Your SlideShare is downloading. ×
MAKALAHANALISIS KOMPLEKS“DERET PANGKAT KOMPLEKS”OLEHABUBAKAR LAMAROBAKARIEL ANDRESON RIWUMARLEN FRANSNURULHUDA ARYANITHEOD...
KATA PENGANTARPuji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karenapenulis dapat menyelesaikan Makalah ini. Pen...
BAB IPENDAHULUANA. Latar BelakangAnalisis kompleks adalah salah satu mata kuliah di program studi pendidikanmatematika. Da...
BAB IIISI2.1 Baris dan Deret Kompleks.Seperti halnya dalam bilangan riil, dalam bilangan kompleks juga dikenalistilah bari...
Seperti halnya dalam barisan bilangan riil, pada bilangan kompleks berlaku beberapateorema berikut.Teorema 1 Jika nnn yixz...
Bilangan S menyatakan jumlah deret di atas apabila SSnnlim . Jadi deret1nnzkonvergen ke S jika dan hanya jika SSnnlim , da...
1nnz konvergen dan1nnz divergen1nnz konvergen bersyarat.3.1nnz konvergen mutlak1nnz konvergen.4. Uji Bandingnn bz dan1nnb ...
Bentuk umum : ppnpn 3121111Jika 1p maka deret konvergen.Jika 1p maka deret divergen.Deret PangkatBentukDeret PangkatDeret...
Teorema 5Misal diberikan deret pangkat nnn zza )( 00.Jikannna11lim , dengan 0 maka adalah jari-jarikekonvergenan.Sifat jar...
konvergen pada 1z .Jadi, 1z konvergen pada 1z dan divergen pada 1z .Deret Taylor dan MacLaurinSuatu fungsi )(zf tidak dapa...
MacLaurin dalam C berlakunnnznffzf1)(!)0()0()( . (1.2)Persamaan (5.2) disebut deret MacLaurin dari )(zf .Beberapa contoh d...
11,)1()1()1(1)( 32zzzzzf Cara lain : ( menggunakan deret MacLaurin )11,1)1()1(1)1()1()1(111)(320zzzzzzzzfnnn5.4 Deret La...
Ruas kanan persamaan (1.3) dan (1.4) disebut deret Laurent)(zf dalam annulus 201 RzzR .Apabila )(zf analitik untuk 20 Rzz ...
)2(1)1(1)(zzzf .zzzzzzzznnnn1,111,111111110100102,212,2212112121nnnnnzzzzzzJadi,.21,21)2(1)1(1)2()1(1)(0 011zzzzzzzzfn nnn...
.2,21)2(1)1(1)2()1(1)(0 011zzzzzzzzfn nnnn2.2 Lingkaran kekonvergenanUntuk membahas deret pangkat dengan bentuk maka akan ...
Lingkaran dinamakan lingkaran konvergensi untuk deret pangkattersebut.DivergenUntuk ke-tiga alasan yang dikemukakan di ata...
Karena pusat deret terletak pada , deret konvergen pada dandivergen pada .mengenai titik-titik pada lingkaran konvergensi,...
untuk semua dan semua sedemikian sehinggaMisalkan C adalah suatu lingkaran seperti yang disebutkan oleh teorema itudanluki...
Andaikan bahwa deret mempunyai lingkaran konvergensi dengan jari-jari maka deret konvergen ke suatu fungsi yang kontinu pa...
Jadi definisi kontinuitas pada terpenuhi dan dipilih sembarang dari D1(C )Teorema 6.11Andaikan bahwa deret mempunyai lingk...
Jelaslah bila integral di (3) menuju ke nol. Pada saat yang sama biladan juga n menuju ke dan oleh karena itu jumlah integ...
dengan nol, karena integran dalam setiap kejadian dimana-mana. Oleh karenaitu:Dan benar untuk setiap lintasan K yang seder...
Maka misalkan K adalah lingkaran dengan menurutteorema 6.9 terdapat suatu bilangan bulat M sedemikian hingga untukdan untu...
BAB IIIPENUTUP3.1 KesimpulanBarisan bilangan kompleks :merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan bulat positif ndeng...
6. nzc konvergen ke zc .7. nn wz konvergen ke wz .8.nz1konvergen kez1asalkan 0nz dan 0z untuksetiap n . □
DAFTAR PUSTAKAEkowati, C.K. 2010. Bahan Ajar Mandiri Analisis Kompleks. Kupang: UniversitasNusa Cendanahttp//: diktat-anko...
Makalah ankom deret kompleks
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Makalah ankom deret kompleks

2,873

Published on

Published in: Education
0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
2,873
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
153
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Makalah ankom deret kompleks"

  1. 1. MAKALAHANALISIS KOMPLEKS“DERET PANGKAT KOMPLEKS”OLEHABUBAKAR LAMAROBAKARIEL ANDRESON RIWUMARLEN FRANSNURULHUDA ARYANITHEODORA Y. MEKARIAPROGRAM STUDY PENDIDIKAN MATEMATIKAJURUSAN PENDIDIKAN MIPAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS NUSA CENDANA2013
  2. 2. KATA PENGANTARPuji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karenapenulis dapat menyelesaikan Makalah ini. Penyusunan Makalah ini disusununtuk memenuhi tugas mata kuliah Analisis Kompleks tentang Deret pangkatKompleks.Selain itu tujuan dari penyusunan Makalah ini juga untuk menambahwawasan tentang Deret pangkat komlpeks secara meluas.Akhirnya Penulis menyadari bahwa Makalah ini sangat jauh darikesempurnaan. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, penulismenerima kritik dan saran agar penyusunan Makalah selanjutnya menjadi lebihbaik. Untuk itu saya mengucapkan banyak terima kasih dan semoga makalahini bermanfaat bagi para pembaca.Kupang, 23 mei 2013Penulis
  3. 3. BAB IPENDAHULUANA. Latar BelakangAnalisis kompleks adalah salah satu mata kuliah di program studi pendidikanmatematika. Dalam mata kuliah ini dipelajari segala sesuatu yang berhubungandengan bilangan kompleks baik itu operasi-operasi yang berlaku, fungsi kompleksdan lain-lain. Diantaranya juga dipelajari Deret Pangkat kompleks. Untuk lebihmemahami Deret Pangkat kompleks beserta teorema dan aturan yang berlakudalam Deret Pangkat kompleks itu sendiri maka dosen memberikan tugaspembuatan makalah mengenai Deret Pangkat Kompleks. Oleh sebab itu penulismembuat makalah ini untuk lebih memahami mengenai Deret Pangkat komplekssekaligus menyelesaikan tugas dari dosen.B. Rumusan MasalahBerdasarkan latar belakang maka dibuat rumusan masalah sebagai berikut:- Apa itu Deret Pangkat dan Barisan kompleks?- Apa saja teorema dan aturan yang berlaku dalam Deret Pangkat kompleks?C. TujuanBerdasarkan rumusan masalah tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untukmengetahui apa itu Deret Pangkat dan Barisan kompleks beserta teorema danaturan yang berlaku dalam Deret Pangkat kompleks.
  4. 4. BAB IIISI2.1 Baris dan Deret Kompleks.Seperti halnya dalam bilangan riil, dalam bilangan kompleks juga dikenalistilah barisan dan deret kompleks serta sifat-sifat kekonvergenannya. Hal pentingdalam bab ini yaitu setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deretTaylor, deret MacLaurin atau deret Laurent). Sebelumnya, perlu pengertian barisan danderet bilangan kompleks, deret pangkat, dan jari-jari kekonvergenanan.1 Barisan dan Deret Bilangan Kompleks1.1 Barisan Bilangan KompleksBarisan bilangan kompleks :merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan bulat positifn dengan suatu bilangan kompleks.Notasi barisan bilangan kompleks :nz atau nn zzzzz ,,,, 321  , 1n .KekonvergenanBarisanBarisan nz konvergen jika ada Cz sehingga zznnlim .Jika Nn0,0 sehingga zzn untuk 0nn .Contoh 1Tunjukkan barisan ,2,1,)1(2 2nnznn konvergen ke -2.Penyelesaian :genapnnganjilnnnznnnnnn,212lim,212lim)1(2limlim222Jadi 2lim nnz .
  5. 5. Seperti halnya dalam barisan bilangan riil, pada bilangan kompleks berlaku beberapateorema berikut.Teorema 1 Jika nnn yixz dengan nx dan ny , maka nzkonvergen ke biaz jika dan hanya jika nx konvergen ke adan ny konvergen ke b .Teorema 2 Jika nz dan nw berturut-turut konvergen ke z dan w , dan ckonstanta kompleks, maka1. nn wz konvergen ke wz .2. nzc konvergen ke zc .3. nn wz konvergen ke wz .4.nz1konvergen kez1asalkan 0nz dan 0z untuksetiap n . □1.2 Deret Bilangan KompleksDiberikan deret bilangan kompleks1nnz dengan suku-suku deret yaitu ,,, 321 zzz .Misalkan,11 zS merupakan jumlah suku pertama212 zzS merupakan jumlah dua suku pertama3213 zzzS merupakan jumlah tiga suku pertamann zzzS 21 merupakan jumlah n suku pertama
  6. 6. Bilangan S menyatakan jumlah deret di atas apabila SSnnlim . Jadi deret1nnzkonvergen ke S jika dan hanya jika SSnnlim , dan ditulis Sznn1.Teorema 3Diberikan deret bilangan kompleks1nnz dengan nnn yixz , nxdan ny bilangan riil, maka berlaku sifat-sifat berikut :1.1nnz konvergen1nnx dan1nny konvergen.2.1nnz konvergen 0lim nnz .3.1nnz konvergen terdapat bilangan riil M sehinggaNnMzn , .4.1nnz konvergen1nnz konvergen .Seperti dalam deret bilangan riil, kekonvergenan deret1nnz dapat diuji denganbeberapa uji kekonvergenan berikut.1.1nnz konvergen 0lim nnz .0lim nnz1nnz divergen.2.1nnz konvergen1nnz konvergen mutlak.
  7. 7. 1nnz konvergen dan1nnz divergen1nnz konvergen bersyarat.3.1nnz konvergen mutlak1nnz konvergen.4. Uji Bandingnn bz dan1nnb konvergen1nnz konvergen.nn za dan1nna divergen1nnz divergen.5. Ratio TestLzznnn1limgagalujiLdivergenzLmutlakkonvergenzLnnnn,1,1,1116. Root TestLznnnlimgagalujiLdivergenzLmutlakkonvergenzLnnnn,1,1,1117. Deret GeometriBentuk umum : 211 qqqnnJika 1q maka deret konvergen.Jika 1q maka deret divergen.8. Deret p
  8. 8. Bentuk umum : ppnpn 3121111Jika 1p maka deret konvergen.Jika 1p maka deret divergen.Deret PangkatBentukDeret PangkatDeret pangkat dalam 0zz berbentuk :20201000)()()( zzazzaazza nnndenga dengan z bilangan kompleks, 0z bilangan kompleks sebarangyang disebut pusat deret, ,,, 210 aaa konstanta kompleks yangdisebut koefisien deret.Apabila 00z diperoleh bentuk khusus dari suatu deret pangkat dalam z yaitu22100zazaaza nnnUntuk setiap deret pangkat nnn zza )( 00terdapat bilangan tunggal dengan0 yang dinamakan jari-jari kekonvergenan deret. Sedangkan 0zzdisebut lingkaran kekonvergenan deret.Teorema 4Misal diberikan deret pangkat nnn zza )( 00. Jika1limnnn aa, dengan 0 maka adalah jari-jarikekonvergenan.
  9. 9. Teorema 5Misal diberikan deret pangkat nnn zza )( 00.Jikannna11lim , dengan 0 maka adalah jari-jarikekonvergenan.Sifat jari-jari kekonvergenan deret pangkat.1. Jika 0 maka deret konvergen hanya di 0zz (pusat deret).2. Jika 0 maka deret konvergen mutlak (atau konvergen ) untuk setiap zdengan 0zz dan deret divergen untuk setiap z dengan 0zz .3. Jika maka deret konvergen mutlak (atau konvergen ) untuk setiap z dengan0zz .Contoh 2Tentukan pusat dan jari-jari kekonvergenan deret13nnnz.Penyelesaian :Misal 31nan , pusat deret yaitu 00z .1133lim)1(11limlim 323331 nnnnnnaannnnnOleh karena itu :deret konvergen pada 1zderet divergen pada 1zApabila 1z , maka1313131nnnnnnnznz(merupakanderet p dengan 1p ), dan13nnnzkonvergen . Sehingga13nnnz
  10. 10. konvergen pada 1z .Jadi, 1z konvergen pada 1z dan divergen pada 1z .Deret Taylor dan MacLaurinSuatu fungsi )(zf tidak dapat direpresentasikan dalam dua deret pangkatdengan pusat deret yang sama. Apabila )(zf dapat dinyatakan dalam deret pangkatdengan pusat 0z , maka deret tersebut tunggal. Setiap fungsi analitik dapat disajikandalam deret pangkat. Apabila )(zf analitik di dalam lingkaran C maka )(zf dapatdisajikan dalam deret Taylor atau deret MacLaurin bergantung pada pusat deretnya.C0r )(zf analitik di dalam C• 0zGambar Lingkaran C dengan pusat deret 0zDeret Taylor Jika )(zf analitik di dalam lingkaran C yang berpusat di 0z danberjari-jari 0r ( lihat Gambar 5.1 ), maka untuk setiap titik z didalam C berlakunnnzznzfzfzf 010)(0!)()()( . (1.1)Persamaaan (5.1) disebut deret Taylor dari )(zf di sekitar titik 0z .Deret Jika pada persamaan (5.1), 00z maka untuk setiap titik z di
  11. 11. MacLaurin dalam C berlakunnnznffzf1)(!)0()0()( . (1.2)Persamaan (5.2) disebut deret MacLaurin dari )(zf .Beberapa contoh deret MacLaurin.1.032!!3!21nnznzzzze  , z2.01253!)12()1(!5!3sinnnnnzzzzz  , z .3.0242!)2()1(!4!21cosnnnnzzzz  , z .4.042111nnzzzzz , 1z .5.0432)1(111nnnzzzzzz , 1z .Contoh 3Tentukan deret Taylor untukzzf1)( di sekitar 10z .Penyelesaian :Titik singular )(zf yaitu 0z . Dibuat lingkaran C dengan pusat10z dan jari-jari 1 ( 11: zC ), sehingga )(zf analitik didalam C .1)1()( 0 fzf1)1(.1)( 2fzzf2)1(.2)( 3fzzf6)1(.6)( 4fzzfMenggunakan persamaan (5.1) diperoleh deret Taylor :
  12. 12. 11,)1()1()1(1)( 32zzzzzf Cara lain : ( menggunakan deret MacLaurin )11,1)1()1(1)1()1()1(111)(320zzzzzzzzfnnn5.4 Deret LaurentApabila )(zf tidak analitik di 0z , tetapi )(zf analitik untuk setiap z di dalamannulus 102 RzzR , maka )(zf dapat diekspansi dalam deret Laurent.Deret Laurent Jika )(zf analitik di dalam annulus 201 RzzR , dan Csebarang lintasan tertutup sederhana di dalam annulus201 RzzR yang mengelilingi 0z , maka untuk setiap zdi dalam 201 RzzR , )(zf dapat dinyatakan sebagai1 000)()()(nnnnnnzzbzzazf (1.3)dengan,2,1,0,)()(2110ndzzzzfiaC nn,3,2,1,)()(2110ndzzzzfibC nnPersamaan (5.2) sering ditulis dengannnn zzczf )()( 0 (1.4)dengan ,2,1,0,)()(2110ndzzzzficC nn
  13. 13. Ruas kanan persamaan (1.3) dan (1.4) disebut deret Laurent)(zf dalam annulus 201 RzzR .Apabila )(zf analitik untuk 20 Rzz , maka!)()()(21 010 nzfdzzzzfianC nndan 0)()(2110C nn dzzzzfib , sehingga persamaan (5.2) menjadi deret Taylornnnzznzfzf )(!)()( 000. Jadi deret Taylor merupakan kejadian khusus dari deretLaurent.Contoh 4 Tentukan deret MacLaurin dan deret Laurent dari)2()1(1)(zzzfPenyelesaian :)2(1)1(1)2()1(1)(zzzzzfTitik singular )(zf yaitu 1z dan 2z .Dibuat annulus 21 z , sehingga dapat diperoleh deret MacLaurinuntuk 1z dan deret Laurent untuk 21 z dan 2z .a. Deret MacLaurin untuk 1z .)(zf analitik untuk 1z , sehingga1,22112111)2(1)1(1)(010zzzzzzzzfnnnnnb. Deret Laurent untuk 21 z .)(zf analitik untuk 21 z .
  14. 14. )2(1)1(1)(zzzf .zzzzzzzznnnn1,111,111111110100102,212,2212112121nnnnnzzzzzzJadi,.21,21)2(1)1(1)2()1(1)(0 011zzzzzzzzfn nnnnc. Deret Laurent untuk 2z .)(zf analitik untuk 2z .)2(1)1(1)(zzzf .1,111,11111111010zzzzzzzznnnn0102,212,21211121nnnnnzzzzzzzzJadi,
  15. 15. .2,21)2(1)1(1)2()1(1)(0 011zzzzzzzzfn nnnn2.2 Lingkaran kekonvergenanUntuk membahas deret pangkat dengan bentuk maka akan lebihmudah jika ditinjau dari deret pangkat dengan bentuk .Adapun teorema yang berlaku adalah :Jika deret pangkat konvergen, terdapat sedemikian sehinggauntuk semua untuk sembarang titik dengan , dimanakarena deret deret geometri dengan suku positif yang konvergen, makadengan menggunakan uji banding pada deret suku real nonnegatif terbukti bahwa deretjuga konvergen. Karena deret yang konvergen mutlak adalah konvergen,maka deret konvergen untuk semua , dan terbuktilah teorema diatas.Berdasarkan pada pembuktian dan teorema diatas maka himpunan semua titik didalamsuatu lingkaran yang berpusat di 0 merupakan suatu daerah kekonvergenan deret. Lingkaran terbesar sekeliling 0 sedemikian sehingga deret ini konvergen disetiap titik lingkaran, dinamakan lingkaran kekonvergenan deret . menurutteorema diatas, deret tidak mungkin konvergen di suatu titik diluar lingkaran itu, sebabjika demikian deret akan konvergen di titik yang manapun didalam lingkaran yangberpusat di 0 dan yang memulai hal ini bertentangan dengan lingkaran yang pertamatadi yang mana berpusat di 0 yang terbesar sehingga deret konvergen di setiap titik didalam lingkaran itu.Jika diganti dengan , mudah dimengerti bahwa lingkaran kekonvergenan deretpangkat , adalah suatu lingkaran yang berpusat di titik .ataudengan kata lain dapat dijelaskan bahwa setiap deret pangkat dengan bentukTerdapat bilangan tunggal yang dinamakan jari-jari konvergensi deret,yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:1. Jika maka deret pangkat konvergen hanya pada titik ,yaitupusatnya, dan divergen untuk semua yang lain.2. Jika maka deret pangkat konvergen mutlak, jadi konvergen, untuksemua dengan dan divergen untuk semua dengan3. Jika maka deret konvergen mutlak, jadi konvergen untuk setiapsedemikian sehingga yaitu untuk semua berhingga.
  16. 16. Lingkaran dinamakan lingkaran konvergensi untuk deret pangkattersebut.DivergenUntuk ke-tiga alasan yang dikemukakan di atas maka ada deret yang konvergenpada setiap titik di lingkaran konvergensinya ,ada deret yang tidak konvergen padasetiap titik tersebut, dan ada pula yang konvergen pada beberapa tetapi tidak semuatitik di lingkaran konvergensinya.Maka dari kenyataan ini kita harus menggunakan teorema untuk menentukandimana deret pangkat yang di berikan konvergen dan divergen.TeoremaAndaikan bahwa , untuk deretada dan sama dengan dimanaMaka adalah jari-jari konvergensi deret yang diberikan.TeoremaAndaikan bahwa , untuk deretada dan sama dengan dimanaMaka adalah jari-jari konvergensi deret yang diberikan.Demikian juga mudah dipahami, bahwa jika deret pangkat negatif nnn zzb )( 00konvergen di titik z1, maka deret ini konvergen mutlak untuk semua titik z dengan│z-z0│>│z1-z0│, yakni untuk semua titik z di luar lingkaran │z-z0│=│z1-z0│. Jadidaerah kekonvergenan deret semacam ini adalah daerah eksterior suatu lingkaranyang berpusat di z0. Untuk membuktikan hal ini dapat digunakan teorema di ataspada deret nnnb0dengan01zz.Contoh soal :Diketahui deret pangkat .Dengan rumus pada teorema diatas kita mendapatkan bahwakonvergen0
  17. 17. Karena pusat deret terletak pada , deret konvergen pada dandivergen pada .mengenai titik-titik pada lingkaran konvergensi, ,kita mencatat bahwa untuk sembarang titik yang demikiantapi ini merupakan deret-p dengan p > 1; jadi ia konvergen.Digabungkan dengan hasil diatas, kita melihat bahwa deret pangkat konvergenuntuk dan divergen untuk .2.3 KONVERGENSI DERET FUNGSIDeret fungsi adalah suatu deret yang suku-sukunya merupakan fungsi yangdidefinisikan pada domain yang sama. Jadi deret fungsi adalah:Deret fungsi (1) dikatakan konvergen pada domain D, jika deret konvergen di setiaptitik . Karena itu deret yang konvergen pada D ini juga disebut konvergen titikdemi titik pada D.Selanjutnya akan dibahas kekonvergenan seragam.DEFINISIDeret pangkat dinamakan konvergensi seragam pada suatu himpunan jikadan hanya jika untuk sembarang terdapat bilangan bulat sedemikianhingga:Pada (2) ketaksamaan pokoknya juga dapat ditulis sebagai:TEOREMA-TEOREMATeorema 6.9Andaikan bahwa deret pangkat mempunyai jari-jari konvergensimaka deret konvergen seragam pada dan di dalam sembarang lingkaran.BuktiMenurut definisi konfergensi seragam, teorema itu akan terbukti jika untuksembarang kita dapat menentukan bilangan bulat sedemikian hingga
  18. 18. untuk semua dan semua sedemikian sehinggaMisalkan C adalah suatu lingkaran seperti yang disebutkan oleh teorema itudanlukislah suatu lingkaran K yang konsentris dengan C dan berjari-jari R sedemikianhingga (perhatikan gambar a). misalkan dan perhatikanbahwa .Sekarang menurut hipotesis deret itu konvergen untuk semua z sedemikian hingga. Maka, menurut teorema yang menyatakan “andaikan untuk deret ,yang diberikanuntuk . Maka deret itu divergen”, suku-sukunyamenjadi sembarang kecil dalam nilai mutlak. Khususnya, untuk n yang cukup besardan untuk sembarang z pada K.(1)Di pihak lain karena , kita dapat menemukan n cukup besar sedemikianhingga untuk sembarang yang diberikan(2)Ambilah M cukup besar sedemikian sehingga (1) dan (2) akan dipenuhi bersama-sama untuk semua , kita mempunyai:Akhirnya dengan mengambil pada bentuk pertama dan terakhir di atas kitamencatat bahwa jadiTeorema 6.10
  19. 19. Andaikan bahwa deret mempunyai lingkaran konvergensi dengan jari-jari maka deret konvergen ke suatu fungsi yang kontinu pada setiap zdalam D1(C )BuktiMenurut teorema 6.9., deret yang diberikan konvergen mutlak pada setiap titik zdalam jadi kita dapat mendefinisikan fungsi itu sebagaiBahwa fungsi ini sungguh-sungguh suatu fungsi bernilai tunggal, dapat diketahuidari kenyataan bahwa bila diberikan sembarang titik z, demikian deret itu dandengan demikian , menghasilkan suatu bilangan yang berhingga dan tunggal,oleh karena konvergen. Jadi sekarang harus ditunjukan bahwa kontinu padaSekarang misalkan ζ adalah sembarang titik di D1(C ). Maka (lihat gambar b). kitadapat menemukan suatu lingkaran K, konsentris dengan C dan berjari-jari rsedemikian hingga . Sekarang, misalkan dipilih secarasembarang. Maka, karena deret konvergen seragam pada dan di dalam K, suatubilangan bulat M ada sedemikian hinggaKhususnya karena adalah salah satu dari zUntuk semua z yang cukup dekat ke
  20. 20. Jadi definisi kontinuitas pada terpenuhi dan dipilih sembarang dari D1(C )Teorema 6.11Andaikan bahwa deret mempunyai lingkaran konvergensi dengan jari-jari maka deret itu dapat diintegralkan suku demi suku sepanjang sembaranglintasan K, yang terletak di D1(C ), ialah:BuktiPertama, kita mencatat bahwa setiap integral pada ruas kanan kesimpulan teoremaitu ada, karena integral kontinu dimana-mana dan K merupakan lintasan.Kedua, menurut teorema 6.9. deret yang diberikan menyatakan fungsi yangkontinu di D1(C ) dan oleh karena itu integral di ruas kiri pada kesimpulan teoremaitu ada.Ketiga, menurut teorema 6.9 , deret konvergen seragam ke . Jadi bila diberikanterdapat bilangan bulat M sedemikian hingga untuk semuaSekarang untuk setiap z di D1(C ), setiap dan sembarang lintasan K di D1(C)Sehubungan dengan kedua integral terakir diatas kita mempunyaiDan menurut teorema 4.5(5)
  21. 21. Jelaslah bila integral di (3) menuju ke nol. Pada saat yang sama biladan juga n menuju ke dan oleh karena itu jumlah integral dal (2) menjadiDengan mensubtitusikan ke (1) kita mempunyaiTeorema 6.12Andaikan bahwa deret pangkat mempunyai lingkaran konvergensi Cdengan jari-jari , maka:1. Deret konvergen ke suatu fungsi yang analitik diseluruh2. Turunan diberikan oleh ; jadi deret dapatdidiferensialkan suku demi suku di dalam lingkaran konvergensinya .3. Turunan deret di bagian 2 konvergen seragam ke di setiap titik pada dandi dalam sembarang lingkaran T yang konsentris dengan C dan jari-jarinyaBukti1. Menurut teorema 6.9 deret tersebut kontinu seragam ke suatu fungsi kontinu. Kita buktikan bahwa analitik pada setiap z di D1(C )Menurut teorema 6.11Untuk sembarang lintasan K di D1(C ) dan khususnya untuk sembarang K yangsederhana dan tertutup. Tetapi jika K sederhana dan tertutup. Tetapi jika Ksederhana dan tertutup, maka setiap integral pada penjumlahan diatas sama
  22. 22. dengan nol, karena integran dalam setiap kejadian dimana-mana. Oleh karenaitu:Dan benar untuk setiap lintasan K yang sederhana dan tertutup di D1(C ), jadimenurut teorema morera analitik pada setiap z di D1(C )2. Sekarang kita akan membuktikan bahwa, untuk sembarang z di D1(C )Misalkan ζ adalah sembarang titik di D1(C ). Maka karena ζ merupakan suatutitik dalam, suatu lintasan tertutup sederhana K dapat ditemukan yang terletakseluruhnya di D1(C ) dan sedemikian hingga ζ berada di D1(K). maka, denganmenggunakan teorema 5.8., kita mempunyaiKarena sembarang di D1(C ) terbuktilah pernyataan (2)3. Kita akan menunjukan bahwa turunan deret yang baru saja diperoleh itukonvergen seragam ke di D1(C ). Untuk tujuan ini bila diberikankita harus menemukan suatu bilangan bulat M sedemikian hingga untuksemua dan untuk sembarang ξ pada atau di dalam suatu lingkaran
  23. 23. Maka misalkan K adalah lingkaran dengan menurutteorema 6.9 terdapat suatu bilangan bulat M sedemikian hingga untukdan untuk suatu z pada atau di dalam KAtau sama denganMakaDimana dalam memperoleh ketaksamaan terakhir ini, kita menggunakan kenyataanbahwa untuk z pada Kkarena sembarang, konvergensi seragamnya turunan deret telah dikukuhkan.TeoremaPerhatikan suatu deret tak berhingga yang terdiri dari fungsi-fungsi kontinuDan andaikan bahwa deret tersebut konvergen mutlak sepanjang suatu lintasan K.maka
  24. 24. BAB IIIPENUTUP3.1 KesimpulanBarisan bilangan kompleks :merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan bulat positif ndengan suatu bilangan kompleks.Notasi barisan bilangan kompleks :nz atau nn zzzzz ,,,, 321  , 1n .Deret pangkat dalam 0zz berbentuk :20201000)()()( zzazzaazza nnndengan z bilangan kompleks, 0z bilangan kompleks sebarang yang disebutpusat deret, ,,, 210 aaa konstanta kompleks yang disebut koefisienderet.Setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deret Taylor, deretMacLaurin atau deret Laurent) bergantung pada pusat deretnya.Seperti halnya dalam barisan bilangan riil, pada bilangan kompleks berlakubeberapa teorema berikut.Teorema 1 Jika nnn yixz dengan nx dan ny , maka nzkonvergen ke biaz jika dan hanya jika nx konvergen ke adan ny konvergen ke b .Teorema 2 Jika nz dan nw berturut-turut konvergen ke z dan w , dan ckonstanta kompleks, maka5. nn wz konvergen ke wz .
  25. 25. 6. nzc konvergen ke zc .7. nn wz konvergen ke wz .8.nz1konvergen kez1asalkan 0nz dan 0z untuksetiap n . □
  26. 26. DAFTAR PUSTAKAEkowati, C.K. 2010. Bahan Ajar Mandiri Analisis Kompleks. Kupang: UniversitasNusa Cendanahttp//: diktat-ankom.pdfGunawan wibisono, dan John D.Paliouras. 1987. Peubah Kompleks untuk Ilmuwandan Insinyur. Penerbit : Erlangga

×