Επιμέλεια: Θεόδωρος Παγώνης αποκλειστικά για το lisari

1. Θεόδωρος Παγώνης
μαθηματικός
2015-2016
α΄ λυκείου
άλγεβρα

2. Κυκλοφορούν
επίςησ
Μαθηματικά Κατεύθυνςησ
Γ΄ Λυκείου
Μαθηματικά Κατεύθυνςησ
Β΄ Λυκείου
Μαθηματικά Γενικήσ
Παιδείασ, Άλγεβρα
Β΄ Λυκείου
Θεόδωροσ Παγώνησ
e-mail: theomath@yahoo.gr
https://www.facebook.com.theodoros.pagones
http://lisari.blogspot.gr/
2015-2016

3. - 1 -
2015-2016
μαθηματική λογική
Ασκήσεις
Παγώνης Θεόδωρος
Μαθηματικός

4. μαθηματική λογική & σύνολα εισαγωγικό κεφάλαιο
- 2 -
§1. λεξιλόγιο
λογικής
1) Να βξείηε πνηεο από ηηο παξαθάησ θξάζεηο είλαη
ινγηθέο πξνηάζεηο .
α. Ο αξηζκόο 7 είλαη πξώηνο .
β. Ο 3 είλαη ξεηόο αξηζκόο .
γ. Αύξην ε κέξα ζα είλαη ειηόινπζηε .
δ. Η Δύβνηα είλαη λεζί .
ε. Τν 2012 ν Παλαηησιηθόο ζα είλαη ζηελ Α εζληθή .
ζη. Μηα θιεηζηή γξακκή είλαη λ – γσλν.
2) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p :« 7 0x   » θαη
q :« 2
49 0x   » .
α. Να δηαηππώζεηε ηηο ζπλεπαγσγέο p q , q p .
β. Να εμεηάζεηε αλ αιεζεύνπλ ή όρη απηέο νη
ζπλεπαγσγέο .
3) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : «
   1 2 4 0x x x    » θαη q : «ν x είλαη
δηαηξέηεο ηνπ 4» .
α. Να δηαηππώζεηε ηηο ζπλεπαγσγέο p q , q p .
β. Να εμεηάζεηε αλ αιεζεύνπλ ή όρη απηέο νη
ζπλεπαγσγέο .
4) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : «ν x είλαη πεξηηηόο
θπζηθόο αξηζκόο» θαη q : «ν x είλαη θπζηθόο
αξηζκόο θαη πνιιαπιάζην ηνπ 3» .
α. Να δηαηππώζεηε ηηο ζπλεπαγσγέο p q , q p .
β. Να εμεηάζεηε αλ αιεζεύνπλ ή όρη απηέο νη
ζπλεπαγσγέο .
5) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : «ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη
ηζόπιεπξν» θαη q : «ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη
ηζνζθειέο» .
α. Να δηαηππώζεηε ηηο ζπλεπαγσγέο p q , q p .
β. Να εμεηάζεηε αλ είλαη αιεζείο ή ςεπδείο .
6) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : «ην ηεηξάπιεπξν
ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν» θαη q : «ην
ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ έρεη ηηο απέλαληη πιεπξέο
ηνπ παξάιιειεο» .
α. Να δηαηππώζεηε ηελ ηζνδπλακία p q .
β. Να εμεηάζεηε αλ ε ηζνδπλακία απηή είλαη αιεζήο .
7) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : « 2
49 0x   » θαη
q : « 7x  ή 7x   » .
α. Να δηαηππώζεηε ηελ ηζνδπλακία p q .
β. Να εμεηάζεηε αλ ε ηζνδπλακία απηή είλαη αιεζήο .
8) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : « 2
36x  » θαη
q : « 6x  » .
α. Να δηαηππώζεηε ηελ ηζνδπλακία p q .
β. Να εμεηάζεηε αλ ε ηζνδπλακία απηή είλαη αιεζήο .
9) Να γξάςεηε ηηο αξλήζεηο ησλ παξαθάησ
πξνηάζεσλ :
α. 1p : x y β. 2p : 2x 
γ. 3p : 0x  δ. 4p : γηα θάζε x ,
2
0x 
10) Να ζπκπιεξώζεηε ηνλ πίλαθα :
Πρόηαζε p Πρόηαζε p
a 
a 
a 
0a  ή 0 
0a  ή 0 
11) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : «Σε ηξίγσλν ΑΒΓ
είλαη    » θαη q : «Σε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη
 
   » .
α. Να δηαηππώζεηε ηηο πξνηάζεηο p , q , p q θαη
q p .
β. Να δηαηππώζεηε ηελ πξόηαζε πνπ είλαη ηαπηνινγία.
12) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : « 2 2
0x y  ,
,x y » θαη q : « 0x  θαη 0y  , ,x y ».
Να δηαηππώζεηε ηελ πξόηαζε p q θαη ηελ
αληηζεηναληίζηξνθή ηεο .

5. μαθηματική λογική & σύνολα εισαγωγικό κεφάλαιο
- 3 -
§2. σύνολα
13) Να εμεηάζεηε αλ είλαη ζσζηνί νη παξαθάησ
ηζρπξηζκνί :
α. 3 β. 0 γ. 0,5
δ. 3  ε. 3
8  ζη. 1 
14) Να γξάςεηε κε αλαγξαθή ησλ ζηνηρείσλ ηνπο
ηα ζύλνια :
α.  :| | 3x x    β.  :3 1 10x x    
γ.  3
: 5x x x    δ.  : 2 1k k     
ε.  2
: 4x x    ζη.  : 12x x ί   
15) Να γξάςεηε κε αλαγξαθή ησλ ζηνηρείσλ ηνπο
ηα ζύλνια :
α.  : 4x x    β.  , : 4x y xy   
γ.  : 0x x    δ.  : 4x x ί   
ε.  2
: 9x x    ζη.  : 8x x ί   
16) Να γξάςεηε κε αλαγξαθή ησλ ζηνηρείσλ ηνπο
ηα ζύλνια :
α.  :3 1 26x x x ά     
β.   , : , 2x y x y x y     
γ.   , : , 6x y x y xy    
δ.   , : , 2x y x y xy    
17) Να γξάςεηε κε αλαγξαθή ησλ ζηνηρείσλ ηνπο
ηα ζύλνια :
α.  :3 32x x x ά    
β.  :5 45x x x ό     
18) Αλ  1, 2 ,   , *
  θαη
 : 5     , λα γξάςεηε κε αλαγξαθή
ησλ ζηνηρείσλ ηνπ ην ζύλνιν Β .
19) Πνην από ηα παξαθάησ ζύλνια είλαη ην θελό :
α.   2
: 1 0x x    
β.  : 2 1 0 3 0x x x      
20) Να γξάςεηε όια ηα ππνζύλνια ησλ ζπλόισλ :
α.  ,a   β.  , ,a   
21) Να βξείηε όια ηα ππνζύλνια ηνπ ζπλόινπ
 : 1 1x x      .
22) Να εμεηάζεηε αλ είλαη ζσζηνί νη παξαθάησ
ηζρπξηζκνί :
α.    , , , ,a a    β.  0 
γ.  a a δ.    , ,a a  
23) Γίλνληαη ηα ζύλνια  2 , 0 , 2 , 4 , 6 , 8   ,
 : 2 3 6x x     . Να επαιεζεύζεηε ηηο
ζρέζεηο :
α.    β.   
γ.    δ.   
24) Σε πνηα από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο έρνπκε
   :
α.  2 , 1,1, 2    θαη  : 3 2x x     
β.  1, 2 , 3 , 4  θαη  : 4x x ί   
25) Γίλεηαη ην ζύλνιν  1, 2 , 3, 4 , 5  . Να
πάξεηε έλα νπνηνδήπνηε ππνζύλνιν ηνπ Β , λα
ην νλνκάζεηε Α θαη λα επαιεζεύζεηε ηηο ζρέζεηο
   θαη    . Καηόπηλ λα
απνδείμεηε όηη , αλ    , ηόηε
   

   
.
26) Γίλνληαη ηα ζύλνια
     : 1 2 ... 2010 0x x x x       θαη
     *
: 1 2 ... 0 ,x x x x v v        Αλ
   λα βξείηε ηηο ηηκέο πνπ παίξλεη ην v .
27) Γίλνληαη ηα ζύλνια
 231326ί ύ     ,
 0 ,1, 2 , 5 , 7  ,  1,1, 3, 5 , 8 , 9   . Να
βξείηε ηα ζύλνια :
α.   β.  
γ.   δ.  
ε. ( )   ζη. ( )  

6. μαθηματική λογική & σύνολα εισαγωγικό κεφάλαιο
- 4 -
28) Έζησ  0 , 2 , 4 , 6 , 8 ,10 ,12  ην ζύλνιν
αλαθνξάο θαη ηα ππνζύλνια ηνπ
 0 , 4 , 8 ,12  ,  0 , 2 , 6 ,10  . Να βξείηε
ηα ζύλνια :
α.  β.  γ. 
δ.   ε.   ζη. ( ) 
δ. ( ) 
29) Αλ  4 , 1, 0 , 2 , 3    ην ζύλνιν αλαθνξάο
θαη ηα ππνζύλνια ηνπ  0 , 4 , 3   ,
 1, 3 , 2   θαη  1, 0 , 2   . Να βξείηε ηα
ζύλνια :
α.   β.  
γ.  δ. ( )  
ε. ( )   ζη. 
30) Αλ  2 , 1, 0 ,1    ην ζύλνιν αλαθνξάο θαη
ηα ππνζύλνια ηνπ  2 ,1, 0   ,
 2 , 1,1    λα δείμεηε όηη ( )       .
31) Σην παξαθάησ ζρήκα έρνπκε ην δηάγξακκα
ηνπ Venn γηα ηα ζύλνια Α θαη Β . Να βξείηε ηα
ζύλνια :
i.   ii.   iii. 
iv. ( )  v. ( )  vi. 
32) Σην παξαθάησ ζρήκα έρνπκε ην δηάγξακκα
ηνπ Venn γηα ηα ζύλνια Α θαη Β . Να βξείηε ηα
ζύλνια :
i. A ii. B iii. 
iv.   v.  vi. 
vii.  viii.  
33) Σην παξαθάησ ζρήκα δίλεηαη ην ζύλνιν
αλαθνξάο Ω θαη ηα ππνζύλνια ηνπ Α , Β . Να
ραξαθηεξίζεηε κε ζσζηό (Σ) ή ιάζνο (Λ) ηηο
παξαθάησ πξνηάζεηο :
α.     β.    
γ.     δ.    
ε.     ζη.    
34) Με ζύλνιν αλαθνξάο
 : 12x x έ     , ζεσξνύκε ηα
ζύλνια  : 3x x ά     ,
 : 4x x ά     .
α. Να ηα παξαζηήζεηε ζην ίδην δηάγξακκα ηνπ Venn .
β. Να πξνζδηνξίζεηε ηα ζύλνια :
i.   ii.   iii. 
iv.  v. 
35) Γίλνληαη ηα ζύλνια
 ά έ ά        ,
 ά έ ή       ,
 ά έ ά        .
α. Να γξάςεηε ηα ζύλνια Α , Β , Γ κε αλαγξαθή ησλ
ζηνηρείσλ ηνπο θαη λα ηα παξαζηήζεηε ζην ίδην
δηάγξακκα ηνπ Venn.
β. Να πξνζδηνξίζεηε ηα ζύλνια:
i.   ii.   iii.  
iv.   v.  
γ. Να επαιεζεύζεηε όηη :
i.             
36) Αλ ηα ζύλνια  3 , , 2  ,  2 , 1, 4  
είλαη ίζα λα βξείηε ηα  ,  .
37) Να βξείηε ηα a ,  ώζηε ηα ζύλνια
 2
1, , 2a  ,  1, , 4  λα είλαη ίζα .
38) Γίλνληαη ηα ζύλνια  2 , 2  θαη
 2
2 ,   . Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ  
ώζηε λα είλαη    .

7. μαθηματική λογική & σύνολα εισαγωγικό κεφάλαιο
- 5 -
39) Γίλεηαη ην ζύλνιν  1, , 2x  . Να βξείηε ηηο
δπλαηέο ηηκέο ηνπ x .
40) Να βξείηε ην x , ώζηε λα νξίδεηαη ην
ζύλνιν  | | ,1x  .
41) Σηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο λα βξείηε ην
ζύλνιν Α .
α.    2 , 3 1, 5   β.    2 , 3 1, 5  
γ.    5 , , 7     δ.    5 , , 7    
ε.    , 2 3, 4  
42) Αλ  5 ,    ,  ,10   θαη   , λα
βξείηε ηα ζύλνια :
α.   β.   γ. 
δ. ( )  ε. 
43) Να βξείηε ην ζύλνιν ησλ ιύζεσλ ηεο :
α. εμίζσζεο      1 2 3 ... 2010 0x x x x     ,
β. αλίζσζεο 1 2 | | 0x  .
44) Έζησ Ω ην ζύλνιν πνπ έρεη σο ζηνηρεία ηνπο
αξηζκνύο πνπ είλαη νη ελδείμεηο ελόο δαξηνύ θαη
a . Αλ ε εμίζσζε 2
2 2 0x x a    δελ έρεη
θακία πξαγκαηηθή ξίδα , λα βξείηε ην ζύλνιν
πνπ έρεη ζηνηρεία ηηο ηηκέο ηνπ a .
45) Σην δηπιαλό ζρήκα έρνπκε ην δηάγξακκα ηνπ
Venn γηα ηα ζύλνια Α θαη Β . Να βξείηε ηα
ζύλνια :
46) Αλ    θαη    , λα απνδείμεηε όηη :
α.         β.        
47) Αλ Α , Β είλαη δπν κε θελά ζύλνια , λα
απνδείμεηε όηη         .

8. - 6 -
2015-2016
οι πραγματικοί αριθμοί
Ασκήσεις
Παγώνης Θεόδωρος
Μαθηματικός

9. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 7 -
§1. οι πράξεις
&
οι ιδιότητες τους
1) Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ησλ παξαθάησ
παξαζηάζεσλ :
α.
1
3
35
1
2
3

  

β.
1 2
1
2 3
1 1
3
6 2
 
 
 
γ.
1
1
2
1
2
1
2

 

2) Να γίλνπλ νη πξάμεηο:
α.
3 1
12 5
2

 β.
1
1
3
1
2
2
2
3



γ.
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2




δ.
3
5
2 2
1 1
3 5
1 2
1 4
1 312
52

 

 

3) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ x γηα ηηο νπνίεο
νξίδνληαη νη πην θάησ παξαζηάζεηο:
α.
2
2
x
x


β.
1
1
x
x


γ.
3 2
1
x
x


δ.
5 10x
x

ε.
1
1
x x
x x



ζη.
2 4
2 4x x

 
4) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ x γηα ηηο νπνίεο
νξίδνληαη νη πην θάησ παξαζηάζεηο:
α.
  1 5
x
x x 
β.
 
2
4 1
3 2
x
x x


γ.
  
3
1 2 7
x
x x

 
δ.
 
4
3
x
x x 
ε.
  
2
2 3
x
x x x

 
ζη.
    
3 5
1 2 3 1
x x
x x x x


  
5) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ x γηα ηηο νπνίεο
νξίδνληαη νη πην θάησ παξαζηάζεηο:
α. 2
2
5 6
x
x x

 
β. 2
5 2
5 1
x
x x

 
γ. 2 2
5 2
2010 2011
x
x x

 
δ.
2
1
3
1x


ε.
3
2
1
1
x
x


ζη.
2
1
6
3
1
x
x



6) Να βξείηε ηνπο πεξηνξηζκνύο γηα ην a ώζηε λα
νξίδνληαη νη παξαζηάζεηο :
α. 2
5 3
1
a
a

 β.
1
2
2
5
a
a


γ.
3
5
2
1
2 1
a
a



7) Να βξείηε ηνλ αληίζεην θαη ηνλ αληίζηξνθν ηνπ
αξηζκνύ
1
3
22
1
2
3
a

 

.
8) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο:
α.    3 2 1x y x y x      
β.    2 1 3 1 5x y x      
γ.    3 1 2 2 ( 4)x x x y      
δ.    6 5 3 1 4 4 1x x      
9) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο
      3 2 1 3 3 3 2 1 4 3 5 2 1x x x x           .
10) Να δείμεηε όηη    y x x z y z       .
11) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο:
α.    2 2 3a a         
β.  2 3a            
12) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο Α , Β θαη
ζηελ ζπλέρεηα λα ππνινγίζεηε ηελ αξηζκεηηθή
ηηκή ηνπο :
α.    3 3 1 2 2x y x y         γηα 2x  , 3y  
β.    4 3 1 ( 2)x x y x y        γηα 3x  , 1y  

10. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 8 -
13) Να βξείηε ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηεο παξαθάησ
παξάζηαζεο γηα 1x  θαη 2y   :
     2 2 3 2 3 2 2 2x y x x y xy y x           .
14) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο ζηελ παξάζηαζε
     3 2 2 4 5 2 3 4 3 2x y y x y xy y x         
θαη λα βξείηε ηελ αξηζκεηηθή ηεο ηηκή γηα 1x  
θαη
2
3
y  .
15) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο ζηηο παξαθάησ
παξαζηάζεηο θαη λα βξείηε ηελ αξηζκεηηθή ηνπο
ηηκή γηα
1
2
x   θαη 0,01y  :
α.    3 2 3 4 3 2 2 1x y x x y       
β.      2 2 2 1 3 2 2 4 3y x y x y x y                 
16) Αλ 543x  θαη 457y   λα βξεζεί ε
αξηζκεηηθή ηηκή ηεο παξάζηαζεο
   3 3 1 4 3xy x y x y y          .
17) Αλ 6,37x   θαη 0,63y  λα βξεζεί ε
αξηζκεηηθή ηηκή ηεο παξάζηαζεο
   3 2 1 2 2 3x y xy x y xy          .
18) Αλ 2010x y  , λα βξεζεί ε αξηζκεηηθή ηηκή
ηεο παξάζηαζεο
   3 2 2 2 3 2 19 7x y y x x y          .
19) Αλ 2011a   , λα βξεζεί ε αξηζκεηηθή ηηκή
ηεο παξάζηαζεο
   3 2 2 3 2 2 11a a a           .
20) Αλ 2010x y  , λα απνδείμεηε όηη ε
αξηζκεηηθή ηηκή ηεο παξάζηαζεο
 
   
6 10 2 4 3 1
2
3 3 3
x x y
x y
x w y w
     
     
    
δηαηξείηαη
κε ην 2010 .
21) Αλ ε πεξίκεηξνο ελόο ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ
πιεπξάο x είλαη 13 η.κ. θαη ε πεξίκεηξνο ελόο
ηεηξάγσλνπ πιεπξάο y είλαη 15 η.κ. , λα
απνδείμεηε όηη ε παξάζηαζε
     3 2 1 5 1 1x y y y        καο δίλεη ηελ
πεξίκεηξν ηεηξαγώλνπ κε πιεπξά 2y .
22) Αλ ηζρύεη    4 6 2       λα
ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο ησλ παξαζηάζεσλ :
α. 2 2 3     β.    11 2 3 1 3       
23) Αλ 1x   θαη 2y   λα βξείηε ηηο αξηζκεηηθέο
ηηκέο ησλ παξαζηάζεσλ :
α.    2 3 1x x y x y y       β. 3
x y
y xy
y x
  
γ.
1
x
x
y
 δ.
1
3
2
x
y
x
y


24) Αλ 0,3x  θαη 1,17y   λα βξείηε ηνλ
αληίζηξνθν ηνπ αξηζκνύ
 5 3 2 2
1
x y x
a
x
y
 


.
25) Αλ ( ) ( )x a       θαη ( )y a     , λα
απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί x , y είλαη αληίζεηνη.
26) Αλ νη αξηζκνί x θαη 2y είλαη αληίζηξνθνη , λα
ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο ησλ παξαζηάζεσλ :
α. 2 1xy  β. 4 3xy 
γ.
5
3
2
xy 
27) Αλ νη αξηζκνί a , 2  είλαη αληίζεηνη λα
ππνινγίζεηε ηελ παξάζηαζε
     3a a             .
28) Αλ νη αξηζκνί
1
a
,  , κε 0a  είλαη αληίζεηνη
λα δείμεηε όηη θαη νη αξηζκνί
 2 3 2x a a         θαη
 2 4 2 1y a       είλαη αληίζεηνη .
29) Αλ νη αξηζκνί 1a  , 1  κε 1a  θαη 1 
είλαη αληίζηξνθνη λα δείμεηε όηη :
α. a a  
β. νη αξηζκνί  4 2 1x a a    θαη  2 4y a a   
είλαη αληίζεηνη .
30) Αλ νη αξηζκνί 1x  , 1y  κε ,x y θαη
1x  , 1y  είλαη αληίζηξνθνη λα δείμεηε όηη :
α. x y xy 
β. νη αξηζκνί  4 2 1a x y x   θαη
   2 2 4 1x y     είλαη αληίζεηνη .

11. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 9 -
31) Αλ νη αξηζκνί
1
2
a  , 2  κε
1
2
a  θαη 2 
είλαη αληίζηξνθνη λα δείμεηε όηη :
α. 4 2a a  
β. νη αξηζκνί
2 4
a
x

  θαη
1
2 2 2
y a
  
   
 
είλαη
αληίζεηνη .
32) Αλ
2
3
34
4
3
3
a

 

θαη
5
3
22
1
2
2


 

, λα
απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί
a

θαη
2015
2
a

 
 
 
είλαη
αληίζεηνη.
33) Αλ
2
1 3
17 1
9
a  

θαη
2
31
7
7
9
  

, λα
απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί απηνί έρνπλ ηνλ ίδην
αληίζηξνθν , ηνλ νπνίν λα βξείηε.
34) Αλ νη αξηζκνί a θαη  είλαη αληίζηξνθνη ,
λα βξείηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο
1
1
a
a




 

35) Αλ 0xy  θαη   1 1x y y x    , λα
απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί x , y είλαη
αληίζηξνθνη .
36) Αλ    0x y x z   , λα απνδείμεηε όηη ν x
είλαη αληίζεηνο ηνπ y ή ηνπ z .
37) Αλ
2
3
a

 , λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο :
α.
3a 


β.
2 3
2
a
a




38) Αλ
3
2
a

  , λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο :
α.
6 3
5
a 


β.
5
3
a
a 
β.
3 5
2
a
a




39) Αλ
1
2
x
y
  , λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο :
α.
2 3x y
y

β.
4
2
x
x y
β.
4
2 5
x y
x y


40) Αλ 1
x
y
  , λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο :
α.
3
2
x y
x y


β.
2
2 2
2y xy
x y


41) Αλ
3 4 1
5 6 3
x y
x y



, λα βξείηε ην ιόγν
y
x
.
42) Αλ
2 3
2
x y x y
x y x y
 

 
, λα βξείηε ην ιόγν
y
x
.
43) Αλ
2
3
x
y
 θαη
3
4
y
z
 , λα βξείηε ην ιόγν
x y
y z


.
44) Αλ
2
3
x
y
 , λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο :
α.
2
3
x
y


β.
x y
x y


β.
5
3
x y
y
 

45) Αλ
3 4
x y
 θαη 14x y  , λα βξείηε ηνπο
αξηζκνύο x , y .
46) Αλ
4 5
x y
 θαη 2 28x y  , λα βξείηε ηνπο
αξηζκνύο x , y .
47) Αλ 18x y z   θαη
2 3 4
x y z
  λα ππνινγίζεηε
ηνπο x , y , z .
48) Αλ 10x y  θαη
2 3 4
x y z
  λα ππνινγίζεηε
ηνπο x , y , z .
49) Αλ
2 3 4
x y z
  θαη 2 3 20x y z   , λα
απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί x , y είλαη πξώηνη ,
ελώ ν αξηζκόο z είλαη ζύλζεηνο .
50) Αλ
a 
 
 λα απνδείμεηε όηη
5 2 5 2
2 2
a
a
  
  
 

 
.
51) Αλ
a 
 
 λα απνδείμεηε όηη
3 4
3 4
a a
  



.
52) Αλ
a 
 
 , λα δείμεηε όηη
2 2
a a
a

  



.

12. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 10 -
53) Αλ
a 
 
 κε 0  , λα απνδείμεηε όηη
2 2 2 2
2 2
a
a
  

 
 .
54) Αλ
a 
 
 κε   0    , λα απνδείμεηε όηη
 
 
2
2
aa 
  



.
55) Αλ
a 
 
 , λα απνδείμεηε
2
a a 
  
 
  
 
.
56) Αλ
x z
y w
 κε 0xyz  , λα απνδείμεηε όηη
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
x y z w xyzw
x y z w
 
       
 
.
57) Αλ
2
3
x
y
 ,
2 3x y
x y

 

,
x y
x y

 

θαη
y x
x y

 

λα απνδείμεηε όηη :
α. νη αξηζκνί Α , Β είλαη αληίζεηνη .
β. νη αξηζκνί Α , Γ είλαη αληίζηξνθνη .
58) Να βξείηε δπν αθέξαηνπο αξηζκνύο πνπ είλαη
αλάινγνη ησλ αξηζκώλ 3 , 8 θαη έρνπλ άζξνηζκα
33 .
59) Να βξείηε δπν αθέξαηνπο αξηζκνύο πνπ είλαη
αλάινγνη ησλ αξηζκώλ 5 , 2 θαη έρνπλ δηαθνξά
12 .
60) Αλ νη αξηζκνί x , y , z είλαη αλάινγνη ησλ
αξηζκώλ 5 , 7 , 3 θαη ηζρύεη 45x y z   λα
βξείηε ηνπο x , y , z .
61) Αλ νη αξηζκνί a ,  ,  είλαη αλάινγνη ησλ
αξηζκώλ 2 , 3 , 5 θαη ηζρύεη 3 2 10a      λα
ππνινγίζεηε ηνπο a ,  ,  .
62) Αλ νη αξηζκνί x , y , z είλαη αλάινγνη ησλ
αξηζκώλ 4 , 2 , 3 θαη ηζρύεη 3 2 10x y z    λα
βξείηε ηνπο x , y , z .
63) Αλ νη αξηζκνί x , y , z είλαη αλάινγνη ησλ
αξηζκώλ 1 , 3 , 4 θαη ηζρύεη 2 3 33x y z   λα
βξείηε ηηο ηηκέο ησλ x , y , z .
64) Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο a ,  ,  ώζηε λα
ηζρύνπλ νη ζρέζεηο 24a      θαη
5 3 4
a  
 
65) Η πεξίκεηξνο ελόο ηξηγώλνπ είλαη 27 cm . Να
βξείηε ηα κήθε ησλ πιεπξώλ ηνπ , αλ είλαη
γλσζηό όηη είλαη αλάινγα ησλ αξηζκώλ 2 , 3 , 4 .
66) Σε ηξία παηδία ειηθίαο 5 , 8 θαη 10 εηώλ
κνηξάζηεθαλ 230 € αλάινγα κε ηελ ειηθία ηνπο .
Να βξείηε πόζα € πήξε ην θαζέλα .
67) Αλ
v
a a
 
   
 
  
, λα απνδείμεηε όηη
v   .
68) Αλ γηα ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο a ,  κε
3a   θαη 4   ηζρύεη ε ζρέζε
3 4
3 4a 

 
,
λα απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί a ,  είλαη
αλάινγνη πξνο ηνπο αξηζκνύο 3 , 4 .
69) Χσξίο λα θάλεηε ηνπο πνιιαπιαζηαζκνύο , λα
απνδείμεηε όηη 2
2010 2009 2011 1   .
70) Να απνδείμεηε όηη
35 3535 353535
99 9999 999999
  .
71) Αλ a αθέξαηνο θαη 2
a πεξηηηόο αθέξαηνο , λα
δείμεηε όηη ν a είλαη πεξηηηόο .
72) Αλ ν 2
a είλαη άξηηνο , ηόηε λα δείμεηε όηη θαη ν
a είλαη άξηηνο .
73) Αλ  ξεηόο αξηζκόο θαη a άξξεηνο αξηζκόο ,
λα δείμεηε όηη νη αξηζκνί :
a  , a  , a ,
a

,
a

κε 0a  είλαη άξξεηνη
αξηζκνί.
74) Να δείμεηε όηη ην ηεηξάγσλν ελόο πεξηηηνύ
αξηζκνύ είλαη πεξηηηόο .
75) Να απνδείμεηε όηη :
α. Τν άζξνηζκα ελόο αξηίνπ θαη ελόο πεξηηηνύ είλαη
πεξηηηόο αξηζκόο .
β. Η δηαθνξά δπν πεξηηηώλ είλαη άξηηνο αξηζκόο .
γ. Τν ηεηξάγσλν άξηηνπ αξηζκνύ είλαη άξηηνο αξηζκόο .

13. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 11 -
76) Να απνδείμεηε όηη :
α. Τν γηλόκελν δπν δηαδνρηθώλ αθεξαίσλ είλαη άξηηνο
αξηζκόο .
β. Τν γηλόκελν 4 δηαδνρηθώλ αθεξαίσλ δηαηξείηαη κε ην
4 .
77) Να απνδείμεηε όηη :
α. Τν άζξνηζκα δπν πεξηηηώλ αξηζκώλ είλαη άξηηνο .
β. Τν γηλόκελν ελόο άξηηνπ θαη ελόο πεξηηηνύ είλαη
άξηηνο .
γ. Τν γηλόκελν δπν πεξηηηώλ αξηζκώλ είλαη πεξηηηόο .
78) Να απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί 2
1a v v   θαη
4 2
1v v    είλαη πεξηηηνί γηα θάζε v .
79) Αλ ,a   , λα απνδείμεηε όηη ν αξηζκόο
 
2
a a 


 είλαη αθέξαηνο .
§2. δυνάμεις
ταυτότητες
80) Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο:
α.
2
2
3

 
 
 
β.  
3 4
2 2
 
γ.
3
2
3

 
 
 
δ.  
32
( 2) ε.
2
1
2

 
 
 
ζη.    
3 2
2 0,5

  
δ.
25 22
3 4
:
4 3

   
   
   
ε.    
3
3 21
0,1 : 10
2

  
    
   
81) Να γξάςεηε θαζεκία από ηηο παξαθάησ
παξαζηάζεηο κε κνξθή κηαο δύλακεο.
α. 3 8
2 2
 β.  
69
3 : 3 γ.  
7 3
5 5 
δ.  
53
7 7 
ε.
3 3
2
4 2
8



ζη.
   
2 31 2
4
7 7
7



δ.
22 4
2 5
3 3 3
3 3


  
 
 
ε.
12 1 2
1 2
5 5 5
25 25


   
 
 
82) Να γξάςεηε θαζεκία από ηηο παξαθάησ
παξαζηάζεηο κε κνξθή κηαο δύλακεο.
α. 5 5
11 2 5 2   β. 4 4
5 3 4 3  
γ. 4 2 3
4 5 3 25 10 5    
83) Αλ *
x , λα γξάςεηε κε ηελ κνξθή κηαο
δύλακεο ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο:
α.  
23 7
x x

 β.  
12 5
:x x
 
γ.
   
2 31 2
10
x x
x



δ.
 
   
23 5
2 323
x x
x x



 
 
ε.
 
   
22 3
2 44 1
x x
x x




ζη.
43 5 2
3 6
x x x
x x


  
 
 
84) Με ηελ βνήζεηα ησλ ηδηνηήησλ ησλ δπλάκεσλ
λα ππνινγίζεηε ηα γηλόκελα :
α.  
15 17
0,2 5   
β.  
19
10 3
2,25
2

 
    
 
85) Να ππνινγηζηνύλ νη παξαζηάζεηο :
α.      
48 3 22
1 3 2 3       
β.      
3 5 53 0
3 2 1 2       
γ.        
010 3 2 3 5
2 5 12 12 19        
86) Αλ 0xyz  , λα απνδείμεηε όηη ε ηηκή ηεο
παξάζηαζεο
     2 2 21 1 1
x x y y z z x y z
x y z
         
είλαη αλεμάξηεηε από ηηο ηηκέο x , y , z .
87) Να ππνινγηζηνύλ νη παξαζηάζεηο:
α.  
2
111
4 3
2
 
      
 
β.  
3 2
22 3
3
3 2
 
   
         
   
88) Να βξείηε ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηεο παξάζηαζεο
2 3 3
2 3a a a   γηα:
α. 1a   θαη 2  
β. 2a   θαη
1
2
  
89) Να βξείηε ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηεο παξάζηαζεο
3 2
2 3 1x x x   γηα :
α. 1x   β. 2x  
γ.
1
2
x  

14. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 12 -
90) Να βξεζεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο
   
   
3 12 2
71
:
xy x y
y y



 

γηα 2010x  θαη
1
2010
y   .
91) Αλ 2011a  θαη
1
2011
   , λα βξεζεί ε ηηκή
ηεο παξάζηαζεο
   
   
12
7 31 2
:
a
a
 
 

 
 
  .
92) Γίλεηαη ε παξάζηαζε
 
122 5 1 4 2
3 3 11
:
x y x y xy
xy xxy

 
  
    
   
, κε *
,x y  .
α. Να γξαθεί κε ηελ κνξθή κηαο δύλακεο .
β. Να ππνινγηζηεί ε ηηκή ηεο , όηαλ 2011x  θαη
1
2011
y   .
93) Να δείμεηε όηη νη αξηζκνί
 
1
2 0
2
1
3
3 3
2 4
a


 

   
     
   
θαη    
1
201
1 : 3 2
7


  
     
   
είλαη
αληίζηξνθνη.
94) Γίλνληαη νη παξαζηάζεηο
   
 
34
52
2 11 3
7 2
  
 
 
θαη
 
 
1
13
2
0
3
1
2
3
5
2


 
  
  
 
    
 
. Να απνδείμεηε όηη νη
αξηζκνί Α , Β είλαη αληίζηξνθνη.
95) Αλ 2x   , 3y   θαη 1z   λα
ππνινγηζηνύλ νη παξαζηάζεηο:
α. 10 2 3
z xy x   
β.
3
5 4
2
z
z x
x
 
     
 
γ.    
2
1 3 2
2
x x y x
x y z x
y

   
      
 
96) Αλ v αθέξαηνο λα ππνινγηζηνύλ νη
παξαζηάζεηο :
α.      
1 2 1
1 1 1
v v v  
      
β.      
3 1 2 5 1
1 1 1
v v v  
      
γ.      
1 3 2 7 3
5 1 1 2 1
v v v  
      
97) Να απνδείμεηε όηη , γηα θάζε *
v , είλαη
       
1 2 3
1 1 1 1 0
v v v v  
        .
98) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο :
α.
5 62
4
2
x y
y x
   
     
  
β.
12 1 2
3 3
3 2
:
2 2
x y xy
xy x y
 
   
     
   
99) Αλ 0,1x  θαη 0,01y  , λα γξάςεηε κε
ηππνπνηεκέλε κνξθή ηνλ αξηζκό
   
3212 32 1 2 2
4
4
2 :
y
x y y x
x
             
.
100) Αλ , 0x y  θαη  1 1
xy x y x y 
   λα
δείμεηε όηη x y .
101) Αλ νη αξηζκνί x , y είλαη αληίζηξνθνη λα
βξείηε ηηο ηηκέο ησλ παξαζηάζεσλ :
α.    
3 22 2 1
2x y x y x 
   
β.
 
   
2 4
3 41 2
: 2x y
y x y

 

 

102) Να βξείηε ηνλ αθέξαην αξηζκό a ώζηε λα
ηζρύνπλ νη ζρέζεηο :
α. 3 81a
 β. 2 16a

γ.
2 9
3 4
a
 
 
 
δ. 2 4
5 1a

ε.
1
8
2
a
 
 
 
ζη.
1
25
5
a
 
 
 
δ.
1 1
2 4
a
 
 
 
ε.
3 16
4 9
a
 
 
 
103) Αλ ,x y θαη ηζρύεη ε ζρέζε
   
2016 2014
2 16 3 21 0x y     , ηόηε :
α. λα βξείηε ηηο ηηκέο ησλ x , y ,
β. λα απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί x , y είλαη πξώηνη
κεηαμύ ηνπο .
104) Αλ ,x y θαη ηζρύεη ε ζρέζε
   
4 4
4 12 2 6 0x y    , λα απνδείμεηε όηη νη
2 3x y  ή 2 9x y  .

15. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 13 -
105) Να βξείηε ηα αλαπηύγκαηα:
α.  
2
1a  β.  
2
2 3a 
γ.  
2
3 1x  δ.  
22
3x 
ε.
2
1
2
a
 
 
 
ζη.
2
2 41
4
x y
 
 
 
δ.
2
3
2
2
x
 
  
 
ε.
2
3
2
2
xy x
 
  
 
106) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο:
α.   1 1x x  β.   2 2x x 
γ.   2 3 3 2x y y x  δ.   5 2 5 2x y x y 
ε.
1 1
3 3
x x
  
   
  
ζη.   2 2
2 1 2 1x x 
δ.   1 1xy xy   ε.   x y z x y z   
107) Να βξείηε ηα αλαπηύγκαηα :
α.  
3
1x  β.  
3
2 1x  γ.  
3
1x  δ.  
3
2x y
ε.  
32
1x  ζη.
 
32 3
2x y
δ.  
3
2x  ε.  
3
3x 
108) Να βξείηε ηα γηλόκελα:
α.   2
1 1x x x   β.   2
2 2 4x x x  
γ.   2 2
x y x xy y   δ.   2 4 2
3 3 9x x x  
109) Να βξείηε ηα αλαπηύγκαηα:
α.  
2
x y z  β.  
2
x y z 
γ.  
22
2x x   δ.  
2
2 x xy  
110) Να βξείηε ηα δηώλπκα ησλ νπνίσλ ηα
αλαπηύγκαηα ηνπο είλαη ηα παξαθάησ:
α. 2
4 4 1x x  β. 2
6 9x x 
γ. 2
9 6 1x x  δ. 3 2
6 12 8x x x  
ε. 3 2
3 3 1x x x   ζη. 3 2
8 36 54 27x x x  
111) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο:
α.   3 2 2 1x x x  β.    1 2 2 4x x x   
γ.    
2
2 3 2a a a 
112) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο:
α.    
2 2
3 2 3 2x x   β.    
3 3
2 1 2 1x x  
γ.    
3 3
3 2 3 2a a  
113) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο:
α.     
2
2 5 3 1 3 1x x x   
β.    
3
3 2 2 3 2x x x  
γ.     2 2
1 1 1x x x x x    
δ.     2 2
2 2 4 2x x x x x    
114) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο:
α.       
2 2
2 3 2 3 3x x x x     
β.      
2 2 2
3 2 1 2 5x x x    
γ.       
2 2
3 2 4 3 3 2 2x x x x     
δ.       
2 2
2 3 2 3 4x y x y x y x y     
ε.       3 3 2 2
3 2 2x y x y x y x xy y      
ζη.       
3 32 2 2 2
2 2 2x y x y x x y x y     
115) Να δείμεηε όηη νη παξαθάησ παξαζηάζεηο είλαη
αλεμάξηεηεο ηνπ x :
α.       
32
1 1 1 3 1x x x x x x      
β.       
32 2 2 2 4 2
1 3 1 1 1x x x x x x      
116) Να δείμεηε όηη:
α.       
32 2
3a a a a a a           
β.       
32 2
3a a a a a a           
117) Να απνδείμεηε ηηο ηαπηόηεηεο:
α.      
3 4 4
2x y x y x y xy x y x y      
β.       
2 2 2
2 4a a a a          
118) Να δείμεηε όηη
          
2 2
2 2x y x y x y x y x y x y x y         
119) Να απνδείμεηε ηηο ηαπηόηεηεο:
α.      
2 222 2 2 2
2x y xy x y   
β.    
2 22 2 2 2 4 4
2 2x y x y x y    
γ.      
3 2 2 2
5 2x y x x y x y y x y     
δ.     2 2 6
1 1 1 1 1x x x x x x x       
ε.        
3 2 2 33 3 2 2 2 2
3 2x y x y x y x y xy     
ζη.      
3 2 2
3 3x y x x y y y x    
120) Να δείμεηε όηη
       
2 2 2 2
8x y z x y z x y z x y z xy            .

16. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 14 -
121) Να απνδείμεηε όηη
2 22 2
21 1
2 2
x x
x
    
    
   
.
(ηαπηόηεηα ηνπ Ππζαγόξα)
122) Να δείμεηε όηη:
α.
2 2
1 1
4a a
a a
   
      
   
β.
2 2
999 1000 999 1000
4
1000 999 1000 999
   
      
   
123) α. Γηα θάζε a , λα απνδείμεηε όηη
   
 
2 2
2 2
2 1
3
1
a a
a a
  

 
.
β. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο
2 2
2 2
2012 2009
2011 2010


.
124) α. Να θάλεηε ηηο πξάμεηο    
2
2 1a a a   .
β. Να ππνινγίζεηε ηελ παξάζηαζε
2
2012 2010 2010  .
125) α. Αλ 2x a  θαη 2y a  , λα απνδείμεηε
όηη    
22
2 6 3 7x a a y     .
β. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο
2 2
2 1002 1000 1004 1001      .
126) Αλ 2x a  θαη 2y a  , λα απνδείμεηε όηη
   
22
2 4 4 4x a a y     .
127) Αλ 3x y  λα ππνινγηζηνύλ νη
παξαζηάζεηο:
α. 2 2
3 3 2x y x y xy     
β. 3 2 2 3
3 3 5 5 2x x y xy y x y       
128) Αλ 1xy  , λα απνδείμεηε όηη
   
2 2
4x y x y    .
129) Αλ *
,a   θαη  
1 1
4a
a


 
   
 
, λα
απνδείμεηε όηη a  .
130) Δάλ 3a     θαη
1 1 1 1
a a  
   λα
ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο
2 2 2
a    .
131) Δάλ 0a     λα απνδείμεηε όηη :
α. 2 2 2
2a a    
β.
2 2 2
2
a
a
 

 
 
132) Δάλ
1 1 1
0
a  
   λα απνδείμεηε όηη :
α. 0a a     β. 2 2 2 2
( )a a       
133) Δάλ 0a     λα δείμεηε όηη
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a a   
 
     
 
.
134) Αλ 3x y  θαη 2xy  λα βξείηε ηηο ηηκέο
ησλ παξαζηάζεσλ :
α. 2 2
x y β. 3 3
x y γ. 4 4
x y
135) Αλ 5x y  θαη 4xy  λα βξείηε ηηο ηηκέο
ησλ παξαζηάζεσλ :
α. 2 2
x y β. 3 3
x y γ. 4 4
x y δ. 6 6
x y
136) Αλ
1
5x
x
  λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο:
α. 2
2
1
x
x
 β. 3
3
1
x
x

137) Αλ
2
3x
x
  θαη 2xy  λα βξείηε ηηο ηηκέο
ησλ παξαζηάζεσλ :
α. 2
2
4
x
x
 β. 3
3
8
x
x
 γ. 5
5
32
x
x

138) Αλ x y a  θαη xy  , λα απνδείμεηε όηη :
α. 2 2 2
2x y a    β. 3 3 3
3x y a a  
139) Δάλ
1
x
a
  ,
1
y a

  , .
1
z a

  .
θαη 1ax y z    λα απνδείμεηε όηη :
α.
2
3
a   β.
1
18
xyz  
140) Αλ
2
1
2
x
a
x

 θαη
2
2
1
1
x
x




, κε
 0 ,1, 1x   , λα απνδείμεηε όηη
2 2
1 1
1
a 
  .

17. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 15 -
141) Αλ
2
2
1
0
4
a a

   κε 0  , λα βξείηε ηελ
ηηκή ηνπ ιόγνπ
a

.
142) Αλ 2 2
x a   , 2y a θαη 2 2
z a   λα
δείμεηε όηη 2 2 2
x y z  .
143) Αλ 2 2
x a   , 2y a θαη 2 2
z a   λα
δείμεηε όηη 2 2 2
x y z  .
144) Αλ 3 2 2x a     , 2 2y a     ,
2 2z a     θαη 2 2 2
a    λα απνδείμεηε
όηη 2 2 2
x y z  .
145) Αλ 2
a x yz  , 2
y xz   θαη 2
z xy  
λα δείμεηε όηη  2
a x ax y z      .
146) Αλ 7 3 6x a     , 6 2 6y a     ,
3 3 2z a     θαη 2 2 2
a    λα απνδείμεηε
όηη : 2 2 2
x y z  .
147) Αλ 2 2
1a   , λα βξείηε ηελ ηηκή ηεο
παξάζηαζεο    
2 23 3
3 4 3 4y a a      .
148) Αλ 0a     θαη 0a  , λα δείμεηε όηη
2 2 2
3 3 3
2 1 1 1
0
3
a
aa
 
  
  
    
   
.
149) Αλ
5
2
a   θαη 3 3 65
8
a   λα δείμεηε όηη
νη αξηζκνί a ,  είλαη αληίζηξνθνη .
150) Αλ
1
1
a
  θαη 3
3
1
7
a
    λα δείμεηε όηη
2a  .
151) Αλ  
2
2a a   , λα ππνινγίζεηε ηελ ηηκή
ηεο παξάζηαζεο 1896 2004
a    .
152) Αλ    
2 2
a a    , λα ππνινγίζεηε ηελ
ηηκή ηεο παξάζηαζεο  
999
1a   .
153) Να βξείηε ζε πόζα κεδεληθά ηειεηώλεη ν
αξηζκόο    
2 22011 2010 2011 2010
5 2 5 2     .
154) Να παξαγνληνπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο:
α. 2
3 6x x β. 12 6x
γ. 2
8 4a a δ.    5 x y y x  
ε.     2 2a x y a x y    ζη.    
2
1 1a x x  
δ.  
3
2 2x x   ε.  
2
1 1x x  
ζ. 2 2 2 2
4 36 9a x x a   η. 3 2
3 6 18x x x  
ηα. 2
a a a    ηβ. 3 2
1x x x  
ηγ. 3 3ax ay x y   ηδ. 2
2 4 8ax ax x  
ηε. 5 4 3 2
1x x x x x     ηζη. 3 2
1x x x  
ηδ.      2 3 3 3 3a x y a x y      
ηε. 3 3 2 2
4 27 108x x y y  
155) Να παξαγνληνπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο:
α. 2 2
9 49x y β. 2 4 2
16 25a x y
γ. 4
4x  δ.  
2 2
3 9x y y 
ε.    
2 2
2 2 3x y x y   ζη. 2
7x 
δ.    
2 2
3 3 1 27 2x x   ε.    
2 2
12 3 2 3 1 2a a  
ζ.  
22 2
1 4a a 
156) Να παξαγνληνπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο:
α.  
22 2 2 2 2
4x y w x w   β.  
22 4
17 1 64a a 
157) Να παξαγνληνπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο:
α. 3
1 27x β. 6 3
27 8a x γ. 3
8 64x 
δ.
3
1
8
x

ε. 3
40 5x 
ζη.
3 3
27 125
x y

158) Να παξαγνληνπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο:
α. 2
2 1x x  β. 2
9 12 4x x 
γ. 2
4 4 1x x  δ. 2 2
4 9 12x y xy 
ε. 4 2 2
4 12 9x x y y  ζη. 2 2
4 4a a  
159) Να αλαιύζεηε ζε γηλόκελν ηα ηξηώλπκα:
α. 2
3 2x x  β. 2
6 1x x 
γ. 2
4 20 25x x  δ. 2
2 5 7x x 
ε. 2
3 2x x  ζη. 2
6 2 8x x 
δ. 2
9 8x x  ε. 2 2
2 6x xy y 
160) Να γίλνπλ γηλόκελν νη παξαζηάζεηο:
α. 2 2 2
2x xy y a   β. 2 2
2 1a    
γ. 2 2
2 3x xy y  δ. 2 2
3 4 1 2x x xy y   

18. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 16 -
161) Αθνύ βξείηε πξώηα γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x
νξίδνληαη νη παξαθάησ παξαζηάζεηο , ζηελ
ζπλέρεηα λα ηηο απινπνηήζεηε:
α.
3
2
4 4
x x
x


β.
2
2
6 9
8 15
x x
x x
 
 
γ.
4 2
2
2 1
1 2
x x
x x
 
 
δ.
4 2
3 2
2 1
3 3
x x
x x x
 
  
162) Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα:
α.
2
2
1
x x
x


β.
2 2
2 2
2a a
a
 

 

γ.
3 2
2 2
3
9
x x y
x y


δ.
3
2
4
4 4
 
 

 
163) Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα:
α.
2
2
25
6 5
x
x x

 
β.
2
2
3 18
4 12
a a
a a
 
 
γ.
3 2 2
2 3
2x ax a x
ax a
 

δ.
3
4 2
1
1
x
x x

 
ε.
2 5 10
2
ax x a
ay y
  

ζη.
3 3
2 2
x y
x xy y

 
164) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο:
α. 2
1 3 3
4 2 2 2 2x x x x
 
 
β. 2 2
2x xy y
x y x yx y
 
 
γ.
2
2
2 4 4 1
2 1 4
x x x
x x
  

 
δ.
2
2
x xy y
x y xy



ε. 2 3
1 2
:
2 4
x
x x x x

 
ζη. 2
4 4
:
x y x y
x yx xy
 

165) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο:
α.
2 2 3 3
2 2
x y x y
x y x y
 

 
β.
 
2
2 2 4 4
y x yx
x y x y


 
γ. 2 2 2
1 1 3
3 2 4 2a a a a a
 
    
δ.
2 2 2 2
3 3
1 1
:
x y x y
x
y y x x y
     
      
    
166) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 3 2
3 2 0x x x   β. 4 2 3
4 4x x x 
γ. 2
7x x δ. 2
3 27 0x  
167) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο
α.    
2 2
2 1 2x x   β.    2 2
5 2 1 4 1x x x   
γ.      2 2
2 3 1 1 1x x x x    
δ.      
2 22
4 2 5 4 0x x x    
168) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 3
2 0x x  β. 4
1 0y  
γ. 3 2
2 2 0a a a    δ. 3 2
3 4 12 0z z z   
169) Αλ 2
a  λα δείμεηε όηη
 
 
2
2
aa 
  



.
170) Αλ 1a  λα δείμεηε όηη
3 3
2 2
1 1
a
a
a



  
 
.
171) α. Να δείμεηε όηη
 
3 3
2
a
a
a a


 

 
 
.
β. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο
3 3
2
123 23
146 123 23

 
.
172) α. Να γίλεη γηλόκελν παξαγόλησλ ε
παξάζηαζε 4 4
4a  .
β. Να δείμεηε όηη
 
 
4 4
2 2
2 2
4a
a
a

 
 

  
 
γ. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο
4
2
2
2010 4
2011
2009 1



.
173) Αλ 7 1x a  θαη 7 1y   κε *
,a   , λα
απνδείμεηε όηη ε δηαθνξά ησλ ηεηξαγώλσλ ηνπο
είλαη πνιιαπιάζην ηνπ 7 .
174) Να απνδείμεηε όηη ην ηεηξάγσλν θάζε
πεξηηηνύ αξηζκνύ , είλαη πεξηηηόο .
175) Να απνδείμεηε όηη θάζε θπζηθόο πεξηηηόο
αξηζκόο είλαη δηαθνξά ηεηξάγσλσλ δπν
δηαδνρηθώλ θπζηθώλ αξηζκώλ .
176) Να απνδείμεηε όηη πξόηαζε p : «αλ
,a   , κε 1a   , ηόηε 2 2
1 2a     » .
177) Να απνδείμεηε όηη ην ηεηξάγσλν ελόο
θπζηθνύ πεξηηηνύ αξηζκνύ , δηαηξνύκελν κε ην 4
, δίλεη ππόινηπν 1 .
178) Να απνδείμεηε όηη ην ηεηξάγσλν ελόο
θπζηθνύ πεξηηηνύ αξηζκνύ , δηαηξνύκελν κε ην 4
, δίλεη ππόινηπν 1 .

19. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 17 -
179) Αλ v είλαη πεξηηηόο , λα δείμεηε όηη ν
αξηζκόο   2 2
3 7v v  είλαη πνιιαπιάζην ηνπ
16 .
180) Να απνδείμεηε όηη πξόηαζε p : «αλ *
v
θαη 4
4v  πξώηνο , ηόηε 1v  » .
181) Αλ έλαο θπζηθόο αξηζκόο v δηαηξνύκελνο κε
ην 5 αθήλεη ππόινηπν 3 , λα απνδείμεηε όηη ν
αξηζκόο 2
3 3 1v v  είλαη πνιιαπιάζην ηνπ 5 .
182) Να απνδείμεηε όηη πξόηαζε p : «αλ ν 2
x
είλαη πεξηηηόο , ηόηε ν x είλαη πεξηηηόο» .
183) Να απνδείμεηε όηη αλ ν 2
x δελ είλαη
πνιιαπιάζην ηνπ 7 , ηόηε θαη ν x δελ είλαη
πνιιαπιάζην ηνπ 7 .
184) Να απνδείμεηε όηη αλ ν θπζηθόο αξηζκόο
2
4 5v v  είλαη πεξηηηόο , ηόηε ν v είλαη
άξηηνο .
185) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε *
,a   κε
2
a
a
a



    .
186) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε  , 2a    κε
5 3 5 3
2 2
a
a
a



 
  
 
.
187) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε 3a  , 3  κε
2 2
5 5a a a       .
188) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε 0a  , 0  κε
2 3 2 3
4 4
a
a
a



 
  
 
.
189) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ,a   κε
1 2a a     .
190) Να απνδείμεηε όηη δελ ππάξρνπλ δπν
δηαδνρηθνί αξηζκνί ζπλόινπ *
, πνπ λα είλαη
ηέιεηα ηεηξάγσλα θπζηθώλ αξηζκώλ .
191) Να απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη αξηζκόο a
ηέηνηνο , ώζηε δηαηξνύκελνο κε ην 10 λα αθήλεη
ππόινηπν 3 θαη δηαηξνύκελνο κε ην 8 λα αθήλεη
ππόινηπν 4 .
192) Να απνδείμεηε όηη πξόηαζε p : «γηα θάζε
1
1 1a
a
   » δελ είλαη πάληα αιεζήο .
193) Να απνδείμεηε όηη πξόηαζε p : «γηα θάζε
*
v , ηζρύεη 2
2 3v
v » δελ είλαη πάληα αιεζήο.
194) Να απνδείμεηε όηη πξόηαζε p : «γηα θάζε
0x  , ηζρύεη 3 2
x x » δελ είλαη πάληα αιεζήο .
§3. διάταξη
πραγματικών
αριθμών
195) Να ηνπνζεηήζεηε ζηνλ άμνλα ησλ
πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ηνπο αξηζκνύο:
2
3
,
6
7
 ,
3
4
,
7
8
 .
196) Αλ 2x  λα απνδείμεηε όηη :
α. 3 5 1x   β. 5 2 1x  γ.  2 1 3 10x  
197) Αλ 2a   , λα δείμεηε όηη :
α.    2 2 0a a     β. 2
2 2a a a   
198) α. Αλ 0a   , λα απνδείμεηε όηη 2 2
a  .
β. Αλ 0 a   , λα απνδείμεηε όηη 2 2
a  .
199) Αλ a  , λα δείμεηε όηη ( 1)a a    .
200) Αλ 1x  , λα δείμεηε όηη:
α. 2
x x β. 3 2
1x x x  
γ. 3 2
1x x x   δ. 3 2
1x x x  

20. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 18 -
201) Να απνδείμεηε όηη:
α. 2
4 4a a  β.  
2
4a a  
γ. 2
2 2 0a a   δ. 2
2 2 1 0a a  
ε. 2
2 4 3 0a a   ζη. 2 2
6 9 0a a   
δ. 2
6 10 0a a   ε.  2 2 2
2 2a a      
202) Να απνδείμεηε όηη:
α. 2
2 2 1 0a a   β. 2
8 17 0a a   
γ.  2 2
8 4a a    
203) Να απνδείμεηε όηη
    
22 2 2 2
a x y ax y     .
204) Αλ 1x   θαη 1y   , λα απνδείμεηε όηη
1 0x y xy    .
205) Αλ 0x y  , λα απνδείμεηε όηη
 3 3
x y xy x y   .
206) α. Αλ a ,  εηεξόζεκνη λα απνδείμεηε όηη
2
a
a


   .
β. Αλ a ,  νκόζεκνη λα απνδείμεηε όηη 2
a
a


  .
207) Αλ a  θαη 0    , λα απνδείμεηε όηη
1 1
a 
 
   .
208) Γηα θάζε 0a  , λα απνδείμεηε όηη :
α. 2
2
1 1
a a
aa
   β. 3 2
3 2
1 1
a a
a a
  
209) Γηα θάζε a , λα απνδείμεηε όηη :
α. 2
2
1
1
a
a


β. 2
12 5
4
1
a
a



210) Αλ 1x  λα απνδείμεηε όηη :
α. 1
1
x
x


β.
1
1
1
x
x



γ.
2 1
1x x


211) Αλ 0a   λα απνδείμεηε όηη :
α.
2
2
a
a





β.
2
1 2 1
a a
a




 
212) Γηα θάζε ,a   , λα απνδείμεηε όηη :
α.
2 2
2 2
2
a
a a

 

   β.  
22 2 3
4
a a a     
Πόηε ηζρύεη ην = ;
213) Αλ , 0a   , λα απνδείμεηε όηη
2 2
1 1a
aa


   .
214) Αλ 3a   λα απνδείμεηε όηη 2 2
2 2 9a   .
215) Αλ , 0a   θαη 2a   λα απνδείμεηε όηη :
α. 2  β. 1a  γ. 2 2
2a  
216) Αλ , 0a   κε 1a   λα απνδείμεηε όηη :
α.
1
4
a  β. 2 2 1
2
a   γ. 4 4 1
8
a  
217) Αλ 4a   , λα απνδείμεηε όηη :
α. 4a   β. 2 2
8a  
218) Αλ 0a  , 0  , 0  , λα απνδείμεηε όηη
ηζρύνπλ νη ηζνδπλακίεο :
α. 1
a a a
   

  

β. 1
a a a
   

  

219) Να βξείηε ηνπο x , y ώζηε λα ηζρύεη :
α.    
2 2
3 1 0x y    β. 2 2
10 4 29x y x y    
γ.    
2 22
4 2 0x x    δ. 2 2
2 1 2 2 0x xy x y    
220) Αλ 1 3x  θαη 4 7y  , λα βξείηε κεηαμύ
πνηώλ αξηζκώλ πεξηέρνληαη νη παξαζηάζεηο :
α. 2 3x y β. x y γ. 2 3 1x y 
δ.
x
y
ε. 2 2
2 3x y
ζη.
3 5
2
x y
x y
 

221) Αλ 1 2x   θαη
2
1
3
y   , λα βξείηε
κεηαμύ πνηώλ αξηζκώλ πεξηέρνληαη νη
παξαζηάζεηο :
α. x y β. 3 2 5y x 
γ. 3 31
9 1
2
x y 

21. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 19 -
222) Αλ 2 3x   θαη
5
1
2
y  , λα βξείηε κεηαμύ
πνηώλ αξηζκώλ πεξηέρνληαη νη παξαζηάζεηο :
α. x y β. 2 3x y γ. 2 4 5x y 
δ. 2 2
x y ε. 2
3 2 4x y xy 
ζη.
2 2
3 2
x y
x y


223) Να ζπκπιεξώζεηε ηα θελά ώζηε λα ηζρύνπλ
νη ηζνδπλακίεο ζηηο παξαθάησ πξνηάζεηο :
α.
1
2
2
x x   ………………………
β.  1,3 1......... ...........3x x 
γ. 0x x  ……………………
δ. 3x x   ……………………
224) Αλ  1, 4x , λα βξείηε ηα όξηα κεηαμύ ησλ
νπνίσλ πεξηέρεηαη ε ηηκή θάζε κηαο από ηηο
παξαθάησ παξαζηάζεηο :
α. 4x   β. 3 10x   γ. 1 4x  
225) Αλ  2 ,1x  θαη  2 , 4y  , λα βξείηε ηα
όξηα κεηαμύ ησλ νπνίσλ πεξηέρεηαη ε ηηκή θάζε
κηαο από ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο:
α. 1
2
x
  
β. 2x y  
γ. x y    δ.  2x y  
226) Αλ  2 , 1x   θαη  1, 2y  , λα απνδείμεηε
όηη ε παξάζηαζε 2 3 1x y    παίξλεη κόλν κε
αξλεηηθέο ηηκέο .
227) Αλ  1, 3x , λα ζπγθξίλεηε ηνπο αξηζκνύο
3
x θαη 2
3 3x x  .
228) Αλ 3
x  θαη 2
4 4x x    , λα ζπγθξίλεηε
ηνπο αξηζκνύο Α θαη Β όηαλ :
α.  2 ,1x  β.    , 2 1, 2x  
229) Αλ
1
x
x
 

θαη
1
2
x
x

 

, λα ζπγθξίλεηε
ηνπο αξηζκνύο Α θαη Β όηαλ :
α.  1, 2x β.    ,1 2 ,x  
230) Αλ  0 ,x y κε 0y  , λα ζπγθξίλεηε ηνπο
αξηζκνύο
1
2
y
y


θαη
1
2
x
x


.
231) Να απνδείμεηε όηη :
α. 2
1 0x x   , γηα θάζε x .
β. Η παξάζηαζε 2
( )f x x x  είλαη αξλεηηθή , γηα θάζε
 0 ,1x .
§4. διάταξη
πραγματικών
αριθμών
232) Να γξάςεηε ρσξίο ην ζύκβνιν ηεο απόιπηεο
ηηκήο ηηο παξαζηάζεηο :
α.
1
2
, 3 , 3  , | 2 | 1 
β. 4 , 2 1 , 3 3
γ. 1 2 , 2 2 
δ. 4
2x  , 2
2 1x x  , 200
1x 
ε. 2
a , 2
2010a  , | | 1a 
ζη. 2
2 1x x  , 2
2
1
2x
x
 
233) Δάλ 2x  λα απινπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο:
α. ( ) 2f x x  β. ( ) 3 2f x x  
γ. ( ) 2 2f x x   δ. ( ) 2f x x x  
234) Δάλ 3x  λα απινπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο:
α. 3 9x x    β. 1 2x x    
γ. 2 2
7 8x x     δ. 2 2
2x x x x    
ε. 2 2
1 2x x      ζη.    2
1 2x x x     
235) Δάλ 2 1a   λα απινπνηήζεηε ηηο
παξαζηάζεηο:
α. | 2| | 1|a a     β. | 3| | 2|a a    
236) Να γξάςεηε ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο ρσξίο
ην ζύκβνιν ηεο απόιπηεο ηηκήο .
α. ( ) 1 2f x x x    ,
όηαλ 1 2x  
β. ( ) 2 3 3f x x x    ,
όηαλ 3 1x  
γ. ( ) 2 2 4f x x x    ,
όηαλ 2 4x 
δ. 2
( ) 9 5f x x x   
,όηαλ 3 5x 

22. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 20 -
237) Δάλ 2x y  λα απινπνηήζεηε ηηο
παξαζηάζεηο:
α. 2 2x y x y      
β. 2
3 4x y y x      
γ. 2
4 2x y y x      
238) Δάλ 2 8x  λα βξείηε κεηαμύ πνησλ
αξηζκώλ πεξηέρεηαη ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο
5| 1| 3| 9| 4| 2| 5| 10|x x x x         .
239) Δάλ 3 1x    , λα απνδείμεηε όηη νη ηηκέο
ησλ παξαθάησ παξαζηάζεσλ είλαη αλεμάξηεηεο
ηεο κεηαβιεηήο x .
α. | | | | | | | |x y x y x y    
β. 2 2 2 2
x y xy x xy y    
γ.
2 2
2 2 2 y x
x y x
x y
 
   

240) Δάλ 0x y  , λα απινπνηήζεηε ηηο
παξαθάησ παξαζηάζεηο:
α. ( ) 3 4 3 1f x x x x    
β. ( ) 2 1 3 1f x x x x     
γ. 2 2
( ) 9 1f x x x   
241) Δάλ  2 , 3x  , λα απνδείμεηε όηη ε
( ) 3 2 2f x x x x     δηαηεξεί ζηαζεξή ηηκή .
242) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο :
| 1| 2| 2 1|x x     | 3 1| 2 3B x x   
| | |1 | 3C x x    3| 2 1| 4| 1|D x x   
3| 1| 2| 1| 2E x x    
2|1 2 | 3| | 2| 3 6| 4 2F x x x x      
3| 2 1| 3| | |1 |G x x x    
| 5| | 6| | 7 |H x x x     
243) Να γξάςεηε ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο ρσξίο
ην ζύκβνιν ηεο απόιπηεο ηηκήο .
α. ( ) | 1|f x x  β. ( ) | 2|f x x x  
γ. ( ) | 4| | 2|f x x x    δ. ( ) | | | 1| 1f x x x   
ε. ( ) 3 | 1| | 2|f x x x    
ζη. ( ) | 2| | 4|f x x x x    
244) Αλ 2x  θαη 1y  , λα απνδείμεηε όηη:
α. 3x y  β. 3 7x y 
γ. 2 3 1 8x y   δ. 2 2
2 9x y x y   
245) Αλ *
,x y  , λα βξείηε ηηο ηηκέο πνπ κπνξεί
λα πάξεη ε παξάζηαζε
yx xy
x y xy
    .
246) Γηα θάζε *
x , λα απνδείμεηε όηη ε
παξάζηαζε
xx
x x
   έρεη ζηαζεξή ηηκή .
247) Γίλεηαη ε παξάζηαζε
( ) | 1| 2 | 2 |f x x x x     .
α. Να γξάςεηε ηελ παξάζηαζε απηή ρσξίο ην ζύκβνιν
ηεο απόιπηεο ηηκήο .
β. Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x , νη ηηκέο ηεο
( )f x είλαη αλεμάξηεηεο ηνπ x .
248) Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο :
α. 2
x xy β. 2 2
2 2x x y y  
249) Αθνύ πξώηα βξείηε ην ζύλνιν ζην νπνίν
νξίδνληαη , ζηελ ζπλέρεηα λα απινπνηήζεηε ηηο
παξαζηάζεηο :
α.
2
( )
1
x x
f x
x



β.
2
4 4
( )
2
x x
f x
x
 


γ.
3
9
( )
3
x x
f x
x



δ.
3
2
1
( )
1
x
f x
x x


 
250) Γίλεηαη ε παξάζηαζε
2
2 2
2 | | | | 2
( )
4 4 | | 4
x x x
f x
x x x
 
 
  
.
α. Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x νξίδεηαη ε ( )f x .
β. Να απινπνηήζεηε ηελ ( )f x .
γ. Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x , ε ( )f x είλαη
αξλεηηθή .
251) Να απνδείμεηε ηηο ηζόηεηεο :
α. 2 2
| 2 3| | 2 3 |x y y x    
β.
| |
| |
a a
a a

252) Αλ x θαη 2 9 3 2x x   , λα απνδείμεηε
όηη 3x  .

23. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 21 -
253) Αλ  1x   , λα απνδείμεηε όηη ηζρύεη ε
ηζνδπλακία
16
4 4
1
a
a
a

  

.
254) Γηα θάζε x , λα απνδείμεηε ηελ
ηζνδπλακία 0x x x x x     .
255) Να δείμεηε όηη:
α. 2 2
| | | |x xy x xy   β. | | | | | |xy xy x y x y  
γ. x y y x xy xy  
256) Γηα θάζε a , λα απνδείμεηε όηη 2
2 1
2
1
a
a



257) Αλ *
,x y  κε 2 2
25x y , λα απνδείμεηε όηη
25
4
x y
y x
  .
258) Αλ ,x y κε 1x  θαη 2y   , λα
απνδείμεηε όηη
1 2
3 4 7
1 2
x y
x y
 
 
 
.
259) Γηα θάζε *
, ,x y z  , λα απνδείμεηε όηη
z x y
x y z
x y z
     .
260) α. Γηα θάζε ,x y , λα απνδείμεηε ό
   2 2 2
2x y x y   .
β. Αλ ,x y κε 2 2
1x y  , λα απνδείμεηε όηη
2x y  .
261) Γηα θάζε *
,x y  , λα απνδείμεηε ηελ
ηζνδπλακία
| | | |
2 2
x y y x
xy
xy

   .
262) Γηα θάζε *
,x y  , λα απνδείμεηε ηελ
ηζνδπλακία | | | | 0 | | | |x y y x x y x y      .
263) Γηα θάζε ,x y , λα απνδείμεηε όηη ηζρύνπλ
νη ηζνδπλακίεο:
α. | | | | | | 0x y x y xy    
β. | | | | | | 0x y x y xy    
γ. | | | | | | 0x y x y xy    
δ. | | | | 0 | | | |x y y x x y x y     
264) Γηα θάζε x , κε 4x  , λα απνδείμεηε όηη
16 4 1x x   .
265) Αλ *
, ,a x  θαη 0a  , λα απνδείμεηε
όηη
2
ax
x x
x

  .
266) Να βξείηε ηελ κέγηζηε ή ηελ ειάρηζηε ηηκή
ησλ παξαζηάζεσλ:
α. ( ) 2f x x  β. ( ) 3 5f x x  
γ. ( ) 3f x x  δ. ( ) 9 3 1f x x  
267) Γίλεηαη ε παξάζηαζε
 , | 2| | 1| | 3| | 1|f x y x x y y        . Αλ
2 1x   θαη 1 3y   , ηόηε :
α. Να απινπνηήζεηε ηελ παξάζηαζε .
β. Να βξείηε ηελ κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο .
268) Να βξείηε ηελ απόζηαζε  ,d a  ζε θαζεκία
από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο:
α. 6a  , 2  β. 4a  , 1  
γ. 2a   , 5   δ. 0a  , 3  
ε. 5a  , 0  ζη. a  ,    ,  
269) Να απνδείμεηε όηη:
α. 1 1x y x y     β. 2 2 2 1x y x y    
γ.      , , 2 , 2d x y d x d y 
270) Αλ ε απόζηαζε ηνπ x από ην – 2 είλαη
κηθξόηεξε από 4 , λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην
νπνίν κεηαβάιιεηαη ν x .
271) Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ κε
x    θαη y  . Αλ 5 0,2x   θαη
3 0,1y   , λα ππνινγίζεηε ηα όξηα ηεο
πεξηκέηξνπ ηνπ .
272) Να απνδείμεηε ηελ ηζνδπλακία
     1, 2 2 , 0 , 1d x d x d x   .
273) Γηα θάζε , ,a    , λα απνδείμεηε όηη
     , , ,d a d a d     .

24. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 22 -
274) Αλ , ,a    , λα απνδείμεηε ηελ
ηζνδπλακία
     , , ,d a d d a a          .
275) Αλ 0a  , λα απνδείμεηε όηη
       2 2 3 3
1, , , 1,d a d a a d a a d a   .
276) Να γξάςεηε κε αλαγξαθή ησλ ζηνηρείσλ
ηνπο ηα ζύλνια :
 / 1 2x x      / 1 3x x    
277) Γίλνληαη ηα ζύλνια  / 2 2x x     θαη
 / 1 5x x     . Να γξάςεηε κε αλαγξαθή
ησλ ζηνηρείσλ ηνπο ην ζύλνιν   .
278) Γίλνληαη ηα ζύλνια  / 3 7x x     θαη
 / 2 1x x     . Να γξάςεηε κε κνξθή
δηαζηήκαηνο ηα ζύλνια :
α.   β.  
279) Να απνδείμεηε όηη ηα ζύλνια
 / 1 1x x     θαη  / 1 3x x    
είλαη μέλα κεηαμύ ηνπο .
280) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ a , ώζηε νη
αξηζκνί 2 , 3 , 1a  , λα είλαη ζηνηρεία ελόο
ζπλόινπ .
281) Να απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ δπν κόλν ηηκέο
ηνπ a , γηα ηηο νπνίεο νη αξηζκνί – 1 , 1a 
, 2 δελ κπνξνύλ λα απνηεινύλ ζηνηρεία ηνπ
ίδηνπ ζπλόινπ .
282) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : « 1a  ,
,a   » θαη q : « 1a  θαη 1  ,
,a   » . Να απνδείμεηε ηελ ζπλεπαγσγή
p q .
283) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : « 1a   ,
,a   » θαη q : « 1a  θαη 1  ,
,a   » . Να απνδείμεηε ηελ ζπλεπαγσγή
p q .
284) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p :
« 2 3 3 2a a    , ,a   » θαη q :
« a  , ,a   » . Να απνδείμεηε ηελ
ηζνδπλακία p q .
285) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : « a a    ,
*
,a   » θαη q : «
a a
 
 , *
,a   » . Να
απνδείμεηε ηελ ηζνδπλακία p q .
286) Να ζπκπιεξώζεηε ηνλ παξαθάησ πίλαθα :
Απόλυηε
Τημή
Απόζηαζε Δηάζηεμα
ή Ένωζε
Δηαζηεμάηων
1 2x  
1 3x  
 , 0 5d x 
 1, 5
3 1x  
   , 4 4 ,  
§5. ρίζες
πραγματικών
αριθμών
287) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x νξίδνληαη νη
παξαζηάζεηο:
α. 1x  β. 2
1 3 1x x  
γ. 2
4 4x x  δ. 1
x x

ε. 2
(2 )x x ζη. | 1| 2x  
δ. | | 2x  ε. 3 | |x
288) Να γξάςεηε ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο ρσξίο
ηηο ξίδεο .
α.  
2
10 β.  
2
3  γ.  
2
1x 
δ.
2
9
a ε. 2
x ζη.  
22
1x 

25. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 23 -
289) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο :
5 3
8x y  5
18x  2
( 1)( 1)x x   
, 1x 
2
a
a
 
22
( 1)
1
xx
x x

  

2
| |
x x
x x
  
290) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο:
   
2 2
2 2 2 2A    
4 2
2 1B x x  
4 2 2 4
C x y x y 
2 4
9 16D a b 
   
2 2
1 2 3 1 2 3E    
2
2F x y x y 
291) Αλ 0x  , 0y  λα βάιεηε κέζα ζην ξηδηθό
ηνπο παξάγνληεο πνπ είλαη έμσ :
α. 2 3 β. x yx γ.  x y x y  δ. 2
2 3x x
292) Να απνδείμεηε όηη :
α.    
2 2
1 3 2 3 1   
β.   2 1 2 1 3a a a a        , 2a 
γ.  2 2 2 3 12 2  
δ.    
2 2
2 1 2 1 6   
293) Να δείμεηε όηη:
α.   8 3 2 6 2 4  
β.    6 3
3 6 3 6 0
12
   
294) Αλ 3x  , λα απνδείμεηε όηη
2 2
6 9 6 9 6x x x x      .
295) Να βξεζεί ε ηηκή ησλ παξαθάησ
παξαζηάζεσλ :
2 2
2 3 5A a a    , όπνπ 3 2a   θαη
3 2  
2 2
2 2 2B a a    , όπνπ 5 2a   θαη
5 2  
3 3 2 2
2 3C x y x y xy    , όπνπ 1 2x   θαη
1 2y  
296) Να ππνινγηζηνύλ νη παξαζηάζεηο:
α. 21 13 7 4  
β. 41 29 19 9  
γ. 21 13 7 4  
297) Αλ 13 7 3 1x     θαη
4 16 36 16 34 4y       , λα
ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο
2
5
xy x
y x

  .
298) Να απνδείμεηε όηη:
α. 6 3 3 3 3 6    
β. 3 5 3 6 5 3 6 5 2       
γ. 2 2 5 2 5 2 5 2 1       
δ. 2 2 3 2 3 2 2 3 1       
299) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο :
α. 3 2 2 β. 8 2 15
γ. 5 24 5 24   δ. 4 15 4 15  
300) Να βξείηε ηα αζξνίζκαηα:
α. 3 8 5 18 2 72 5 50  
β. 13 8 5 32 128 7 18  
γ.
3 4 3
5 12 8 27 10
4 3 16
  
δ.
1 5 3
27 48 108
2 3 9
  
301) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο :
α.
20 2 8 3 12
45 2 18 3 27
 
 
β.
8 12 50 75
18 27 32 48
  
  
302) Να κεηαηξέςεηε ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο
ζε ηζνδύλακεο κε ξεηό παξνλνκαζηή
(ξεηνπνίεζε) :
α.
2
3
β.
3
2
γ.
a
a
δ.
2 2
5 2 2


ε.
3
2 1
ζη.
4
3 2
δ.
3
5 7


ε.
2 3
3 2 1


ζ.
4 6
3 2 2 1

 

26. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 24 -
303) Να απνδείμεηε όηη
2 7 9
57 2 7 2
 
 
.
304) Αλ 0a  , 0  θαη a  , λα απνδείμεηε
όηη
2
2
a
aa a
 
 
  
 
.
305) Να απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί Α , Β , Γ είλαη
ξεηνί:
5 7
7 5 7 5
  
     
2 2
3 3
2 3 2 3
  
 
1 1
5 2 6 5 2 6
  
 
306) Αλ  , 0 ,x y  θαη x y , λα
κεηαηξέςεηε ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο ζε
ηζνδύλακεο κε ξεηό παξνλνκαζηή :
α.
2
x y
x y xy

 
β.
2
x y
x y xy

 
307) Αλ    
2 2
2 2 2 2     θαη
   
2 2
1 1
2 5 2 5
  
 
, λα απνδείμεηε όηη
   .
308) Έζησ 5 2 6 5 2 6a     .
α. Να δείμεηε όηη 0a  .
β. Να βξείηε ην 2
a .
γ. Να βξείηε ην a .
309) Να απνδείμεηε όηη :
α. 5 2 6 3 2   θαη 5 2 6 3 2   .
β.
5 2 6 5 2 6 2
35 2 6 5 2 6
  

  
.
310) Να ζπγθξηζνύλ νη αξηζκνί:
α. 8 θαη 5 3 β. 6 7 θαη 13
γ. 3 2 θαη 2 7 δ. 2 3 θαη 2 1
311) Να απνδεηρζεί όηη:
α. 1 2 3 2 2 5   β. 5 8 6 7  
γ. 2 6 8 7   δ. 6 2 5 1 3  
ε. 2 5 2 2 6   ζη. 5 2 3 1 3  
312) Να δείμεηε όηη ν 3 2 1 είλαη ε ηεηξαγσληθή
ξίδα ηνπ 19 6 2 .
313) Να απνδείμεηε όηη:
α. 2 2 2 2   β. 2 2 2 2
γ. 2 3 2 
314) Γίλεηαη ε παξάζηαζε 3 5 3 5     .
α. Να απνδείμεηε όηη 3 5 0  θαη 0  .
β. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο Α .
315) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x ηζρύεη ε
ηζόηεηα    2 1 2 1x x x x       .
316) Γηα θάζε x , λα απνδείμεηε όηη :
α. 2
1 0x x   β. 2
1 0x x  
317) Αλ 2 2
1a   , λα απνδεηρζεί όηη
4 2 2 4
4 4 3a a     .
318) α. Γηα θάζε  , 0 ,x y  , λα απνδείμεηε
όηη 2
x y
xy

 .
β. Γηα θάζε x , λα απνδείμεηε όηη
2
2
2
2
1
x
x



.
319) Αλ 1a  , λα απνδείμεηε όηη 2
1
a
a


.
320) Αλ  , 0 ,x y   , λα απνδείμεηε όηη
x y x y   .
321) Γηα θάζε  , 0 ,x y  , λα απνδείμεηε όηη :
α.
1 1 2
x y xy
  β.
1
1 1 2
x y
xy
x y

 

322) Γίλεηαη ε παξάζηαζε ( ) 2 1f x x   κε
 2 , 7x .
α. Να βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν παίξλεη ηηκέο ε
( )f x .
β. Να βξείηε ηελ κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο
( )f x θαζώο θαη ηηο ηηκέο ηνπ x πνπ ηηο παξνπζηάδεη.

27. οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2
- 25 -
323) Να γξάςεηε ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο κε
ηελ βνήζεηα κηαο ξίδαο:
α.
4 3
5 2
7
7
β.
4 33
6 5
a a a
a
 
γ. 2 23 3
2 3
9 4
3 2
y x
x y
x y
  
324) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο:
α. 3 6 123
x y z β. 4 84
81a 
γ. 3 4
3 4
δ. 3
2 9 1
3 2 4

325) Να ππνινγίζεηε ηα γηλόκελα :
α. 3 5
1
2 3
6
  β. 5 102 4
a a γ. 3 6
2 4 32 
326) Να ππνινγίζεηε ηα πειίθα :
α. 12 5 4
2 : 2 β. 9 68 5
5 : 5 γ. 15 1010 3
3 : 3
327) Να απνδείμεηε όηη :
α. 5 5
4 8 2  β. 3 4 4
64 2 γ. 3 6
3 9 243 9
328) Να απνδείμεηε όηη:
α. 3 4 122 3 56
7 7 7 7 7 49 7    
β. 43 134 4
3 2 2 2 2 6 2 5 4 4
   
γ.
  
  
3 3 33 3
3 33 3 3
7 2 49 14 4
3
5 2 25 10 4
  

  
δ. 3 6
3 5 1 5 7 3 5 2     
329) Να ππνινγηζηνύλ νη παξαζηάζεηο:
α. 3 3
5 54 12 5 3 16    β. 3
2 1 3 2  
γ. 6 33 3 34 5 8 4 27x y x y y    
δ. 8 6 4
3 50 256 2916 2 324  
330) Αλ , 0a   , λα απνδείμεηε όηη
2 3
3 4 24 1
a
a a a
  

   
    
   
.
331) Να απινπνηεζεί ε παξάζηαζε
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 7 6 7 6
    
       
    
.
332) Αλ , 0x y  , λα απνδείμεηε όηη:
α.
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
x y x x y y x y
  
      
  
β.
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
x y x x y y x y
  
      
  
333) Να βξείηε ηελ ηηκή ησλ παξαθάησ
παξαζηάζεσλ:
α. 3 3 2 2
2 3 5x y x y xy    , όπνπ 3
1 2x   θαη
3
1 2y  
β. 2 2
x y , όπνπ 43
3 2x   θαη 43
3 2x  
γ. 3 3
x y , όπνπ 3 2x   θαη 3 2y  
334) Αλ
2
2
x  θαη 3
1
2
y  , λα ππνινγίζεηε ηελ
ηηκή ηεο παξάζηαζεο    
32 1 3
2 13 2 2x y xy x
    
   
 
335) Να ζπγθξίλεηε ηνπο αξηζκνύο:
α. 3
3 θαη 2 β. 3
10 θαη 5
γ. 3
4 5 θαη 1 5 2 δ. 3
2 2 θαη 1 2
ε. 3
5
6
θαη 4
3
4
ζη. 4
2
3
θαη 6
3
5
δ.
4
5
θαη 3
2
3
ε. 3
3
2
θαη
2
3
ζ. 3
14 θαη 6
336) α. Να ζπγθξίλεηε ηνπο αξηζκνύο 9 3 θαη
11 2 .
β. Να απνδείμεηε όηη 3
9 3 11 2 3 2   .
337) Να κεηαηξέςεηε ηα παξαθάησ θιάζκαηα ζε
ηζνδύλακα κε ξεηό παξνλνκαζηή :
α. 3
1
2
β.
2
3
x
x
γ. 3
1
x
x 
338) Γηα θάζε , 0x y  , λα απνδείμεηε όηη
   3 3 32 4x y x y x y x y       .

28. - 26 -
2015-2016
εξισώσεις
Ασκήσεις
Παγώνης Θεόδωρος
Μαθηματικός

29. εξισώσεις κεφάλαιο 3
- 27 -
§1. η εξίςωςη
αx+β=0
1) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 1 4x   β. 7 6x  γ. 6 4 x 
δ. 2 1 4x   ε. 1 3 7x  ζη. 9 4 9x 
2) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α.  2 4 5 5 4x x   β.  5 2 3 4y y  
γ.    3 1 1 6 1t t t     δ.    4 3 1 3 1x x    
ε.    2 2 1 3 5 1 4x x     ζη.  9 1 10x x x  
3) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α.
2 11 1 2
3 2 4
x x 
  β.
 3 12 1
3 4
xx
x

 
γ.
3 5 1
5 10 10
y y 
  δ.
3 5 13 1
3 6 2
t t t 
 
ε.
1 7
1 3
2 5
x x
   ζη.
1 1 3
3 4
a a 

4) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α.      9 8 10 9 4 1 1 8x x x x      
β.      5 3 10 2 5 10 15 10x x x x      
γ.
4 4 3 1
2
3 5 15
x x x  
  
δ.
7 4 3 5
5 2
y y
y
 
 
ε.
1 23 4
7
7 5 4
u u u  
  
ζη.
3 1 2 1 5 1 5
12 10
4 3 4 6
v v v v    
     
 
5) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α.
5 1 2 1 3
1
6 4 3 4
x x x x    
    
 
β.
3 2 8
4 2
3 6 3
x x
x
  
    
 
γ.
 3 13 1 15
0
2 4 2
xx x 
  
δ.
     2 2 3 2 3 21
3 1 5 2
3 2 3 2
x x xx
x
     
       
   
6) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α.        
21 1
5 4 1 2 3 0
2 2
x x x x x       
β.  
2
21 1 1 5
2
3 4 2 3
w
w x
 
    
 
7) Να απνδείμεηε όηη νη εμηζώζεηο
3 1 2 1
4 8 2
x x x  
  θαη
2 3 3 1 2 1
2
3 6 2
x x x  
  
είλαη ηζνδύλακεο .
8) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α. 2
10 0x x  β. 2
4 0x   γ. 3
1 0x  
δ. 3
2 0x x  ε.  
3
3 0x x   ζη. 4
1 0x  
δ.   1 4 0x x   ε.   2
1 9 0x x  
ζ.    
22 2
2 4 0x x  
9) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α.    2
1 2 1 1x x x x x      β.  2 3 2
4 2 0x x x x   
γ.     2 2
3 3 9 0x x x     δ.  
2 2
1 2 1x x x x   
10) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α. 3 2
2 4 8 0x x x    β. 6 3
2 1 0x x  
γ.    
2 22 2
3 2 9 2 9x x x x     δ.   
2 2
1 1 0x x   
ε.    
2 2
2 2 4 0x x    ζη.  
22
3 1 0x x  
11) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α.
1
2
3
x
x



β.
2 1
1 2
x x
x x
 

 
γ.
2
1
2
x
x
x

 

δ. 2
1
2 2
x
x x x

 
ε. 2
1
11
x
xx


ζη. 2
5 3
0
525
x
xx

 

12) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α.
1 6
2
1 2
x x
x x
 
 
 
β. 2
3 2 1 6
( 1) 2 3 2
x
x x x x x

 
  
γ.
2 3
2
2 3
x x
x x

 

δ. 2
1 4 2
1 32 3
x x
x xx x
 
 
  
ε.
3 1 5 3
3 3 1
x x
x x
 
 
 
ζη. 2
1 2
24 4 xx x

 

30. εξισώσεις κεφάλαιο 3
- 28 -
13) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α.
1 2 5 6
0
2 3 6 7
x x x x
x x x x
   
   
   
β.
1 1 1 1
0
8 6 6 8x x x x
   
   
γ.
8 1 9
2 6 1 7
x x x x
x x x x
  
  
   
δ.
15 5 6 4
0
16 4 7 5
x x x x
x x x x
   
   
   
14) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α.
1 1
31 1 0
1 141
1
a a
a a
a a
a
 

   
 

β.
1 1 2
2
3 3
1 1
3 3
y y
y y
  
  
§2. παραμετρικέσ
εξιςώςεισ
15) Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηεο παξακέηξνπ   ,
λα ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο :
α.  3 3x    β.  1 x  
γ.  2
2 2x     δ.   2
1 1x   
ε.   2
1 1x    ζη.    8 2 1 10x x    
16) Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηεο παξακέηξνπ   ,
λα ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο :
α.
2 2
3 9x x    
β. 2 3
3 2 2x x      
γ.
 2
2 3 1x x    
δ.    2
1 5 4 4 1x x    
ε.
2
1 4 5
5 15 3
x x      
 
ζη.      2
2 4 2 1 4 1x x       
17) Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ησλ παξακέηξσλ
,a   , λα ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο :
α. ax a x    β. 2 2
a x a x   
γ.  1 2 3a x x     δ.    1 6 5 1a ax x ax    
18) Να Δίλεηαη ε παξακεηξηθή εμίζσζε
   2
2 3 1x x     . Να πξνζδηνξίζεηε ηελ
ηηκή ηνπ   , ώζηε ε εμίζσζε απηή λα έρεη
κνλαδηθή ξίδα ην 1 .
19) Δίλεηαη ε εμίζσζε    
2
2 3 1x x       .
Να εμεηάζεηε αλ ππάξρεη ηηκή ηνπ   , ώζηε
ε εμίζσζε λα έρεη :
α. κνλαδηθή ξίδα ην κεδέλ,
β. ξίδα ην κεδέλ.
20) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2
16 4x x    . Να
πξνζδηνξίζεηε ην   , ώζηε ε εμίζσζε λα
έρεη ηνπιάρηζηνλ δπν ξίδεο δηαθνξεηηθέο κεηαμύ
ηνπο .
21) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ   , ώζηε ε
εμίζσζε  2
4 1 0x    λα είλαη αδύλαηε.
22) Αλ ε εμίζσζε  2 2
4 2x     είλαη
ηαπηόηεηα , λα βξείηε ην  .
23) Αλ ε εμίζσζε  2 2
3 9x     είλαη
αδύλαηε , λα δείμεηε όηη ε εμίζσζε
 1 5x    έρεη κνλαδηθή ιύζε .
24) Αλ ε εμίζσζε
     2
1 3 4 4 4x x x         είλαη αδύλαηε
, λα δείμεηε όηη ε εμίζσζε  2 1 3 3x x    
είλαη ηαπηόηεηα.
25) Αλ ε εμίζσζε  2 3
9 27x    είλαη
ηαπηόηεηα , λα βξείηε ην  ώζηε ε εμίζσζε
 2 2
4 x       λα είλαη αδύλαηε.
26) Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ αξηζκνύ a ώζηε ε
3 2
3 3 0y y ay a    λα έρεη ξίδα ηνλ αξηζκό 2.
Μεηά λα βξείηε όιεο ηηο ξίδεο ηεο εμίζσζεο.
27) Δίλεηαη ε εμίζσζε :
   4 3 2
2 5 2 2 0x a x x a x       .
α. Γηα πνηα ηηκή ηνπ a ε εμίζσζε έρεη ξίδα ην –1 ;
β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε γηα ηελ παξαπάλσ ηηκή ηνπ
a .

31. εξισώσεις κεφάλαιο 3
- 29 -
28) Δίλεηαη ε εμίζσζε : 3
3 2 0x x   (1)
α. Να βξείηε ηελ εμίζσζε πνπ πξνθύπηεη αλ ζηελ ( 1 )
ζέζνπκε όπνπ x ην 1y  θαη λα ηελ ιύζεηε .
β. Με ηελ βνήζεηα ηεο λέαο εμίζσζεο , λα ιύζεηε θαη
ηελ (1).
29) Να εμεηαζζεί γηα πνηεο ηηκέο ησλ a θαη  ε
εμίζσζε 3
3 2
ax x
x a

   ,
α. έρεη κία ιύζε ,
β. είλαη ηαπηόηεηα (δειαδή έρεη άπεηξεο ιύζεηο) ,
γ. είλαη αδύλαηε (δελ έρεη ιύζεηο) .
30) Να εμεηαζζεί γηα πνηεο ηηκέο ησλ a θαη  ε
εμίζσζε      
2 2
2 2x a x x x a      ,
α. έρεη κία ιύζε ,
β. είλαη ηαπηόηεηα (δειαδή έρεη άπεηξεο ιύζεηο) ,
γ. είλαη αδύλαηε (δελ έρεη ιύζεηο) .
31) Αλ ε εμίζσζε  4 0a x a      έρεη
ηνπιάρηζηνλ δπν ιύζεηο , λα βξείηε ηηο ηηκέο ησλ
,a   .
32) Γηα πνηεο ηηκέο ησλ παξακέηξσλ  θαη  ε
εμίζσζε
5 5 3 3
8 4
4 4
y y
y
    
   αιεζεύεη
γηα θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό y ;
33) Υπάξρνπλ ηηκέο ησλ  θαη  ώζηε ε εμίζσζε
        1 1 1x x x x x           λα
είλαη αδύλαηε ; Πόηε έρεη κηα ιύζε θαη πνηα είλαη
απηή ;
34) Αλ ε εμίζσζε  2 2
2 1x       είλαη
αόξηζηε , λα δείμεηε όηη ε εμίζσζε
 2012 2009
1 x   είλαη αδύλαηε .
35) Αλ ε εμίζσζε  2 0x y x y     κε
άγλσζην ην  έρεη πεξηζζόηεξεο από κηα ιύζεηο
λα βξείηε x , y .
36) Δίλνληαη νη εμηζώζεηο :
    
3 3 3
2 3 3x x x    (1)
  2 2011
4 2x      (2)
    2x x     (3)
Αλ  είλαη ε κηθξόηεξε ξίδα ηεο (1) θαη ε (2) είλαη
αδύλαηε , ηόηε λα δείμεηε όηη ε (3) είλαη αόξηζηε .
37) Δίλνληαη νη εμηζώζεηο :
    
3 3 3
2 5 5x x x    (1)
  2 2010
9 3x      (2)
    3 3x x    (3)
Αλ  είλαη ε κηθξόηεξε ξίδα ηεο (1) θαη ε (2) είλαη
αδύλαηε , ηόηε λα δείμεηε όηη ε (3) είλαη αόξηζηε.
38) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :
α.
1 1
2
x x
x x   
 
 
   
β.
2 2
2 2
x x
x x x
     
  
    
 
  
§3. επίλυςη
τύπων
39) Να ιπζνύλ νη παξαθάησ ηύπνη σο πξνο ηελ
κεηαβιεηή πνπ δεηείηαη :
α. 0v v at  , σο πξνο
t κε 0a 
β.  1 1va a v    , σο
πξνο 
γ.
1 2
1 1 1
R R R
  , σο
πξνο R κε 1 2 0RR R 
δ.
2 R
 

, σο πξνο R
ε. 0
0
a
t t
 


, σο πξνο

ζη. 1
2
v
v
a a
S v

 , σο πξνο
1a
δ.
2 1 1
a 
  , σο πξνο
 κε 0a 
ε. 1 1 2 2
1 21 1
PV PV
a a 

 
, σο
πξνο 1P
40) Αλ 2
0
1
2
S v t at  θαη 0v v at  λα δείμεηε όηη
0
2
v v
S t

 .

32. εξισώσεις κεφάλαιο 3
- 30 -
§4. εξιςώςεισ
που ανάγονται
ςε 1ου βαθμού
41) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α. | | 2x  β. 3| | 5x  γ. 3| 1| 6x   
δ. 4| 1| 2 0x    ε. 2 |1 | 0x  ζη. 1 | 2 | 0x  
δ. 2
| 3 3| 1x x   ε. 2
| 5 5| 1x x   ζ.|| 2| 5| 3x   
42) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α.|| 1| 2 | 1x    β. | 6 | 3 1|| 5x   
γ. 5 | 7 | 3 2|| 8x    
43) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α.
| | 4 | | 3 4 | | 1
5 2 3
x x x  
  β.
| 2 | 5
2 | 2 | 4
3 3
x
x

   
γ.
2 2
5| 1| 2 2 | 1|
5
3 4
x x  
  δ.
| 3 | 2 | 3| 1
1
3 2
x x   
 
ε.
2
2 | 1| 1
| 1| 1
2
x
x
 
   
ζη.
19 2 | | 2 | | 11
2 | |
2 3
x x
x
 
 
44) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α. | 2| | 2 1|x x   β. 3| 1| 2| 1|x x  
γ. | 2| 3|1 4 |x x   δ. | 2 5| | |x x 
ε. 4| 2| 3| 2 1|x x     ζη. 2 2
3| 3 2 | 2 | 4 |x x x    
δ. | 3 2| | 5 2 |x x   ε. 2|1 | | 2 |x x   
ζ. 2
2 | 1| | 1|x x  
η.
| 2 |
| 4 |
| 1|
x
x
x

 

ηα.
| 3|
2
| 1|
x
x



ηβ.
| 3|
0
| 1|
x
x



ηγ. 2
|1 3 | | 5 2 |x x   ηδ. 2 2
| 4 6 | | 12 26 |x x x x    
ηε. 2011
2010 | 3 | 2009 | |x x x  
45) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α.
3 | 1|
2
x
x
 

β. | 2 3| 1 0x x   
γ. | 5|x x  δ. 2 2
| 4 | 4 4x x x   
ε. 4| 2| 1x x     ζη. ||1 3 | 2| | 5 2 |x x   
46) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α. | 1| 2| 2 |x x x    β. | 2| 2 0x x  
γ. | 2| | 2 1| 3x x    δ. 2| | 3 1 0x x  
ε. | 2| 2| 1| 1x x    ζη.
| 2| | 2| | 3 1|x x x    
δ. | | | 1| | 2 1| 8x x x     ε. 2| | 5 6x x 
ζ.
2
2
2 | | 1
34 | | 3
x x
x x

 

η. 2
3| | 1 0x x  
ηα. 3| | 2x x  ηβ. 3
4 | |x x
ηγ. | | | 1| 3x x   ηδ. 3| 2| 5| 1| 0x x   
ηε.| 5 | 1|| | 1 | 2 1||x x     
47) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε
1 5| | | | 1
| |
3 6 2
x x
x

   είλαη αδύλαηε ζην ζύλνιν
.
48) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α. | | 3 2 | | 1x x   β. | | 2 | |x x x  
γ. | | 3 | | 15 2x x x    
49) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α. 2 2
| 4 | | 2 | 0x x x    β. 2 3
| | | | 0x x x x   
γ. 2
| 9 | | 2 | 0x x    δ. 2
2 | 1| 3| 1| 0x x   
ε. | 3| | 1| 1 0x x     ζη.  
22
| 2 | 2 0x x x   
50) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α. 3 2
| | 3 | | 3 0x x x    β. 3 2
| | 7 12 | | 0x x x  
γ. 3 2
| | 2 2 | | 4 0x x x   
51) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α. 2
| 1| 2 1 0x x x     β. 2
6 9 | 2 7 |x x x   
γ. 2 2
| 4 | 4 4 0x x x    
52) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α. 5x  β. 3x  
γ. 2
4x  δ. 4 5x  
ε. 1 2 5x x   ζη. 2
1 1x x  
δ. 3 2 2 1 0x   ε. 3 3
3 2x x 