m
xmax – x4 = ….. m
xmax – x3 = ….. m
xmax – x2 = ….. m
xmax – x1 = …... m
xmax – x0 = ∞
Jarak kumulatif:

25. 1
2
3
4
5
y5=4,87
M1
GKN
yn=2,71 y1=3,0
y2=3,5
y3=4,0
y4=4,5
x1
x3
x4
xmax
x2
Profil muka air hasil hitungan dengan metode integrasi grafis

26. Metode Langkah Langsung
(Direct Step Method)
• Metode langkah langsung dilakukan dengan
membagi saluran menjadi sejumlah pias dengan
panjang x. Mulai dari ujung batas hilir di mana
karakteristik hidraulis di tampang tersebut
diketahui, dihitung kedalaman air pada tampang
di sebelah hulu. Prosedur hitungan tersebut
diteruskan untuk tampang di hulu berikutnya,
sampai akhirnya didapat kedalaman air di
sepanjang saluran. Ketelitian tergantung
panjang pias, semakin kecil x semakin teliti
hasil yang diperoleh.

27. g
V
2
2
1
y1
g
V
2
2
2
y2
hf = If ∆x
∆z = Io ∆x
∆x
f
h
g
V
y
z
g
V
y
z 





2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
Persamaan energi
(Persamaan Bernoulli)

28. Mengingat:
z1 – z2 = Io ∆x
hf = If ∆x
dan
maka:
f
h
g
V
y
z
g
V
y
z 





2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
x
I
g
V
y
g
V
y
x
I f
o 






2
2
2
2
2
2
1
1
f
o I
I
g
V
y
g
V
y
x






















2
2
2
1
1
2
2
2
f
o
s
s
I
I
E
E
x



 1
2
atau

29. f
o
s
s
I
I
E
E
x



 1
2
Dengan mengetahui karakteristik aliran dan
kekasaran pada satu tampang maka kecepatan dan
kedalaman aliran di tampang yang lain dapat
dihitung dengan menggunakan persamaan di atas.
Kemiringan garis energi If adalah nilai rerata di
tampang 1 dan 2, yang dapat didasarkan pada
persamaan Manning atau Chezy. Apabila
karakteristik aliran di kedua tampang diketahui
maka jarak antara tampang dapat dihitung dengan
rumus di atas.

30. Contoh Hitungan
• Suatu saluran segiempat dengan lebar B =
3 m mengalirkan air dengan debit Q = 3
m3/d. Kedalaman air pada suatu titik yang
berdekatan adalah 1,3 m dan 1,2 m.
Apabila koefisien Manning n = 0,018 dan
kemiringan dasar saluran So = 0,0003,
hitung jarak antara kedua tampang
tersebut. (Metode langkah langsung)

31. Penyelesaian
Karakteristik aliran pada tampang 1.
Luas tampang basah : A1 = 3 x 1,3 = 3,9 m2
Keliling basah : P1 = 3 + 2 x 1,3 = 5,6 m
Jari-jari hidraulis : R = 6
,
5
9
,
3

P
A
= 0,696 m
Tinggi kecepatan :
2
2
2
1
2
2
1
9
,
3
81
,
9
2
3
2
2 



gA
Q
g
V
= 0,03016

32. Karakteristik aliran pada tampang 2.
Luas tampang basah : A2 = 3 x 1,2 = 3,6 m2
Keliling basah : P1 = 3 + 2 x 1,2 = 5,4 m
Jari-jari hidraulis : R = 4
,
5
6
,
3

P
A
= 0,667 m
Tinggi kecepatan : 2
2
2
2
2
2
2
6
,
3
81
,
9
2
3
2
2 



gA
Q
g
V
= 0,0354
Tampang basah rerata : Ar =
2
6
,
3
9
,
3
2
2
1 

 A
A
= 3,75 m2
Jari-jari hidraulis rerata : Rr = 2
667
,
0
696
,
0
2
2
1 

 R
R
= 0,6815 m
Kemiringan garis energi dihitung dengan rumus Manning
berdasarkan nilai Ar dan Rr

33. 000345757
,
0
6815
,
0
75
,
3
3
018
,
0
3
/
4
2
2
2
3
/
4
2
2
2





r
r
f
R
A
Q
n
S
Jarak antara kedua tampang adalah :
    m
2300
000345757
,
0
0003
,
0
3
,
1
0354
,
0
2
,
1
03016
,
0
2
2
1
2
1
2
2
2




























f
S
S
h
g
V
h
g
V
x

34. Metode Tahapan Standar
(Standar Step Method)
• Metode ini dikembangkan dari persamaan
energi total dari aliran pada saluran
terbuka.
f
h
g
V
y
z
g
V
y
z 





2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
E1 E2
E1 = E2 + hf
Persamaan energi
(Persamaan Bernoulli)

35. Prinsip metode standar step
• Dicoba harga y (kedalaman air)
sedemikian hingga memenuhi persamaan:
E1 = E2 + hf
• Jika memenuhi persamaan tersebut maka
telah diselesaikan satu tahap perhitungan.
• Cara tersebut diulangi untuk titik-titik
selanjutnya.

36. Contoh
• Suatu saluran berbentuk trapesium
dengan kemiringan dinding 1 : 1, lebar
dasar 3,0 m dan kemiringan dasar saluran
0,0015. Pemasangan bangunan pintu
pengontrol menyebabkan kenaikan
kedalaman air di hulu pintu menjadi 4,0 m
pada debit 19,0 m3/d. Jika angka
kekasaran Manning n = 0,017, maka
hitung dan gambarkan profil muka air yang
terjadi.

37. Penyelesaian
2
1
3
2
0
1
S
R
n
A
Q 
Mencari kedalaman normal dengan Rumus Manning
  2
1
3
2
0
2
1
2
1
)
( S
m
y
b
y
my
b
n
y
my
b
Q
















  2
1
3
2
0015
,
0
1
1
2
3
1
3
017
,
0
1
)
1
3
(
19
2 
















y
y
y
y
y
Melalui metode coba-coba diperoleh y = 1,726 m

38. Mencari kedalaman air kritis
3
2
3
3
2
)
3
(
81
,
9
)
1
2
3
(
19
)
(
)
2
(
c
c
c
c
c
y
y
y
m
B
g
y
m
B
Q
y








Harga yc didapat dengan cara coba-coba,
diperoleh yc = 0,546 m
y > yn > yc, maka profil aliran adalah M1
Selanjutnya dihitung profil muka air, dimulai dari
kedalaman yang sudah diketahui di hulu titik
kontrol, y = 4,0 m, bergerak ke arah hulu. Pada
titik kontrol ini diberi notasi x = 0.

39. Hasil perhitungan ditampilkan pada tabel berikut ini
X Z y A V V 2
/2g E 1 R Sf Sf ΔX hf E 2
(10-4
) (10-4
)
(m) (m) (m) (m2) (m/d) (m) (m) (m) (m) (m) (m)
- 1 - - 2 - - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - - 7 - - 8 - - 9 - - 10 - - 11 - - 12 - - 13 -
0 0,00 4,000 28,000 0,679 0,023 4,023 1,956 0,544
200 0,30 3,706 24,852 0,765 0,030 4,036 1,843 0,747 0,646 200 0,013 4,036
400 0,60 3,416 21,917 0,867 0,038 4,054 1,731 1,045 0,896 200 0,018 4,054
600 0,90 3,130 19,187 0,990 0,050 4,080 1,619 1,491 1,268 200 0,025 4,080
800 1,20 2,851 16,681 1,139 0,066 4,117 1,508 2,169 1,830 200 0,037 4,117
1000 1,50 2,582 14,413 1,318 0,089 4,171 1,399 3,210 2,689 200 0,054 4,171
1200 1,80 2,331 12,427 1,529 0,119 4,250 1,295 4,785 3,997 200 0,080 4,251
1400 2,10 2,110 10,782 1,762 0,158 4,368 1,202 7,020 5,902 200 0,118 4,368
1600 2,40 1,934 9,542 1,991 0,202 4,536 1,127 9,774 8,397 200 0,168 4,536
1800 2,70 1,817 8,752 2,171 0,240 4,757 1,075 12,362 11,068 200 0,221 4,757
2000 3,00 1,758 8,365 2,271 0,263 5,021 1,049 13,987 13,174 200 0,263 5,021
2200 3,30 1,737 8,228 2,309 0,272 5,309 1,040 14,628 14,307 200 0,286 5,307
2250 3,38 1,734 8,209 2,315 0,273 5,382 1,038 14,722 14,675 50 0,073 5,382

40. Keterangan
Kolom Simbol Keterangan
1 X Lokasi titik di mana kedalaman
airnya dihitung
2 z Elevasi dasar saluran, dihitung
berdasarkan elevasi dasar yang
diketahui (misalnya pada titik
kontrol diambil z1 = 0) dan
kemiringan dasar saluran, S0, z2 =
z1 + S0(X2-X1)

41. Kolom Simbol Keterangan
3 y Perkiraan kedalaman air
4 A Luas penampang basah yang
dihitung untuk kedalaman y pada
kolom 3
5 V Kecepatan aliran, V=Q/A, di mana
A luas penampang diambil dari
kolom 4
6 V2/2g Tinggi kecepatan

42. Kolom Simbol Keterangan
7 E1 Total tinggi energi, merupakan
penjumlahan ketinggian dasar
saluran, z, pada kolom 2,
kedalaman air , h, kolom 3, dan
tinggi energi V2/2g, kolom 6, atau
E = z + y + V2/2g
8 R Jari-jari hidrolis untuk kedalaman
air h adalah R=A/P, di mana A
luas penampang basah dari kolom
4, P keliling basah
9 Sf Kemiringan garis energi yang
dihitung dengan persamaan di
bawah tabel ini

43. Kolom Simbol Keterangan
10 Sf Rata-rata Sf pada kedalaman yang
bersangkutan dan kedalaman
sebelumnya untuk jarak yang
ditentukan
11 ΔX Jarak antara titik yang dihitung
kedalaman airnya dan lokasi yang
telah dihitung kedalaman air
sebelumnya
12 hf Kehilangan tinggi energi
sepanjang ΔX dihitung dari
persamaan, hf = ΔX∙Sf, di mana Sf
diambil dari kolom 10 dan ΔX dari
kolom 11

44. Kolom Simbol Keterangan
13 E2 Merupakan tinggi energi total, yang
dihitung dari penambahan kehilangan
tinggi energi, hf, dengan tinggi energi
total (E1 di kolom 7) pada perhitungan
sebelumnya. Jika selisih E1 pada kolom
7 dan E2 pada kolom 13 berada pada
kisaran yang dapat diterima, maka
perkiraan kedalaman air y pada kolom 3
merupakan kedalaman air yang dicari
pada titik tersebut, dan perhitungan
dapat dilanjutkan pada titik berikutnya.
Sebaliknya, jika selisih masih jauh,
maka perlu diulang dengan harga y
yang baru.

45. Kemiringan Garis Energi
3
4
2
2
2
R
A
n
Q
Sf 
R
A
C
Q
Sf 2
2
2

(Manning)
(Chezy)

46. 1
2
3
4
5
y1=4,0 m
y2
hc=0,546
hn=1,726
M1
GKN
GKK
Sketsa profil muka air M1 (pembendungan)
GKN : garis kedalaman normal
GKK : garis kedalaman kritik