2. 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
A sin = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A = ข้าม =
c
a
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ฉาก
cosA= ความยาวด้านประชิดมุม A = ชิด =
c
b
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ฉาก
A tan = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A = ข้าม =
b
a หรือ
A
A
A
cos
sin
tan
ความยาวด้านประชิดมุม A ชิด
a
c
A
ecA
sin
1
cos หรือ sin A cosecA1
b
c
A
A
cos
1
sec หรือ cosA sec A 1
a
b
A
A
tan
1
cot หรือ
A
A
A
tan
cos
cot หรือ tanA cot A 1
เนื่องจาก A B B A 90 90 จะได้
A A A
c
b
sinB sin 90 A cos sin 90 cos
A A A
c
a
cosB cos 90 A sin cos 90 sin
A A A
a
b
tanB tan 90 A cot tan 90 cot
A
B
C
a c
b
(ด้านตรงข้ามมุม A)
(ด้านประชิดมุม A)
(ด้านตรงข้ามมุมฉาก)
2 2 2 a b c
4. 4
ตัวอย่าง 2 ถ้าสามเหลี่ยม ABC มีมุม B เป็นมุมฉาก และ
5
12
cot A แล้วจงหาค่าของ
10cosecA12sec A
ตัวอย่าง 3 ถ้าสามเหลี่ยม ABC มีมุม B เป็นมุมฉาก และ
5
3
cos A แล้วจงหาค่าของ
A B cos 10
ตัวอย่าง 4 ถ้าสามเหลี่ยม ABCมีมุม B เป็นมุมฉาก มีมุม A เท่ากับ 30 องศา และมีพื้นที่เท่ากับ
3 24 ตารางหน่วย จงหาความยาว AB
18. 18
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยเฉพาะกราฟของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ เป็นกราฟที่มี
ความสา คัญมากทั้งในวิชาคณิตศาสตร์และวิชาฟิสิกส์ โดยมีวิธีการเขียนกราฟดังนี้
ฟังก์ชันไซน์ ถ้า Sine y x , จะได้ x y sin เขียนกราฟได้ดังนี้
กราฟของ x y sin เมื่อ 20x
x 0
6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
y sin x 0
2
1
2
2
x
6
7
4
5
3
4
2
3
3
5
4
7
6
11 2
x y sin 0
2
1
2
2
จากกราฟจะเห็นว่า เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์คือ เซตของจา นวนจริงตั้งแต่ -1 ถึง 1 ดังนั้น
1 sin 1 x และ ค่าของ x sin เมื่อ 2 , 0 x มีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงดังนี้
2
0 ,
จะเห็นว่า x sin เพิ่มขึ้นจาก 0 ไป 1
,
2
จะเห็นว่า sin x ลดลงจาก 1 ไป 0
2
3
,
จะเห็นว่า sin x ลดลงจาก 0 ไป -1
, 2
2
3 จะเห็นว่า x sin เพิ่มขึ้นจาก -1 ไป 0
Y
X
0
2
2
3
2
1
1
19. 19
จาก x x n sin 2 sin เมื่อ In ทาให้กราฟของฟังก์ชันไซน์มีลกษณะซ้ากันเป็นช่วงๆ ดังนี้
จากกราฟจะเห็นว่า โดเมนของฟังก์ชันไซน์คือ เซตของจานวนจริง และเรนจ์คือ 1,1
ในทานองเดียวกันกับการเขียนกราฟของ x y cos เมื่อ 20x ดังนี้
เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติทุกฟังก์ชันเป็น ฟัก์ชันที่เป็นคาบ (periodic function) ซึ่งสามารถ
แบ่งกราฟแต่ละช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน โดยความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุดที่มีสมบัติดังกล่าว
เรียกว่า คาบ (period) ของฟังก์ชัน เช่น กราฟของ x y sin และ x y cos ในช่วง 0, 2
ในช่วง 2, 0 ในช่วง 4, 2 ฯลฯ เป็นช่วงที่สั้นที่สุดที่ทาให้กราฟแต่ละช่วงเหล่านั้นมีลักษณะ
เหมือนกัน
ดังนั้นคาบของ y sin x และ y cos x เท่ากับ 2
ฟังก์ชันที่เป็นคาบซึ่งมีค่าต่า สุดและสูงสุด จะเรียกค่าที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่า
สูงสุดลบด้วยค่าต่า สุดของฟังก์ชันนั้นว่า แอมพลิจูด (Amplitude)
ดงันั้นฟังก์ชัน y sin x และ y cos x มีแอมพลิจูดเท่ากับ 1
0
1
1
Y
X
2
2
2
2
3
2
3
2
0
1
Y
X
2
2
2
2
3
2
3
2
1
20. 20
ตัวอย่าง 23 จงเขียนกราฟ x y sin3 เมื่อ 20x
ตัวอย่าง 24 จงเขียนกราฟ x y sin เมื่อ 20x
ตัวอย่าง 25 จงเขียนกราฟ y 2cosx เมื่อ 0 x 2
ตัวอย่าง 26 จงเขียนกราฟ y sin2x เมื่อ 0 x 2
21. 21
ตัวอย่าง 27 จงเขียนกราฟ x y 2sin3 เมื่อ 20x
ตัวอย่าง 28 จงเขียนกราฟ
2
sin 3
x
y เมื่อ 4 0 x
สรุปกรณีทั่วไปดังนี้
f x k sinnx ,n,k 0 f x k cosnx ,n,k 0
คาบเท่ากับ
n
2 คาบเท่ากับ
n
2
แอมพลิจูดเท่ากับ k แอมพลิจูดเท่ากับ k
เรนจ์เท่ากับ k , k เรนจ์เท่ากับ k , k
22. 22
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างของจานวนจริงหรือมุม
สิ่งแรกจะพิจารณาคือ ค่าของฟังก์ชันโคไซน์ของผลต่างระหว่างจานวนจริงสองจานวนหรือ
มุมสองมุม นั่นคือพิจารณาค่าของ B A cos เมื่อ B A, เป็นจานวนจริงหรือมุมใดๆ ดังนี้
จากวงกลม 1 หน่วย กาหนดให้ส่วนโค้ง 1PP ยาว A หน่วย และส่วนโค้ง 2PP ยาว B
หน่วย จะได้ส่วนโค้ง 2 1P P ยาว B A หน่วย
ให้ 3P เป็นจุดบนวงกลม 1 หน่วยที่ทาให้ความยาวส่วนโค้ง 3PP เท่ากับส่วนโค้ง 2 1PP
ดังนั้นจะได้ส่วนโค้ง 3PP ยาว B A หน่วยด้วย ดังรูป
ทาให้คอร์ด 3PP เท่ากับคอร์ด 2 1 P P นั่นคือ
3 1 2 PP PP
2
2 1
2
2 1
2
3
2
3 x 1 y 0 x x y y
2
2 1
2
2 1
2
3
2
3 x 1 y 0 x x y y
2
2 1 1
2
2
2
2 1 1
2
2
2
3 3
2
3 x 2x 1 y x 2x x x y 2y y y
2
2
2
2
2
1
2
2 1 2 1 1
2
3
2
3 3 2x 1 x y 2x x 2y y x y x y
2 1 1 2 2 1 1 3 2 1 2 1 x x x y y
3 2 1 2 1 2x 2x x 2y y
3 2 1 2 1 x x x y y ...........1
เนื่องจาก จุด 1 1 2 2 x , y , x , y และ 3 3 x , y เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว A,B และ A B
ตามลา ดับ ดังนั้นจะได้
x cosA , y sin A , x cosB , y sinB , x cosA B 1 1 2 2 3 แทนในสมการ 1 ได้
cosA B cosAcosB sin Asin B
และสามารถนา cosA Bไปหาฟังก์ชัน cosA B ,sinA B,sinA B ดังนี้
0
0, 1 P
1 1 1 , y x P
2 2 2 , y x P
3 3 3 , y x P
23. 23
cosA B cosA B
cosAcos Bsin Asin B
cosAcosB sin AsinB
ดังนั้น cosA B cosAcosB sin Asin B
ตัวอย่าง 29 จงแสดงว่า A sin A
2
cos
และสามารถสรุปได้ดังนี้
cosA B cosAcosB sin Asin B
sinA B sin AcosB cosAsin B
A B
A B
A B
1 tan tan
tan tan
tan
B A
A B
A B
cot cot
cot cot 1
cot
ตัวอย่าง 30 จงแสดงว่า
4
6 2
4 3
3
cos
ตัวอย่าง 31 จงแสดงว่า
2
1
18
sin
9
cos
18
cos
9
sin
25. 25
ตัวอย่าง 34 จงแสดงว่า A B A B A B 2 2 cos cos cos sin
ตัวอย่าง 35 จงหาค่าของ
C A
C A
B C
B C
A B
A B
cos cos
sin
cos cos
sin
cos cos
sin
ตัวอย่าง 36 จงหาค่าของ ก. sin17 cos13 cos17 sin13
ข. cos43 cos17 sin43 sin17
ค.
36
17
cos
36
11
sin
36
11
cos
36
17
sin
ตัวอย่าง 37 ถ้า
5
2
,sin
5
4
,sin
2
3
,
2
A B A B
แล้ว cos s A B มีค่าเท่าใด
26. 26
ตัวอย่าง 38 กา หนดให้
2
0 ,
5
3
sin
x x และ
2
3
,
13
5
sin
x y x y
จงหาค่าของ ysin และ y x tan
ตัวอย่าง 39 ถ้า A B 45 จงหาค่า 1 tan A1 tanB
ตัวอย่าง 40 จงแสดงว่า
tan56
cos11 sin11
cos11 sin11
27. 27
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของ มุม A 2 มุม
2
A และมุม A 3
เมื่อทราบค่าของ A sin หรือ A cos สามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งเป็นจา นวนสองเท่า
หรือครึ่งเท่าหรือสามเท่าได้ ในที่นี้พิจารณาค่าของ sin2Aได้ดังนี้
sin 2A sinA A sin Acos Acos Asin A 2sin Acos A
ตัวอย่าง 41 จงแสดงว่า A A A 2 2 cos2 2cos 112sin
ตัวอย่าง 42 จงแสดงว่า
A
A
A 2 1 tan
2tan
tan2
ตัวอย่าง 43 จงแสดงว่า
2
1 cos
2
sin
A A
ตัวอย่าง 44 จงแสดงว่า
A
A
A 2 1 tan
2tan
sin 2
28. 28
ในทานองเดียวกันสามารถหาค่าของ A3sin ในรูป Asin ได้ดังนี้
sin 3A sin2A A sin 2Acos Acos2Asin A
2sin Acos Acos A 1 2sin Asin A 2
A A A A 2 3 2sin cos sin 2sin
A A A A 2 3 2sin 1sin sin 2sin
A A A A 3 3 2sin 2sin sin 2sin
A A 3 sin 4 sin 3
ดังนั้น A A A 3 sin3 3sin 4sin
ตัวอย่าง 45 จงแสดงว่า cos3A 4cos A 3cosA 3
และสามารถสรุปฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สา คัญได้ดังนี้
A
A
A A A 2 1 tan
2tan
sin 2 2sin cos
A
A
A A A A A 2
2
2 2 2 2
1 tan
1 tan
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
A
A
A 2 1 tan
2tan
tan2
2
1 cos2
cos2 A
A
2
1 cos2
sin2 A
A
A A A 3 sin3 3sin 4sin
cos3A 4cos A 3cosA 3
A
A A
A 2
3
1 3tan
3tan tan
tan3
29. 29
ตัวอย่าง 47 จงหาค่า 2cos และ 2tan ถ้า
2
,
5
4
sin
ตัวอย่าง 48 จงแสดงว่า
tan
2cos cos
sin 2sin
3
3
ตัวอย่าง 49 จงแสดงว่า A
A
A
tan
1 cos2
sin2
ตัวอย่าง 50 จงแสดงว่า
1 sin
2
cos
2
sin
2
30. 30
ตัวอย่าง 51 จงแสดงว่า
2
2 2
cos22.5
ตัวอย่าง 52 จงหาค่าของ 10 cos
3
10 sin
1
ตัวอย่าง 53 จงแสดงว่า 2
cos
cos3
sin
sin3
A
A
A
A
ตัวอย่าง 54 จงหาค่าของ
sin
sin sin3
cos
cos cos3 3 3
31. 31
สูตรผลคูณเป็นผลบวกหรือผลต่าง
จากค่าของ sinA B,sinA B,cosA B,cosA B เมื่อนา มาบวกหรือลบกันจะ
ได้ความสัมพันธ์ที่สา คัญดังนี้
จาก cosA B cosAcosB sin Asin B ..........1
cosA B cos AcosBsin Asin B ..........2
; 21 B A B A B A cos cos 2 cos cos
; 21 B A B A B A sin sin 2 cos cos
จาก sinA B sin AcosBcos Asin B ..........3
sinA B sin AcosBcos Asin B ..........4
; 43 B A B A B A cos sin 2 sin sin
; 43 B A B A B A sin cos 2 sin sin
ดังนั้นสรุปได้ว่า
2cosAcosB cosA B cosA B
2sin Asin B cosA BcosA B
2sin AcosB sinA BsinA B
2cos Asin B sinA BsinA B
วิธีจา ง่าย ๆ 2coscos cosDiff cosSum
2sin sin cosDiff cosSum
2sin cos sinSumsinDiff
2cossin sinSumsinDiff
เช่น 2cos7 cos5 cos7 5 cos7 5 cos2 cos12
sin 4 sin 2
2
1
sin 3 sin 3
2
1
sin3 cos
ตัวอย่าง 55 จงหาค่าของ 2sin40 sin10 cos50
33. 33
สูตรผลบวกหรือผลต่างให้เป็นผลคูณ
จากสูตรผลคูณเป็นผลบวกหรือผลต่าง สามารถนา มาหาความสัมพันธ์จากผลบวกหรือผลต่าง
ให้เป็นผลคูณได้ดังนี้
จาก y x y x y x cos sin 2 sin sin 1..........
ให้ x y A ..........2
x y B ..........3
; 3 2
2
2
A B
x A B x
; 3 2
2
2
A B
y A B y
แทนใน 1;
2
cos
2
sin sin 2sin
A B A B
A B
ดังนั้นสรุปได้ว่า
2
cos
2
sin sin 2sin
A B A B
A B
2
sin
2
sin sin 2cos
A B A B
A B
2
cos
2
cos cos 2cos
A B A B
A B
2
sin
2
cos cos 2sin
A B A B
A B
วิธีจา ง่าย ๆ sin Asin B 2sinhalf sumcoshalf diff
sin Asin B 2coshalf sumsinhalf diff
cos AcosB 2coshalf sumcoshalf diff
cos AcosB 2sinhalf sumsinhalf diff
เช่น
2sin6 cos2
2
8 4
cos
2
8 4
sin8 sin 4 2sin
2cos5 cos2
2
7 3
cos
2
7 3
cos7 cos3 2cos
ตัวอย่าง 59 จงแสดงว่า
2
6
sin 75 sin15
35. 35
ตัวอย่าง 63 จงแสดงว่า
2
3
cos cos
2
1 cos cos2 cos3 4cos
A
A
A
A A A
ถ้า A BC 180 จงแสดงว่า sin2Asin2B sin2C 4sin AsinBsinC
จาก A BC 180 จะได้ 2A 2B 2C 360 2C 360 2A B
sin2Asin2Bsin2C sin2Asin2Bsin360 2A B
sin 2Asin 2Bsin 2A B
2sinA BcosA B2sinA BcosA B
2sinA BcosA BcosA B
2sin AcosBcos Asin Bcos AcosBsin Asin Bcos AcosBsin Asin B
2sin AcosB 2cos Asin B2sin Asin B
A B B A A B 2 2 4sin sin cos 4sin cos sin
4sin Asin Bsin AcosBcos Asin B
4sin Asin BsinA B
A B C 4sin sin sin 180
4sin Asin BsinC
36. 36
ตัวอย่าง 64 ถ้า 180 C B A จงแสดงว่า
2
cos
2
cos
2
sin sin sin 4cos
A B C
A B C
ตัวอย่าง 65 ถ้า A BC 180 จงแสดงว่า tanA tanB tanC tanAtanBtanC
37. 37
อินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
พิจารณากราฟของ x y sin โดยที่ 11, y Rx และกราฟอินเวอร์สฟังก์ชันไซน์ซึ่ง
เป็นความสัมพันธ์ y x y x sin, ดังนี้
พิจารณา 0,0, 0, , 0, จากx, y x sin y จึงไม่เป็นฟังก์ชัน แต่ถ้ากา หนด
โดเมนของฟังก์ชันไซน์ใหม่เป็น
2 2
x x ทา ให้x, y x sin y เป็นฟังก์ชันดังนี้
2 2
, sin ,
x y y x x เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ซึ่งมีฟังก์ชันอินเวอร์สเป็น
2 2
, sin ,
x y x y y เรียกฟังก์ชันอินเวอร์สนี้ว่า arcsine เขียนได้เป็น
2 2
, arcsin ,
2 2
, sin ,
x y x y y x y y x y
จะเห็นว่า โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน arcsine คือ 1 , 1และ
2
,
2
ตามลา ดับ
การหาฟังก์ชันอินเวอร์สดังกล่าวนอกจากใช้กราฟแล้ว สามารถใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้นๆ ดังนี้
การหาค่าของ arcsinx คือ การหา ที่ อยู่ในเรนจ์คือ
2
,
2
ที่ทา ให้ sin x
เช่น ต้องการหาค่าของ arcsin1 ได้ดังนี้
กา หนดให้ arcsin1 sin 1
จะพบว่าในช่วง
2
,
2
จะมี
2
ค่าเดียวที่ทา ให้ sin 1
ดังนั้น
2
arcsin1
0
Y
X
2
2
2
2
3
2
3
2
2
2
y x sin
x y sin
38. 38
ตัวอย่าง 66 จงหาค่าของ
2
3
arcsin และ
2
1
arcsin
ในทา นองเดียวกันจะได้ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่างๆ สรุปได้ดังนี้
ฟังก์ชัน arcsine คือ เซตของคู่ลาดับ yx, โดยที่ y x sin และ
2 2
y
2 2
, arcsin , 1
f x y y x y
ฟังก์ชัน arccosine คือ เซตของคู่ลา ดับ x, yโดยที่ x cos y และ 0 y
f x, y y arccosx,0 y 1
ฟังก์ชัน arctangent คือ เซตของคู่ลาดับ y x, โดยที่ tanx และ
2 2
y
2 2
, arctan , 1
f x y y x y
โดเมนและเรนจ์ของอินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1 f 1 r
D 1 r
R
y arcsinx
y arccosx
y arctanx
y arccot x
y arcsec x
y arccosecx
1, 1
1,1
R
R
,11,
,11,
2
,
2
0,
2
,
2
0,
,
2 2
0,
2
,0 0,
2
45. 45
กฎของโคไซน์ (Law of cosine)
จากฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันของจา นวนจริงหรือมุม สมบัติของฟังก์ชันเหล่านี้อาจ
นา มาใช้หาความยาวของด้านและขนาดของมุมรูปสามเหลี่ยมใดๆ ได้ดังนี้
กาหนดให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมใด ๆ โดยที่ c b a , , เป็นด้านของสามเหลี่ยมซึ่งตรงกัน
ข้ามกับมุม CBA, , ตามลาดับ จะได้ว่า
C
b a
A c B
จงแสดงว่า a b c 2bccosA 2 2 2
ให้ มุม A ของรูป ABC อยู่ในตาแหน่งมาตรฐาน ดังรูป
CbcosA,bsin A
b a
0, 0A c D 0, c B
จากรูปจะได้ 2 2 a BC bcosAc bsin A0
a b A c b A 2 2 2 2 cos sin
b A bc A c b A 2 2 2 2 2 cos 2 cos sin
b cos A sin A c 2bccos A 2 2 2 2
b c 2bccosA 2 2
ในทา นองเดียวกัน สรุปได้ กฎของโคไซน์ ดังนี้
กฎของโคไซน์ a b c 2bccosA 2 2 2
b a c 2accosB 2 2 2
c a b 2abcosC 2 2 2
หลักควรจา การหาความยาวของด้าน จะต้องทราบความยาวด้านอีก 2 ด้าน
และมุมระหว่างด้านทั้งสองนั้น
46. 46
และจะได้ว่า
,
2
cos
2 2 2
bc
b c a
A
,
2
cos
2 2 2
ac
a c b
B
ab
a b c
C
2
cos
2 2 2
หลักควรจา การหามุม จะต้องทราบความยาวด้านทั้ง 3 ด้านของรูปสามเหลี่ยม
ตัวอย่าง 81 กา หนด 120 , 3 2 , 2 C c a จงหาความยาวด้าน b
ตัวอย่าง 82 กา หนด 60 , 1 3 , 2 C b a จงหา c
ตัวอย่าง 83 กาหนด 13 , 7 , 15 c b a จงหาขนาดของมุม C
47. 47
ตัวอย่าง 84 กา หนด c 60 ,a 2,c 6 จงหาขนาดของมุม B
ตัวอย่าง 85 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหนึ่ง มีขนาดของมุมๆ หนึ่งเท่ากับ 60 และด้านที่ประกอบมุม
นี้ยาว 5 และ 10 เซนติเมตร จงหาความยาวของเส้นทแยงมุมทั้งสองของรูปสี่เหลี่ยมนี้ 35, 75
ตัวอย่าง 86 รูปสามเหลี่ยม ABC ให้ c ba, , เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมซึ่งอยู่ตรงกันข้าม
กับมุม CBA, , ตามลาดับ ถ้า bc a c b c b a 3 แล้ว จงหาขนาดของมุม A
48. 48
กฎของไซน์ (Law of sine)
กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ โดยที่ cba,, เป็นด้านของสามเหลี่ยมซึ่งตรงกัน
ข้ามกับมุม CBA, , ตามลาดับ
จงแสดงว่า พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC ใด ๆ Abcsin
2
1
ให้ มุม A ของรูป ABC อยู่ในตาแหน่งมาตรฐาน ดังรูป
AbAbCsin, cos
b a
0, 0A c D 0, c B
พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC
2
1 ความสูง ความยาวของฐาน
c Absin
2
1
bcsin A
2
1
ในทานองเดียวกัน ให้ มุม B และมุม C ของรูป ABC อยู่ในตาแหน่งมาตรฐาน จะได้
พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC ca B absinC
2
1
sin
2
1
สรุปพื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC ใด ๆดังนี้
พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC bc A ca B absinC
2
1
sin
2
1
sin
2
1
หลักควรจา การหาพื้นที่ทราบความยาวด้าน 2 ด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสองนั้น
จาก พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC bc A ca B absinC
2
1
sin
2
1
sin
2
1
เมื่อ นา abc
2
1 หารตลอดจะได้ กฎของไซน์ ดังนี้
abc
ab C
abc
ca B
abc
bc A
2
1
sin
2
1
2
1
sin
2
1
2
1
sin
2
1
กฎของไซน์
c
C
b
B
a
sin A sin sin
หรือ
C
c
B
b
A
a
sin sin sin
49. 49
ตัวอย่าง 87 รูปสามเหลี่ยม ABC ให้มุม B 45 ,b 2 2, c 2 3 จงหาขนาดของมุมที่เหลือ
ตัวอย่าง 88 ในสามเหลี่ยม ABC ให้ cba,, เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมซึ่งอยู่ตรงกันข้าม
กับมุม CBA, , ตามลาดับ ถ้า ba2 และ BA3 แล้ว จงหาขนาดของมุมทั้งสามของ
สามเหลี่ยนรูปนี้
หมายเหตุ กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ โดยที่ c ba, , เป็นด้านของสามเหลี่ยมซึ่ง
ตรงกันข้ามกับมุม A,B,C ตามลา ดับ จะได้สูตรอื่นๆ ดังนี้
ถ้า
2
a b c
s
แล้ว ss as bs c
bc
A
2
sin
ss as bs c
ac
B
2
sin
ss as bs c
ab
C
2
sin
และจะได้ พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC ss as bs c