Pelajaran Matematika

1. materi
evaluasi
MATERI
LIMIT FUNGSI
KD, KI, &
Indikator
keluar
Profil
Motivasi &
apersepsi

2. KOMPETENSI DASAR
Setelah mengikuti pembelajaran limit fungsi , siswa mampu ;
1. Menghayati pola hidup disiplin, kritis , bertanggung jawab ,
konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan
sehari-hari.
2. Mengayati kesadaran hak dan kewajiban serta toleransi
terhadap berbagai perbedaan didalam masyarakat sebagai
gambaran menerapkan nilai-nilai matematis
3. Memahami konsep limit fungsi aljabar dengan menggunakan
konteks nyata dan menerapkannya
4. Merumuskan aturan dan sifat fungsi aljabar melalui
pengamatan contoh- contoh
5. Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model
matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang
limit fungsi aljabar.

3. INDIKATOR
Siswa diharapkan mampu:
1. Menentukan konsep limit fungsi.
2. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam
perhitungan limit fungsi
3. Mengetahui bentuk-bentuk limit
4. Menentukan nilai limit fungsi

4. MOTIVASI
Setelah mempelajari limit fungsi diharapkan siswa
dapat menentukan konsep limit dan menyelesaikan
permasalahan limit dengan menggunakan sifat-sifat
limit

5. Apersepsi
Sebelum kita mempelajari materi limit fungsi sebaiknya kita
mengingat kembali materi yang berkaitan dengan limit fungsi
yaitu fungsi komposisi dan fungsi invers

6. LIMIT FUNGSI
Bentuk-bentuk
limit
Menentukan nilai-
nilai limit
Sifat-sifat limit
Konsep limit

7. KONSEP LIMIT
Konsep limit merupakan dasar untuk
mencari kekontinuan, turunan, integral
dari suatu fungsi.
Maksudnya adalah untuk nilai x yang
mendekati a maka f(x) akan mendekati L.

8. Sifat-sifat limit fungsi
Sifat -1
Misalkan 𝒇 suatu fungsi dengan
𝒇: 𝑹 → 𝑹 𝐝𝐚𝐧 𝑳, 𝒄 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝐫𝐞𝐚𝐥.
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 = 𝑳 𝐣𝐢𝐤𝐚 𝐝𝐚𝐧 𝐡𝐚𝐧𝐲𝐚 𝐣𝐢𝐤𝐚 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄− 𝒇 𝒙 = 𝑳 =
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄+ 𝒇(𝒙)
Sifat-2
Misalkan 𝒇 𝐝𝐚𝐧 𝒈 adalah fungsi yang mempunyai nilai
limit pada 𝒙 mendekati 𝒄, dengan 𝒌 𝐝𝐚𝐧 𝒄 adalah
bilangan real 𝒏 adalah bilangan bulat positif.

9. 1. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒌 = 𝒌
2. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒙 = 𝒄
3. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒌𝒇(𝒙) = 𝒌 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒇(𝒙)
4. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 + 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) + 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒈(𝒙)
5. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 − 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) − 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒈(𝒙)
6. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 .𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) . 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒈(𝒙)
7. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
=
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒇(𝒙)
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒈(𝒙)
𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎
8. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) 𝒏
= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) 𝒏
9. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒇(𝒙)
𝒏
= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒇(𝒙)
𝒏
,𝐚𝐬𝐚𝐥𝐤𝐚𝐧 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 >
0 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐠𝐞𝐧𝐚𝐩

10. Bentuk Limit
Bentuk limit dibedakan menjadi dua yaitu :
1. Bentuk Tertentu
Merupakan bentuk limit yang nilainya sudah
bisa diperoleh secara langsung.
Contoh Soal :
a. 𝑙𝑖𝑚𝑥→2 ( x2
+ 1 ) = 22
+ 1 = 4 + 1 = 5
b.𝑙𝑖𝑚 𝑥→4
5 𝑥−2
𝑥3− 3𝑥−1
=
5.4−2
43− 3.4−1
=
18
51

11. 2. Bentuk Tak Tentu
Merupakan bentuk limit yang nilainya belum dapat diperoleh
secara langsung. Adapun yang termasuk ke dalam bentuk tak
tentu adalah limit yang berbentuk :
Dibawah ini akan kita bahas masing-masing bentuk tersebut.
a. Bentuk
Untuk menyelesaikan bentuk tersebut menggunakan
pemfaktoran.
Contoh:
Nilai dari
0
0
,
∞
∞
,∞ − ∞,dan 0.∞
0
0
𝑙𝑖𝑚𝑥→2
𝑥3 − 4𝑥
𝑥 − 2

12. Penyelesaian:
Dengan menggunakan pemfaktoran, diperoleh:
𝑙𝑖𝑚𝑥→2
𝑥3−4𝑥
𝑥−2
= lim𝑥→2
𝑥 𝑥2−4
𝑥−2
= lim𝑥→2
𝑥 𝑥−2 𝑥+2
𝑥−2
= lim𝑥→2 𝑥 𝑥 + 2
= 2. 2 + 2 = 8

13. b. Bentuk
∞
∞
lim𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑓(∞)
𝑔(∞)
=
∞
∞
Sifat khusus:
Misal:
𝑓 𝑥 = 𝑎0𝑥𝑚
+ 𝑎1𝑥𝑚−1
+ 𝑎2𝑥𝑚−2
+ ⋯ + 𝑎𝑚
𝑔 𝑥 = 𝑏0𝑥𝑛
+ 𝑏1𝑥𝑛−1
+ 𝑏2𝑥𝑛−2
+ ⋯ + 𝑏𝑛
Maka berlaku:
lim𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
∞, jika 𝑚 > 𝑛
𝑎0
𝑏0
, jika 𝑚 = 𝑛
0, jika 𝑚 < 𝑛

14. Contoh:
Penyelesaian:
Nilai dari lim𝑥→∞
4𝑥3+5𝑥2+2𝑥+7
2𝑥3−6𝑥2+4𝑥−8
=
lim𝑥→∞
4𝑥3+5𝑥2+2𝑥+7
2𝑥3−6𝑥2+4𝑥−8
=
∞
∞
Karena diperoleh
∞
∞
(bentuk tak tentu), maka dengan
mengeluarkan pangkat tertingginya baik dari sisi pembilang
maupun sisi penyebut, diperoleh:
lim𝑥→∞
4𝑥3+5𝑥2+2𝑥+7
2𝑥3−6𝑥2+4𝑥−8
= lim𝑥→∞
𝑥3 4+
5
𝑥
+
2
𝑥2+
7
𝑥3
𝑥3 2−
6
𝑥
+
4
𝑥2−
8
𝑥3
= lim𝑥→∞
4+
5
𝑥
+
2
𝑥2+
7
𝑥3
2−
6
𝑥
+
4
𝑥2−
8
𝑥3
=
4+0+0+0
2−0+0−0
= 2

15. c. bentuk ∞ − ∞
Cara menyelesikannya adalah dengan mengalikannya
dengan bentuk sekawannya. Selanjutnya akan diperoleh
bentuk
∞
∞
, maka dengan mengeluarkan pangkat tertingginya
baik dari sisi pembilang maupun sisi penyebut akan diperoleh
hasilnya.
Perhatikan bentuk berikut:
𝑥 − 𝑦 memiliki sekawan 𝑥 + 𝑦
𝑥 + 𝑦 memiliki sekawan 𝑥 − 𝑦
𝑥
3
− 𝑦
3
memiliki sekawan 𝑥2
3
+ 𝑥. 𝑦
3
+ 𝑦2
3
𝑥
3
+ 𝑦
3
memiliki sekawan 𝑥2
3
− 𝑥. 𝑦
3
+ 𝑦2
3

16. Bentuk khusus
1. lim𝑥→∞ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − 𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 𝑟 =
∞, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 > 𝑝
𝑏−𝑞
2 𝑎
, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 = 𝑝
−∞ , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 < 𝑝
2. lim𝑥→∞ 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
3
− 𝑝𝑥3 + 𝑞𝑥2 + 𝑟𝑥 + 𝑠
3
=
∞, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 > 𝑝
𝑏−𝑞
3 𝑎
3 2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 = 𝑝
−∞ , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 < 𝑝

17. Contoh soal
lim𝑥→∞ 4𝑥2 + 6𝑥 − 3 − 4𝑥2 − 2𝑥 + 8 =
Penyelesaian:
lim𝑥→∞ 4𝑥2 + 6𝑥 − 3 − 4𝑥2 − 2𝑥 + 8 = ∞ − ∞
Karena diperoleh ∞ − ∞ (bentuk tak tentu) maka dengan
menggunakan perkalian terhadap sekawannya dimana sekawan
dari 𝑎 − 𝑏 adalah 𝑎 + 𝑏 , diperoleh:
lim𝑥→∞ 4𝑥2 + 6𝑥 − 3 − 4𝑥2 − 2𝑥 + 8
= lim𝑥→∞ 4𝑥2 + 6𝑥 − 3 − 4𝑥2 − 2𝑥 + 8 .
4𝑥2+6𝑥−3+ 4𝑥2−2𝑥+8
4𝑥2+6𝑥−3+ 4𝑥2−2𝑥+8

18. = lim𝑥→∞
4𝑥2+6𝑥−3− 4𝑥2−2𝑥+8
4𝑥2+6𝑥−3+ 4𝑥2−2𝑥+8
= lim𝑥→∞
8𝑥−11
4𝑥2+6𝑥−3+ 4𝑥2−2𝑥+8
= lim𝑥→∞
𝑥 8−
11
𝑥
𝑥2 4+
6
𝑥
−
3
𝑥2 + 𝑥2 4−
2
𝑥
+
8
𝑥2
= lim𝑥→∞
𝑥 8−
11
𝑥
𝑥. 4+
6
𝑥
−
3
𝑥2 +𝑥. 4−
2
𝑥
+
8
𝑥2
= lim𝑥→∞
𝑥 8−
11
𝑥
4+
6
𝑥
−
3
𝑥2 + 4−
2
𝑥
+
8
𝑥2
=
8−0
4−0+0+ 4−0+0
= 2

19. 4. Menentukan Limit Fungsi
Cara menentukan limit fungsi adalah dengan mencari
bentuk tentu dari limit fungsi, dengan pengamatan sebagai
berikut :
1. Substitusikan x = c ke fungsi sehingga diperoleh f (c) =
L
2. Jika L merupakan salah satu bentuk tak tentu maka
kita harus mencari bentuk tentu limit fungsi tersebut
dengan memilih strategi : Mencari beberapa titik
pendekatan ( numerik ) , memfaktorkan , perkalian
sekawan , dlll
Ingat : - a sekawan dengan + a

20. Contoh soal dengan pemfaktoran
1. Perhatikan bahwa 𝑓 𝑥 =
𝑥2− 3𝑥+2
𝑥2− 4
Dapat kita ubah menjadi 𝑓 𝑥 =
𝑥−2 𝑥−1
𝑥−2 𝑥+2
Sehingga
lim𝑥 →2
𝑥2− 3𝑥+2
𝑥2− 4
=
𝑥−2 𝑥+1
𝑥−2 𝑥+2
= lim𝑥 →2
𝑥−1
𝑥+2
karena x  2
=
1
4

21. Contoh soal dengan cara Perkalian Sekawan :
Perhatikan bahwa y =
𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 − 𝟐𝒙+ 𝟓
𝒙+𝟐
dapat kita ubah dengan
mengalikan bentuk sekawan dari ( 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 − 𝟐𝒙 + 𝟓 )
sehingga :
𝑳𝒊𝒎𝒙→ −𝟐
𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 − 𝟐𝒙+ 𝟓
𝒙+𝟐
= 𝑳𝒊𝒎𝒙→ −𝟐
𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 − 𝟐𝒙+ 𝟓
𝒙+𝟐
.
𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 + 𝟐𝒙+ 𝟓
𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 + 𝟐𝒙+ 𝟓

22. = 𝑳𝒊𝒎𝒙→ −𝟐
𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 –( 𝟐𝒙+ 𝟓 )
𝒙+𝟐 ( 𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 + 𝟐𝒙+ 𝟓 )
= 𝑳𝒊𝒎𝒙→ −𝟐
𝒙𝟐− 𝒙−𝟔
𝒙+𝟐 ( 𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 + 𝟐𝒙+ 𝟓 )
= 𝑳𝒊𝒎𝒙→ −𝟐
𝒙−𝟑 ( 𝒙+𝟐 )
𝒙+𝟐 ( 𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 + 𝟐𝒙+ 𝟓 )
=𝑳𝒊𝒎𝒙→ −𝟐
𝒙−𝟑
𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 + 𝟐𝒙+ 𝟓
Karena x ≠ 2
= −
𝟓
𝟐

23. Evaluasi
Soal 1
Soal 2
Soal 3
Soal 4
Soal 5

24. 1. Tentukannilaidari lim𝑥→3 𝑥4 −3𝑥 =…?
a. 72
b. 62
c. 52
d. 42
a
b
c
d

25. 2. Nilai dari lim𝑥 → −2
𝑥2+ 5𝑥+6
𝑥2− 4
= ⋯ ?
a. −
1
2
b. −
1
4
c.
1
2
d.
1
4
a
b
c
d

26. 3. Nilai dari lim𝑥 → ∞
4+5𝑥 2−𝑥
2+𝑥 1−𝑥
= ⋯ ?
a. – 5
b. 5
c. 4
d. -4
a
b
c
d

27. 4. Nilai dari lim𝑥 → ∞
9𝑥2+ 𝑥+3 + 162−2𝑥+4
7𝑥+12
= ⋯ ?
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
a
b
c
d

28. 5. Nilai dari limx → ∞ 9x + 1 − 9x 36x + 1 =…?
a. 3
b. 2
c. 1
d.
1
2
a
b
c
d

29. BENAR

30. OH… SALAH

31. BENAR

32. OH… SALAH

33. BENAR

34. OH… SALAH

35. BENAR

36. OH… SALAH

37. BENAR

38. OH… SALAH

39. Kelompok 1
Ismiratin
2012 121 113
Ana shintia
2012 121 100
Edi suryanto
2012 121 178
Dedek oktaviani
2012 121 116
Mira
2012 121 126