2. Θεώρημα
Εάν το σύνολο v1 , v2 , . . . , vm είναι βάση του χώρου V και το
σύνολο w1 , w2 , . . . , wn είναι και αυτό βάση του ίδιου χώρου V
τότε m = n.
3. Θεώρημα
Εάν το σύνολο v1 , v2 , . . . , vm είναι βάση του χώρου V και το
σύνολο w1 , w2 , . . . , wn είναι και αυτό βάση του ίδιου χώρου V
τότε m = n.
΄Εστω m < n
W = VC ⇒ Wx = VCx ⇒ Wx = V (Cx)
Ο μηδενόχωσρος του πίνακα C έχει μη-μηδενικά στοιχεία. ΄Αρα
το Cx = 0 έχει μη-τετριμένη λύση
Οπότε και το Wx = VCx = 0 έχει μη-τετριμένη λύση
΄Ατοπο επειδή τα wi είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη.
.
4. Θεώρημα
Ο χώρος γραμμών του A έχει την ίδια διάσταση r και την ίδια
βάση με τον χώρο γραμμών του U.
5. Θεώρημα
Ο χώρος γραμμών του A έχει την ίδια διάσταση r και την ίδια
βάση με τον χώρο γραμμών του U. (΄Αρα οι δύο χώροι
ταυτίζονται).
6. Θεώρημα
Ο χώρος γραμμών του A έχει την ίδια διάσταση r και την ίδια
βάση με τον χώρο γραμμών του U. (΄Αρα οι δύο χώροι
ταυτίζονται).
Απόδειξη.
1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A = 0 0 1 4 −3 , U = 0 0 1 4 −3
1 3 1 6 −4
0 0 0 0 −0
7. Θεώρημα
Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίδιος με τον χώρο στηλών του U.
Απόδειξη.
1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A = 0 0 1 4 −3 , U = 0 0 1 4 −3
1 3 1 6 −4
0 0 0 0 −0
8. Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U.
1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A = 0 0 1 4 −3 , U = 0 0 1 4 −3
1 3 1 6 −4
0 0 0 0 −0
9. Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U.
1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A = 0 0 1 4 −3 , U = 0 0 1 4 −3
1 3 1 6 −4
0 0 0 0 −0
Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U
10. Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U.
1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A = 0 0 1 4 −3 , U = 0 0 1 4 −3
1 3 1 6 −4
0 0 0 0 −0
Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U
Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμών
του U
11. Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U.
1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A = 0 0 1 4 −3 , U = 0 0 1 4 −3
1 3 1 6 −4
0 0 0 0 −0
Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U
Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμών
του U
Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίσος με τον χώρο στηλών
του U
12. Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U.
1 3 0 2 −1
1 3 0 2 −1
A = 0 0 1 4 −3 , U = 0 0 1 4 −3
1 3 1 6 −4
0 0 0 0 −0
Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U
Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμών
του U
Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίσος με τον χώρο στηλών
του U
Βάση του χώρου στηλών του A είναι οι στήλες του A που
αντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουν οδηγό.
