SlideShare a Scribd company logo
1 of 32
Лекция 2. Математические предложения ©  Гусева И.Н., кафедра СМиРЯ, КГУ, 2010
ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
Высказыванием  называется любое повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.  Например, предложения «Все люди голубоглазы», «Существуют одногорбые верблюды» – являются высказываниями, первое из которых ложно, а второе истинно. Высказываниями не считаются: вопросительные и восклицательные предложения (например, «Как пройти в библиотеку?», «С Днем рожденья!»), а также предложения, содержащие переменные, которые могут принимать различные значения (например, «х + 3 = 5», «Поэт х написал поэму у»).  Высказывания обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита, например А, В, С, D, …
Из заданных высказываний А и В можно составить новые высказывания, используя связки «и», «или», «если ..., то...», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не».  Полученные высказывания называют  составными , а входящие в них высказывания A и B –  элементарными  высказываниями.  Например: А: «Сегодня полнолуние», В: «Я буду петь» - элементарные высказывания; «Если сегодня полнолуние, то я буду петь» - составное. Два составных высказывания A и B называются  равносильными  (или эквивалентными), если они одновременно истинны или одновременно ложны при любых предположениях об истинности входящих в них элементарных высказываний.  Записывают :  A=В .
Отрицание высказывания И – истинное высказывание, Л - ложное высказывание
Конъюнкция высказываний Пусть A и B – два элементарных высказывания.  Конъюнкцией  данных высказываний называется высказывание «A и B» и обозначается A  B.  Например. А :  «4 делится на 2», В :  «4 больше 2», тогда A  B :  «4 делится на 2 и 4 больше 2».  Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны одновременно. В остальных случаях конъюнкция ложна. Свойства конъюнкции: Коммутативность:  A  B= В  А, для любых двух высказываний А и В. Ассоциативность:  (A  B)   С =A   (B  C), для любых А, В и С
Дизъюнкция высказываний Пусть A и B – два элементарных высказывания.  Дизъюнкцией  данных высказываний называется высказывание «A или B» и обозначается A  B.  Например, А: «4 больше 2», В: «4 равно 2», A  B: «4 больше 2 или 4 равно 2».   Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны одновременно. В остальных случаях дизъюнкция истинна . Свойства дизъюнкции: Коммутативность:  A  B= В  А, для любых двух высказываний А и В. Ассоциативность:  (A  B)   С= A    (B  C), для любых А, В и С. Дистрибутивность:   а)(A  B)    С=(A  С)      (B  С); б)(A  B)  C=(A  C)  (B  C), для любых А, В и С.
Импликация высказываний Пусть A и B – два элементарных высказывания.  Импликацией  данных высказываний называется высказывание «Если A, то B» и обозначается А  В.  Например, А: «Сейчас 8 утра», В: «Я иду в институт», А   В: «Если сейчас 8 утра, то я иду в институт».   Условились считать, импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда первое высказывание (посылка) - истинно, а второе (заключение) - ложно. В остальных случаях импликация истинна.
Эквиваленция высказываний Пусть A и B – два элементарных высказывания.  Эквиваленцией  данных высказываний называется высказывание «A тогда и только тогда, когда B» и обозначается А    В.  Например, А: «Я не хожу в школу», В: «Сегодня выходной день», А     В: «Я не хожу в школу тогда и только тогда, когда выходной».  Эквиваленция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. В остальных случаях эквиваленция ложна.
Составные высказывания, истинные при любых предположениях о входящих в них элементарных высказываниях, называют  тавтологиями.   Например, A     B    B  A и A  B    B  A - тавтологии.   Логические операции делятся  по старшинству , что позволяет избегать большого количество скобок при записи составных высказываний.  Наибольший  приоритет  имеет отрицание, затем конъюнкция и дизъюнкция, затем импликация, и самый низкий приоритет имеет эквиваленция. При составлении таблиц истинности составных высказываний применяют  следующее правило :  перебирают все возможные варианты значений истинности элементарных высказываний, входящих в составное. Число таких вариантов (т.е. число строк таблицы) равно 2n, где n – количество элементарных высказываний.  Например, число строк таблицы истинности для формулы A  B    B  A равно 4 (2 ² ).
Пример 2.А. Составьте таблицу истинности для формулы:  A  ( B    C) + = Значения истинности итоговой формулы Исходные значения истинности  Л Л Л Л Л Л И И Л Л Л И Л И Л Л И И И Л Л Л Л Л И И И И Л И И И Л И И И И И И И A  (B    C) B     C C B A Л Л Л И Л Л Л И Л И И Л Л Л И И Л И Л И И И И И C B A Л И И И Л И И И B     C Исходные значения истинности  Значения истинности итоговой формулы Промежуточные значения истинности
Пример 2.Б. Докажите следующее равенство: (A  B)  С =A  (B  C).   Значения истинности формул слева и справа совпадают Значения истинности формул слева и справа совпадают Л Л Л Л Л Л Л Л Л Л Л И Л Л Л Л Л Л Л И Л Л И Л Л И И Л Л Л Л Л Л Л И Л Л Л Л И Л И Л Л Л И Л И И И И И И И И И A   (B  C) В    С (A    B)  C  A    B C B A Значения истинности формул слева и справа совпадают
Пример 2.В. Докажите следующую тавтологию: A  B    B  A Итоговые значения истинности: ИСТИНА   И Л Л Л Л И Л Л И Л И И Л Л И И И И И И A   B    B   A В   А  A    B  B A
ПРЕДИКАТЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
Одноместные предикаты Пусть предложение содержит переменную, которая может принимать различные значения, причем подстановка любого из значений переменной превращает предложение в истинное или ложное высказывание. Тогда это предложение называют  одноместным предикатом .  Для каждого одноместного предиката надо указать множество значений, которые может принимать переменная х. Его называют  областью определения  предиката Х. Множество Х должно быть определено однозначно.
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Предикаты, заданные на конечных множествах, можно задавать таблицами, в первой строке которых указывается элемент множества, а во второй - истинно или ложно высказывание, получаемое из предиката, если заменить переменную этим элементом.  Например, пусть задан предикат А(х): «х -   четное число» на множестве Х={1; 2; 3; 4; 5; 6). Так как высказывание «1 - чётное число» ложно, то числу 1 соответствует значение предиката «Л» (ложь), числу же 2 соответствует истинное высказывание «2 - четное число». Получаем такую таблицу:
Два предиката А (х) и В (х), заданные на одном и том же множестве Х, имеющие одинаковые множества истинности, называют  эквивалентными.   Например, эквивалентны предикаты «Натуральное число х делится на 3» и «Сумма цифр десятичной записи натурального числа х делится на 3». Оба предиката заданы на множестве натуральных чисел и одновременно истинны или ложны.  Если предикаты А (х) и В (х)  эквивалентны,  то пишут А(х) ~В(х).
Кванторы   Пусть на множестве Х простых чисел задан предикат Р(х): «Простое число х — нечетно».  Поставим перед этим предикатом слово «всякое». Получим ложное высказывание: «Всякое простое число х нечетно» (это высказывание ложно, так как 2—простое четное число). Поставив перед данным предикатом Р (х) слово «существует», получим истинное высказывание: «Существует простое число х, являющееся нечетным» (например, х=3). Таким образом, обратить предикат в высказывание можно не только, подставив вместо переменной её значение, но и поставив перед предикатом слова: «все», «существует» и др., называемые в логике  кванторами.
Пусть Р (х) — некоторый предикат, заданный на множестве Х. Поставив перед ним квантор общности, получим высказывание: «Для всех х ϵ Х выполняется предикат Р (х)». Оно истинно в том и только том случае, если для всех элементов а из множества Х высказывания Р(а) истинны.
Приведем пример употребления кванторов.  Пусть на множестве  N  натуральных чисел задан предикат  Р(х):  «Число х кратно 5». Используя кванторы, из данного предиката можно получить, например, следующие высказывания: 1) любое натуральное число кратно 5;  2) каждое натуральное число кратно 5;  З) все натуральные числа кратны 5;  4) существуют натуральные числа, кратные 5; 5) найдется натуральное число, кратное 5;  6) хотя бы одно натуральное число кратно 5.
Операции над предикатами Предикаты, так же как и высказывания, бывают  элементарными и составными .  Составные предикаты  образуются из элементарных при помощи логических связок: «и», «или», «неверно, что», «если..., то...» и др., смысл которых тот же, что и в логике высказываний.  Например,  составными  являются следующие предикаты на множестве  R  действительных чисел: «Число х четно и кратно 3»; «х>2 и х=2»; «х>3 или х<-2». При оперировании с составными предикатами надо находить их множества истинности.  Установим правила, которые позволяют найти множество истинности составного предиката, если известны множества истинности составляющих его элементарных предикатов.
Пусть на множестве Х задан предикат А (х). Его  отрицанием  называют предикат А (х), определенный на том же множестве  Х,  причем предикат А (х) истинен при тех значениях  х  из множества  Х,  при которых предикат А (х) ложен, и наоборот.
Т Т  ' Т
Х Т 2 Т 1 Т 1 ∩Т 2
Т 1 Т 2 Х
Импликация предикатов   Например,  из предикатов «Натуральное число х делится на 3» и «Натуральное число х делится на 4» можно составить предикат:  «Если натуральное число х делится на 3, то оно делится и на 4».  Этот предикат истинен при некоторых натуральных значениях х и ложен при других.  Например, при х=12 этот предикат принимает вид «Если число 12 делится на 3, то оно делится и на 4». Здесь истинны и условие («Число 12 делится на 3») и следствие («Число 12 делится на 4»). А тогда, как мы знаем, истинна и импликация этих высказываний.  Истинное высказывание получается и при замене х на 14: «Если натуральное число 14 делится на 3, то оно делится и на 4». Дело в том, что 14 не делится на 3, а потому в этом случае не выполняется условие и импликация истинна.  Но при х=15 получается ложное высказывание «Если 15 делится на 3, то оно делится и на 4» — ведь в этом случае условие выполнено (15 делится на 3), а следствие не выполняется (15 не делится на 4).
 
Многоместные предикаты   Пусть, вообще, некоторое предложение Р   (х, у) содержит две переменные, причем переменная х принимает значения из множества Х, а переменная у — из множества У (эти множества могут и совпадать). Пусть для любой пары (а;  b )  при замене в предложении Р(х,у) переменной х её значением а, а переменной у значением  b  получается высказывание Р (а, b ).  Тогда говорят, что Р (х,у) —  двухместный предикат , заданный на Х×У.   Совокупность Т пар (а;  b ), при подстановке которых в двухместный предикат Р   (х, у) получается истинное высказывание, называют  множеством истинности этого предиката . Это множество является подмножеством Х×У. Точно так же определяются трёхместные, четырёхместные и т. д. предикаты.
Например, предложение «Математик х родился в году у, а диссертацию защитил в году х» является трёхместным предикатом, а предложение «Сумма чисел х и у равна произведению чисел и и  v » — четырёхместным предикатом.   Как и в случае одноместных предикатов, многоместные предикаты называются  эквивалентными , если области определения и множества истинности этих предикатов совпадают.  Например, предикат «Треугольник х подобен треугольнику у» эквивалентен предикату «Углы треугольника х имеют ту же величину, что и соответствующие углы треугольника у». А предикат «Дом х находится на пересечении улиц у и х» эквивалентен предикату «Дом х находится на улице у в дом х находится на улице х».  Мы будем обозначать эквивалентность предикатов знаком  ~   : А(х,у)  ~  В(х,у) и т.д.
Уравнения х+2у=5 и 2х+4у= 10 являются эквивалентными предикатами.  Например, пара (1; 2) удовлетворяет уравнению х+2у=5 и эта же пара удовлетворяет уравнению 2х+4у=10. Такие уравнения называют эквивалентными.  Эквивалентны и неравенства 2х+4у>10 и х+2у>5.
Лекция окончена, уважаемый СТУДЕНТ, Вы можете переходить к практическому занятию №2.

More Related Content

What's hot

Múltiplos e divisores
Múltiplos e divisoresMúltiplos e divisores
Múltiplos e divisoresAneChagas
 
Mediana, bissetriz e altura de um triângulo
Mediana, bissetriz e altura de um triânguloMediana, bissetriz e altura de um triângulo
Mediana, bissetriz e altura de um triânguloQuedimaSCAraujo
 
Exercicios de cinematica
Exercicios de cinematicaExercicios de cinematica
Exercicios de cinematicargsronisilva
 
Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos
Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenosLista sobre lei dos senos e lei dos cossenos
Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenosboybusseh
 
Semelhança de triângulos
Semelhança de triângulosSemelhança de triângulos
Semelhança de triângulosELIZEU GODOY JR
 
Lista Quadrilateros
Lista QuadrilaterosLista Quadrilateros
Lista Quadrilaterostioheraclito
 
Juros simples.ppt
Juros simples.pptJuros simples.ppt
Juros simples.ppttharcyscruz
 
Conteúdo de matemática 8o ano
Conteúdo de matemática 8o anoConteúdo de matemática 8o ano
Conteúdo de matemática 8o anoMichele Boulanger
 
Matemática e Carnaval
Matemática e CarnavalMatemática e Carnaval
Matemática e CarnavalRodrigo Costa
 
Matemática Comercial e Financeira
 Matemática Comercial e Financeira Matemática Comercial e Financeira
Matemática Comercial e FinanceiraAntonio Carneiro
 
Acertando o alvo 15 - ordem, classe e valor posicional
Acertando o alvo 15 - ordem, classe e valor posicionalAcertando o alvo 15 - ordem, classe e valor posicional
Acertando o alvo 15 - ordem, classe e valor posicionalProf. Materaldo
 

What's hot (13)

Múltiplos e divisores
Múltiplos e divisoresMúltiplos e divisores
Múltiplos e divisores
 
Mediana, bissetriz e altura de um triângulo
Mediana, bissetriz e altura de um triânguloMediana, bissetriz e altura de um triângulo
Mediana, bissetriz e altura de um triângulo
 
Plano de curso 9º ano matemática
Plano de curso 9º ano matemáticaPlano de curso 9º ano matemática
Plano de curso 9º ano matemática
 
Exercicios de cinematica
Exercicios de cinematicaExercicios de cinematica
Exercicios de cinematica
 
Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos
Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenosLista sobre lei dos senos e lei dos cossenos
Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos
 
Semelhança de triângulos
Semelhança de triângulosSemelhança de triângulos
Semelhança de triângulos
 
Lista Quadrilateros
Lista QuadrilaterosLista Quadrilateros
Lista Quadrilateros
 
Juros simples.ppt
Juros simples.pptJuros simples.ppt
Juros simples.ppt
 
Conteúdo de matemática 8o ano
Conteúdo de matemática 8o anoConteúdo de matemática 8o ano
Conteúdo de matemática 8o ano
 
Matemática e Carnaval
Matemática e CarnavalMatemática e Carnaval
Matemática e Carnaval
 
Apostila Matemática Básica Parte 1
Apostila Matemática Básica Parte 1Apostila Matemática Básica Parte 1
Apostila Matemática Básica Parte 1
 
Matemática Comercial e Financeira
 Matemática Comercial e Financeira Matemática Comercial e Financeira
Matemática Comercial e Financeira
 
Acertando o alvo 15 - ordem, classe e valor posicional
Acertando o alvo 15 - ordem, classe e valor posicionalAcertando o alvo 15 - ordem, classe e valor posicional
Acertando o alvo 15 - ordem, classe e valor posicional
 

Similar to Лекция 2.высказывания и операции над ними

4 алгебра логики
4 алгебра логики4 алгебра логики
4 алгебра логикиzarechneva
 
логика
логикалогика
логикаfinatalya
 
логика
логикалогика
логикаfinatalya
 
Презентация
ПрезентацияПрезентация
Презентацияjulcompaneecz
 
Горбатов В.В. Истина, контрфактический аргумент и дефляционная теория значения
Горбатов В.В. Истина, контрфактический аргумент и дефляционная теория значенияГорбатов В.В. Истина, контрфактический аргумент и дефляционная теория значения
Горбатов В.В. Истина, контрфактический аргумент и дефляционная теория значенияVictor Gorbatov
 
2. Таблицы истинности. Эквивалентные высказывания
2. Таблицы истинности. Эквивалентные высказывания2. Таблицы истинности. Эквивалентные высказывания
2. Таблицы истинности. Эквивалентные высказыванияaleksashka3
 
15
1515
15JIuc
 
основы логики
основы логикиосновы логики
основы логикиhudooognik
 
Кванторные операции над предикатами. Формула логики предикатов. Тавтологии ло...
Кванторные операции над предикатами. Формула логики предикатов. Тавтологии ло...Кванторные операции над предикатами. Формула логики предикатов. Тавтологии ло...
Кванторные операции над предикатами. Формула логики предикатов. Тавтологии ло...Ильдус Ситдиков
 
013
013013
013JIuc
 
Priemy dokazatelstva neravenstv_soderzhashhih_pere
Priemy dokazatelstva neravenstv_soderzhashhih_perePriemy dokazatelstva neravenstv_soderzhashhih_pere
Priemy dokazatelstva neravenstv_soderzhashhih_pereDimon4
 
Логика 03. Классическая логика высказываний
Логика 03. Классическая логика высказыванийЛогика 03. Классическая логика высказываний
Логика 03. Классическая логика высказыванийVictor Gorbatov
 
основы логики
основы логикиосновы логики
основы логикиRushitech
 
Matematicheskaya logika
Matematicheskaya logikaMatematicheskaya logika
Matematicheskaya logikaIvanchik5
 
Presentation informatics
Presentation informaticsPresentation informatics
Presentation informaticsDasha
 
Presentation informatics
Presentation informaticsPresentation informatics
Presentation informaticsguestaed608
 
Алгебра логики
Алгебра логикиАлгебра логики
Алгебра логикиaleksashka3
 
21
2121
21JIuc
 
017
017017
017JIuc
 

Similar to Лекция 2.высказывания и операции над ними (20)

4 алгебра логики
4 алгебра логики4 алгебра логики
4 алгебра логики
 
логика
логикалогика
логика
 
логика
логикалогика
логика
 
Презентация
ПрезентацияПрезентация
Презентация
 
Prec
PrecPrec
Prec
 
Горбатов В.В. Истина, контрфактический аргумент и дефляционная теория значения
Горбатов В.В. Истина, контрфактический аргумент и дефляционная теория значенияГорбатов В.В. Истина, контрфактический аргумент и дефляционная теория значения
Горбатов В.В. Истина, контрфактический аргумент и дефляционная теория значения
 
2. Таблицы истинности. Эквивалентные высказывания
2. Таблицы истинности. Эквивалентные высказывания2. Таблицы истинности. Эквивалентные высказывания
2. Таблицы истинности. Эквивалентные высказывания
 
15
1515
15
 
основы логики
основы логикиосновы логики
основы логики
 
Кванторные операции над предикатами. Формула логики предикатов. Тавтологии ло...
Кванторные операции над предикатами. Формула логики предикатов. Тавтологии ло...Кванторные операции над предикатами. Формула логики предикатов. Тавтологии ло...
Кванторные операции над предикатами. Формула логики предикатов. Тавтологии ло...
 
013
013013
013
 
Priemy dokazatelstva neravenstv_soderzhashhih_pere
Priemy dokazatelstva neravenstv_soderzhashhih_perePriemy dokazatelstva neravenstv_soderzhashhih_pere
Priemy dokazatelstva neravenstv_soderzhashhih_pere
 
Логика 03. Классическая логика высказываний
Логика 03. Классическая логика высказыванийЛогика 03. Классическая логика высказываний
Логика 03. Классическая логика высказываний
 
основы логики
основы логикиосновы логики
основы логики
 
Matematicheskaya logika
Matematicheskaya logikaMatematicheskaya logika
Matematicheskaya logika
 
Presentation informatics
Presentation informaticsPresentation informatics
Presentation informatics
 
Presentation informatics
Presentation informaticsPresentation informatics
Presentation informatics
 
Алгебра логики
Алгебра логикиАлгебра логики
Алгебра логики
 
21
2121
21
 
017
017017
017
 

Лекция 2.высказывания и операции над ними

  • 1. Лекция 2. Математические предложения © Гусева И.Н., кафедра СМиРЯ, КГУ, 2010
  • 3. Высказыванием называется любое повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Например, предложения «Все люди голубоглазы», «Существуют одногорбые верблюды» – являются высказываниями, первое из которых ложно, а второе истинно. Высказываниями не считаются: вопросительные и восклицательные предложения (например, «Как пройти в библиотеку?», «С Днем рожденья!»), а также предложения, содержащие переменные, которые могут принимать различные значения (например, «х + 3 = 5», «Поэт х написал поэму у»). Высказывания обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита, например А, В, С, D, …
  • 4. Из заданных высказываний А и В можно составить новые высказывания, используя связки «и», «или», «если ..., то...», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не». Полученные высказывания называют составными , а входящие в них высказывания A и B – элементарными высказываниями. Например: А: «Сегодня полнолуние», В: «Я буду петь» - элементарные высказывания; «Если сегодня полнолуние, то я буду петь» - составное. Два составных высказывания A и B называются равносильными (или эквивалентными), если они одновременно истинны или одновременно ложны при любых предположениях об истинности входящих в них элементарных высказываний. Записывают : A=В .
  • 5. Отрицание высказывания И – истинное высказывание, Л - ложное высказывание
  • 6. Конъюнкция высказываний Пусть A и B – два элементарных высказывания. Конъюнкцией данных высказываний называется высказывание «A и B» и обозначается A  B. Например. А : «4 делится на 2», В : «4 больше 2», тогда A  B : «4 делится на 2 и 4 больше 2». Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны одновременно. В остальных случаях конъюнкция ложна. Свойства конъюнкции: Коммутативность: A  B= В  А, для любых двух высказываний А и В. Ассоциативность: (A  B)  С =A  (B  C), для любых А, В и С
  • 7. Дизъюнкция высказываний Пусть A и B – два элементарных высказывания. Дизъюнкцией данных высказываний называется высказывание «A или B» и обозначается A  B. Например, А: «4 больше 2», В: «4 равно 2», A  B: «4 больше 2 или 4 равно 2». Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны одновременно. В остальных случаях дизъюнкция истинна . Свойства дизъюнкции: Коммутативность: A  B= В  А, для любых двух высказываний А и В. Ассоциативность: (A  B)  С= A  (B  C), для любых А, В и С. Дистрибутивность: а)(A  B)  С=(A  С)  (B  С); б)(A  B)  C=(A  C)  (B  C), для любых А, В и С.
  • 8. Импликация высказываний Пусть A и B – два элементарных высказывания. Импликацией данных высказываний называется высказывание «Если A, то B» и обозначается А  В. Например, А: «Сейчас 8 утра», В: «Я иду в институт», А  В: «Если сейчас 8 утра, то я иду в институт». Условились считать, импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда первое высказывание (посылка) - истинно, а второе (заключение) - ложно. В остальных случаях импликация истинна.
  • 9. Эквиваленция высказываний Пусть A и B – два элементарных высказывания. Эквиваленцией данных высказываний называется высказывание «A тогда и только тогда, когда B» и обозначается А    В. Например, А: «Я не хожу в школу», В: «Сегодня выходной день», А    В: «Я не хожу в школу тогда и только тогда, когда выходной». Эквиваленция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. В остальных случаях эквиваленция ложна.
  • 10. Составные высказывания, истинные при любых предположениях о входящих в них элементарных высказываниях, называют тавтологиями. Например, A  B    B  A и A  B    B  A - тавтологии. Логические операции делятся по старшинству , что позволяет избегать большого количество скобок при записи составных высказываний. Наибольший приоритет имеет отрицание, затем конъюнкция и дизъюнкция, затем импликация, и самый низкий приоритет имеет эквиваленция. При составлении таблиц истинности составных высказываний применяют следующее правило : перебирают все возможные варианты значений истинности элементарных высказываний, входящих в составное. Число таких вариантов (т.е. число строк таблицы) равно 2n, где n – количество элементарных высказываний. Например, число строк таблицы истинности для формулы A  B    B  A равно 4 (2 ² ).
  • 11. Пример 2.А. Составьте таблицу истинности для формулы: A  ( B  C) + = Значения истинности итоговой формулы Исходные значения истинности Л Л Л Л Л Л И И Л Л Л И Л И Л Л И И И Л Л Л Л Л И И И И Л И И И Л И И И И И И И A  (B  C) B  C C B A Л Л Л И Л Л Л И Л И И Л Л Л И И Л И Л И И И И И C B A Л И И И Л И И И B  C Исходные значения истинности Значения истинности итоговой формулы Промежуточные значения истинности
  • 12. Пример 2.Б. Докажите следующее равенство: (A  B)  С =A  (B  C). Значения истинности формул слева и справа совпадают Значения истинности формул слева и справа совпадают Л Л Л Л Л Л Л Л Л Л Л И Л Л Л Л Л Л Л И Л Л И Л Л И И Л Л Л Л Л Л Л И Л Л Л Л И Л И Л Л Л И Л И И И И И И И И И A  (B  C) В  С (A  B)  C A  B C B A Значения истинности формул слева и справа совпадают
  • 13. Пример 2.В. Докажите следующую тавтологию: A  B  B  A Итоговые значения истинности: ИСТИНА И Л Л Л Л И Л Л И Л И И Л Л И И И И И И A  B  B  A В  А A  B B A
  • 15. Одноместные предикаты Пусть предложение содержит переменную, которая может принимать различные значения, причем подстановка любого из значений переменной превращает предложение в истинное или ложное высказывание. Тогда это предложение называют одноместным предикатом . Для каждого одноместного предиката надо указать множество значений, которые может принимать переменная х. Его называют областью определения предиката Х. Множество Х должно быть определено однозначно.
  • 16.
  • 17. Предикаты, заданные на конечных множествах, можно задавать таблицами, в первой строке которых указывается элемент множества, а во второй - истинно или ложно высказывание, получаемое из предиката, если заменить переменную этим элементом. Например, пусть задан предикат А(х): «х - четное число» на множестве Х={1; 2; 3; 4; 5; 6). Так как высказывание «1 - чётное число» ложно, то числу 1 соответствует значение предиката «Л» (ложь), числу же 2 соответствует истинное высказывание «2 - четное число». Получаем такую таблицу:
  • 18. Два предиката А (х) и В (х), заданные на одном и том же множестве Х, имеющие одинаковые множества истинности, называют эквивалентными. Например, эквивалентны предикаты «Натуральное число х делится на 3» и «Сумма цифр десятичной записи натурального числа х делится на 3». Оба предиката заданы на множестве натуральных чисел и одновременно истинны или ложны. Если предикаты А (х) и В (х) эквивалентны, то пишут А(х) ~В(х).
  • 19. Кванторы Пусть на множестве Х простых чисел задан предикат Р(х): «Простое число х — нечетно». Поставим перед этим предикатом слово «всякое». Получим ложное высказывание: «Всякое простое число х нечетно» (это высказывание ложно, так как 2—простое четное число). Поставив перед данным предикатом Р (х) слово «существует», получим истинное высказывание: «Существует простое число х, являющееся нечетным» (например, х=3). Таким образом, обратить предикат в высказывание можно не только, подставив вместо переменной её значение, но и поставив перед предикатом слова: «все», «существует» и др., называемые в логике кванторами.
  • 20. Пусть Р (х) — некоторый предикат, заданный на множестве Х. Поставив перед ним квантор общности, получим высказывание: «Для всех х ϵ Х выполняется предикат Р (х)». Оно истинно в том и только том случае, если для всех элементов а из множества Х высказывания Р(а) истинны.
  • 21. Приведем пример употребления кванторов. Пусть на множестве N натуральных чисел задан предикат Р(х): «Число х кратно 5». Используя кванторы, из данного предиката можно получить, например, следующие высказывания: 1) любое натуральное число кратно 5; 2) каждое натуральное число кратно 5; З) все натуральные числа кратны 5; 4) существуют натуральные числа, кратные 5; 5) найдется натуральное число, кратное 5; 6) хотя бы одно натуральное число кратно 5.
  • 22. Операции над предикатами Предикаты, так же как и высказывания, бывают элементарными и составными . Составные предикаты образуются из элементарных при помощи логических связок: «и», «или», «неверно, что», «если..., то...» и др., смысл которых тот же, что и в логике высказываний. Например, составными являются следующие предикаты на множестве R действительных чисел: «Число х четно и кратно 3»; «х>2 и х=2»; «х>3 или х<-2». При оперировании с составными предикатами надо находить их множества истинности. Установим правила, которые позволяют найти множество истинности составного предиката, если известны множества истинности составляющих его элементарных предикатов.
  • 23. Пусть на множестве Х задан предикат А (х). Его отрицанием называют предикат А (х), определенный на том же множестве Х, причем предикат А (х) истинен при тех значениях х из множества Х, при которых предикат А (х) ложен, и наоборот.
  • 24. Т Т ' Т
  • 25. Х Т 2 Т 1 Т 1 ∩Т 2
  • 26. Т 1 Т 2 Х
  • 27. Импликация предикатов Например, из предикатов «Натуральное число х делится на 3» и «Натуральное число х делится на 4» можно составить предикат: «Если натуральное число х делится на 3, то оно делится и на 4». Этот предикат истинен при некоторых натуральных значениях х и ложен при других. Например, при х=12 этот предикат принимает вид «Если число 12 делится на 3, то оно делится и на 4». Здесь истинны и условие («Число 12 делится на 3») и следствие («Число 12 делится на 4»). А тогда, как мы знаем, истинна и импликация этих высказываний. Истинное высказывание получается и при замене х на 14: «Если натуральное число 14 делится на 3, то оно делится и на 4». Дело в том, что 14 не делится на 3, а потому в этом случае не выполняется условие и импликация истинна. Но при х=15 получается ложное высказывание «Если 15 делится на 3, то оно делится и на 4» — ведь в этом случае условие выполнено (15 делится на 3), а следствие не выполняется (15 не делится на 4).
  • 28.  
  • 29. Многоместные предикаты Пусть, вообще, некоторое предложение Р (х, у) содержит две переменные, причем переменная х принимает значения из множества Х, а переменная у — из множества У (эти множества могут и совпадать). Пусть для любой пары (а; b ) при замене в предложении Р(х,у) переменной х её значением а, а переменной у значением b получается высказывание Р (а, b ). Тогда говорят, что Р (х,у) — двухместный предикат , заданный на Х×У. Совокупность Т пар (а; b ), при подстановке которых в двухместный предикат Р (х, у) получается истинное высказывание, называют множеством истинности этого предиката . Это множество является подмножеством Х×У. Точно так же определяются трёхместные, четырёхместные и т. д. предикаты.
  • 30. Например, предложение «Математик х родился в году у, а диссертацию защитил в году х» является трёхместным предикатом, а предложение «Сумма чисел х и у равна произведению чисел и и v » — четырёхместным предикатом. Как и в случае одноместных предикатов, многоместные предикаты называются эквивалентными , если области определения и множества истинности этих предикатов совпадают. Например, предикат «Треугольник х подобен треугольнику у» эквивалентен предикату «Углы треугольника х имеют ту же величину, что и соответствующие углы треугольника у». А предикат «Дом х находится на пересечении улиц у и х» эквивалентен предикату «Дом х находится на улице у в дом х находится на улице х». Мы будем обозначать эквивалентность предикатов знаком ~ : А(х,у) ~ В(х,у) и т.д.
  • 31. Уравнения х+2у=5 и 2х+4у= 10 являются эквивалентными предикатами. Например, пара (1; 2) удовлетворяет уравнению х+2у=5 и эта же пара удовлетворяет уравнению 2х+4у=10. Такие уравнения называют эквивалентными. Эквивалентны и неравенства 2х+4у>10 и х+2у>5.
  • 32. Лекция окончена, уважаемый СТУДЕНТ, Вы можете переходить к практическому занятию №2.