The document analyzes the effect of temporal inversion on the magnetic field B. It demonstrates that B is an odd function of time through the following steps: 1) It is assumed that the electric field E is even under temporal inversion. 2) Using Maxwell's equations, it is shown that the temporal derivative of B (∂B/∂t) is even. 3) By the properties of even functions, the integral of an even function is odd. Therefore, B must be an odd function of time. Two simulations are presented that experimentally validate the theoretical conclusions - namely that ∂B/∂t is even while B is odd under temporal inversion.

1. ESTUDIO DEL EFECTO DE LA INVERSIÓN TEMPORAL SOBRE EL CAMPO MAGNÉTICO
Alberto Blanco García
Primera edición: febrero - marzo de 2020
Segunda edición: marzo de 2021
ABSTRACT
La invariancia de una magnitud física bajo una cierta transformación de alguno de los
parámetros de los que depende, es siempre una propiedad muy importante de analizar por la
gran cantidad de información que puede llegar a aportar, pues el hecho de que esto ocurra, es
un indicativo de la conservación de una segunda magnitud en el sistema de estudio. Un tipo
particular de transformaciones son las inversiones, en las cuales se invierte el valor de los
parámetros de los que depende la magnitud en cuestión. Uno de los casos más importantes y
estudiados es la inversión temporal, que consiste en cambiar el valor del tiempo 𝑡 bajo el que
se mide una cierta magnitud, por su opuesto – 𝑡. Dicho de otra forma, una inversión temporal
consiste en realizar la transformación 𝑡 → −𝑡. El objetivo del presente estudio es analizar el
efecto de la inversión temporal en la inducción magnética 𝐵
⃗ con el fin de demostrar que esta
se comporta como una función impar en lo que a este parámetro se refiere. Para esta
demostración se partirá de la premisa de que el campo eléctrico 𝐸
⃗ es invariante bajo
inversiones temporales: 𝐸
⃗ (𝑡) = 𝐸
⃗ (−𝑡).
INTRODUCCIÓN
Esta demostración es muy sencilla de realizar, lo único que hay que tener en cuenta es la
mencionada premisa de que el campo eléctrico es invariante bajo inversiones temporales y la
primera de las ecuaciones de Maxwell, que da cuenta de que una corriente eléctrica genera un
campo magnético:
∇
⃗
⃗ × 𝐸
⃗ = −
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
[1]
Antes de calcular nada, hay que hacer un razonamiento: si el campo eléctrico es invariante
bajo inversiones temporales, quiere decir que la función 𝐸
⃗ (𝑡) es par en el parámetro tiempo.
Por tanto 𝐸
⃗ (𝑡) se va a comportar de forma simétrica a la derecha y a la izquierda de un cierto
valor 𝑡0 que, por simplicidad, se puede tomar igual a 0. La segunda idea a la que hay que
llegar, es a que si 𝐸
⃗ (𝑡) es una función par, también lo será su rotacional: ∇
⃗
⃗ × 𝐸
⃗ (𝑡), puesto que
este operador afecta sólo a la dependencia espacial de las funciones, dejando invariante la
dependencia en cualquier otro parámetro.
Al haber llegado a esta conclusión, se hace uso de la primera de las ecuaciones de Maxwell,
gracias a la cual se llega a determinar que, independientemente del signo, la función
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
(𝑡)
también presenta una dependencia en el tiempo de carácter par.

2. Una vez llegados a este punto, lo único que queda es determinar cómo será la dependencia en
el tiempo de la inducción magnética 𝐵
⃗ (𝑡) conocido el carácter par de su derivada
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
(𝑡). Por
medio de un sencillo cálculo integral en el que se considerará una de las propiedades
principales de las funciones pares, se llegará a la conclusión de que 𝐵
⃗ (𝑡) es una función impar.
El estudio finalizará con un par de simulaciones en las que, dados unos campos eléctricos cuya
dependencia espacial es arbitraria y su dependencia temporal es obligadamente par, se
analizará si se cumplen experimentalmente las ideas a las que se ha llegado de forma teórica,
es decir, si ∇
⃗
⃗ × 𝐸
⃗ (y por tanto
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
también) son funciones pares en el tiempo, mientras que
𝐵
⃗ (𝑡) es impar. En la primera de las dos simulaciones se estudiará un campo eléctrico de una
expresión más sencilla, la cual ha sido elegida intencionalmente para que su rotacional elimine
las dependencias espaciales y por tanto
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
y 𝐵
⃗ sólo presenten dependencia con respecto a 𝑡.
Por su parte, en la segunda simulación, la expresión del campo eléctrico será algo más
complicada, pues en este caso no se perderá la dependencia espacial al aplicarle el rotacional,
por lo que el valor de
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
y de 𝐵
⃗ será distinto en cada punto (𝑥, 𝑦, 𝑧).
DEMOSTRACIÓN
La forma más general de abordar el presente estudio es expresar el campo eléctrico como una
función no sólo del tiempo, sino también de la posición: 𝐸
⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), (asumiendo que se está
trabajando en coordenadas cartesianas). En cualquier caso, para esta explicación lo principal
es conocer su dependencia temporal, por un lado porque esta tiene que ser forzosamente de
carácter par, mientras que su dependencia espacial puede ser de cualquier tipo, y por otro
lado porque a partir de la dependencia temporal de 𝐸
⃗ , se acabará obteniendo la de 𝐵
⃗ .
El operador rotacional sólo tendrá en cuenta la dependencia espacial de 𝐸
⃗ , y la modificará al
introducir derivadas con respecto a las coordenadas de posición 𝑥,𝑦,𝑧. Por su parte, la
dependencia temporal de 𝐸
⃗ queda intacta, pues el rotacional no introduce ninguna operación
con respecto al parámetro 𝑡. Es por ello que, al tener 𝐸
⃗ y ∇
⃗
⃗ × 𝐸
⃗ la misma dependencia
temporal, se llega a la conclusión de que esta última es también una función par en el tiempo.
Finalmente, gracias a la primera ley de Maxwell (expresión [1]), se termina concluyendo que
−
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
(o equivalentemente
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
) también presenta una dependencia temporal de este tipo.
Ahora queda determinar cómo es el comportamiento de la inducción magnética 𝐵
⃗ en el
parámetro 𝑡. Para ello hay que tener en cuenta que su derivada temporal es una función par y
que todas las funciones pares cumplen la siguiente propiedad en su integración:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
0
𝑎
−𝑎
[2]
Donde 𝑓(𝑥) es una función par en el parámetro 𝑥 con respecto al valor 𝑥 = 0. De tal forma
que su integral entre los límites 𝑥 = −𝑎 y 𝑥 = 𝑎 (siendo 𝑎 cualquier valor real) es justo el

3. doble que su integral entre los límites 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝑎, ya que este es un intervalo cuya
extensión es la mitad que la del anterior.
Haciendo la sustitución de 𝑓(𝑥) por
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
(𝑡) y de 𝑑𝑥 por 𝑑𝑡 (los límites pueden dejarse iguales
puesto que el valor 𝑎 es arbitrario), se resuelve la integral. Su resultado es evidentemente la
función 𝐵
⃗ (𝑡) y al considerar los anteriores límites de integración se llega a la siguiente
expresión:
𝐵
⃗ (𝑎) − 𝐵
⃗ (−𝑎) = 2[𝐵
⃗ (𝑎) − 𝐵
⃗ (0)] → 𝐵
⃗ (0) =
𝐵
⃗ (𝑎) + 𝐵
⃗ (−𝑎)
2
[3]
Este último resultado es característico de las funciones impares, pues el valor que estas toman
en el punto con respecto al cual se produce la simetría de la gráfica (en este caso en 𝑡 = 0) es
siempre el valor medio de la función evaluada en un punto arbitrario de su dominio (𝑡 = 𝑎) y
su opuesto (𝑡 = −𝑎).
Existe una propiedad análoga para las funciones pares, la cual establece que la diferencia del
valor de dicha función evaluada en el punto de simetría (𝑡 = 0) es la misma con respecto a la
función evaluada en un punto cualquiera de su dominio (𝑡 = 𝑎) que con la función evaluada en
el punto opuesto a este (𝑡 = −𝑎). Este resultado, utilizando como ejemplo la función
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
(𝑡),
que ya ha quedado claro que es par, se expresaría de la siguiente forma:
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
(𝑎) −
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
(0) =
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
(−𝑎) −
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
(0) [4]
Evidentemente, el valor de la función evaluada en el punto central 𝑡 = 0 puede eliminarse a
ambos lados, con lo que la expresión anterior puede simplificarse a:
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
(𝑎) =
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
(−𝑎) [5]
Esta simplificación consistente en eliminar el valor de la función evaluada en el punto de
simetría no siempre puede hacerse con las funciones impares (expresión [3]). En este caso el
valor de 𝐵
⃗ (0) no se puede omitir de la ecuación; hay que tenerlo en cuenta porque la función
no tiene por qué tomar un valor nulo en el punto central de la gráfica. Tan sólo en el caso en el
que dicho valor se anule (y no en otro caso), la expresión podrá simplificarse a:
𝐵
⃗ (𝑎) = −𝐵
⃗ (−𝑎) [6]
Estos últimos resultados, expresados para una función general 𝑓(𝑥) serían:
𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥)[7]
Cuando la función 𝑓(𝑥) sea par.
𝑓(0) =
𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)
2
[8]

4. Cuando la función 𝑓(𝑥) sea impar. Y en este último caso, si y sólo si 𝑓(0) = 0, la expresión se
simplifica a:
𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥)[9]
Queda así demostrado que la inducción magnética 𝐵
⃗ es una función impar en el tiempo, y en
el caso de se tome 𝐵
⃗ (𝑡 = 0) = 0, cumplirá además la propiedad de la asimetría temporal, esto
significa que, al invertirse el signo del valor del tiempo, también se invierte el signo del valor de
la función. La propiedad opuesta es la simetría temporal, en la cual la función dependiente del
tiempo toma exactamente el mismo valor y con el mismo signo para cualquier pareja de
valores 𝑡 y −𝑡 (en realidad es lo mismo que la paridad temporal); esta es la propiedad que se
ha asumido que cumple el campo eléctrico desde el principio.
SIMULACIÓN DE CAMPO MAGNÉTICO INDEPENDIENTE DE LA POSICIÓN
Como se ha mencionado anteriormente, para concluir esta demostración se han incluido un
par de simulaciones en las que se podrá comprobar la validez de los resultados obtenidos en el
apartado anterior.
En este primer caso, más sencillo, el campo eléctrico va a presentar dependencia tanto
temporal como espacial. Esta dependencia temporal, como ya se ha comentado a lo largo de
todo el estudio, debe ser de carácter par, de tal forma que el campo eléctrico resulte
invariante bajo inversiones de este parámetro. Por su parte, su dependencia espacial en esta
simulación se ha elegido intencionalmente de una manera muy concreta para que desaparezca
al aplicarle el operador rotacional al campo eléctrico, de esta forma
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
y 𝐵
⃗ presentarán
únicamente dependencia temporal.
El campo eléctrico que se ha escogido presenta la siguiente expresión:
𝐸
⃗ (𝑟, 𝑡) = (𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝐸𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝐸𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)) [10]
Sus componentes son:
 𝐸𝑥(𝑟, 𝑡) = cos(3𝑡) 𝑧 − 7𝑦 [10.1]
 𝐸𝑦(𝑟, 𝑡) = −t2
z [10.2]
 𝐸𝑧(𝑟, 𝑡) = y [10.3]
Al aplicarle el rotacional a este campo, se obtienen las expresiones:
 [∇
⃗
⃗ × 𝐸
⃗ (𝑟, 𝑡)]𝑥
= 𝑡2
+ 1 [10.4]
 [∇
⃗
⃗ × 𝐸
⃗ (𝑟, 𝑡)]𝑦
= cos(3𝑡) [10.5]
 [∇
⃗
⃗ × 𝐸
⃗ (𝑟, 𝑡)]𝑧
= 7 [10.6]
Haciendo uso de la primera ecuación de Maxwell (expresión [1]), se tiene que:

5.  (
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
)
𝑥
= −𝑡2
− 1 [10.7]
 (
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
)
𝑦
= − cos(3𝑡) [10.8]
 (
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
)
𝑧
= −7 [10.9]
Y finalmente, integrando:
 𝐵𝑥(𝑡) = −
𝑡3
3
− 𝑡 + 𝑐𝑥 [10.10]
 𝐵𝑦(𝑡) = −
𝑠𝑒𝑛(3𝑡)
3
+ 𝑐𝑦 [10.11]
 𝐵𝑧(𝑡) = −7𝑡 + 𝑐𝑧 [10.12]
Siendo 𝑐𝑥, 𝑐𝑦, 𝑐𝑧 tres constantes arbitrarias tales que:
𝐵
⃗ (𝑡 = 0) = (𝑐𝑥, 𝑐𝑦, 𝑐𝑧) [11]
Por simplicidad, se pueden tomar las tres iguales a 0.
Como puede verse, la dependencia temporal de 𝐸
⃗ , ∇
⃗
⃗ × 𝐸
⃗ y
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
es par en todas sus
componentes, mientras que para 𝐵
⃗ , esta dependencia es siempre impar.
Para analizar gráficamente estos resultados obtenidos, se presentan a continuación un total de
doce gráficas (lo mismo ocurrirá para la segunda simulación). Estas doce gráficas corresponden
a cada una de las tres componentes (𝑥, 𝑦, 𝑧) de las cuatro funciones vectoriales que se están
estudiando: 𝐸
⃗ , ∇
⃗
⃗ × 𝐸
⃗ ,
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
y 𝐵
⃗ . Todas ellas están evaluadas en función del tiempo 𝑡, en concreto
en el intervalo 𝑡 𝜖 [−10,10], para ver cómo se comportan todas estas funciones a ambos lados
del punto de simetría 𝑡 = 0 y poder visualizar este carácter par o impar. Tan sólo las
componentes de 𝐸
⃗ presentan dependencia espacial, por lo que en este caso habrá que
especificar en qué punto se está tomando la medida. Por sencillez, se elegirán las coordenadas
𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 1. El resto de funciones, al no presentar dependencia espacial, varían con el
tiempo de la misma forma en todos los puntos del espacio.
Las gráficas presentadas siguen un código de color: las de color rojo representan las tres
componentes de 𝐸
⃗ ; las de color azul, las componentes de ∇
⃗
⃗ × 𝐸
⃗ ; las de color verde, las
componentes de
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
y las de color amarillo, las componentes de 𝐵
⃗ .

6. Imagen 1 – Representación gráfica de las componentes de 𝐸
⃗ , ∇
⃗
⃗ × 𝐸
⃗ ,
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
y 𝐵
⃗ para la simulación
de campo magnético independiente de la posición.
SIMULACIÓN DE CAMPO MAGNÉTICO DEPENDIENTE DE LA POSICIÓN
En esta segunda simulación, la dependencia espacial del campo eléctrico no desaparece ni
antes ni después de aplicarle el rotacional; estará presente en cada una de las cuatro funciones
vectoriales junto con la dependencia temporal, que como siempre, será par para 𝐸
⃗ , ∇
⃗
⃗ × 𝐸
⃗ y
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
e impar para 𝐵
⃗ .
Para este caso, el campo eléctrico que se va a analizar es:
𝐸
⃗ (𝑟, 𝑡) = (𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝐸𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝐸𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)) [12]
De componentes:
 𝐸𝑥(𝑟, 𝑡) = 2xt4
+ yz cos(t) [12.1]
 𝐸𝑦(𝑟, 𝑡) = t6
−
z2
7
[12.2]
 𝐸𝑧(𝑟, 𝑡) =
cos(t)
3
𝑥 +
𝑦3
2
+ 𝑧5
𝑡2
[12.3]
Con lo que su rotacional sale:
 [∇
⃗
⃗ × 𝐸
⃗ ]𝑥
=
2𝑧
7
+
3𝑦2
2
[12.4]

7.  [∇
⃗
⃗ × 𝐸
⃗ ]𝑦
= (3y − 1)
cos(𝑡)
3
[12.5]
 [∇
⃗
⃗ × 𝐸
⃗ ]𝑧
= −𝑧 cos(𝑡) [12.6]
Con la primera ecuación de Maxwell:
 (
𝜕𝐵
𝜕𝑡
)
𝑥
= −
2𝑧
7
−
3𝑦2
2
[12.7]
 (
𝜕𝐵
𝜕𝑡
)
𝑦
= (1 − 3𝑦)
cos(𝑡)
3
[12.8]
 (
𝜕𝐵
𝜕𝑡
)
𝑧
= 𝑧 cos(𝑡) [12.9]
Y, por último, integrando en 𝑡:
 𝐵𝑥(𝑡) = −
2𝑧
7
𝑡 −
3𝑦2
2
𝑡 + 𝑐𝑥
′
[10.10]
 𝐵𝑦(𝑡) = (1 − 3𝑦)
sen(𝑡)
3
+ 𝑐𝑦
′
[10.11]
 𝐵𝑧(𝑡) = 𝑧 sen(𝑡) + 𝑐𝑧
′
[10.12]
De nuevo, 𝑐𝑥
′
, 𝑐𝑦
′
, 𝑐𝑧
′
son tres constantes arbitrarias que cumplen que:
𝐵
⃗ (𝑡 = 0) = (𝑐𝑥
′
, 𝑐𝑦
′
, 𝑐𝑧
′
) [13]
Y que por sencillez se pueden tomar igual a 0.
Al igual que en el caso anterior, se van a mostrar un total de doce gráficas en las que se
representan las componentes de las mismas funciones que en la primera simulación, en las
mismas posiciones y manteniendo también el mismo código de colores. No obstante, el hecho
de que en este caso no se elimine en ningún momento la dependencia espacial, implica que
todas las funciones presentarán una dependencia temporal que será distinta en cada punto
del espacio, por lo que hay que aportarles unos valores concretos a las variables de posición,
que de nuevo, por sencillez se tomarán 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 1.

8. Imagen 2 – Representación gráfica de las componentes de 𝐸
⃗ , ∇
⃗
⃗ × 𝐸
⃗ ,
𝜕𝐵
⃗
𝜕𝑡
y 𝐵
⃗ para la simulación
de campo magnético dependiente de la posición.