ιστορία μαθηματικών ενότητα 1

Έρευνα στη Διδακτική των
Μαθηματικών και Διδακτική Πράξη
Ενότητα 1: Δραστηριότητες και Παραδείγματα στη
διδασκαλία των μαθηματικών
Δέσποινα Πόταρη
Σχολή Θετικών επιστημών
Τμήμα Μαθηματικό

Έρευνα στη Διδακτική των
Μαθηματικών και Διδακτική Πράξη
Δέσποινα Πόταρη

3Δραστηριότητες και Παραδείγματα στη διδασκαλία των μαθηματικών
Tι είναι δραστηριότητα σύμφωνα με
τη θεωρία της δραστηριότητας;
• Jaworski and Potari (to appear). Bridging the macro-micro
divide: Using an activity theory model to capture socio-
cultural complexity in mathematics teaching and its
development. Educational Studies in Mathematics
• Μια έννοια που έχει διαφορετικές σημασίες
– Η δραστηριότητα έχει ένα αντικείμενο και ένα κίνητρο (π.χ
η διδασκαλία, η μαθηματική δραστηριότητα)
– Η δραστηριότητα είναι συλλογική και συστημική
– Χαρακτηρίζεται από συνεχή μετασχηματισμό και αλλαγή

Επίπεδα της δραστηριότητας
• Δραστηριότητα Κίνητρο
• Ενέργειες Στόχοι
• Λειτουργίες Συνθήκες

Διδακτικό επεισόδιο
• Ο καθηγητής έχει ζητήσει από τους μαθητές (χαμηλής
επίδοσης) να βρουν από ένα λεξικό τη σημασία στατιστικών
όρων
• Οι μαθητές έχουν έρθει στο μάθημα χωρίς να έχουν κάνει τη
δουλειά τους
• Ο καθηγητής τους επιπλήττει, τους βάζει τιμωρία. Ένταση
δημιουργείται στην τάξη
• Δίνει λεξικά στους μαθητές. Οι μαθητές δυσκολεύονται να τα
χρησιμοποιήσουν
• Για ποιο λόγο απέτυχε η επιλογή του καθηγητή; Ποια είναι η
γνώση που χρειαζόταν;

Παράδειγμα από ένα απόσπασμα της
διδασκαλίας (1/2)
• Δραστηριότητα και Κίνητρο
– Η δημιουργία ενός περιβάλλοντος μάθησης που
να υποστηρίζει εννοιολογική κατανόηση
• Ενέργειες και Στόχοι
– Ο σχεδιασμός προβλημάτων- καταστάσεων
(tasks) σε συγκεκριμένες περιοχές των
μαθηματικών (π.χ στην στατιστική) και η χρήση
τους με τους μαθητές. Στόχος η εμπλοκή των
μαθητών ώστε να κατανοήσουν τις σχετικές
έννοιες

Παράδειγμα από ένα απόσπασμα της
διδασκαλίας (2/2)
• Λειτουργίες και συνθήκες
– Χρήση εργαλείων (λεξικά, δουλειά στο σπίτι,
κάρτες). Οι συνθήκες είναι διαφορετικά επίπεδα
υποστήριξης και πρόκλησης σε αλληλεπιδραστικά
περιβάλλοντα. Ο εκπαιδευτικός αναμένει
ανεξάρτητη δουλειά.

Συνδέοντας τη μικροκλίμακα με τη
μακροκλίμακα της τάξης

Ανάλυση με το τρίγωνο από την
πλευρά του καθηγητή
• Υποκείμενο: Καθηγητής
• Αντικείμενο: Να κατανοήσουν βασικούς στατιστικούς όρους και
σχετικές έννοιες και πραγματοποιείται μέσα από Δράσεις (έργα)
• Εργαλεία: Δουλειά στο σπίτι, λεξικό, πρόβλημα
• Κοινότητα: τάξη, σχολείο, εκπαιδευτική κοινότητα, ευρύτερη
κοινότητα
• Κανόνες: Αναλυτικό πρόγραμμα, εξετάσεις, δουλειά στο σπίτι,
τάξεις διαφορετικών ικανοτήτων, δομές εξουσίας
• Μοίρασμα εργασίας: Ο καθηγητής έχει την εξουσία να θέτει
δουλειά στου σπίτι. Οι μαθητές αναμένεται να την κάνουν και να
την φέρουν στην τάξη

Ανάλυση με το τρίγωνο από την
πλευρά των μαθητών
• Αντικείμενο: Να επιβιώσουν στην τάξη. Πραγματοποιείται μέσα
από δράσεις όπως ελάχιστη ενασχόληση με το πρόβλημα,
δικαιολόγηση
• Εργαλεία: Πρόβλημα, λεξικό
• Κοινότητα: μαθητές σε τάξη χαμηλής επίδοσης, σχολική κοινότητα,
φίλοι, σπίτι και οικογένεια, ευρύτερες κοινωνικές ομάδες και
κουλτούρες
• Κανόνες: Η δουλειά στο σπίτι, εξετάσεις, δομές στο σχολείο,
πιέσεις συνομηλίκων
• Μοίρασμα εργασίας: Ο καθηγητής έχει θέσει μια εργασία που
πρέπει να κάνουν οι μαθητές. Η ισχύς στην εξουσία προέρχεται
από τον καθηγητή που μπορεί να αξιολογήσει ενώ στην
πραγματικότητα αφορά τους μαθητές που επιλέγουν να μην
κάνουν την εργασία

Συγκρούσεις και εντάσεις
• Εργαλεία – Κοινότητα (το λεξικό δεν είναι κάτι συνηθισμένο
στην κοινότητα των μαθητών)
• Κανόνες – εργαλεία – Μοίρασμα εργασίας (οι μαθητές
πρέπει να κάνουν τη δουλειά στο σπίτι και να
αντιμετωπίσουν το πρόβλημα αλλά αυτό αποτυχαίνει)

Τι μας λέει η συγκεκριμένη ανάλυση
της διδασκαλίας;
• Ανάγκη συνδυασμού μαθηματικής πρόκλησης με
την ευαισθησία στους μαθητές τόσο στο γνωστικό,
συναισθηματικό και κοινωνικό επίπεδο.
• Τι σημαίνει αυτό στο σχεδιασμό προβλημάτων;

Αξιοποιώντας τη γνώση των μαθητών
στη διδασκαλία
• Doerr H.(2006).Examining the tasks of teaching when using
students’ mathematical thinking. Educational Studies in
Mathematics, 62, 3-24.
• (Η έρευνα δείχνει ότι αν ο εκπαιδευτικός γνωρίζει πώς
σκέφτονται οι μαθητές αυτό επηρεάζει τη διδασκαλία του.
• Περιορισμένη η έρευνα σε θέματα που αφορούν στη
δευτεροβάθμια εκπαίδευση

Ένα παράδειγμα από την εκθετική
συνάρτηση
• Οι ερευνητικοί στόχοι
– Πώς οι εκπαιδευτικοί ερμηνεύουν τους
διαφορετικούς τρόπους σκέψης που εκφράζουν
οι μαθητές όταν αντιμετωπίζουν ένα πρόβλημα
εκθετικής συνάρτησης
– Πως αυτές οι ερμηνείες επηρεάζουν την
διδασκαλία

Θεωρήσεις αναφορικά με τη γνώση των εκπαιδευτικών
που απαιτείται για τη διδασκαλία
• Η γνώση αυτή είναι ασθενώς δομημένη
• Εξαρτάται και στηρίζεται στις ιδιαιτερότητες
και τους περιορισμούς που θέτει η πρακτική
της διδασκαλίας
• Το να γνωρίζω πώς να διδάσκω σημαίνει να
γνωρίζω πώς να βλέπω και πώς να ερμηνεύω
το πολύπλοκο πεδίο της σχολικής πρακτικής
• Μία όψη αυτής της γνώσης είναι η ερμηνεία
των ενεργειών των μαθητών

Οπτικές αντιμετώπισης των ενεργειών
των μαθητών
• Αξιολογική (σωστή – λάθος)
• Ερμηνευτική (αξιολόγηση της κατανόησης,
αναζήτηση επεξηγήσεων που δίνουν,
διαπραγμάτευση του νοήματος)
• Η τελευταία οπτική σημαντική αλλά δύσκολη
καθώς ο εκπαιδευτικός χρειάζεται να γνωρίζει
τους πολλαπλούς τρόπους που ο μαθητής
μπορεί να σκεφτεί (αντιλήψεις, παρανοήσεις,
κατάλληλες αναπαραστάσεις, συνδέσεις,
παιδαγωγικές στρατηγικές)

Έργα μοντελοποίησης
• Lesh R. Hoover, M. Hole, B. Kelly, A. and Post T.
Principles for Developing Thought- Revealing
Activities for Students and Teachers

Χαρακτηριστικά των έργων αυτών
(1/2)
• Η λύσεις αυτών των προβλημάτων θα πρέπει
να εμπεριέχουν σημαντικές μαθηματικές
ιδέες (αρχή ένας μικρός αριθμός μεγάλων
ιδεών και όχι μικρά και αποσπασματικά
μαθηματικά θέματα)
• Τα χαρακτηριστικά τους να εμπεριέχουν
στοιχεία από ικανότητες που χρειάζονται στην
πραγματική ζωή και όχι μόνο στο σχολείο

Χαρακτηριστικά των έργων αυτών
(2/2)
• Τα έργα αυτά θα πρέπει να βοηθήσουν τους
μαθητές να αναπτύξουν ποικίλες μαθηματικές ή
επιστημονικές ικανότητες πέρα από αυτές που
συνήθως απαιτούνται για τις εξετάσεις
• Τα έργα αυτά πρέπει να επιτρέπουν στους
εκπαιδευτικούς να συλλέξουν πλούσιες
πληροφορίες για τις εννοιολογικές ικανότητες
και αδυναμίες των μαθητών τους ώστε να είναι
πιο αποτελεσματική η διδασκαλία

Διαφορές ανάμεσα στην παραδοσιακή αντίληψη
εφαρμοσμένων προβλημάτων και δραστηριοτήτων
μοντελοποίησης (1/2)
• Παραδοσιακή οπτική
– Εκμάθηση των απαιτούμενων ιδεών και
δεξιοτήτων
– Εκμάθηση γενικών διαδικασιών και ευρετικών
επίλυσης προβλήματος
– Εκμάθηση πώς να χρησιμοποιούνται τα
παραπάνω όταν πληροφορίες πραγματικής ζωής
απαιτούνται

Διαφορές ανάμεσα στην παραδοσιακή αντίληψη
εφαρμοσμένων προβλημάτων και δραστηριοτήτων
• Εναλλακτική οπτική
– Πολλαπλοί κύκλοι μοντελοποίησης χρειάζονται
– Οι διαδικασίες επίλυσης απαιτούν πολλά
περισσότερα από μια επεξεργασία πληροφοριών
. Απαιτούν μετασχηματισμό του μοντέλου μέσα
από την ερμηνεία, εφαρμογή, τροποποίηση,
επέκταση ή αλλαγή
– Οι εμπειρίες επίλυσης προβλήματος είναι
σημαντικές στην κατασκευή του μοντέλου.

Κύκλοι μοντελοποίησης
Πραγματικός κόσμος
Επαλήθευση
περιγραφή
πρόβλεψη
Μοντέλο
επεξεργασία

Παραδείγματα προβλημάτων
μοντελοποίησης
• Ο καθορισμός της απόσταση από το Σικάγο
στο Τόκυο σε διαφορετικές αναπαραστάσεις
(π.χ στην υδρόγειο σφαίρα καθώς και σε
διαφορετικής μορφής χάρτες )
• Η μελέτη της ανάγκης αύξησης των
χρημάτων που έχουν οι έφηβοι (το χαρτζιλίκι)
(άρθρα από εφημερίδες, κατάλογοι με τιμές
προιόντων σήμερα και πριν 10 χρόνια)

Αρχές ανάπτυξης προβλημάτων
• Η δυνατότητα κατασκευής ενός μοντέλου και όχι μόνο μιας
απάντησης (χρειάζεται μέσα σ’ αυτό να δούμε τι είναι
μαθηματικά σημαντικό)
– Μοντέλα χρειάζονται για να κάνουμε προβλέψεις
πραγματικών γεγονότων, προσομοιώσεις γεγονότων που
δεν μπορούμε να έχουμε πρόσβαση
– Μοντέλα χρειάζονται να περιγράψουμε κανονικότητες,
διαδικασίες λήψης αποφάσεων, να ελέγξουμε
διαφορετικά συμπεράσματα.

Αρχές ανάπτυξης προβλημάτων
• Η κατάσταση να είναι πραγματική. Τι σημαίνει
κάτι τέτοιο; Μπορούμε να μετασχηματίσουμε
τυπικά παραδείγματα;
• Το πρόβλημα δίνει στους μαθητές τη δυνατότητα
να καταγράψουν τις μεθόδους τους και να
εκφράσουν τους συλλογισμούς τους.
• Μπορεί το μοντέλο να γενικευθεί και να
χρησιμοποιηθεί από άλλους;
• Μπορεί το μοντέλο να χρησιμοποιηθεί ως μια
πρωτοτυπική κατάσταση για άλλα προβλήματα;

Το πρόβλημα που χρησιμοποιήθηκε
στην αρχική έρευνα
• Ο διπλασιασμός ενός κέρματος (π.χ 1 λεπτό)
σε κάθε καινούργιο τετράγωνο μιας
σκακιέρας
• Πληροί το παραπάνω πρόβλημα τις
προηγούμενες αρχές;

Η ερευνητική διαδικασία
• Βιντεοσκόπηση του μαθήματος
• Σημειώσεις πεδίου
• Τρεις συνεντεύξεις με τον καθηγητή
• Μαθητές ηλικίας 16-18 ετών.

Η ανάλυση του μαθήματος
• Η καθηγήτρια ανέμενε ότι οι μαθητές θα είχαν
δυσκολία να αντιστοιχίσουν το πλήθος των
χρημάτων με το αντίστοιχο τετράγωνο (να βρουν
την αλγεβρική σχέση)
• Τους βάζει να δουλέψουν σε ομάδες δίνοντας
τους χρόνο
• Όταν εμφανίστηκαν στην τάξη δύο διαφορετικές
λύσεις ζήτησε από τους μαθητές να γράψουν
στον πίνακα τις λύσεις τους και να εξηγήσουν
πως τις βρήκαν.

Κριτικά χαρακτηριστικά της πρακτικής
της εκπαιδευτικού (1/4)
• Η καθηγήτρια έκανε σαφές ότι οι μαθητές
έπρεπε να σκεφτούν και δεν ήταν απλώς μια
εύκολη και σύντομη απάντηση που έπρεπε οι
μαθητές να δώσουν.
• Προσπαθούσε επίσης να μην τους πει τι να
κάνουν ή να τους καθοδηγήσει
• Η καθηγήτρια προσπαθούσε να βοηθήσει τους
μαθητές να εστιάσουν στο βασικό μαθηματικό
στόχο της δραστηριότητας «να βρουν την
αλγεβρική σχέση)

• Η καθηγήτρια άκουγε τις διαφορετικές λύσεις
(σωστές ή λάθος) και προσπαθούσε να
κατευθύνει τους μαθητές ερμηνεύοντας
αυτές τις λύσεις και συμβουλεύοντας τους να
σκεφτούν διάφορα σημεία των δικών τους
λύσεων (π.χ όταν κάποιοι μαθητές κατέληξαν
στην y=8x ενώ ήξεραν ότι η σχέση δεν ήταν
γραμμική, όταν κάποιοι άλλοι μαθητές είπαν
για τέλεια τετράγωνα)

• Η εκπαιδευτικός ζητούσε από τους μαθητές
να εξηγήσουν τι έκαναν. Αυτό ήταν πολύ
αποτελεσματικό σε κάποιες περιπτώσεις (π.χ
η μελέτη της κλίσης φάνηκε ότι δεν ήταν
σταθερή και ο μαθητής μετακινήθηκε από
γραμμική σε δευτέρου βαθμού σχέση)

• Η εκπαιδευτικός ζητά από τους μαθητές να
επικοινωνήσουν και να συγκρίνουν τις λύσεις
τους.
• Η εκπαιδευτικός αντιλήφθηκε τη σύνδεση του
συγκεκριμένου προβλήματος με το τι θα έκαναν
μελλοντικά (π.χ κλίσεις διαφορετικών καμπύλων)
• Η ενθάρρυνση ήταν στην κατεύθυνση οι μαθητές
να εξελίξουν τους δικούς τους δρόμους και όχι
κάποιους προκαθορισμένους.

Άλλη οπτική της χρήσης προβλημάτων που απαιτούν
προχωρημένη μαθηματική σκέψη στη σχολική τάξη
• Henningsen, M. and Stein, M. K. (1997).
Mathematical Tasks and Student Cognition:
Classroom-Based Factors that support and
Inhibit High-Level Mathematical Thinking and
Reasoning, Journal for Research in
Mathematics Education, 28(5), 524-549.

Πώς χειριζόμαστε μια δραστηριότητα
«υψηλής» μαθηματικής δυσκολίας;
• Η έννοια της «σκαλωσιάς» όπου ο μαθητής να
στηρίζεται και να μπορεί να ολοκληρώσει τη
δραστηριότητα
• Ο εκπαιδευτικός να μοντελοποιεί τις
διαδικασίες σκέψης και τις στρατηγικές των
μαθητών έτσι ώστε να θέτουν οι ίδιοι οι
μαθητές ερωτήσεις και να ελέγχουν τη
διαδικασία επίλυσης.

Ένα πλαίσιο ανάλυσης της
μαθηματικής δραστηριότητας
• Η μαθηματική δραστηριότητα ως μια
δραστηριότητα στην τάξη
– Μαθηματική δραστηριότητα όπως
αναπαριστάνεται στο αναλυτικό πρόγραμμα και
στα διδακτικά εγχειρίδια
– Η Μαθηματική δραστηριότητα όπως τίθεται από
τον εκπαιδευτικό στην τάξη
– Η μαθηματική δραστηριότητα όπως υλοποιείται
από τους μαθητές
– Ποια είναι τα αποτελέσματα

Παράγοντες που επηρεάζουν το πώς
τίθεται η δραστηριότητα
• Οι στόχοι του εκπαιδευτικού
• Η γνώση του εκπαιδευτικού για το
αντικείμενο
• Η γνώση του εκπαιδευτικού για τους μαθητές

Παράγοντες που επηρεάζουν το πώς
υλοποιείται η δραστηριότητα
• Οι νόρμες της τάξης
• Οι συνθήκες της δραστηριότητας
• Ο χειρισμός του εκπαιδευτικού
• Οι μαθηματική σκέψη (ιδέες, στρατηγικές,
συλλογισμοί) των μαθητών

Τα χαρακτηριστικά της
δραστηριότητας
• Προκαλούν τους μαθητές να
χρησιμοποιήσουν
– περισσότερες από μια στρατηγικές επίλυσης;
– Πολλαπλές αναπαραστάσεις;
– Επεξήγηση και αιτιολόγηση;

Οι γνωστικές απαιτήσεις της
δραστηριότητας
• Απομνημόνευση – χρήση διαδικασιών και
αλγορίθμων (με ή χωρίς να δίνεται έμφαση στις
έννοιες, στην κατανόηση και στη σημασία)
• Πολύπλοκες στρατηγικές σκέψης και
συλλογισμού τυπικές στο να κάνω μαθηματικά (
διερεύνηση σχέσεων - εικασίες – αιτιολογήσεις –
ερμηνείες)
• Υπάρχουν περιπτώσεις που μια δραστηριότητα
με υψηλές γνωστικές απαιτήσεις μπορεί να γίνει
τετριμμένη

Πότε η δραστηριότητα παραμένει σε
υψηλό γνωστικό επίπεδο;
• Όταν στηρίζεται στην προηγούμενη γνώση
• Όταν στηρίζεται στη «σκαλωσιά»
• Όταν οι μαθητές αφιερώνουν χρόνο
• Όταν μοντελοποιούνται οι στρατηγικές
• Όταν ο εκπαιδευτικός «πιέζει» για επεξήγηση
και νόημα
• Όταν ο εκπαιδευτικός κάνει εννοιολογικές
συνδέσεις

Πότε η δραστηριότητα δεν συνδέεται
με έννοιες, κατανόηση, νόημα;
• Η αφαίρεση των στοιχείων που προκαλούν
τους μαθητές να σκεφτούν
• Μετακίνηση από την κατανόηση στην
ορθότητα και στο αποτέλεσμα
• Μη κατάλληλος χρόνος

Πότε η δραστηριότητα μειώνεται σε
μη συστηματική διερεύνηση;
• Ακατάλληλη δραστηριότητα (όχι κίνητρα,
έλλειψη προηγούμενης γνώσης, όχι γνώση
της σχέσης των μαθητών με τη
δραστηριότητα)
• Μη κατάλληλος χρόνος (π.χ μεγάλος χρόνος
χωρίς βοήθεια
• Το κύριο σημείο (πρόκληση) της
δραστηριότητας αφαιρείται.

Πότε η δραστηριότητα γίνεται
μαθηματικά τετριμμένη;
• Μη καταλληλότητα της δραστηριότητας
• Προβλήματα διαχείρισης της τάξης
• Ακατάλληλος χρόνος

Παραδείγματα δραστηριοτήτων που οδήγησαν
σε διαφορετική αντιμετώπιση (1/2)
• Να σχεδιάσεις τον αριθμό 0,725 σε ένα
ορθογώνιο (8x10) και να βρεις το κλάσμα και
το ποσοστό
• Να σχεδιάσεις τα 3/8 ενός 8x12 ορθογωνίου
και να βρεις το ποσοστό και το δεκαδικό
μέρος
• Να σχεδιάσεις σε ένα 4x10 ορθογώνιο 6
μικρά τετράγωνα και να βρεις το κλάσμα, το
δεκαδικό μέρος και το ποσοστό.

Παραδείγματα δραστηριοτήτων που οδήγησαν
σε διαφορετική αντιμετώπιση (2/2)
• Οι μαθητές είχαν προηγούμενες εμπειρίες με αλλαγές
γραφής των ρητών σε διάφορες αναπαραστάσεις
• Ο εκπαιδευτικός τους είπε να σκεφτούν διάφορες
απλές μετατροπές (π.χ το ¼ = 2/8 = 25% και έτσι το 1/8
= 12.5% έτσι 3/8 = 37,5% δηλαδή 0.375)
• Ο εκπαιδευτικός τους είπε να μετατρέψουν το κλάσμα
6/40 σε ποσοστό χωρίς να χρησιμοποιήσουν το
κομπιουτεράκι
• Ο εκπαιδευτικός υποστήριζε την ανάπτυξη της
μαθηματικής σκέψης στην περίπτωση που αναγνώριζε
δυσκολίες

Φτιάχνοντας εννοιολογικές
δραστηριότητες
• Zaslavsky (1995) Open- Ended Tasks as a
Trigger for Mathematics Professional
Development, For the Learning of
Mathematics, 15(3), 15-20.
• Zaslavsky (2005) Seizing the opportunity to
create uncertainty in Learning Mathematics.
Educational Studies in Mathematics, 60, 297-
321.

Πώς θα μετατρέπαμε διαδικαστικές
δραστηριότητες σε εννοιολογικές; (1/2)
• Πόσα κοινά σημεία έχει μια παραβολή με μια
ευθεία;
• Βρες την εξίσωση μιας ευθείας που έχει δύο
σημεία τομής με μια παραβολή.
• Σκεφτείτε το δεύτερο πρόβλημα. Τι πιθανές
λύσεις βλέπετε;

Πώς θα μετατρέπαμε διαδικαστικές
δραστηριότητες σε εννοιολογικές; (2/2)
• Πώς θα μετατρέπατε άλλα τυπικά παραδείγματα σε
ανοικτά;
– Βρες την αντίστροφη της συνάρτησης f(x)=2x+1
– Tι αλλαγές θα κάνατε;

Δραστηριότητες που φέρνουν
αβεβαιότητα
• Αβεβαιότητα μέσα από δύο αντικρουόμενους
ισχυρισμούς
• Το -8 στην 1/3 μας κάνει -2
• Το -8 στην 1/3 μας κάνει 2
• Το -8 στην 1/3 δεν ορίζεται
Διάφορες προσεγγίσεις που ορίζεται η
συγκεκριμένη δύναμη η οποία μας οδηγεί
στην αποδοχή κάποιας από τις τρεις
προτάσεις

Άλλο παράδειγμα αβεβαιότητας
• Η κλίση της ευθείας y=x σε καρτεσιανό
σύστημα όπου ο άξονας των x και ο άξονας
των y δεν έχουν την ίδια κλίμακα.

Αβεβαιότητα που προέρχεται από μη
γνωστό τρόπο επίλυσης
• Προβλήματα ύπαρξης
– Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ υπάρχει ένα σημείο Δ στο
εσωτερικό του ώστε τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΓΔ και ΒΓΔ
να έχουν το ίδιο εμβαδόν;
– Η απάντηση σου εξαρτάται από το είδος του
τριγώνου; Αν ναι με ποιο τρόπο;
– ΑΝ υπάρχει ένα τέτοιο σημείο, υπάρχουν και
άλλα που ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη;

Αβεβαιότητα σχετικά με την
εγκυρότητα ενός αποτελέσματος
• Για παράδειγμα πολλά προβλήματα στη
συνδυαστική.

Ποια είναι η σημασία τέτοιων
δραστηριοτήτων;
• Αντιμετωπίζουν οι μαθητές μια ποικίλη
μαθηματική εμπειρία
– Τι είναι έγκυρο
– Πολλαπλές μεθόδους απόδειξης
– Ύπαρξη και μοναδικότητα
– Παραδείγματα και αντιπαραδείγματα
– συνδέσεις

Πώς φτιάχνω δραστηριότητες
αβεβαιότητας;
• Κοινά προβλήματα στο σχολικό βιβλίο τα
οποία τα τροποποιώ λίγο
• Δυσκολίες που έχουν οι μαθητές
• Αυθεντικά περιστατικά στην τάξη που
προκάλεσαν συζήτηση και σύγκρουση
• Μαθηματικά θέματα στο αναλυτικό
πρόγραμμα που μπορούν να προκαλέσουν τη
βάση για αμφισβήτηση υποθέσεων και
πεποιθήσεων

Μορφές δραστηριότητας (1/3)
«Ένας υπολογιστής μολύνθηκε από κάποιο ιό, ο οποίος είχε την
ιδιότητα να καταστρέφει τα ηλεκτρονικά αρχεία με τον εξής τρόπο:
Κάθε μολυσμένο αρχείο μόλυνε, με τη σειρά του, τρία άλλα αρχεία
με τον εξής τρόπο: Κάθε μολυσμένο αρχείο μόλυνε, με τη σειρά
του, τρία άλλα αρχεία μέσα σε μία ώρα λειτουργίας του
υπολογιστή. Προσπάθησε να βρεις πόσα αρχεία έχουν μολυνθεί σε
πέντε ώρες (Α΄Γυμνασίου, δυνάμεις ρητών με εκθέτη φυσικό)»
Βρείτε όλους τους δυνατούς τρόπους που μπορεί να αναλυθεί ο
αριθμός 35 σε αθροίσματα.
Ο αρχαίος φιλόσοφος Ζήνωνας, που έζησε στη Μεγάλη Ελλάδα το
490-430 π.χ διατύπωσε, μεταξύ άλλων και το παρακάτω παράδοξο
του Αχιλλέα με τη χελώνα: «Ο Αχιλλέας βαδίζει 10 φορές πιο
γρήγορα από τη χελώνα. Δε θα μπορέσει ποτέ να τη φτάσει, αν η
χελώνα προηγείται ένα στάδιο (192 μέτρα περίπου) απ’ αυτόν»
Ερεύνησε κα προσπάθησε να επιβεβαιώσεις ή να απορρίψεις το
λόγι για τον οποίο ο Ζήνωνας ισχυρίζεται κάτι τέτοιο.

• Βρείτε πληροφορίες για διαφορετικούς τρόπους
απόδειξης του πυθαγορείου θεωρήματος
• Μελετήστε διάφορες συσκευασίες κουτιών
γάλακτος που περιέχουν 1 λίτρο. Ποια έχει το
ελάχιστο κόστος κατασκευής;
• Το πρόβλημα των δυνατών διαδρομών ενός ταξί
σε μια πόλη από μια θέση Α σε μια θέση Β όταν
η πόλη έχει μόνο παράλληλους και κάθετους
δρόμους

• Χρησιμοποιείστε έναν υψομετρικό χάρτη και
μελετήστε τη δυσκολία μιας διαδρομής από
κάποιο σημείο Α σε κάποιο σημείο Β.
• Κάνετε μια ιστορική αναδρομή για τον αριθμό
π.

Ποιες μαθηματικές ικανότητες
θέλουμε να αναπτυχθούν;
• Κατανόηση εννοιών, διαδικασιών και σχέσεων
• Ικανότητα να κάνει κάποιος διαδικασίες- τεχνικές με
ευελιξία, ακρίβεια, καταλληλότητα
• Ανάπτυξη στρατηγικών – ικανότητα να σχηματίζεις,
αναπαριστάς και λύνεις μαθηματικά προβλήματα
• Ικανότητα να αναπτύσσει κάποιος λογικούς
συλλογισμούς, επεξηγήσεις και αιτιολογήσεις.
• Ικανότητα να συνδέει αναπαραστάσεις
• Θετική στάση για τα μαθηματικά -Ικανότητα να
αναγνωρίζεις τα μαθηματικά ως χρήσιμο σε διάφορες
ανθρώπινες καταστάσεις.

Η μαθηματική δραστηριότητα στη
Γεωμετρία της Α΄Γυμνασίου
• Μια έρευνα στο πλαίσιο εκπόνησης της
μεταπτυχιακής εργασίας της Παρασκευής
Γκαράνη
– Στόχος η μελέτη του μετασχηματισμού της
δραστηριότητας στη σχολική τάξη και η
αναζήτηση σχέσεων ανάμεσα στο
μετασχηματισμό και στη μαθηματική
δραστηριότητα των μαθητών

Μεθοδολογία
– Συμμετέχουν τρεις εκπαιδευτικοί που έχουν
μεταπτυχιακές σπουδές στη Διδακτική των
Μαθηματικών και θεωρούν σημαντική την
εισαγωγή «δραστηριοτήτων» στα σχολικά βιβλία
του Γυμνασίου)
– Παρακολούθηση τριών ωρών διδασκαλίας στη
Γεωμετρία της Α΄ Γυμνασίου στην τάξη κάθε
εκπαιδευτικού (βιντεοσκόπηση –
μαγνητοφώνηση)
– Συνεντεύξεις με τους εκπαιδευτικούς

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται
από μια άλλη ευθεία (1/2)
Στην διπλανή εικόνα βλέπουμε ένα δημόσιο
δρόμο να διασχίζει δυο αγροκτήματα.
Οι παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 ορίζουν τα
όρια του δρόμου αυτού και χωρίζουν τη γη
σε τρεις ζώνες.
Δώσε μια συγκεκριμένη κοινή ονομασία για
όλα τα σημεία που βρίσκονται στην
άσφαλτο του δρόμου, δηλαδή στη ζώνη
ανάμεσα στις ευθείες ε1 και ε2, καθώς και
μια άλλη κοινή ονομασία για όλα τα σημεία
που βρίσκονται έξω απ’ αυτή, δηλαδή στα χωράφια.

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται
από μια άλλη ευθεία (2/2)
• Στην ίδια εικόνα υπάρχει ένας χωματόδρομος
που χωρίζει τα δυο αγροκτήματα και ορίζει
• μια ευθεία δ που είναι το σύνορο μεταξύ τους.
• Πώς μπορείς να δώσεις μια κοινή ονομασία σε
όλα τα σημεία που ανήκουν στο ίδιο και
• μόνο αγρόκτημα;
• (Η δραστηριότητα επεκτείνεται στη σύγκριση
των γωνιών που σχηματίζονται στα σημεία
τομής)

Πιθανή μαθηματική εμπλοκή των
μαθητών
• Εννοιολογική κατανόηση
• ανάπτυξη της χωρικής ικανότητας των μαθητών με
– αναγνώριση θέσεων στο επίπεδο
– απόδοση κοινής ονομασίας ανάλογα με τη θέση
• εύρεση σχέσεων μεταξύ γωνιών
• Αναπαραστάσεις – χρήση μαθηματικών εκφράσεων
• Αιτιολόγηση (μέσα από μέτρηση με μοιρογνωμόνιο και
σύγκριση)
• Θετική στάση – σύνδεση με πραγματικό πλαίσιο (μη
αυθεντικό και καθοδηγούμενο)

Μετασχηματισμός της
«δραστηριότητας»
• Αλλαγή του τρόπου αναπαράστασης του
προβλήματος (στον πίνακα δύο παράλληλες
ευθείες που συμβολίζουν δύο διαφορετικούς
δρόμους και αναφορά στο εσωτερικό και
εξωτερικό της ζώνης – γεωμετρικό πλαίσιο-
αναγνώριση των θέσεων των γωνιών)
• Αλλαγή των προτεινόμενων εργαλείων
σύγκρισης των γωνιών (οπτική σύγκριση –
απόδειξη)
• Μετασχηματισμός της δραστηριότητας γίνεται
ανεξάρτητα από τη δράση των μαθητών

Αλλαγή εργαλείων σύγκρισης (1/2)
• (έχουν γίνει συγκρίσεις των γωνιών οπτικά και ο
εκπαιδευτικός ζητάει από τους μαθητές να αιτιολογήσουν
αναπτύσσοντας λογικούς συλλογισμούς)
• Καθ: Τώρα,… αυτή γιατί είναι ίση μ’ αυτή;
[δείχνοντας τις γωνίες φ αριστερά της τέμνουσας]
Αυτό είναι το θέμα. Εμείς τι είπαμε;…
• Μ11:Επειδή οι πάνω φ και ω
είναι παραπληρωματικές και εφεξής.
Και το ίδιο ισχύει και για τις από κάτω φ
φ
φ
φ
ω
ω
ω
ω
ε
ε2
ε1

Αλλαγή εργαλείων σύγκρισης (2/2)
• Καθ: Εμείς όμως λέμε… γιατί αυτή και αυτή είναι
ίσες; Αυτή με αυτή είναι 180.Αυτή μ’ αυτή 180
[αναφερόμενος στις φ και ω αριστερά της
τέμνουσας στην κάθε παράλληλη]. Αυτές γιατί να
είναι ίσες; Γιατί είπες ότι αυτή μ’ αυτή είναι 180.
Αλλά αυτή με τούτη τι είναι…; [τις εντός και επί
τα αυτά] Τι είπαμε στην αρχή; Ότι αν έχουμε δυο
παράλληλες που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία
αυτές οι δυο είναι 180. Δεν είναι ούτε λιγότερο
ούτε περισσότερο. Άρα αυτές οι δυο, οι ω και η
φ τι είναι;

Μαθηματική δραστηριότητα των
μαθητών
• Αναγνώριση είδους και ισότητας γωνιών
(έννοιες - σχέσεις)
• Πρόκληση για αιτιολόγηση – μια πρώτη
ενασχόληση με την αποδεικτική διαδικασία.
• Η μαθηματική δραστηριότητα της
αιτιολόγησης σταματά λόγω μη επαρκούς
χρόνου εκχώρησης στους μαθητές.

Η εξέλιξη της δραστηριότητας
ανεξάρτητα από τους μαθητές (1/2)
• Καθ: …Άρα ως σημαντικές κρατάμε τις «εντός- εναλλάξ»
που είναι πάντα ίσες. Και οι «εντός-εκτός και επί τα
αυτά» που είναι επίσης πάντα ίσες.
• Μ10: Θέλω να ρωτήσω…αυτές οι δυο οι γωνίες τι
είναι μεταξύ τους;
• Καθ: Αυτές εδώ; ….Αυτές τώρα εντάξει…..
αυτές οι δυο γωνίες είναι
δυο παραπληρωματικές
γωνίες ,180..
οι οποίες δεν μας νοιάζει ιδιαίτερα..

Η εξέλιξη της δραστηριότητας
ανεξάρτητα από τους μαθητές (2/2)
• Μ10:Είναι «εντός-εναλλάξ»
• Καθ: Εντάξει είναι «εντός» και «εναλλάξ», αλλά σας
είπα δεν μας πολυενδιαφέρει. Σας είπα ότι
κυρίως μας ενδιαφέρουν οι «εντός-εκτός και επί τα
αυτά» και οι «εντός-εναλλάξ». Ωραία;

Μαθηματική δραστηριότητα των
μαθητών
• Οι μαθητές συνδέουν τη λεκτική έκφραση
«εντός- εναλλάξ» με τη χωρική
αναπαράσταση κάποιων γωνιών που είναι
εντός εναλλάξ (με τη χωρική έννοια) αλλά όχι
ίσες
• Ευκαιρία για εννοιολογική εμβάθυνση του
ρόλου της μεταφοράς γωνιών μέσω
παραλλήλων ευθειών που δεν αξιοποιήθηκε
στη διδασκαλία

Τι προκύπτει από την ανάλυση των
παραπάνω παραδειγμάτων;
• Η «δραστηριότητα» μετασχηματίζεται από τις επιλογές και
τις αποφάσεις του εκπαιδευτικού που φαίνεται να
οριοθετούνται από το τι ο ίδιος θεωρεί σημαντικό ως
μαθηματική δραστηριότητα
• Ο παραπάνω ισχυρισμός θέλει περαιτέρω υποστήριξη
μέσα από τις ερμηνείες που ο ίδιος ο εκπαιδευτικός δίνει
για τις επιλογές του
• Ενώ υπάρχουν περιπτώσεις όπου οι μαθητές εμπλέκονται
σε ουσιαστική μαθηματική δραστηριότητα, φαίνεται ότι σε
κάποιες περιπτώσεις περιορίζεται λόγω του τρόπου
διαχείρισης από τον καθηγητή
• Υπάρχουν επίσης «χαμένες ευκαιρίες» εμπλοκής των
μαθητών σε «πλούσια» μαθηματική δραστηριότητα

Ερωτήματα προς διερεύνηση
• Μπορούμε να εντοπίσουμε τρόπους διαχείρισης
της «δραστηριότητας» στην τάξη οι οποίοι να
υποστηρίζουν πλούσια μαθηματική
δραστηριότητα των μαθητών;
• Ποια μοντέλα ανάλυσης μπορούν να συνδέσουν
τη δραστηριότητα όπως υπάρχει στο σχολικό
βιβλίο, τον τρόπο που ερμηνεύεται και
υλοποιείται από τον εκπαιδευτικό και το είδος
της μαθηματικής δραστηριότητας στην οποία
τελικά εμπλέκεται ο ίδιος ο μαθητής;

Πηγές μαθηματικής πρόκλησης
• Ένα μαθηματικό πρόβλημα – δραστηριότητα
• Οι ερωτήσεις και τα παραδείγματα που θέτει
ο καθηγητής
• Οι απαντήσεις και οι ερωτήσεις των μαθητών

Τι είναι μαθηματική δραστηριότητα;
• Αρχικά αντιμετωπίζεται ως εύρεση των
διαστάσεων της μαθηματικής γνώσης
– Διαδικαστική - Εννοιολογική
– Εργαλειακή – Σχεσιακή
Μετακίνηση από μια αντίληψη διχοτομική σε
μια αντίληψη συνύπαρξης

Μια στροφή στη φύση της
μαθηματικής δραστηριότητας
• Η μαθηματική δραστηριότητα επεκτείνεται
πέρα από τις μορφές της γνώσης στην ίδια τη
μαθηματική πρακτική.

Δημιουργία συνδέσεων
• Συνδέσεις ανάμεσα σε οπτικές και συμβολικές
μορφές συναρτησιακών σχέσεων
• Οι μαθηματικές σημασίες προέρχονται από
αυτές τις συνδέσεις
• Οι ίδιοι οι μαθηματικοί ερευνητές κάνουν
συνδέσεις

«Δυναμικοί Συλλογισμοί» (1/2)
• Ένα πρόβλημα αντιμετωπίζεται ως μια δυναμική
διαδικασία και όχι ως μια στατική κατάσταση
• Το πρόβλημα είναι να κατασκευάσουμε ένα
ισοσκελές τρίγωνο αν ξέρουμε τη μια πλευρά του
και τις προσκείμενες γωνίες της.
• «Ξέρω ότι αν δύο άνθρωποι περπατούν από τις
άκρες αυτής της πλευράς με ίσες γωνίες όταν
συναντηθούν θα έχουν κάνει την ίδια
απόσταση» (μαθήτρια 14 χρονών)

«Δυναμικοί Συλλογισμοί» (2/2)
• Ο συλλογισμός της δεν είναι επαγωγικός, δεν
είναι παραγωγικός είναι μετασχηματιστικός.
• Η μαθήτρια σκέφτηκε δύο ιδέες, η μια ήταν η
ισότητα των γωνιών και η άλλη των πλευρών
αλλά συνδετικά.
• Αποκτά κάποιος μια αίσθηση πώς το σύστημα
δουλεύει

Μαθηματικές διαδικασίες
• Όταν ο μαθητής επεξεργάζεται και αναλύει
δεδομένα αποκτά «συνήθειες» όπως
– Θέτει ερωτήσεις
– Αναπαριστά
– Καταλήγει σε συμπεράσματα
– Επικοινωνεί τα αποτελέσματα
• Βασική ενέργεια «να κοιτά ο μαθητής ολικά μια
γραφική παράσταση ώστε να διακρίνει μοτίβα
και γενικεύσεις»

Μετακίνηση από τις μαθηματικές
πρακτικές σε μορφές γνώσης
• Τυπική – οπτική γνώση
• Γνώση του «τι» του «γιατί» του «πώς»
• Συλλογισμός – επικοινωνία
• Η γνώση αναπτύσσεται παράλληλα με
πεποιθήσεις, στάσεις, συνήθειες

Πως προκαλούνται τα ποιοτικά αυτά
χαρακτηριστικά της μαθηματικής γνώσης; (1/2)
• Μέσα από τη χρήση κατάλληλων προβλημάτων
– «ανοικτά» προβλήματα –διερευνήσεις
– Θέση προβλημάτων από τους ίδιους τους μαθητές
– Πραγματικές καταστάσεις – Μαθηματικοποίηση
• Μέσα από κατάλληλη επικοινωνία στην τάξη
– Ενθάρρυνση επιχειρηματολογίας – αιτιολόγησης
– Διαπραγμάτευση του μαθηματικού νοήματος

Πως προκαλούνται τα ποιοτικά αυτά
χαρακτηριστικά της μαθηματικής γνώσης; (2/2)
• Μέσα από την εστίαση στον ίδιο το μαθητή
– Γνωστικές διαστάσεις – Σκέψεις
– Συναισθηματικές
• Ο συνδυασμός των παραπάνω μπορούν να
δημιουργήσουν μια μαθηματική πρόκληση
στην τάξη που να έχει νόημα για τον ίδιο το
μαθητή

Πλαίσιο ανάλυσης της διδασκαλίας
• Διαχείριση της μάθησης
• Ευαισθησία Μαθηματική
• στους μαθητές πρόκληση

Παράδειγμα
• Πλαίσιο: Η μελέτη της διδασκαλίας της
Ανάλυσης στην τάξη. Τάξη: B΄ Λυκείου, Θετική
Κατεύθυνση, Κύπρος

Εισαγωγή της έννοιας της συνέχειας
• Η καθηγήτρια εισάγει στην έννοια της συνέχειας μέσα από μια
διαισθητική προσέγγιση . Δίνει στους μαθητές φύλλο εργασίας με
διάφορες δραστηριότητες.
• Δραστηριότητα 1: Να σχεδιάσουν οι μαθητές τη γραφική
παράσταση μια συνάρτησης που συνδέει το ύψος ενός
αεροπλάνου που μετακινείται από μια πόλη Α σε μια πόλη Β με το
χρόνο.
• Δραστηριότητα 2: Να σχεδιάσουν τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης που συνδέει το κόστος ταχυδρόμησης ενός δέματος
με το βάρος.
• Να συγκρίνουν τις δύο γραφικές παραστάσεις
• Εισαγωγή του όρου «συνέχεια», αναζήτηση του ορισμού από ένα
κοινό λεξικό και της χρήσης του στην καθημερινή ζωή

Δραστηριότητα 3 (1/4)
Η καθηγήτρια ζητά από τους μαθητές να
συγκρίνουν τα παρακάτω διαγράμματα
(α) (β) (c)

• H συζήτηση επικεντρώνεται στις γραφικές
παραστάσεις β και c.
– Εκπ.: Τι είναι το 3/2 για χ = 1;
Η συζήτηση επικεντρώνεται στο όριο των συναρτήσεων στο
β και c όταν το χ 1.
– Μ1: Το όριο είναι το 3/2.
– Μ2 Γιατί να μην είναι το 2;
– Εκπ: Για το όριο δεν ενδιαφερόμαστε για την τιμή της
συνάρτησης στο σημείο αλλά για τις τιμές της συνάρτησης
κοντά στο σημείο.

• Οι περισσότεροι μαθητές πιστεύουν ότι η
συνάρτηση με γραφική παράσταση c δεν
είναι συνεχής. Ένας μαθητής διαφωνεί
• Η καθηγήτρια σχεδιάζει μια γραφική
παράσταση που ορίζεται σε δύο διαστήματα
φανερά διαφορετικά μεταξύ τους.
• Οι μαθητές αναγνωρίζουν τότε τη συνάρτηση
ως συνεχή.

• Στους μαθητές ζητήθηκε να παρατηρήσουν τις
τρεις γραφικές παραστάσεις και
συσχετίζοντας το όριο της συνάρτησης στο
σημείο χo και στην τιμή της να διατυπώσουν
τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης σε
ένα σημείο.

Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της μαθηματικής
πρόκλησης στη δεύτερη διδασκαλία; (1/2)
• Οι μαθητές εισάγονται στον τυπικό ορισμό μιας μαθηματικής
έννοιας
– Μέσα από πραγματικά προβλήματα
– Μέσα από γλωσσική ανάλυση της έννοιας
– Μέσα από ποικιλία διαφορετικών εικόνων
– Μέσα από εικασίες που κάνουν οι ίδιοι
– Μέσα από συνδέσεις που κάνουν
• Ο τυπικός ορισμός στηρίζεται σε μια διαισθητική βάση που
κτίζουν οι μαθητές γύρω από την έννοια

Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της μαθηματικής
πρόκλησης στη δεύτερη διδασκαλία; (2/2)
• Στηρίζεται σ’ αυτό που οι μαθητές κάνουν και
το επεκτείνει
• Περιορίζει το μαθηματικό φορμαλισμό
• Στοχεύει στο ξεπέρασμα των εννοιολογικών
εμπόδιων που έχουν οι μαθητές
• Δημιουργεί κίνητρα για τους μαθητές
• Μαθηματική πρόκληση Ευαισθησία στους
μαθητές

Τι χρειάζεται ο εκπαιδευτικός για να κάνει
τη μαθηματική πρόκληση δική τους; (1/2)
• Εξειδικευμένη γνώση του περιεχομένου που
είναι απαραίτητη για τη διδασκαλία
• Γνώση αναφορικά με τη μαθηματική σκέψη
• Παιδαγωγικά εργαλεία βάσει των οποίων
μπορεί να κάνει ένα τέτοιο δέσιμο
• Μια επίγνωση των επιλογών του πριν, κατά τη
διάρκεια και μετά από το μάθημα

Τι χρειάζεται ο εκπαιδευτικός για να κάνει
τη μαθηματική πρόκληση δική τους; (2/2)
• Υπάρχουν άπειρα παραδείγματα από τη
σχολική τάξη που η μαθηματική πρόκληση
– Είναι πρόκληση μόνο για τον καθηγητή
– Φθίνει μέχρι να εξαφανιστεί
– Οι μαθητές δεν εμπλέκονται ουσιαστικά στη
μαθηματική δραστηριότητα

Παραδείγματα – Αντιπαραδείγματα
(1/2)
• Bills, L. Dreyfus, T. Mason, J. Tsamir, P. Watson, A. & Zaslavsky, O.
(2006). Exemplification in mathematics education. In J. Novotná, H.
Moraová, M. Krátká, & N. Stehliková (Eds), Proceedings of the 30th
Conference of the International Group for the Psychology of
Mathematics Education, Vol. 1 (pp. 126-154). Prague: University of
Prague.
• Balacheff, N. (1991). Treatment of refutations: Aspects of the
complexity of a constructivist approach to mathematics learning. In
E. von Glaserfeld (Ed.), Radical constructivism in mathematics
education (pp. 89–110). Hingham: Kluwer.
• Zodik, I. & Zaslavsky, O. (2008). Characteristics of Teachers' Choice
of Examples in and for the Mathematics Classroom. Educational
Studies in Mathematics, 69, 165-182.

Παραδείγματα – Αντιπαραδείγματα
(2/2)
• Έχουν βασικό ρόλο στη διδασκαλία
• Η κατασκευή ενός αντιπαραδείγματος είναι
δύσκολη διαδικασία και συνδέεται με τη
γνώση του εκπαιδευτικού και με το χώρο των
παραδειγμάτων
• Οι μαθητές δυσκολεύονται να τα δουν ως μια
αποδεικτική διαδικασία

Μορφές παραδειγμάτων
• Παραδείγματα
• Μη παραδείγματα
• Γενεσιουργά παραδείγματα
• Αντιπαραδείγματα
• Τα δύο πρώτα συνδέονται με τον
προσδιορισμό της έννοιας
• Τα υπόλοιπα με την απόδειξη

Τα χαρακτηριστικά των
αντιπαραδειγμάτων (1/3)
• Τα αντιπαραδείγματα χρειάζονται έναν εσφαλμένο
ισχυρισμό για να απορρίψεις που αφορούν έννοια,
διαδικασία, ή ακόμα και μέρος μιας απόδειξης
• Τα αντιπαραδείγματα έπαιξαν σημαντικό ρόλο στην
ανάπτυξη των μαθηματικών
– Περιορισμός των συνθηκών του θεωρήματος ώστε να
ισχύει
– Τροποποίηση του ορισμού της έννοιας που αναφέρεσαι
ώστε να ισχύει ο ισχυρισμός
– Ανάλυση της απόδειξης και εντοπισμός της τάξης των
πολυέδρων για τα οποία η απόδειξη ισχύει

• Υπάρχουν συγκεκριμένες πεποιθήσεις σχετικά
με τα αντιπαραδείγματα ως αποδεικτική
διαδικασία
• Οι πεποιθήσεις αυτές είναι ανάλογες με τα
επιστημολογικά εμπόδια που
παρουσιάστηκαν ιστορικά

• Οι εν ενεργεία καθηγητές μπορούσαν να
δώσουν καλύτερα αντιπαραδείγματα από
αυτά των μελλοντικών εκπαιδευτικών
• Από τα παραδείγματα των εκπαιδευτικών
– Απορρίπτει τον ισχυρισμό;
– Υπάρχει;
– Ποιο είναι το είδος της γνώσης των
εκπαιδευτικών που χρειάζεται;

Χαρακτηρισμοί των
αντιπαραδειγμάτων
• Σε σχέση με την επεξηγηματική τους φύση
– Ειδικά
– Ημι-γενικά
– Γενικά
– Διαφανή
• Σε σχέση με το αποτέλεσμα που φέρνουν στη
μάθηση
– (Pivotal) – δημιουργεί γνωστική σύγκρουση
– Γεφύρωσης (επιλύει τη σύγκρουση)

Ισχυρισμοί
• Δύο ορθογώνια που έχουν ίσες διαγώνιες
είναι ίσα
• Δύο τρίγωνα με δύο πλευρές και μια γωνία
αντίστοιχα ίσες είναι ίσα
• Τι είδους αντιπαραδείγματα μπορούν να
υπάρχουν;

Προσχεδιασμένα και αυθόρμητα
παραδείγματα

Λειτουργία παραδειγμάτων στην τάξη
(1/3)
1. Ακολουθία παραδειγμάτων που ξεκινούν με μία απλή ή οικεία για
τους μαθητές περίπτωση.
π.χ. Ο καθηγητής, ξεκινά τη διδασκαλία για την Τετραγωνική Ρίζα με
απλές περιπτώσεις, όπως τις τετραγωνικές ρίζες των 9, 16,25,...
ώστε οι μαθητές να μπορούν αργότερα να βρίσκουν την
τετραγωνική ρίζα αμέσως, χωρίς να έχουν την ανάγκη να
χρησιμοποιήσουν το κομπιουτεράκι τους.
2. Παραδείγματα πάνω στα λάθη που κάνουν οι μαθητές.
π.χ. Οι μαθητές, όταν όλοι οι παράγοντες ενός κλάσματος σε
αριθμητή και παρονομαστή απλοποιούνται, γράφουν ότι το
κλάσμα ισούται με μηδέν και όχι με ένα, που είναι το σωστό. Ο
καθηγητής 3, διαλέγει το παρακάτω παράδειγμα:

(2/3)
Ακολουθία παραδειγμάτων με τα οποία δίνεται προσοχή σε σχετικά χαρακτηριστικά
π.χ. Ο καθηγητής με σκοπό να διδάξει το Πυθαγόρειο Θεώρημα έδωσε παραδείγματα
ορθογωνίων τριγώνων με 2 γνωστές πλευρές και ζητούσε από τους μαθητές να
υπολογίσουν την υποτείνουσα. Έτσι, έδωσε πρώτα το ζεύγος (3,4), έπειτα το (6,8)
και τέλος κάποιο που δεν προκύπτει από αυτά για να «σπάσει το μοτίβο» που θα
μπορούσε πιθανώς να δημιουργηθεί.
4. Ακολουθία παραδειγμάτων που εκμαιεύουν το γενικό από το ειδικό - το τελευταίο
συνίσταται από τυχαίες επιλογές
π.χ. Ο καθηγητής δίνει τον ορισμό των ρητών αριθμών
και ζητά από τους μαθητές να προτείνουν διαφορους τυχαίους αριθμούς ανάμεσα
στο μηδέν και το 1, κατ’ αρχας δεκαδικούς και έπειτα κλάσματα των οποίων ο
αριθμητής να μη διαιρείται ακριβώς από τον παρονομαστή.

(3/3)
Παραδείγματα που περιλαμβάνουν μη συνηθισμένες
περιπτώσεις
π.χ. Οι αριθμοί 0 και 1 είναι οι μοναδικοί αριθμοί που
παραμένουν αμετάβλητοι όταν υψωθούν σε δυνάμεις.
Έτσι, έχουμε 02= 0 => √0= 0 , 12 = 1 => √1= 1.
π.χ. Η χρήση μη πρωτοτυπικών μορφών σχημάτων
6. Παραδείγματα στα οποία ο καθηγητής κρατά τη μη-
απαραίτητη (τεχνική) εργασία στο ελάχιστό
π.χ. Ένα πρόβλημα που έδωσε ο καθηγητής στους μαθητές με
σκοπό να παρουσιάσει τη γενική μεθοδολογία επίλυσης
και δεν ολοκλήρωσε όλες τις πράξεις.

Εργασία 1
• Διαβάστε ένα από τα άρθρα πάνω στα
παραδείγματα – αντιπαράδειγματα που
χρησιμοποιούνται στην τάξη.
• Επιλέξτε μια διδασκαλία (δική σας ή άλλου) και
εντοπίστε παραδείγματα – μη παραδείγματα -
αντιπαραδείγματα που δόθηκαν από τον
εκπαιδευτικό ή από τους μαθητές . Αναλύστε τα
με βάση κάποια από τα σημεία του άρθρου που
μελετήσατε.
• Φτιάξτε μια σύντομη παρουσίαση

Εργασία 2
• Πηγαίνετε στην ιστοσελίδα του Mascil και επιλέξτε μια
δραστηριότητα.
• Διαβάστε ένα από τα άρθρα που σας δίνονται για το
Inquiry- based learning (διερευνητική μάθηση) και για
το χώρο εργασίας
• Αναλύστε κατά πόσο η δραστηριότητα αυτή μπορεί
να υποστηρίξει διερευνητική μάθηση ή/και σύνδεση
με το χώρο εργασίας. Τι μαθηματικές προκλήσεις
μπορούν να αναπτυχθούν στην τάξη;
• Τι αλλαγές θα κάνατε και γιατί στη δραστηριότητα;
• Φτιάξτε μια σύντομη παρουσίαση

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του
εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών»
έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού
υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος
«Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την
Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς
πόρους.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Δέσποινα
Πόταρη 2014. Δέσποινα Πόταρη. «Έρευνα στη Διδακτική των Μαθηματικών
και Διδακτική Πράξη. Δραστηριότητες και Παραδείγματα στη διδασκαλία των
μαθηματικών». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή
διεύθυνση: http://opencourses.uoa.gr/courses/MATH237/.

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons
Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής
Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα
κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους
όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».
[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
• που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για
το διανομέα του έργου και αδειοδόχο
• που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση
στο έργο
• που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος
(π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει
να συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει)
μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

ιστορία μαθηματικών ενότητα 1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to ιστορία μαθηματικών ενότητα 1

Similar to ιστορία μαθηματικών ενότητα 1 (20)

More from Christos Loizos

More from Christos Loizos (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

ιστορία μαθηματικών ενότητα 1