Irrazionalità della radice di un numero primo [SC]

1. Istituto Professionale (Lamezia Terme) Classe II A Prof. Santi Caltabiano
Irrazionalità della radice di un numero primo
Si dimostra che la radice di un numero primo è sempre un numero irrazionale. E’ la generalizzazione della
dimostrazione:”la radice di 2 è un numero irrazionale”
Teorema
Hp: Sia a un numero primo
Ts: √ è un numero irrazionale
Dim
Supponiamo per assurdo che √ sia un numero razionale ⟹ ∃ , ∈ 0,1 t.c. √ = e si può
supporre che la frazione sia semplificata ai minimi termini cioè MCD(m,n)=1.
Quadrando = ⟹ = ⟹ divisibile per a ⟹ m divisibile per a ⟹ ∃ ∈ 0 t.c. m=ka.
Sostituendo in = otteniamo = ⟹ = ⟹ multiplo di a ⟹ n multiplo di a.
Pertanto sia m che n sono multipli di a e questo è un assurdo poiché MCD(m,n)=1.