3. y = loga x
Логарифмическая функция
непрерывна и строго
возрастает (если
основание a > 1) или строго
убывает (если 0 < a < 1) на всей
области определения.
Множество ее значений – все
действительные числа.
4. Так как логарифмическая и
показательная функции взаимно
обратны, то при a > 0, a ≠ 1,
График логарифмической функции y = log2 x.
5. Основное логарифмическое тождество
Пусть числа у, a и x связаны соотношением
, причем
Тогда верно тождество
.
Подставим в равенство
вместо
числа x его значение
. Получим
тождество
.
Это тождество называется основным
логарифмическим тождеством, так как оно в
точности передает определение логарифма:
логарифмом числа y при
основании aназывается показатель степени, в
которую нужно возвести число а, чтобы
получить число y.
6. Ниже приведены некоторые свойства
логарифмов (x > 0,
a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, ).
loga (x1*x2) = loga x1 + loga x2,
loga xα = α loga x,
7. Логарифм по основанию e называется натуральным и
обозначается ln x. Логарифм по основанию 10
называется десятичным и обозначается lg x.
Сравнивая рост степенной, показательной и
логарифмической функции при больших x, можно прийти к
следующим выводам:
8. Показательная функция растет быстрее
степенной, а степенная – быстрее
логарифмической.
Отметим также еще два важных предела:
9. Логарифмическая функция при основании,
меньше 1
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно
прямой
.
• Поэтому мы можем построить график логарифмической функции
без ее исследования, а только опираясь на определение.
• Получилась кривая, проходящая через точки (1;0) и (а;1). По
этому графику мы можем установить следующие свойства
логарифмической функции с основанием, меньшим единицы:
• область определения - та же, что и область значений
показательной функции - множество всех положительных чисел;
• область значений - та же, что и область определения
показательной функции - множество всех действительных чисел;
• нулем функции является число 1, так как логарифм единицы
равен нулю;
• интервалы знакопостоянства (0;1) и (1; ) на первом функция
положительна, на втором отрицательна;
• функция убывает на всей области определения, так же, как и
показательная функция с основанием, меньшим единицы;
• функция стремится к
, когда аргумент стремится к нулю.
Функция стремится к
, когда аргумент стремится к
.
11. Логарифмическая функция при
основании больше 1
Графики взаимно обратных функций
симметричны относительно прямой .
Поэтому мы можем построить график
логарифмической функции без ее
исследования, а только опираясь на
определение. Получилась кривая,
проходящая через точки (1;0)и (а;1). По
этому графику мы можем установить
следующие свойства логарифмической
функции с основанием, большим единицы:
12. 1.область определения - та же, что и область
значений показательной функции - множество
всех положительных чисел;
2.область значений - та же, что и область
определения показательной функции - множество
всех действительных чисел;
3.нулем функции является число 1, так как
логарифм единицы равен нулю;
4.интервалы знакопостоянства (0;1) и (1; );
на первом функция отрицательна, на втором
положительна;
5.функция возрастает на всей области
определения, так же, как и показательная
функция с основанием, большим единицы;
6.функция стремится к , когда аргумент
стремится к нулю. Функция стремится к , когда
аргумент стремится к +0.
