1. ข้ อสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์
1.ข้อใดไม่สมมูลกับ ประพจน์ p → (q ∨ r ) ค่าของ ( f − g )( 0) คือ
1. (~ q ∧ ~ r ) → ~ p 2. ( p ∧ ~ q ) → r 1. -58 2. -57 3. -43 4. 0
3. ( p∧ ~ r ) → q 4. ~ p → (~ q ∧ ~ r ) 10.กําหนด r1 = {(x, y) | 3 | x | −2 | y |= 1 } ,
2.กําหนดเอกภพพัทธ์คือ {−2,−1,0,1,2 } ประพจน์ใดเป็ นเท็จ r2 = {( x, y) | ⋅ x − 1 + y + 1 = 2 }
1. ∃x[x + x = x 2 ] 2. ∃x[ n( x − 1) = 2 n(x − 1)]
2 แล้ว R r 2
− R r −1 คือ
1
3. ∀x[ ex + e−x
> 1] 4. ∀x[ x 2 + | x | ≥ x ] 1. 1 1 2. (−1,3)
2 ( −1,− ) ∪ ( ,3)
3 3
3.ข้อใดต่อไปนี้เป็ นเซตอนันต์ 3. (− 1 ,3) 4. (− 1 , 1 )
1. { x ∈ I + | 3x < 35 } 3 3 3
11.ถ้า A, B, C ถ้า sin A sin B sin C แล้ว A มีค่าเท่าใด
2. { x ∈ I | x 2 − 4x − 5 < 0 } 7
=
5
=
3
3. { x ∈ R | x เป็ นจํานวนคู่ที่หารด้วย 3 ลงตัวและ x <100 } 1. A = 30° 2. A = 45°
4. { x ∈ R | x เป็ นจํานวนคี่ที่สอดคล้องอสมการ 3. A = 105° 4. A = 120°
x + 5 x −14 < 0 }
2 12.กําหนดให้
⎧ 1 − 3 cos 2 θ ⎫
4.ให้เซต A = { ∅, {∅}} ข้อใดต่อไปนี้ผด ิ A = ⎨θ ∈ [0, π ] | cot θ (1 − cos θ ) =
sin θ
⎬
⎩ ⎭
1. {{{∅}}} ⊂ P( P( P( P( A ))) ผลบวกของสมาชิกของ A คือข้อใดต่อไปนี้
2. n( P( A) ∩ A) = 2
1. π 2. 2π 3. π 4. 4π
3. ∅ ∈ P( P( A)) 3 3 3
13.ถ้า arctan x + arctan 4
4. {A , P( A )} ∩ {{∅}} ≠ ∅ (1 − x ) = arctan
3
5.จาก | x 2 − x − 1 < 5 เซตคําตอบของอสมการ เป็ นสับเซต ่
แล้ว ค่าของ x จะอยูในช่วงใด
ของช่วงในข้อใด 1. (0, 1) 2. ( 1 ,1) 3. ( 0, 1 ) 4. 1 2
( , )
1. [− 2,3) 2. (0,1) 3 4 4 2 3
3. [−2,0) 4. (−2,1] ่
14.ถ้า L เป็ นสมการเส้นตรงที่ผานจุดตัดของเส้นตรง
6.กําหนดให้ R แทนเซตของจํานวนจริ ง และ 3x + 4 y − 7 = 0 และ 5x + 12 y − 15 = 0 และตั้งฉากกับเส้นตรง
3x + y − 5 = 0 แล้วสมการเส้นตรง L เท่ากับข้อใด
A = { x ∈ R | 2 | x + 2 | < | x + 3 |} ,
1. 24 y − 8x − 3 = 0 2. 8y + 24x − 41 = 0
B = { x ∈ R | x + 3 − x ≤ 1}
ข้อใดต่อไปนี้ถูก 3. 24y + 8x − 27 = 0 4. 8y − 24 x + 31 = 0
1. A ⊂ B 2. B ⊂ A ่
15.จุด A อยูบนแกน Y และห่างจากจุด (2,2) และ (1,-1) เป็ นระยะทาง
3. A ′ ⊂ B 4. B ′ ⊂ A เท่ากัน ถ้า B เป็ นจุด (4,5) แล้ว สมการของวงกลมที่มี (A,B) เป็ น
7.กําหนด a คือจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่สอดคล้องกับอสมการ เส้นผ่านศูนย์กลางคือข้อใด
1. x 2 + y 2 − 4 x − 8y + 15 = 0
| 3x − 1 | < 2 x + 3 และ b คือจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่สอดคล้อง
้
x 1 ค่าของ ab คือ 2. x 2 + y 2 − 4x − 8y + 12 = 0
กับอสมการ <
x+3 x −1 3. x 2 + y 2 − 4x − 6y + 9 = 0
1. -6 2. -4 3. 2 4. 10 4. x 2 + y 2 − 4x − 6y + 5 = 0
8.ให้ f ( x ) = x − 1 และ g(x ) = x + 1 ข้อใดผิด
2 3
16.วงรี รูปหนึ่งมีความยาวของแกนเอกเท่ากับความยาวของ
1. f + g เป็ นฟังก์ชนเพิ่มบนช่วง [ 0, ∞ )
ั เลตัสเรกตัมของพาราโบลา x 2 − 4x − 8y + 28 = 0
2. f − g เป็ นฟั งก์ชนเพิมลดช่วง (−∞,0]
ั ่ ถ้าวงรี น้ ีมีความเยื้องศูนย์กลางเท่ากับ 1 แล้ว ความยาว
3. f g เป็ นฟั งก์ชนเพิมลดช่วง [ 0, ∞ )
ั ่ 2
4. g f เป็ นฟังก์ชนเพิมบนช่วง [0, ∞ )
ั ่ ของแกนโทของวงรี น้ ี คือข้อใดต่อไปนี้
9.กําหนด f : R → R , g : R → R 1. 2 หน่วย 2. 2 3 หน่วย
f −1 (2x − 7) = x − 2
3. 4 หน่วย 4. 4 3 หน่วย
g(x + 5) = x 2 + 8x + 34
(80)

2. 17.สมการของเส้นโค้งที่มีผลต่างของระยะจากจุด ( x, y) ใด ๆ 25.กําหนดให้ u = 4a + 2 b − c
บนเส้นโค้งไปยังจุด (−5,1) และ (5,1) กับ 6 คือ สมการใน และ a = ⎡− 2⎤, b = ⎡3⎤, c = ⎡− 1⎤ เวกเตอร์ที่ต้งฉาก
ั
⎢1⎥ ⎢ 2⎥ ⎢0⎥
ข้อใดต่อไปนี้ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
กับเวกเตอร์ u คือ
1. y − (x − 1) = 1 2. ( y − 1) − x = 1
2 2 2 2
9 16 9 16 1. − i + 8 j 2. − 3i + 8 j
3. x 2
( y − 1) 2
4. (x − 1) 2
y2 3. 16i + 2 j 4. 24i + 9 j
− =1 − =1
9 16 9 16
ั
26.พิกดของจุดในข้อใดต่อไปนี้เป็ นจุดมุมของทรงสี่ เหลี่ยมมุมฉาก
18.กําหนดให้ R แทนเซตของจํานวนจริ ง และ
ที่มีจุดมุมคือ (1,2,3), (1,2,4), (2,2,3), (1,2,3)
{
A = x ∈ R | 59 ( 2
x
)−2
= 625 2
2x
} 1. (3,1,2) 2. (3,2,4)
ผลบวกของสมาชิกของ A คือข้อใดต่อไปนี้
3. (2,3,4) 4. (2,4,3)
1. -1 2. − 2 3. 0 4. 1 27.ถ้า จํานวนเชิงซ้อน Z 1 เป็ นคําตอบหนึ่งของสมการ
5 5
19.ค่าของ log 2 24 log 2 192 ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
− Z 3 + Z 2 + 3 Z − 5 = 0 และ Z1 − ( 2 + 2i) = 3
log 96 2 log12 2
แล้ว Z1 + Z1 เท่ากับข้อใด
1. -4 2. -3 3. 3 4. 4
1. 4 2. -4 3. 2 4. -2
20.ถ้า a − b = 161 − 18 80 ค่าของ logb a คือ
4
10
1. 1 − log 2 2. 1 − log 2 28.ถ้า Z = ⎛ 1 + 3i ⎞ แล้ว ตัวผกผันของการบวกของ Z คือ
⎜ ⎟
⎜ ⎟
log 2 2 log 2 ⎝ 1 − 3i ⎠
3. 1 − log 2 4. 1 − log 2 ข้อใดต่อไปนี้
4 log 2 6 log 2
1. 1 3 2. 1 3
⎡ 1 2 3⎤ − + i − − i
21.กําหนด 2 2 2 2
A = ⎢x − 1 y⎥
⎢ ⎥ 1 3
⎢ 2 0 2⎥
⎣ ⎦
3. + i 4. 1 − 3 i
2 2 2 2
เป็ นเมตริ กซ์เอกฐาน (Singular -Matrix) และให้ M ij ( A ), C ij ( A ) 29.กําหนดฟั งก์ชนจุดประสงค์ และเงื่อนไขบังคับต่อไปนี้
ั
แทนไมเนอร์ และโคแฟคเตอร์ ของสมาชิกในตําแหน่ง แถวที่ j ฟั งก์ชนจุดประสงค์
ั P = 5x + 10 y
กับหลักที่ j ของเมตริ กซ์ A ตามลําดับ ถ้า C32 (A) − M12 (A) = 5 เงื่อนไขบังคับ x + 2 y ≥ 10
แล้ว ผลบวกของกําลังสองของ x และ y มีค่าเท่ากับข้อใด 7 x + 4 y ≥ 42
1. 3 2. 13 3. 25 4. 33 0≤x≤8
22.กําหนด a ε R , b ε R 0≤y≤7
⎡a 0 ⎤ ถ้า a และ b เป็ นค่าที่มากที่สุด และค่าที่นอยที่สุด ของ p
้
A=⎢ ⎥
⎣0 − b ⎦ ตามลําดับ แล้ว a − b มีค่าเท่ากับข้อใด
โดย A 2 + 2 A + 1 = 0 ค่าของ a + b คือ 1. 50 2. 65 3. 150 4. 165
1. -2 2. -1 3. 0 4. 1 30.ค่าของ lim n 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) คือ
23.โดยกระบวนการดําเนินการตามแถว พบว่า n →∞ 2n 2 + n + 1
⎡ x 2 − 3 1 0 0⎤ ⎡1 0 0 − 5 4 − 3⎤ 1. 1 2. 1 3. 1
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 4 3 2
⎢2 y 0 0 1 0⎥ ~ ⎢0 1 0 10 − 7 6 ⎥
⎢ 4 − 2 z 0 0 1⎥ ⎢0 0 1 8 − 6 5 ⎥ 4. ไม่สามารถหา lim ได้ เป็ นอนุกรมไดเวอร์เจนต์
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
31.ถ้า ∑ a n = lim 2 + 4 + 6n+38 + … + 2 แล้ว
∞ n
ค่าของ x + y + z คือข้อใดต่อไปนี้ +
n →∞ 2 −8
1. -9 2. -7 3. 5 4. 8 n =1
25a, 25a ,25a , … มีพจน์ที่ 5 เป็ นเท่าใด
2 3
24.กําหนดให้ | u | = 5, | u + ν | = 8 และ
1. 1 2. 12 3. 13 4. 14
u ⋅ ( u + 2ν ) + ν ⋅ (ν − u ) มีค่าเท่ากับ 49 5 5 5 5
จงหาค่าของ | u − ν | 32. lim 1 + 2 + 3 + … + n − n มีค่าเท่ากับข้อใด
2 2 2
1. 2 2. 2 3. 4 4. 14 n→∞ n2 − 1 3
1. -1 2. 1
2
3. 1 4. หาค่าลิมิตไม่ได้
(81)

3. 33.จากรู ป ถ้าพื้นที่ของบริ เวณที่แรเงา เท่ากับ 6 ตารางหน่วย 39.สมศรี มีผาเช็ดหน้าที่แตกต่างกัน 8 ผืน ต้องการแจกผ้าเช็ดหน้า
้
2
แล้ว f ( x )dx เท่ากับข้อใด ั
ให้กบเพื่อนของเขา 2 คน โดยที่คนหนึ่งได้รับ 2 ผืน อีกคนหนึ่ง
∫ −1 ได้รับ 3 ผืน จะมีวธีการแบ่งทั้งหมดกี่วธี
ิ ิ
1. 560 วิธี 2. 1120 วิธี
3. 3360 วิธี 4. 6720 วิธี
40.จากการสํารวจความคิดเห็นของนักศึกษาในมหาวิทยาลัยขอนแก่น
ซึ่ งเป็ นนักศึกษาชาย 40% เกี่ยวกับความคิดเห็นเรื่ องการขึ้นราคา
นํ้ามันเชื้อเพลิง พบว่า นักศึกษาชายเห็นด้วยกับการขึ้นราคานํ้ามัน
70% ส่ วนนักศึกษาหญิงเห็นด้วยกับการขึ้นราคานํ้ามันเพียง 15%
ความน่าจะเป็ นที่จะสุ่ มเลือกนักศึกษามาหนึ่งคนที่จะเป็ นนักศึกษา
ชาย หรื อนักศึกษาที่เห็นด้วยกับการขึ้นราคานํ้ามันจะเท่ากับข้อใด
ต่อไปนี้
1. 0.28 2. 0.49 3. 0.77 4. 0.94
41.สัมประสิ ทธิ์ของ x จากการกระจาย ( x 5 + a )10 คือข้อใด
2
1. 10 2. 6 3. 22 4. 19 2x
3 3 45 2
1. a 2. 105 4
a
34.สมการของเส้นตรงซึ่ งตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง 22 23
y = x − 2 x + 5x ที่จุด (1,4) คือสมการในข้อใดต่อไปนี้ 45 8
3. 105 6 4.
3 2
a a
1. x + 4 y − 17 = 0 2. x − 4 y + 17 = 0 25 28
3. 4 y + x − 17 = 0 4. 4 y + x + 17 = 0 42.จากตารางแจกแจงความถี่ของความยาวของทารกแรกเกิด 45 คน
35.ถ้ากําหนดความชันของเส้นโค้งที่จุด ( x , y ) ใดๆ เป็ น ั ่
ที่มีมธยฐานอยูในช่วง 41-48 เซนติเมตร ถ้าทารกแรกเกิดที่มี
่
3x 2 − 4 x − 5 แล้วสมการของเส้นโค้งที่ผานจุด (1,-6) คือ
ความยาวน้อยกว่า 40.5 เซนติเมตร มีอยู่ 16 คน และทารกแรก
สมการในข้อใดต่อไปนี้ เกิดที่มีความยาวน้อยกว่า 48.5 เซนติเมตร มีอยู่ 24 คนแล้ว มัธยฐาน
1. y = x 3 − 2x 2 − 5x 2. y = 3x 3 − 4x 2 − 5x มีค่าเท่ากับข้อใด
3. y = x 3 − x 2 − 5x − 1 4. y = 3x − 2x − 5x − 2
3 2
1. 44 2. 45 3. 46 4. 47
36.ข้อใดต่อไปนี้ผด
ิ 43.ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตของยอดขายต่อสัปดาห์ของขนมไทยชนิดหนึ่ง
เท่ากับ 1,100 บาท จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
1. ⎛ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + … + ⎛ n ⎞ = 2 n − 1
⎜
n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜n⎟ ก. ถ้ามัธยฐาน และฐานนิยม เท่ากับ 1,000 และ 950 บาท
⎝1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝3⎠ ⎝ ⎠
2. c( n, r + 1) = n − r C( n, r ) ตามลําดับแล้ว เส้นโค้งของความถี่เป็ นแบบเบ้ลาด
r +1 ทางขวา
3. 2.4.6 … (2n ) = 2( n! )
ข. ถ้ามัธยฐาน และฐานนิยม เท่ากับ 1,300 และ 1,200
4. n( n 2 − 1) ( n 2 − 4) ( n 2 − 9) = ( n + 3)!
( n − 4)! บาท ตามลําดับแล้ว เส้นโค้งของความถี่เป็ นแบบเบ้
37.รถโรงเรี ยน 2 คัน คันหนึ่งมี 6 ที่นง และอีกคันหนึ่งมี 9 ที่นง
ั่ ั่ ลาดทางซ้าย
จํานวนวิธีที่ครู จะจัดให้เด็กนักเรี ยนจํานวน 13 คน นังรถ
่ ข้อใดต่อไปนี้เป็ นจริง
โรงเรี ยนทั้ง 2 คัน เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด
1. 1,716 วิธี 2. 2,431 วิธี 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
3. 3,003 วิธี 4. 3,718 วิธี 44.ถ้า x1 , x 2 , x 3 , x 4 เป็ นข้อมูลชุดหนึ่ง ที่มีค่าฐานนิยม
38.ต้องการสร้างจํานวนคี่บวกให้มีค่ามากกว่า 150 และน้อยกว่า และมัธยฐานคือ 0 พิสยคือ 12 และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตคือ 1
ั
750 โดยใช้ตวเลข 1,2,7,8 ได้จานวนทั้งหมดเท่ากับข้อใด
ั ํ แล้ว ค่าของ ∑i =1 ( x i − 1) 2 คือข้อใดต่อไปนี้
4
ต่อไปนี้ 1. 76 2. 78 3. 80 4. 82
1. 75 จํานวน 2. 85 จํานวน
3. 105 จํานวน 4. ไม่มีคาตอบถูก
ํ
(82)

4. 45.บริ ษทแห่งหนึ่งขายยางรถยนต์ 4 ชนิด คือ B, F, G และ M
ั 49.ข้อมูลการขายสิ นค้าของบริ ษทแห่งหนึ่งมีหน่วยเป็ นล้านบาท
ั
คํานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต และส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ระหว่างปี พ.ศ.2541-2545 เป็ นดังนี้
อายุการใช้งานของยางรถยนต์(หน่วยเป็ นเดือน) ได้ดงนี้
ั
พ.ศ. 2541 2542 2543 2544 2545
ชนิดของยางรถยนต์ B F G M มูลค่าการขาย (ล้านบาท) 7 10 9 11 13
ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต 38 45 24 48
ส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 9 2 6 ถ้าความสัมพันธ์ขอมูลนี้เป็ นแบบเส้นตรงแล้ว เราจะทํานาย
้
มูลค่าการขาย โดยเฉลี่ยใน 6 เดือนแรกของปี พ.ศ.2546 จะมีค่า
ยางรถยนต์ชนิดใด มีการกระจายของอายุการใช้งานน้อยที่สุด เท่ากับข้อใด
1. B 2. F 3. G 4. M 1. 13.9 2. 5.15 3. 6.90 4. 6.95
46.ในการสอบคัดเลือกเข้าศึกษาในสถาบันอุดมศึกษาแห่งหนึ่ง 50.ตารางนี้ มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสกี่รูป
นายวีระวัฒน์เข้าสอบ 4 วิชา คือ คณิ ตศาสตร์ 1 เคมี ฟิ สิกส์และ
่
ชีววิทยา สมมติวาค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต ส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ของคะแนนแต่ละวิชา และคะแนนของนายวีระวัฒน์ เป็ นดังนี้
คณิ ตฯ1 เคมี ฟิ สิ กส์ ชีววิทยา
ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต 27 25 21 35 1. 25 2. 26 3. 29 4. 30
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 14 16 10 10
คะแนนของนายวีระวัฒน์ 62 57 51 50
นายวีระวัฒน์ทาคะแนนวิชาใดได้ดีที่สุด
ํ
1. คณิ ตศาสตร์ 1 2. เคมี
3. ฟิ สิ กส์ 4. ชีววิทยา
47.กําหนดให้ 4,3,2,5,6,4 เป็ นข้อมูลชุดที่ 1
y1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 , y 6 เป็ นข้อมูลชุดที่ 2
โดยที่ y i = 3x i − 2
จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตของข้อมูลชุดที่ 2 น้อยกว่า ค่าเฉลี่ยเลข
คณิ ตของข้อมูลชุดที่ 1 อยู่ 6
ข. สัมประสิ ทธิ์การแปรผันของชุดที่ 2 น้อยกว่า
สัมประสิ ทธิ์การแปรผันของชุดที่ 1 อยู่ 6
ค. ความแปรปรวนของข้อมูลชุดที่ 2 เป็ น 3 เท่า ของความ
แปรปรวนของข้อมูลชุดที่ 1
ข้อใดสรุ ปถูกต้อง
1. ถูก 1 ข้อ 2. ถูก 2 ข้อ
3. ถูกทุกข้อ 4. ผิดทุกข้อ
48.ในการทดสอบความสามารถของนักเรี ยน 100 คน ได้ค่าเฉลี่ย
เลขคณิ ตของคะแนน สอบเป็ น 50 ส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็ น
15 มีนกเรี ยน 99 คน ที่ได้คะแนนน้อยกว่ามยุรี ถ้าการแจก
ั
แจงของคะแนนสอบเป็ นได้ปกติ มยุรีสอบได้คะแนนเท่าใด
(ตอบเป็ นจํานวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด)
กําหนด z = 2.33 มีพ้ืนที่ใต้โค้งปกติ 0.4900
1. 83 2. 84 3. 85 4. 86
(83)

5. เฉลยข้ อสอบ PAT 1 วัดศักยภาพทางคณิตศาสตร์
1.ตอบข้ อ (4) + - +
แนวคิด p → (q ∨ r ) -7 2
≡ ~ p ∨ (q ∨ r ) ตามกฎของ 6 ของ PB x เป็ นจํานวนเต็มคี่ และ x ∈ ( −7,2)
≡ (~ p ∨ q ) ∨ r จัดกลุ่มใหม่นะครับ ดังนั้น x = −5,−3,−1,1 ∴ จึงเป็ นเซตจํากัดนับได้ครับ
≡ ~ ( p∧ ~ q ) ∨ r ดึงนิเสธออกมา 4.ตอบข้ อ (4)
≡ (p∧ ~ q ) → r สมมูลกับข้อ (2) หรื อ p → (q ∨ r ) แนวคิด ข้อ 1. ถูก เพราะ จาก ∅ ∈ P ( A )
≡ ~ p ∨ (q ∨ r ) ดังนั้น {∅} ⊂ P ( A ) จากกฎการตัดปี กกา ของ PB
≡ (~ p ∨ r ) ∨ q จัดกลุ่มใหม่ และ{{∅}} ⊂ P( P( A )) จากกฎการเติม P ของ PB
≡ ~ (p∧ ~ r ) ∨ q ดึงนิเสธออกมา ข้อ 2.ถูก เพราะ P ( A ) ∩ A = {∅,{∅}}
≡ (p ∧ ~ r ) → q สมมูลกับข้อ (3) หรื อ p → (q ∨ r ) ข้อ 3.ถูก เพราะ เซตว่างย่อมเป็ นสมาชิกของ Power Set เสมอ
≡ ~ (q ∨ r ) →~ p กฎ สลับที่ ข้อ 4.ผิด เพราะ สมาชิกใน 2 เซตไม่ซ้ ากันเลย ดังนั้นผลการ
ํ
≡ (~ q ∧ ~ r ) → ~ p สมมูลกับข้อ (1) intersection = ∅
ดังนั้น p → (q ∨ r ) ไม่สมมูลกับข้อ (4) 5.ตอบข้ อ (1)
2.ตอบข้ อ (3) มี x = 0 ทําให้ e + e > 1 เป็ นเท็จ
x −x
| x2 − x −1| < 5
2
(1) มี x = 2 ทําให้ x + x = x 2 เป็ นจริ ง − 5 < x2 − x −1 < 5
(2) มี x = 2 ทําให้ n(x − 1) 2 = 2 n(x − 1) เป็ นจริ ง − 5 < x 2 − x − 1 และ x 2 − x − 1 < 5
(4) ∵ x 2 = | x | แยกคิด 2 กรณี แล้ วนํามา อินเตอร์ เซทชั่นกันครับ
∴ x 2 + | x | = 2 | x | ≥ x เสมอ
กรณีที่ I. − 5 < x 2 − x − 1
3.ตอบข้ อ (3) x2 − x + 4 > 0
แนวคิด แยก factor ไม่ ได้ ต้องทําเป็ นกําลัง 2 สมบูรณ์ พจารณา
ิ
1 15
ตัวเลือก (1) ผิดเพราะ 35 x2 − x + +
4 4
>0
x ∈ I + , 3 x < 35, ∴ x <
3 2
⎛ 1 ⎞ 15
ดังนั้น x = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ,11 ⎜x − ⎟ + >0
⎝ 2⎠ 4
∴ จึงเป็ นเซตจํากัดนับจํานวนสมาชิกได้ 2
∵ ⎜ x − ⎟ ≥ 0 เสมอ
⎛ 1⎞
ตัวเลือก (2) ผิดเพราะ x ∈ I, x 2 − 4x − 5 < 0 ⎝ 2⎠
แยกปลากรอบ (ไม่ใช่) ตัวประกอบดีกว่า ⎛ x − 1⎞ 15
2
เสมอ
∵ ⎜ ⎟
⎜ 2⎟ + 4 > 0
( x − 5)( x + 1) < 0 จับแต่ละวงเล็บเท่ากับ 0 ใส่ ช่วงเปิ ด ⎝ ⎠
+ - + เซตคําตอบ ในกรณี น้ ี คือ R (น้องของพ่อ ! ล้อเล่น )
-1 5
x ∈ I และ x ∈ ( −1,5) ดังนั้น x = 0,1,2,3,4 กรณี ที่ II. x 2 − x − 1 < 5
∴ จึงเป็ นเซตจํากัดอีกแล้วครับท่าน x2 − x − 6 < 0
ตัวเลือก (3) ถูกเพราะ x ∈ R และ x เป็ นจํานวนเต็ม ( x − 3)( x + 2) < 0
คู่ที่หารด้วย 3 ลงตัว และ x < 100 มีค่าดังนี้ + - +
x = 96,90,84,78, …… ,0,−6,−12,−18,−24, ……
-2 3
∴ จึงเป็ นเซตอนันต์ (เจอเสี ยที) เซตคําตอบคือ (-2, 3)
ตัวเลือก (4) ผิดเพราะ x ∈ R และ x เป็ นจํานวนเต็มคี่ เซตคําตอบ ของอสมการ | x 2 − x − 1 | < 5
ที่สอดคล้องกับ x 2 + 5x − 14 < 0 ได้จากคําตอบในกรณี ที่ I. และ II. มาอินเตอร์เซกซัน
( x − 2)( x + 7 ) < 0 ∴ เซตคําตอบคือ R ∩ ( −2,3) = (−2,3)
(84)

6. 6.ตอบข้ อ (4) B ⊂ A′
แนวคิด A
2 x+2 < x+3 ยกกําลัง 2 ดีกว่าครับพี่นอง
้ −
7 -1 1
3
(2 x + 2 ) 2 < ( x + 3 ) 2 รู ปที่ 2
2 ( x + 2) < ( x + 3)
2 2
ตรงนี้กระจายหรื อใช้ผลต่าง
2
7.ตอบข้ อ (1) | 3x − 1 | < 2x + 3
กําลัง 2 ก็ได้ครับ เข้า FORM 3 ของ PB จะยกกําลัง 2 ก็ได้หรื อแยกช่วงก็ได้ครับ
4( x 2 + 4 x + 4) < x 2 + 6x + 9 พี่บ๋ ุมเลือกกระจายครับ พี่บ๋ ุมยกกําลัง 2
4 x 2 + 16x + 16 < x 2 + 6x + 9 9 x 2 − 6 x + 1 < 4 x 2 + 12 x + 9
3x + 10x + 7 < 0
2
5x 2 − 18x + 8 < 0
(3x + 7)( x + 1) < 0 5x 2 − 18x − 8 < 0
เขียนกราฟคําตอบได้ดงนี้
ั (5x + 2)( x − 4) < 0
+ - + −2
∴ <x<4
5
−
7 -1 a เป็ นจํานวนเต็มที่มากที่สุดในช่วง ( − 2 ,4)
3 5
ดังนั้น
⎧ 7 ⎫ ⎛ 7 ⎞ −2 4
A = ⎨ x ∈ R | − < x < −1 ⎬ = ⎜ − ,−1⎟ B, 5
⎩ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎠
∴ a=3 *
x +3 − x ≤1 จับใน root มากกว่า
x 1
หรื อเท่ากับ 0 จาก <
x + 3 ≤ x +1 x +3 x −1
( ) ≤( ) x 1
2 2
x+3 x +1 ∩ x+3≥0 ∩ x≥0 − < 0
x + 3 x −1
x + 3 ≤ x + 2 x + 1 ∩ x ≥ −3 ∩ x ≥ 0 x2 − x − x − 3
< 0
( x + 3)( x − 1)
2 ≤ 2 x ∩ x ≥ −3 ∩ x ≥ 0 x 2 − 2x − 3
< 0
( x + 3)( x − 1)
1 ≤ x ∩ x ≥ −3 ∩ x ≥ 0
( x − 3)( x + 1)
< 0
x ≤ 1 ∩ x ≥ −3 ∩ x ≥ 0 ( x + 3)( x − 1)
x ≥1 ∩ x ≥−3 ∩ x ≥0 → x ≥1 + - + - +
เขียนกราฟได้ดงนี้
ั
-3 -1 1 3
- +
− 3 < x < −1 หรื อ 1 < x < 3
1
b คือจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่สอดคล้องกับช่วง (−3,−1) U(1,3)
้
ดังนั้นเซต B = { x ∈ R | x ≥ 1 } = [1, ∞)
∴ b = −2
ตรวจตัวเลือก
∴ ab = −6
(1) A ⊂ B ผิด ดังรู ปที่ 1
8.ตอบข้ อ (3)
(2) B ⊂ A ผิด ดังรู ปที่ 1
แนวคิดให้ f ( x ) = x 2 − 1 และ g(x ) = x 3 + 1
A B
เนื่องจากความชันของกราฟ f ( x ) คือ f ′( x )
ตัวเลือก (1) ถูกเพราะจาก
−
7 -1 1
3 ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
รู ปที่ 1 ( f + g )( x ) = ( x 2 − 1) + ( x 3 + 1) = x 3 + x 2
(3) A ′ ⊂ B ผิด เพราะ (f + g )′( x ) = 3x 2 + 2x = 0
(3) − (2) , 4 x − 6 = 0 ดังรู ป x ( 3x + 2 ) = 0, ∴ x = 0,
−2
3
(4) B ⊂ A′ ถูก ดังรู ปที่ 2
พิจารณาความชันของกราฟในแต่ละช่วงโดยการกําหนดค่า x
(85)

7. ในแต่ละช่วง เช่น − 1, − 1 , 1 แล้วแทนค่าใน (f + g )′( x ) ตัวเลือก(4) ถูกเพราะจาก
2
( g f )( x ) = g ( f ( x ))
จะได้เครื่ องหมายของความชันดังนี้
= ( x 2 − 1) 3 + 1
(f + g )′( −1) = 3( −1) 2 + 2( −1) = 1 > 0
1 1 1 −1 (g f ) ′( x ) = 3( x 2 − 1) 3−1 ( 2 x )
( f + g ) ′( − ) = 3( − ) 2 + 2( − ) = <0
2 2 2 4 6x ( x 2 − 1) 2 = 0, ∴ x = 0,−1, 1
(f + g)′(1) = 3(1) + 2(1) = 5 > 0 2
พิจารณาความชันของกราฟในแต่ละช่วงโดยการกําหนดค่า x
⊕ Ө ⊕ ในแต่ละช่วง เช่น − 2, − 1 , 2 แล้วแทนค่าใน
2
-1 −2 −1 0 1 (g f ) ′( x )
3 2
่
จะได้วา (f + g ) เป็ นฟั งก์ชนเพิ่มบนช่วง [0, ∞)
ั จะได้เครื่ องหมายของความชันดังนี้
ตัวเลือก (2) ถูกเพราะจาก (g f )′(−2) = 6(−2) ⋅ (( 2) 2 − 1) 2 = −108 < 0
1 1 1 − 27
( f − g )( x ) = f ( x ) − g ( x ) (g f ) ′( − ) = 6( − ) ⋅ (( − ) 2 − 1) 2 = <0
2 2 2 16
(f − g )( x ) = ( x 2 − 1) − ( x 3 + 1) = − x 3 + x 2 1 1 1
(g f )′( ) = 6( ) ⋅ (( ) 2 − 1) 2 =
27
>0
2 2 2 16
(f − g )′( x ) = −3x + 2 x = 0 2
( g f ) ′( 2 ) = 6 ( 2 ) ⋅ (( 2 ) 2 − 1) 2 = 108 > 0
2
− x (3x + 2) = 0, ∴ x = 0,
3
Ө Ө ⊕ ⊕
พิจารณาความชันของกราฟในแต่ละช่วงโดยการกําหนดค่า x
ในแต่ละช่วง เช่น − 1, 1 , 1 แล้วแทนค่าใน (f + g )′( x ) -2 -1 −1 0 1 1 2
2 2 2
จะได้เครื่ องหมายของความชันดังนี้ ่
จะได้วา (g f ) เป็ นฟั งก์ชนเพิ่มบนช่วง [0, ∞)
ั
(f − g ) ′( − 1) = − 3( − 1) 2 + 2( − 1) = − 5 > 0 9.ตอบข้ อ (2)
1 1 1 1 จาก (f ⋅ g)(0) = f (0) ⋅ g(0) *
(f − g )′( ) = −3( ) 2 + 2( ) = > 0
2 2 2 4
จาก g( x + 5) = x 2 + 8x + 34
(f − g)′(1) = −3(1) 2 + 2(1) = −1 < 0
ต้องการ g(0) แทน x = − 5
Ө ⊕ Ө
g (0) = (−5) 2 + 8(−5) + 34
-1 0 1 2 1 = 25 − 40 + 34
2 3
่
จะได้วา (f + g ) เป็ นฟังก์ชนลดบนช่วง [0, ∞)
ั = 19
ตัวเลือก (3) ผิดเพราะจาก จาก f (2x − 7) = x − 2
−1
(f g )( x ) = f (g ( x )) ให้ x = 2 ทําให้ f −1 (−3) = 0
(f g)(x ) = f ( x 3 + 1) นันคือ
่ f (0) = − 3
= (x 3 + 1) 2 − 1 ∴ ( f ⋅ g )( 0) = f (0) ⋅ g (0)
(f g)′( x ) = 2( x + 1) 3 2 −1 2
(3x ) = − 3 ⋅ 19
6 x 2 ( x 3 + 1) = 0, ∴ x = 0,−1 = − 57
พิจารณาความชันของกราฟในแต่ละช่วงโดยการกําหนดค่า x 10.ตอบข้ อ (4)
ในแต่ละช่วง เช่น − 2, − 1 , − 1 แล้วแทนค่าใน (f g)′( x) จาก R r 1
− 1 = D r1
2
r1 = { ( x , y) | 3 | x | −2 | y | = 1 }
จะได้เครื่ องหมายของความชันดังนี้
3|x | − 2| y| = 1
(f g)′(−2) = 6(−2) 2 ⋅ ((2) 3 + 1) = −168 < 0
1 1 1 21 3 | x | −1 = 2| y|
(f g ) ′( − ) = 6( − ) 2 ⋅ (( − ) 3 + 1) = >0
2 2 2 16 ∵ |y| ≥ 0 เสมอทําให้ ∵ 2| y| ≥ 0
(f g)′(1) = 6(1) ⋅ ((1) + 1) = 12 > 0
2 3
นันคือ
่ 3 | x | −1 ≥ 0
Ө ⊕ ⊕ 3| x | ≥ 1
1
-2 -1 −1 0 1 |x| ≥
2 3
−1 หรื อ 1
่
จะได้วา (f g ) เป็ นฟั งก์ชนเพิมบนช่วง [0, ∞ )
ั ่ x ≤ x ≥
3 3
(86)

8. D r1 แสดงบนเส้นจํานวนได้ดงนี้
ั 12.ตอบข้ อ (4)
แนวคิด 1 − 3 cos 2 θ
cotθ (1 − cosθ ) =
1 sin θ
− 1
3 cos θ 1 − 3 cos 2 θ
3 (1 − cos θ ) =
จาก r2 sin θ sin θ
cot θ (1 − cos θ ) = 1 − 3 cos 2 θ
x −1 + y +1 = 2
2 cos 2 θ + cos θ − 1 = 0
x −1 = 2 − y +1
( 2 cos θ − 1)(cos θ + 1) = 0
∵ x −1 ≥ 0
2 cos θ − 1 = 0 cos θ + 1 = 0
∴ 2 − y +1 ≥ 0 และ y +1 ≥ 0 1
cos θ = cos θ = − 1
y +1 ≤ 2 2
โจทย์กาหนดให้ θ ∈ [0, π ) ดังนั้น
ํ
y +1 ≤ 4
π
y ≤ 3 θ= θ =π
3
∴ R r2 คือ −1 ≤ y ≤ 3 เขียนเป็ นเส้นจํานวน
ดังนั้นเซต A = ⎧ π , π ⎫ ผลบวกของสมาชิกของเซต A
⎨ ⎬
ได้ดงนี้
ั ⎩ 3 ⎭
คือ π + π = 4π
3 3
-1 3
−1 1
13.ตอบข้ อ (2)
R r2 − R r1 − 1 = ( , )
3 3 ให้ arctan x = A ∴ tan A = x
11.ตอบข้ อ (4) arctan(1 − x ) = ∴ tan B = 1 − x
B
แนวคิด arctan x + arctan (1 − x ) = arctan
4
sin A sin B sin C 3
= = = k
7 5 3 A + B = arctan 4
sin A = 7k 3
tan ( A + B) ⎛ 4⎞
sin B = 5k =
tan ⎜ arctan ⎟
⎝ 3⎠
sin C = 3k tan A + tan B 4
=
A + B + C = 180 1 − tan A tan B 3
x + (1 − x ) 4
A = 180 − ( B + C ) =
1 − x (1 − x ) 3
sin A = sin( B + C) 1 4
=
= sin B cos C + cos B sin C 1 − x + x2 3
7k = 5k 1 − 9 x 2 + 3k 1 − 25 k 2 4 − 4x + 4x 2 = 3
7 − 5 1 − 9k 2 = 3 1 − 25k 2 4x 2 − 4x + 1 = 0
49 − 70 1 − 9k 2 + 25 − 225k 2 = 9 − 225k 2 ( 2 x − 1) 2 = 0
70 1 − 9k 2 = 65 x 1
=
2
14 1 − 9k 2 = 13
13 14.ตอบข้ อ (1)
1 − 9k 2 = ( )2
14 แนวคิด หาจุดตัดของเส้ นตรง
3
k2 = 3x + 4 y − 7 = 0.....................................(1)
196
± 3 5x + 12 y − 15 = 0.......... .......... .......... ....( 2 )
k =
14 (1) × 3 , 9 x + 12 y − 21 = 0.......... .......... .......... .....( 3)
± 3 ( 3) − ( 2 ) , 4 x − 6 = 0
sin A = 7k =
2 3 5
∴ x = , y =
(ใช้ได้เฉพาะค่าบวก ∵ เป็ นมุมในสามเหลี่ยม) 2 8
3 ดังนั้นเส้นตรง L ผ่านจุดตัด ( 3 , 5 ) และตั้งฉากกับ
ถ้า sin A = ⇒ A = 60°, 120° 2 8
2
เส้นตรง 3x + y − 5 = 0
(87)

9. ซึ่ งมีความชัน = −3 ( x − 2) 2 = 4( 2)( y − 3)
∴ ความชันของเส้นตรง L = 1 จากสมการมาตรฐานของพาราโบลา (x − h)2 = 4p(y − k)
3
จากความยาวลาตัสเรกตัมของพาราโบลา = 4 p
จากสูตรสมการเส้นตรง y − y1 = m (x − x1 )
จะได้ความยาวลาตัสเรกตัมของพาราโบลา = 4( 2 ) = 8 หน่วย
∴ สมการเส้นตรง L คือ y − 5 = 1 ( x − 3 )
8 3 2 ํ
จากโจทย์กาหนด ความยาวลาตัสเรกตัมของพาราโบลาเท่ากับ
5 1 1
y− = x− ความยาวแกนเอกของวงรี นนคือยาวเท่ากับ 8 หน่วย
ั่
8 3 2
จากความยาวแกนเอกของวงรี = 2a
24 y − 15 = 8x − 12
นันคือ 2a = 8 แล้วจะได้ a = 4
่
24 y − 8x − 3 = 0
15.ตอบข้ อ (4) ํ
จากโจทย์กาหนดให้ความเยื้องศูนย์กลางของวงรี
c 1
แนวคิด (e) = =
a 2
่ ั
เนื่องจากจุด A อยูบนแกน Y สมมติให้จุด A มีพิกด (0, a) นันคือ
่ c 1
= แล้วจะได้ c = 2
a 2
จากสูตรระยะห่างระหว่างจุด 2 จุด
จากสมการความสัมพันธ์ของวงรี c 2 = a 2 − b 2
d = ( x 1 − x 2 ) + ( y1 − y 2 )
2 2
นันคือ 2 2 = 4 2 − b 2 แล้ว b = 12 = 2 3
่
่
เนื่องจากจุด A อยูจากจุด (2,2) และจุด (1,-1) เป็ นระยะ จากความยาวแกนโทของวงรี = 2b
่
ทางเท่ากันจะได้วา นันคือ 2 × 2 3 = 4 3 หน่วย
่
(0 − 2) 2 + (a − 2) 2 = (0 − 1) 2 + (a + 1) 2
17.ตอบข้ อ (3)
ยกกําลังสองทั้งสองข้างจะได้ แนวคิด ให้ A( x, y) เป็ นจุดใด ๆ บนเส้นโค้ง และ
4 + (a + 2) 2 = 1 + (a + 1) 2
ให้ B(5,1) ; B′( −5,1) เป็ นจุดคงที่ที่โจทย์
a 2 − 4 a + 8 = a 2 + 2a + 2
กําหนดให้ และผลต่างของระยะจากจุด
6a = 6 , ∴ a = 1
A( x , y ) ใด ๆ ไปยังจุด B(5,1) ; B′( −5,1)
ดังนั้น จุด A คือ (0,1) จากสูตรสมการวงกลม
เท่ากับ 6
( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 จากสู ตรจุดกึ่งกลาง
∴ | AB − AB′ | = 6
⎛ x + x 2 y1 + y 2 ⎞
( x, y) = ⎜ 1 , ⎟ จะเห็นว่าลักษณะดังกล่าวเป็ นลักษณะของไฮเพอร์โบลา
⎝ 2 2 ⎠
จุดศูนย์กลาง (h, k) = ⎛ 0 + 4 , 1 + 5 ⎞ = (2,3) ฉะนั้นจุด B และ B ′ เป็ นจุดโฟกัส และ
⎜ ⎟
⎝ 2 2 ⎠ 2a = 6 ; a=3
รัศมี | AB | (0,−4) + (1 + 5)
2 2
2c = 10 ; c=5
(r ) = =
2 2
b 2 = c 2 − a 2 = 52 − 32 = 16
32 2 8
= = = 8 b=4
2 2
แทนค่าสูตรสมการวงกลม : ( x − 2) 2
+ ( y − 3) = 8
2 ํ ่
จากโจทย์กาหนดจะเห็นว่าโฟกัสเป็ นจุดที่อยูในแนวขนาน
( x − 4 x + 4) + ( y − 6 y + 9) = 8
2 2 กับแกน X
( x − h) 2 ( y − k) 2
x 2 + y 2 − 4x − 6y + 5 = 0 ∴ − =1
a2 b2
16.ตอบข้ อ (4) ่
จุด ( h , k ) อยูระหว่าง B กับ B′
แนวคิด จากสมการพาราโบลา ∴ ( h, k ) = (
5− 5 1+1
, )
2 2
x − 4 x − 8 y + 28 = 0
2
= (0, 1)
x 2 − 4 x = 8 y − 28
แทนค่า ( x − 0)
−
( y − 1)
2 2
= 1
x 2 − 2( x ) 2 + 2 2 = 8y − 28 + 2 2 9 16
( x − 2) 2 = 8y − 24 x 2 ( y − 1) 2
− = 1
9 16
( x − 2) 2
= 8( y − 3)
(88)

10. 18.ตอบข้ อ (1)
แนวคิดจากสมการ 59( 2 )−2 = 6252
x 2x
x 2x
) −2
59( 2 = (54 ) 2
x 2x
) −2
59( 2 = 54 ( 2 )
นันคือ
่ 9( 2 x ) − 2 = 4 ( 2 2 x )
0 = 4(2 2 x ) − 9(2 x ) + 2
0 = 4( 2 2 x − 1)( 2 x − 2)
4 ⋅ 2x − 1 = 0 2x − 2 = 0
จะได้ 22 ⋅ 2x = 1 2x = 2
2 2+ x
=2 0
x =1
2+x =0
x = −2
ดังนั้น เซต A = {−2, 1} ผลบวกของสมาชิกในเซต A คือ − 2 + 1 = − 1
19.ตอบข้ อ (3)
โจทย์ให้หาค่า
log2 24 log2 192
=
log96 2 log12 2
log 24 log 192
log 2 24 log 2 192 log 2 log 2
− = −
log 96 2 log12 2 log 2 log 2
log 96 log 12
(log 24)(log 96) (log 192)(log 12)
= −
(log 2)(log 2) (log 2)(log 2)
(log 24 )(log 96 ) − (log 192 )(log 12 )
=
log 2 2
(log(2 3 × 3)(log(2 5 × 3) − (log(2 6 × 3)(log(2 2 × 3))
=
log 2 2
(3 log 2 + log 3)(5 log 2 + log 8) − (6 log 2 + log 3)( 2 log 2 + log 8)
=
log 2 2
15 log 2 + 8 log 2 log 3 + log 2 3 − 12 log 2 2 − 8 log 2 log 3 − log 2 3
=
log 2 2
3 log 2 2
=
log2 2
= 3
20.ตอบข้ อ (2) 4
161 − 18 80 = 161 − 18 80
= 161 − 2 ⋅ 81.80
= 81 − 80
= 9 − 2 20
= 5− 4
∴ a− b = 5− 4
∴ a =5= b=4
logb a = log4 5
1 − log 2
=
2 log 2
(89)

11. 21.ตอบข้ อ (2) 22.ตอบข้ อ (3)
แนวคิด เนื่องจาก A เป็ นเมตริ กซ์เอกฐาน A =
⎡a 0 ⎤
⎢0 − b ⎥
ดังนั้น det A = 0 ⎣ ⎦
1 2 3 ⎡a 2 0⎤
A2 = ⎢ ⎥
x −1 y = 0 ⎣0 b2 ⎦
2 0 2 A 2 + 2A + 1 = 0
จะได้ 4y − 4x + 3 = 0 ⎡ a 2 + 2a + 1 0 ⎤
=
⎡ 0 0⎤
⎢ ⎥ ⎢ 0 0⎥
⎣ 0 b − 2 b + 1⎦
2
⎣ ⎦
y − x +1 = 0 -----(1)
C 32 ( A ) = − M 32 ( A ) a 2 + 2a + 1 = 0
1 3 b 2 − 2b + 1 = 0
= − = 3x − y
x y a 2 − b 2 + 2a + 2 b = 0
M12 ( A) x y
= = 2x − 2 y (a + b)(a − b) + 2(a + b) = 0
2 2
(a + b )( a − b + 2 ) = 0
C 32 ( A ) − M 12 ( A ) = x+y = 5
a+b = 0
จาก (1) และ (2) จะได้ x = 3 และ y = 2
∴ x 2 + y 2 = 13
23.ตอบข้ อ (3)
แนวคิด จากโจทย์โดยกระบวนการดําเนินการตามแถวพบว่า
⎡ x 2 − 3 1 0 0⎤ ⎡1 0 0 − 5 4 − 3⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢2 y 0 0 1 0⎥ ~ ⎢0 1 0 10 − 7 6 ⎥
⎢ 4 − 2 z 0 0 1 ⎥ ⎢0 0 0 8 − 6 5 ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ x 2 − 3⎤
หมายความว่า ⎢ เป็ นเมทเริ กซ์อินเวอร์สของ
2 y 0⎥
⎢ ⎥
⎢4 − 2 z ⎥
⎣ ⎦
⎡− 5 4 − 3⎤
⎢ 10 − 7 6 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 8 −6 5 ⎥
⎣ ⎦
⎡− 5 4 − 3⎤
ให้ เมทเริ กซ์
A = ⎢ 10 − 7 6 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 8 −6 5 ⎥
⎣ ⎦
หาเมทเริ กซ์อินเวอร์สได้จาก A −1 = 1
Adij A
det A
− − −
−5 4 −3 −5 4
det A = 10 −7 6 10 −7
8 −6 5 8 −6
+ + +
= ( −5)( −7)(5) + ( 4)( 6)(8) + ( −3)(10 )( −6) − (8)( −7)( −3) − ( −6)( 6)( −5) − (5)(10 )( 4 )
= 175 + 192 + 180 − 168 − 180 − 200 = −1
⎡ −7 6 10 6 10 −7 ⎤
⎢ − ⎥
⎢ −6 5 8 5 8 −6 ⎥
⎢ 4 −3 −5 −3 −5 4 ⎥
Cof A = ⎢− −
⎢ −6 5 8 5 8 −6⎥⎥
⎢ 4 −3 −5 −3 −5 4 ⎥
⎢ −7 −
⎣ 6 10 6 10 −7⎥⎦
(90)