Μαθηματική Απόδειξη και επίλυση Προβλήματος στο Λύκειο

1. Μαθηματική Απόδειξη καιΜαθηματική Απόδειξη και
Επίλυση Προβλήματος στο ΛύκειοΕπίλυση Προβλήματος στο Λύκειο
Αναστασία Δ. ΛύρηΑναστασία Δ. Λύρη
Επιβλέπων Καθηγητής: Τάσος Πατρώνης

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

3. Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών
Είδη Αποδείξεων
• Επαγωγική Απόδειξη
Γίνεται χρήση μιας κανονικότητας, η οποία
αποτελεί την βάση για γενίκευση και εξαγωγή
συμπερασμάτων.
• Παραγωγική Απόδειξη
Διαδικασία εξαγωγής συμπεράσματος,
στηριζόμενοι σε προηγούμενες γνώσεις

4. Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: : Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών
Οι λειτουργίες της Απόδειξης 1
• Επαλήθευση
Έλεγχος της αλήθειας ή μη μια πρότασης &
Ενίσχυση της βεβαιότητας για την αλήθεια της
• Εξήγηση
Η αναζήτηση του πως και του γιατί.
Όταν η αρχική εικασία δεν είναι προφανής ή
όταν η διατύπωση του θεωρήματος είναι
δυσνόητη

5. Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών
Οι λειτουργίες της Απόδειξης 2
• Ανακάλυψη
Μέσα από την κατανόηση της λογικής
αλληλουχίας των αναπτυσσόμενων
επιχειρημάτων δίνεται το έναυσμα για νέες
ανακαλύψεις

6. Οι λειτουργίες της Απόδειξης 3
• Συστηματοποίηση
Οργάνωση των αποτελεσμάτων σε ένα
σύστημα αξιωμάτων, ορισμών & θεωρημάτων.
Βοηθά στην αναγνώριση αντιφάσεων
Ενώνει και απλοποιεί τις μαθηματικές θεωρίες
Παρέχει μια σφαιρική προοπτική του θέματος
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

7. Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών
Οι λειτουργίες της Απόδειξης 3
• Νοητική πρόκληση
Η υπερπήδηση των εμποδίων κατά την
διαδικασία της απόδειξης, αποτελεί
εποικοδομητική διαδικασία καλλιέργειας της
κριτικής σκέψης.
• Επικοινωνία
Μεταβίβαση ή Ανταλλαγή μαθηματικής
γνώσης.
Πλαίσιο κριτικής συζήτησης,

8. Δυσκολίες των μαθητών στο να
«κάνουν» απόδειξη 1
•Η επίδραση του συναισθήματος
•Τα προβλήματα κατανόησης των τυπικών
μαθηματικών
•Γενικά εργαλεία για την παραγωγή αποδείξεων.
Mamona-Downs & Downs, 2009
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

9. Η επίδραση του συναισθήματος
• Έλλειψη κινήτρου.
• Η άποψη ότι στην απόδειξη πρέπει να
ακολουθείς ένα προκαθορισμένο μονοπάτι.
• Η χρήση άτυπων περιγραφών και
αναπαραστάσεων συμβάλλει στη δημιουργία
μιας απόδειξης.
• Η πεποίθηση ότι η παραγωγή μιας απόδειξης
εξαρτάται μόνο από την γνώση
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

10. Τα προβλήματα κατανόησης των
τυπικών μαθηματικών
•Δυσκολία κατανόησης και χειρισμού θεμελιωδών
εννοιών.
•Έλλειψη εμπειρίας ακόμα και σε βασικούς τομείς
των μαθηματικών.
•Δυσκολία συντονισμού της απόδειξη με τους
ορισμούς.
•Δυσκολία στο να «ξεκινήσουν» μια απόδειξη.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

11. Γενικά εργαλεία και πηγές για
την παραγωγή αποδείξεων. 1
• Η παρατήρηση ενός βασικού χαρακτηριστικού
που είναι σημαντικό για την διαμόρφωση μιας
στρατηγικής για την απόδειξη.
• Δυσκολία χρήσης των συμβουλών και των
υποδείξεων που τους δίνονται.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

12. Γενικά εργαλεία και πηγές για
την παραγωγή αποδείξεων. 2
• Δεν διδάσκονται συχνά οι τεχνικές απόδειξης, με
αποτέλεσμα οι μαθητές να πρέπει να τις
θυμηθούν από αποδείξεις που έχουν συναντήσει
στο παρελθόν.
• Επιφανειακή παθητική ανάγνωση και
απομνημόνευση των αποδείξεων.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

13. ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

14. Τι είναι πρόβλημα; 2
“Το να έχεις ένα πρόβλημα, σημαίνει: να ψάχνεις
συνειδητά, για κάποια κατάλληλη ενέργεια, για
την επίτευξη ενός σαφώς σχεδιασμένου αλλά όχι
άμεσα εφικτού στόχου.
Το να λύνεις ένα πρόβλημα, σημαίνει να βρίσκεις
μια τέτοια ενέργεια.”
Polya (1991)
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

15. Τι είναι Επίλυση Προβλήματος;
Περιβάλλον μαθηματικής δουλειάς
Αιτιολόγηση της διδασκαλίας των μαθηματικών
Απόκτηση γνώσεων
Πνευματική απόλαυση και εξάσκηση
Δεξιότητα
Μέσο για την ανάπτυξη νέων δεξιοτήτων
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

16. Γενική διαδικασία επίλυσης
μαθηματικού προβλήματος
• Ανάλυση
• Σχεδιασμός - Διερεύνηση
• Εκτέλεση
• Επαλήθευση
Schoenfeld, 1985
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

17. Ανάλυση
• Κατανόηση του προβλήματος
• Αναδιατύπωση του προβλήματος
• Απλοποίηση του προβλήματος
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

18. Σχεδιασμός
• Δόμηση (Διάρθρωση) του επιχειρήματος
• Ιεραρχική Αποσύνθεση (Διάσπαση): Σφαιρική
σε ειδικά
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

19. Διερεύνηση
• Ισοδύναμα Προβλήματα
Η λύση του ενός συνεπάγεται τη λύση του
άλλου
• Ελαφρά τροποποιημένα προβλήματα
Επιλογή υποστόχων
Επαναδιατύπωση του προβλήματος
• Γενικά τροποποιημένα προβλήματα
Αποσύνθεση του προβλήματος
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών
Χρήση βοηθητικού προβλήματος

20. Εκτέλεση
• Εκτέλεση βήμα προς βήμα της λύσης
• Τοπική Επαλήθευση
Απόδειξη ότι κάθε βήμα είναι σωστό
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

21. Επαλήθευση 1
Ειδικοί έλεγχοι
• Έχουμε χρησιμοποιήσει όλα τα δεδομένα;
• Είναι σύμφωνη με τις λογικές εκτιμήσεις ή
προβλέψεις;
• Αντέχει ελέγχους συμμετρίας, διάστασης;
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

22. Επαλήθευση 2
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών
Γενικοίέλεγχοι
• Μπορεί να ληφθεί με διαφορετικό τρόπο;
• Μπορεί να επαληθευθεί από ειδικές περιπτώσεις;
• Μπορεί με κατάλληλους περιορισμούς να δώσει
γνωστά αποτελέσματα;
•Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξαγωγή
άλλων γνωστών συμπερασμάτων;

23. Μεταγνώση
Μεταγνωστική ικανότητα
Η ικανότητα των μαθητών να παρακολουθούν
και να ρυθμίζουν οι ίδιοι τις γνωστικές
διαδικασίες που χρησιμοποιούν τόσο κατά την
διάρκεια της επίλυσης προβλήματος όσο και
κατά την διαδικασία της απόδειξης.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

24. Στρατηγικές ανάπτυξης
μεταγνωστικών συμπεριφορών
• Ο προσδιορισμός «τι ξέρεις» και τι «δεν ξέρεις».
• Περιγραφή του τρόπου σκέψης.
• Κρατώντας σημειώσεις για τον τρόπο σκέψης.
• Σχεδιασμός και αυτορρύθμιση.
• Απολογισμός της διαδικασίας σκέψης.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

25. Αρχές μάθησης και διδασκαλίας 1
• Ενεργητική Μάθηση και διδασκαλία
Ο μαθητής θα πρέπει να ανακαλύψει μόνος του ένα
μεγάλο μέρος αυτών που πρέπει να μάθει, υπό τις
περιστάσεις.
• Καλύτερο κίνητρο
Ο μαθητής θα πρέπει να τον ενδιαφέρει αυτό που
θα μάθει και να βρίσκει ευχάριστη την
δραστηριότητα της μάθησης
, Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές

26. Αρχές μάθησης και διδασκαλίας 2
• Διαδοχικές φάσεις:
Ανακάλυψη & Αφομοίωση
Και οι δύο φάσεις, συνδέουν το πρόβλημα, με
τον κόσμο γύρω μας αλλά και με την γνώση.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

27. ΑΠΟΔΕΙΞΗ VIS-À-VIS
ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

28. Απόδειξη-Επίλυση Προβλήματος 1
Ομοιότητες
• Βασίζονται στη μαθηματική επιχειρηματολογία
και ασχολούνται με την παραγωγή μαθηματικής
επιχειρηματολογίας
• Εξαρτώνται από την διαίσθηση και την
διαδικασία της ανθρώπινης σκέψης
• Είναι απαραίτητη η μεταγνωστική διαδικασία.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

29. Απόδειξη-Επίλυση Προβλήματος 2
Διαφορές
• Γνωρίζουμε από την αρχή
ποιος είναι ο στόχος μας
• Αυστηρή έκφραση
επιχειρήματος
• Δεν γνωρίζουμε από την
αρχή ποιος είναι ο στόχος
μας
• Δεν απαιτείται ιδιαίτερα
αυστηρή έκφραση του
επιχειρήματος
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

30. ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

31. Ένα πείραμα Επίλυσης
Προβλήματος
Γεωμετρίας στο Λύκειο
“Αν τριχοτομήσουμε την χορδή μιας επίκεντρης
γωνίας έχουμε τριχοτομήσει και την γωνία;”
Μια τέτοια πεποίθηση υπήρχε σε μαθητές Α΄Λυκείου τα
προηγούμενα χρόνια, όπως αναφέρουν οι Τ. Πατρώνης και
Δ. Σπανός (1996, Παράρτημα)
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

32. Υλοποίηση του πειράματος
• Η διχοτόμηση μιας επίκεντρης γωνίας
Κ. Ωραία!! Τώρα, θα μπορούσατε να μου πείτε,
πως μπορούμε να τριχοτομήσουμε την γωνία
Μήπως μπορούμε, να ακολουθήσουμε την ίδια
διαδικασία;;
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών
Α΄ Φάση: Δημιουργία Κινήτρου

33. • Διατύπωση εικασίας από τους μαθητές
ΧΑΡΗΣ:
Ναι, θα μπορούσαμε να χωρίσουμε την χορδή σε
τρία ίσα τμήματα και να σχηματίσουμε τις
αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες. Αυτές οι γωνίες,
θα πρέπει να είναι ίσες.
ΈΦΗ:
Δεν νομίζω, ότι μπορεί να γίνει έτσι.
ΜΑΡΙΑ:
Δεν μοιάζουν να είναι ίσες αυτές οι γωνίες
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

34. ΧΑΡΗΣ:
Μα γιατί, αφού ακολουθώ την ίδια διαδικασία με
την διχοτόμηση της γωνίας;
Κ: Μπορείτε να αποδείξετε τους ισχυρισμούς σας;
Τα παιδιά, είπαν ότι δεν μπορούν.
Καθαρά διαισθητικά, τα κορίτσια πιστεύουν ότι
οι γωνίες δεν είναι ίσες, ενώ
ο Χάρης εξακολουθεί να πιστεύει ότι πρέπει να
είναι ίσες οι γωνίες.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

35. Είναι χωρισμένη σε δύο μέρη:
1ο
Μέρος:
Να αποδείξουν ότι οι γωνίες που σχηματίζονται
από την τριχοτόμιση της χορδής δεν είναι ίσες
μεταξύ τους.
2ο
Μέρος:
Να διαπιστώσουν πια γωνία είναι μεγαλύτερη
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών
Υλοποίηση του πειράματος
Β΄ Φάση: Η Δραστηριότητα

36. Ερώτημα 1ο
: Είναι ίσες οι γωνίες ΑΟΓ και
ΔΟΒ και μπορούμε να τις συγκρίνουμε;
ΜΑΡΙΑ:
Φαίνεται να βαίνουν σε ίσα τόξα
ΕΦΗ:
Οι γωνίες είναι ίσες διότι οι
αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες
ΒΟΑ΄ και ΑΟΒ΄ είναι ίσες ως
κατακορυφήν.
ΧΑΡΗΣ: Είναι ίσες γιατί το
τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

37. Ερώτημα 2ο
: Είναι ίσες οι γωνίες ΑΟΓ
και ΓΟΔ και πως μπορούμε να τις
συγκρίνουμε;
ΧΑΡΗΣ:
Θα μπορούσαμε με τον ίδιο τρόπο να
συγκρίνουμε τα τρίγωνα. Παρατηρώ
ότι έχουν μια κοινή πλευρά και
ΑΓ=ΓΔ. Όμως ΟΑ≠ΟΔ, (ΟΑ: ακτίνα
και ΟΔ όχι). Άρα τα τρίγωνα δεν είναι
ίσα και πολύ πιθανό οι γωνίες ΑΟΓ
και ΓΟΔ να είναι άνισες.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

38. ΜΑΡΙΑ:
Δεν είναι ίσες η μία είναι αμβλεία και η άλλη
είναι οξεία
Κ: Μπορείς να αιτιολογήσεις τον ισχυρισμό σου;
ΜΑΡΙΑ: Όχι, έτσι νομίζω ότι μοιάζουν
ΈΦΗ:
Οι γωνίες ΑΟΓ και ΓΟΔ δεν είναι ίσες γιατί τα
τρίγωνα που τις περιέχουν φαίνονται άνισα.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

39. Μπορούμε να συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΓ
και ΓΟΔ; Τι είδους τρίγωνο είναι το ΓΟΔ;
ΜΑΡΙΑ: Επειδή η γωνία ΑΓΟ
και η γωνία ΟΔΓ είναι ίσες
και οι γωνίες ΟΓΔ με την ΟΔΓ
είναι ίσες γατί είναι
παραπληρωματικές, των από
πάνω γωνιών. Άρα το τρίγωνο
είναι ισοσκελές, άρα ΟΓ=ΟΔ.
Τα τρίγωνα ΑΟΓ και ΓΟΔ δεν
είναι ίσα και το ΑΟΓ πρέπει
να είναι σκαληνό.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

40. ΈΦΗ: Συγκρίνοντας τα τρίγ. ΑΟΓ και ΓΟΔ συμπεραίνουμε
ότι είναι άνισα αφού, ναι μεν έχουν κοινή πλευρά ΟΓ και
ΑΓ=ΓΔ, αλλά ΟΑ: ακτίνα του κύκλου
είναι μεγαλύτερη πλευρά από την ΟΔ.
Το τρίγ. ΓΟΔ είναι ισοσκελές
αφού ΟΓ=ΟΔ (από τη σύγκριση των
τριγ. ΑΟΓ και ΔΟΒ που είναι ίσα μεταξύ τους).
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών
Μπορούμε να συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΓ
και ΓΟΔ; Τι είδους τρίγωνο είναι το ΓΟΔ;

41. Ερώτημα 3ο
: Ποια από τις δύο γωνίες
(ΑΟΓ, ΓΟΔ) είναι μεγαλύτερη;
ΧΑΡΗΣ: Διαισθητικά, πιστεύω
ότι μεγαλύτερη είναι η ΓΟΔ
ΜΑΡΙΑ:
Η ΓΟΔ γιατί βαίνει σε μεγαλύτερο τόξο
ΈΦΗ:
Μεγαλύτερη φαίνεται η ΓΟΔ διότι αν προεκτείνω
την ΟΔ σε ΟΔ΄ το τόξο ΕΔ΄> τόξο ΑΕ
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

42. • Τι είδους τρίγωνο είναι το ΓΔΕ;
• Ποια είναι η μεγαλύτερη πλευρά του
τριγώνου;
• Μπορείτε να συγκρίνετε τα ευθύγραμμα
τμήματα ΑΓ και ΕΔ;
Θυμηθείτε τώρα:
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και οι
τρίτες πλευρές είναι άνισες τότε και οι
περιεχόμενες γωνίες των ίσων πλευρών είναι
ομοίως άνισες.
• Απαντήστε στο Ερώτημα 3:
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

43. Συμπεράσματα
Δεν θα πρέπει η αντιμετώπιση της μαθηματικής
απόδειξης να γίνεται, ως περιγραφή μιας σειράς
λογικών βημάτων που παρουσιάζονται από τον
εκπαιδευτικό, αντίθετα είναι σημαντικό να
εμπλακούν οι μαθητές στη σημασία και την
κατασκευή μιας απόδειξης και να προσπαθήσουν
να εντοπίσουν τη βασική αποδεικτική ιδέα, μέσω
πειραματισμού και διερεύνησης.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

44. ΜΙΑ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗ
ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ
Γραμμική Μορφή-Δομική Μορφή
Leron U., 1983
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

45. Γραμμική Μορφή
Η απόδειξη παρουσιάζεται βήμα-βήμα,
ξεκινώντας από την υπόθεση και καταλήγει στο
συμπέρασμα.
Κατάλληλη για την διασφάλιση της ισχύς των
αποδείξεων αλλά
Ακατάλληλη για έναν δεύτερο σημαντικό ρόλο
των μαθηματικών παρουσιάσεων, αυτόν της
Μαθηματικής επικοινωνίας
(Leron U., 1983)
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

46. Δομική Μορφή 1
Η απόδειξη διαμορφώνεται σε επίπεδα,
αρχίζοντας από την κορυφή προς τα κάτω.
Τα επίπεδα αυτά, συνιστούν από μόνα τους μικρά
αυτόνομα μοντέλα, που το καθένα περιέχει μια
βασική ιδέα της απόδειξης.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

47. Οροφή (1ο
επίπεδο)
Είναι μικρό σε έκταση, χωρίς τεχνικές λεπτομέρειες
και δίνει σε γενικές γραμμές την κύρια γραμμή
της απόδειξης
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών
Δομική Μορφή 2

48. Καθ’ οδών (2ο
επίπεδο)
Ασχολείται με τις γενικότητες του πρώτου,
παρέχει αποδείξεις, λεπτομέρειες για γενικές
περιγραφές, συγκεκριμένες κατασκευές για
αντικείμενα των οποίων η ύπαρξη απλά
επιβεβαιώνεται.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών
Δομική Μορφή 3

49. Δομική Μορφή 4
Πάτωμα (3ο
Επίπεδο)
Περιέχει πολλές λεπτομέρειες
Μοιάζει με τη γραμμική μέθοδο.
Η διαφορά του σε σχέση με τη γραμμική μέθοδο:
Οι λεπτομέρειες παρουσιάζονται, εφόσον έχει
καθοριστεί ο ρόλος τους στην απόδειξη και είναι
οργανωμένες σε εννοιολογικές μονάδες
(μοντέλα).
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

50. Θεώρημα
Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι
μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι γωνίες
του τριγώνου.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών
Ανισοτικές σχέσεις
Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας

51. Απόδειξη - Γραμμική προσέγγιση
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ Φέρνουμε τη διάμεσο ΒΔ και στην
προέκταση της, προς το Δ,
θεωρούμε σημείο Ε, ώστε ΔΕ=ΒΔ.
Επειδή το Ε βρίσκεται στο
εσωτερικό της γων. ΓΑx έχουμε
ΓΑΕ<ΓΑx=Aεξ (1).
Όμως τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΕΔΑ
είναι ίσα γιατί έχουν: ΒΔ=ΔΕ, ΑΔ=ΔΓ και γων.Δ1=Δ2, οπότε
γων. Γ=ΓΑΕ. Από την τελευταία ισότητα και την (1)
προκύπτει ότι Αεξ>Γ . Όμοια αποδεικνύεται ότι και Αεξ>Β .
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

52. Απόδειξη - Δομική προσέγγιση
Οροφή-1o
Επίπεδο
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Θέλουμε να δείξουμε ότι η γων. ΓΑx=Aεξ είναι
μεγαλύτερη από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. Θα
αποδείξουμε ότι η γων. Αεξ είναι μεγαλύτερη από την γωνία Γ.
Θα πρέπει να κατασκευάσουμε μια γων. ω, που να έχει τις εξής
ιδιότητες: 1) ω=Γ και 2) Αεξ>ω
Η ύπαρξη μιας γων. ω, με τις παραπάνω ιδιότητες θα μας οδηγήσει
στο συμπέρασμα ότι η γωνία Αεξ>ω=Γ, δηλ. Αεξ>Γ.
Όμοια αποδεικνύεται ότι και Αεξ > Β.
Έτσι το θεώρημα θα έχει αποδειχθεί.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές

53. Καθ’ οδών
Πως θα κατασκευάσουμε αυτή την γωνία ω;
Η γωνία που θα κατασκευάσουμε θα πρέπει
να πληροί τις παραπάνω ιδιότητες.
Ποια θα πρέπει όμως να είναι η θέση
της ημιευθείας Αy, ώστε η γων, ω να
είναι ίση με την γων. Γ
Πρέπει να φέρουμε την Αy παράλληλη στην πλευρά ΒΓ του τριγώνου
έτσι ώστε οι γωνίες και να είναι εντός εναλλάξ των παραλλήλων και
άρα ίσες.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

54. 2ο
Επίπεδο
• Κατασκευάζουμε ημιευθεία
Αy στο εσωτερικό της
γωνίας ΓΑx, έτσι ώστε:
Αy//ΒΔ. θεωρούμε ως
γωνία ω=ΓΑy, όπου
ΓΑy<Aεξ.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

55. 3ο
Επίπεδο
Η γων. ΓΑy=Γ ως εντός
εναλλάξ των παραλλήλων Αy
και ΒΔ, οι οποίες τέμνονται
από την ΑΓ.
Άρα , έχουμε:
ω=ΓΑy=Γ και ΓΑy<Αεξ
Οπότε
Αεξ> Γ
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

56. Παρατηρήσεις –Συμπεράσματα
• Στο 1ο
Επίπεδο βλέπουμε με μια ματιά ποιο
είναι το ζητούμενο και ποια η πορεία της
απόδειξης. Γίνεται η εισαγωγή της γων. ω και
παρουσιάζονται οι ιδιότητες που έχει και πως
αυτές θα χρησιμοποιηθούν ώστε να φτάσουμε
στο στόχο μας. Η κατασκευή της και η
απόδειξη των ιδιοτήτων της γίνονται σε
χαμηλότερα επίπεδα.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

57. Παρατηρήσεις –Συμπεράσματα
• Στη γραμμική μορφή πρώτα παρουσιάζεται η
κατασκευή του τριγώνου χωρίς να ξέρουμε
γιατί κατασκευάζουμε το συγκεκριμένο τρίγωνο
και στο τέλος, της διαδικασίας, στο συμπέρασμα
αναφέρεται στις σχέσεις των γωνιών. Ενώ στην
δομική πρώτα παρατηρεί ποιες πρέπει να είναι
οι σχέσεις των γωνιών και μετά καταφεύγει
στην κατασκευή των τριγώνων προκειμένου να
αποδείξει το ζητούμενο.
Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

58. Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα: Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές
Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών
Σας Ευχαριστώ!!!Σας Ευχαριστώ!!!