2. Основные законы алгебры логики
В алгебре логики выполняются следующие основные
законы, позволяющие производить тождественные преобразования
логических выражений.
Закон Для ИЛИ Для И
Переместительный
Сочетательный
Распределительный
Правила де Моргана
Идемпотенции
Поглощения
Склеивания
Операция переменной с
ее инверсией
Операция с константами
Двойного отрицания
3. Как составить таблицу
истинности?
Согласно определению, таблица истинности
логической формулы выражает соответствие
между всевозможными наборами значений
переменных и значениями формулы.
Для формулы, которая содержит две переменные, таких
наборов значений переменных всего четыре: (0,0), (0,1),
(1,0), (1,1).
Удобной формой записи при нахождении значений
формулы является таблица, содержащая кроме значений
переменных и значений формулы также и значения
промежуточных формул.
4. Пример. Составим таблицу истинности для формулы
, которая содержит две переменные x и y.
В первых двух столбцах таблицы запишем четыре
возможных пары значений этих переменных, в
последующих столбцах — значения промежуточных
формул и в последнем столбце — значение формулы. В
результате получим таблицу:
Переменные Промежуточные логические формулы Формула
0 0 1 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1 0 1 1
1 0 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 1 0 0 1
5. Как упростить логическую формулу?
Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и
эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к
формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее
число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний
неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений
переменных.
Некоторые преобразования логических формул похожи на
преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего
множителя за скобки, использование переместительного и
сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования
основаны на свойствах, которыми не обладают операции
обычной алгебры (использование распределительного закона для
конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).
6. А9-2011
Символом F обозначено одно из указанных ниже логических
выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы
истинности выражения F:
X Y Z F
0 1 1 0
1 1 1 1
0 0 1 1
Какое выражение соответствует F?
1) X^¬Y^¬Z;
2) ¬X^ ¬Y^Z;
3) ¬Xv¬Y v Z;
4) X v ¬Y v¬Z.
7. Решение.
Надо просто подставлять наборы переменных в предлагаемые
функции и смотреть, что получается.
1. Пробуем первый набор: X^¬Y^¬ Z=0 ^¬1 ^¬1=0. хорошо.
Пробуем второй набор: X^¬Y^¬Z=1 ^¬1 ^¬1=0. уже плохо.
2. Пробуем первый набор: ¬X^ ¬Y^Z= ¬0^ ¬1^1=0. хорошо.
Пробуем второй набор: ¬X^ ¬Y^Z= ¬1^ ¬1^1=0. уже плохо.
3. Пробуем первый набор: ¬Xv ¬Y v Z= ¬0v ¬1 v 1=1. уже плохо.
4. Пробуем первый набор: X v ¬Y v ¬Z= 0 v ¬1 v ¬1=0. хорошо.
Пробуем второй набор: X v ¬Y v ¬Z= 1 v ¬1 v ¬1=1. хорошо.
Пробуем третий набор: X v ¬Y v ¬Z= 0 v ¬0 v ¬1=1. отлично.
Правильный ответ: №4.
8. А10-2011
Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению
A v ¬(¬BV ¬C):
1) ¬A vB v ¬C;
2) A v(B ^C);
3) A v B vC;
4) A v ¬Bv ¬C?
Решение.
Надо знать законы алгебры логики:
A v ¬(¬Bv¬C)=A v(B ^ C).
Правильный ответ: №2.
9. А15-2011
Какое из приведенных имен удовлетворяет логическому условию:
¬(последняя буква гласная → первая буква согласная) ^ вторая
буква согласная?
1) ИРИНА;
2) АРТЕМ;
3) СТЕПАН;
4) МАРИЯ.
Решение.
Первая и вторая части логического выражения связаны
конъюнкцией, что означает, что обе они для истинности всего
выражения должны быть истинны. Вторая буква согласная у
первого, второго и третьего имен. МАРИЯ отпала. Теперь левая
часть. Импликация ложна в единственном случае, когда из 1
следует 0.То есть последняя буква имени должна быть гласной.
Правильное имя – ИРИНА.
Правильный ответ: №1.
