Επιμέλεια: Γεώργιος Μαυρίδης για την ημερίδα των 12 Φροντιστηρίων

1. Θέμα Γιώργου Μαυρίδη (συγγραφέας) στην ημερίδα 12 Φροντιστηρίων [18/4/21]
Έστω συνάρτηση ( ) R
f : 0,+ → η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και τέτοια
ώστε:
• ( ) ( )
f 1 f 2
=
• ( )
x
e x
f x
x lnx
−
 =
−
για κάθε x 0

Να αποδείξετε ότι:
α) η f παρουσιάζει μοναδικό ελάχιστο
β) ( )
f 2 0
 
γ) ( )
x
f x
lim
→+
= +
Υπόδειξη
α) Έχουμε,
για κάθε x 0
 διότι, x
e x 1 x
 +  και ln x x 1 x
 −  , επομένως η f είναι γνησίως
αύξουσα στο ( )
0,+ .
Επίσης,
• η f είναι συνεχής στο  
1,2 ως παραγωγίσιμη
• η f είναι παραγωγίσιμη στο ( )
1,2
• ( ) ( )
f 1 f 2
=
άρα από το Θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )
ξ 1,2
 τέτοιο ώστε:
( )
f ξ 0
 =
Επειδή, η f είναι γνησίως αύξουσα το ξ είναι μοναδικό.
Επομένως, για κάθε ( 
x 0,ξ
 έχουμε
( ) ( )
x ξ f x f ξ 0
 
   = (με την ισότητα να ισχύει για x ξ
= )
άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( 
0,ξ .
Ακόμα, για κάθε  )
x ξ,
 + έχουμε
( ) ( )
x ξ f x f ξ 0
 
   = (με την ισότητα να ισχύει για x ξ
= )
άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( 
0,ξ .
Τελικά η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0
x ξ
= διότι ( ) ( )
f x f ξ
 για κάθε
( )
x 0,
 + .
( )
x
e x
f x 0
x ln x
−
 = 
−

2. β) Έχουμε,
( ) ( ) ( )
f
ξ 2 f ξ f 2 0 f 2

  
    
,
<
γ) Επειδή, ( )
f x 0
  για κάθε ( )
x 0,
 + άρα η f είναι κυρτή στο διάστημα ( )
0,+ ,
οπότε η f
C βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της εκτός από το σημείο επαφή της.
Η εξίσωση της εφαπτομένης της f
C στο σημείο 0
x 2
= είναι:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
y f 2 f 2 x 2 y f 2 x f 2 2f 2
  
− = −  = + −
οπότε
( ) ( ) ( ) ( )
f x f 2 x f 2 2f 2
 
 + − για κάθε ( )
x 0,
 + .
Όμως,
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
x x
f 2 x f 2 2f 2 f 2 x ,
lim lim
→+ →+
  
+ − = = + διότι ( )
f 2 0
  ,
άρα
( )
x
f x
lim
→+
= + .