เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ ปี 2557 หรือ กสพท. คณิตศาสตร์ ปี 2557

1. เฉลยละเอียด
ข้อสอบ กสพท. คณิตศาสตร์ 2557
วิธีทํา จากกฎการวนลูปของ 𝑖𝑖
𝑖𝑖 = √−1 𝑖𝑖2
= −1 𝑖𝑖3
= −𝑖𝑖 𝑖𝑖4
= 1
ดังนั้น 𝑧𝑧 =
1
𝑖𝑖7 +
1
𝑖𝑖5 +
1
𝑖𝑖3 + 𝑖𝑖
=
1
−𝑖𝑖
+
1
𝑖𝑖
+
1
−𝑖𝑖
+ 𝑖𝑖
= −
𝑖𝑖
𝑖𝑖2 + 𝑖𝑖
= −
𝑖𝑖
−1
+ 𝑖𝑖
จะได้ว่า 𝑧𝑧 = 2𝑖𝑖
เพราะฉะนั้น |𝑧𝑧2| = |4𝑖𝑖2| = |4(−1)| = 4 ตอบ
วิธีทํา จะได้ว่า log2�3log 3 16� = log2 16
เพราะฉะนั้น log2�3log 3 16
� = 4 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 1

2. วิธีทํา เนื่องจาก 𝑛𝑛 หาร 166 และ 1101 แล้วเหลือเศษ 1
จะได้ว่า 𝑛𝑛 หาร 165 และ 1100 ลงตัว
จะได้ว่า 𝑛𝑛 = ห. ร. ม. (165 , 1100)
เพราะฉะนั้น 𝑛𝑛 = 55 ตอบ
วิธีทํา จากโจทย์จะได้ว่า arcsin(𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 1) = −
π
2
ดังนั้น 𝑥𝑥2
− 3𝑥𝑥 + 1 = −1
𝑥𝑥2
− 3𝑥𝑥 + 2 = 0
(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 1) = 0
จะได้ว่า 𝑥𝑥 = 1 , 2 ตอบ
ส่วนคําถามนั้น ไม่มีสาระสําคัญอะไร
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 2

3. วิธีทํา เนื่องจาก 𝑚𝑚𝑎𝑎⃑ + 𝑏𝑏�⃑ ⊥ 𝑚𝑚𝑎𝑎⃑ − 𝑏𝑏�⃑
จะได้ว่า �𝑚𝑚𝑎𝑎⃑ + 𝑏𝑏�⃑� ∙ �𝑚𝑚𝑎𝑎⃑ − 𝑏𝑏�⃑� = 0
𝑚𝑚2|𝑎𝑎⃑|2 − �𝑏𝑏�⃑�
2
= 0
แทนค่า |𝑎𝑎⃑| = 2 และ �𝑏𝑏�⃑� = 5 และโจทย์บอกว่า 𝑚𝑚 เป็นจํานวนจริงบวก
เพราะฉะนั้น 𝑚𝑚 =
5
2 ตอบ
วิธีทํา เนื่องจากโจทย์กําหนดการ Row Operation คือ 𝑅𝑅2 − 3𝑅𝑅1
แสดงว่าแถวที่มีการเปลี่ยนแปลง คือ แถวที่ 2 เท่านั้น
จะได้ว่า 𝑎𝑎 = −1 และ 𝑐𝑐 = 2 เหมือนเดิม
และจะได้ว่า 7 = 𝑏𝑏 − 3𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 4
เพราะฉะนั้น 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 5 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 3

4. วิธีทํา จะได้ว่า 𝑥𝑥̅ =
(22×17)+(23×16)+(25×14)+(30×15)
22+23+25+30
เพราะฉะนั้น ค่าเฉลี่ยของนํ้าหนักของนักเรียนในโรงเรียน เท่ากับ 15.42 กิโลกรัม ตอบ
วิธีทํา จากทฤษฎีบททวินาม (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)𝑛𝑛
= ∑ (−1)𝑟𝑟
�𝑛𝑛
𝑟𝑟
�𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑟𝑟
𝑏𝑏𝑟𝑟𝑛𝑛
𝑟𝑟=0
แทน 𝑎𝑎 = 7 , 𝑏𝑏 = 5 และ 𝑛𝑛 = 6
จะได้ว่า (7 − 5)6
= ∑ (−1)𝑟𝑟
�6
𝑟𝑟
�76−𝑟𝑟
5𝑟𝑟6
𝑟𝑟=0
เพราะฉะนั้น ∑ (−1)𝑟𝑟�6
𝑟𝑟
�76−𝑟𝑟5𝑟𝑟6
𝑟𝑟=0 = 64 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 4

5. วิธีทํา ลองแทน 𝑥𝑥 = 0 ก่อน พบว่าเกิด
0
0
จึงเป็นรูปแบบของ Indeterminate form
ลองจัดรูปดู จะได้ว่า โจทย์ = lim
𝑥𝑥→0
1+7𝑥𝑥+6𝑥𝑥2−1
𝑥𝑥
= lim
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥(7+6𝑥𝑥)
𝑥𝑥
= lim
𝑥𝑥→0
(7 + 6𝑥𝑥)
ดังนั้น lim
𝑥𝑥→0
(1+𝑥𝑥)(1+6𝑥𝑥)−1
𝑥𝑥
= 7 ตอบ
วิธีทํา จากโจทย์จะได้ว่า ∑ (−1)𝑛𝑛
𝑥𝑥3𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=0 = ∑ (−1)𝑛𝑛
�
1
3
�
𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= ∑ �−
1
3
�
𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
=
1
1−�−
1
3
�
เพราะฉะนั้น ∑ (−1)𝑛𝑛
𝑥𝑥3𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=0 =
3
4 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 5

6. วิธีทํา จากโจทย์ลองแทน
𝑘𝑘
𝑚𝑚
ในทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะดูก่อน
จะได้ว่า
𝑘𝑘
𝑚𝑚
= ±1 , ±3 , ±
1
2
, ±
3
2
, ±
1
4
, ±
3
4
, ±
1
8
, ±
3
8
พบว่า เมื่อลองแทน𝑥𝑥 = −1จะทําให้สมการเป็นจริง
จะได้ว่า (𝑥𝑥 + 1)(8𝑥𝑥2
− 2𝑥𝑥 − 3) = 0
(𝑥𝑥 + 1)(4𝑥𝑥 − 3)(2𝑥𝑥 + 1) = 0
ดังนั้น 𝑥𝑥 = −1 ,
3
4
, −
1
2
เพราะฉะนั้น 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥3 = −1 +
3
4
= −
1
4 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 6

7. วิธีทํา จากทฤษฎีบทของเดอมัวร์ มุมจะแบ่งทีละ120°
จะได้ว่า 𝑧𝑧2 = √2(cos 135° + 𝑖𝑖 sin 135°)
และ 𝑧𝑧3 = √2(cos 255° + 𝑖𝑖 sin 255°)
เพราะฉะนั้น 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3 = 2(cos(255° + 135°) + 𝑖𝑖 sin(255° + 135°))
= 2(cos 390° + 𝑖𝑖 sin 390°)
= 2(cos 30° + 𝑖𝑖 sin 30°)
= 2 �
√3
2
+
1
2
𝑖𝑖�
เพราะฉะนั้น 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3 = √3 + 𝑖𝑖 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 7

8. วิธีทํา เนื่องจาก 𝑚𝑚 และ 𝑛𝑛 ห่างกันอยู่2
ดังนั้น 𝑚𝑚 และ 𝑛𝑛 จะต้องเป็นเลขคู่ทั้งคู่ หรือเลขคี่ทั้งคู่
แต่ว่าโจทย์บอกว่า ค. ร. น. [ 𝑚𝑚, 𝑛𝑛] = 180
ดังนั้น 𝑚𝑚 และ 𝑛𝑛 จะต้องเป็นเลขคู่ทั้งคู่
พิจารณา ห. ร. ม. ( 𝑚𝑚, 𝑛𝑛)
ดังนั้น ห. ร. ม. ( 𝑚𝑚, 𝑛𝑛) = ห. ร. ม. (𝑛𝑛 + 2 , 𝑛𝑛)
= ห. ร. ม. (𝑛𝑛 + 2 − 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛)
= ห. ร. ม. (2 , 𝑛𝑛)
แต่เนื่องจาก 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 เป็นเลขคู่ทั้งคู่
เพราะฉะนั้น ห. ร. ม. ( 𝑚𝑚, 𝑛𝑛) = 2
ดังนั้น 𝑚𝑚𝑚𝑚 = ห. ร. ม. ( 𝑚𝑚, 𝑛𝑛) × ค. ร. น. [ 𝑚𝑚, 𝑛𝑛]
= 180 × 2
เพราะฉะนั้น 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 360 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 8

9. วิธีทํา พิจารณาข้อ (ก)
เนื่องจาก −1 ≤ sin 𝜃𝜃 ≤ 1
จะได้ว่า | 𝑢𝑢�⃑ × 𝑣𝑣⃑| = |𝑢𝑢�⃑||𝑣𝑣⃑| sin 𝜃𝜃 ≤ | 𝑢𝑢�⃑||𝑣𝑣⃑| ดังนั้น ข้อ (ก) จึงถูกต้อง
พิจารณาข้อ (ข)
จะได้ว่า 𝑢𝑢�⃑ × (𝑢𝑢�⃑ + 𝑣𝑣⃑) = (𝑢𝑢�⃑ × 𝑢𝑢�⃑) + (𝑢𝑢�⃑ × 𝑣𝑣⃑) = 0�⃑ + (𝑢𝑢�⃑ × 𝑣𝑣⃑) = 𝑢𝑢�⃑ × 𝑣𝑣⃑
ดังนั้น ข้อ (ข) จึงถูกต้อง
พิจารณาข้อ (ค)
จะได้ว่า โจทย์ = (|𝑢𝑢�⃑||𝑣𝑣⃑| sin 𝜃𝜃)2 + (|𝑢𝑢�⃑||𝑣𝑣⃑| cos 𝜃𝜃)2 = | 𝑢𝑢�⃑|2|𝑣𝑣⃑|2
ดังนั้น ข้อ (ค) จึงถูกต้อง
พิจารณาข้อ (ง)
จะได้ว่า โจทย์ = 25[(𝑢𝑢�⃑ × 𝑣𝑣⃑) ∙ 𝑣𝑣⃑] = 25[(𝑣𝑣⃑ × 𝑣𝑣⃑) ∙ 𝑢𝑢�⃑] = 25(0) = 0
ดังนั้น ข้อ (ง) จึงผิด
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 9

10. วิธีทํา จากโจทย์จะได้ว่า
cos2
2𝐴𝐴 + 2 cos 2𝐴𝐴 cos 𝐵𝐵 + cos2
𝐵𝐵
sin2
2𝐴𝐴 + 2 sin 2𝐴𝐴 sin 𝐵𝐵 + sin2
𝐵𝐵
ดังนั้น 2 cos 2𝐴𝐴 cos 𝐵𝐵 + 2 sin 2𝐴𝐴 sin 𝐵𝐵 = 1
จะได้ว่า cos(2𝐴𝐴 − 𝐵𝐵) =
1
2
แสดงว่า 2𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = 60° หรือ 2𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = −60°
แต่จากโจทย์บอกว่า 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 = 180° และ 𝐶𝐶 = 90°
จะได้ว่า 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = 90°
เมื่อแก้สมการ จะได้คําตอบ2 กรณี คือ (1) 𝐴𝐴 = 50° และ 𝐵𝐵 = 40°
(2) 𝐴𝐴 = 10° และ 𝐵𝐵 = 80°
แต่จากโจทย์บอกว่า 𝐴𝐴 < 𝐵𝐵
เพราะฉะนั้น 𝐴𝐴 = 10° ดังนั้น tan 3𝐴𝐴 =
1
√3
= 3
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 10

11. วิธีทํา จากโจทย์จะได้ว่า ไฮเพอร์โบลานี้เป็นไฮเพอร์โบลานอน และมี 𝑐𝑐 = √9 + 16 = 5
จะได้ว่า ไฮเพอร์โบลานี้มีจุดโฟกัสอยู่ที่ (−5,2) , (5,2)
แต่โจทย์บอกว่า 𝐹𝐹 อยู่ในควอดรันต์ที่ 1 𝐹𝐹 มีพิกัดคือ (5,2)
และจากโจทย์จะได้ว่าสมการเส้นกํากับ คือ
𝑥𝑥2
9
=
(𝑦𝑦−2)2
16
จะได้ว่า สมการเส้นกํากับ คือ
𝑥𝑥
3
= ±
𝑦𝑦−2
4
4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 6 = 0
เนื่องจากสมการเส้นกํากับเป็นเส้นสัมผัสของวงกลม
จะได้ว่า รัศมีนั้น คือ ระยะจากจุดศูนย์กลางไปตั้งฉากกับเส้นกํากับ
ดังนั้น 𝑟𝑟 =
|4(5)−3(2)+6|
√32+42
เพราะฉะนั้น รัศมีของวงกลมนี้จะยาวเท่ากับ 4 หน่วย ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 11

12. วิธีทํา จากสมการ 2𝑥𝑥
∙ 2𝑥𝑥+1
∙ 2𝑥𝑥+2
= 4𝑥𝑥
+ 4𝑥𝑥+1
+ 4𝑥𝑥+2
2𝑥𝑥
∙ 2 ∙ 2𝑥𝑥
∙ 22
∙ 2𝑥𝑥
= (2𝑥𝑥)2
+ 4 ∙ (2𝑥𝑥)2
+ 42
∙ (2𝑥𝑥)2
8 ∙ (2𝑥𝑥)3
= 21(2𝑥𝑥)2
จะได้ว่า 8 ∙ (2𝑥𝑥)3
− 21(2𝑥𝑥)2
= 0
(2𝑥𝑥)2(8(2𝑥𝑥) − 21) = 0
เนื่องจาก 2𝑥𝑥
มีค่าเป็นบวกเสมอ
จะได้ว่า 2𝑥𝑥
=
21
8
เพราะฉะนั้น 𝑥𝑥 = log2
21
8 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 12

13. วิธีทํา จากสมการ log2 𝑥𝑥 + 6 log𝑥𝑥 2 − 5 = 0
จะได้ว่า log2 𝑥𝑥 +
6
log 2 𝑥𝑥
− 5 = 0
คูณ log2 𝑥𝑥 ตลอด
จะได้ว่า (log2 𝑥𝑥)2
− 5 log2 𝑥𝑥 + 6 = 0
(log2 𝑥𝑥 − 3)(log2 𝑥𝑥 − 2) = 0
ดังนั้น log2 𝑥𝑥 = 3 , 2
เพราะฉะนั้น 𝑥𝑥 = 8 , 4 ตอบ
ส่วนคําถามนั้น ไม่มีสาระสําคัญอะไร
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 13

14. วิธีทํา จากนิยาม 𝐴𝐴−1 =
1
det 𝐴𝐴
adj 𝐴𝐴 แสดงว่า เราจะต้องหา det 𝐴𝐴 และ adj 𝐴𝐴 ให้ได้
จากสูตร 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖 ( 𝐴𝐴) = (−1)𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖 ( 𝐴𝐴)
ดังนั้น �𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖 ( 𝐴𝐴)� = �
1 1 2
−3 2 4
5 −1 3
�
เนื่องจาก adj 𝐴𝐴 = �𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖 ( 𝐴𝐴)�
𝑡𝑡
เพราะฉะนั้น adj 𝐴𝐴 = �
1 −3 5
1 2 −1
2 4 3
�
จากสูตร det(adj 𝐴𝐴) = (det 𝐴𝐴)𝑛𝑛−1
จากการคํานวณ พบว่า det(adj 𝐴𝐴) = 25
ดังนั้น 25 = (det 𝐴𝐴)3−1
เพราะฉะนั้น det 𝐴𝐴 = 5
เพราะฉะนั้น 𝑏𝑏11 + 𝑏𝑏12 + 𝑏𝑏13 =
1
5
−
3
5
+ 1 =
3
5 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 14

15. วิธีทํา เนื่องจาก 𝑃𝑃20 = 50.5
จะได้ว่า ถ้าเราทําคะแนนได้50.5 คะแนน จะชนะคนได้20% ของนักเรียนทั้งหมด
นั้นคือ จํานวนนักเรียนในสองชั้นแรก จะคิดเป็น 20% ของนักเรียนทั้งหมด
ดังนั้น
𝑥𝑥+6
80
=
20
100
จะได้ว่า 𝑥𝑥 = 10
เนื่องจากเรารู้ว่ามีนักเรียนอยู่ทั้งหมด 80 คน
ดังนั้น จะได้ 𝑦𝑦 = 8
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 15

16. ข้อ 20 (ต่อ) :
จากโจทย์บอกว่า นักเรียนที่ได้เกรด A จะต้องได้คะแนนในกลุ่มสูงสุด10%
เพราะฉะนั้น คะแนนตํ่าสุดของนักเรียนเกรด A จะมีค่าเท่ากับ 𝑃𝑃90
ซึ่ง 𝑃𝑃90 จะเป็นข้อมูลตัวที่
90
100
(80) = 72
ซึ่งข้อมูลตัวที่ 72 จะตกที่ชั้น 81 − 90 คะแนน
โดยความถี่สะสมของชั้นก่อนหน้า จะเท่ากับ69 คน
และความถี่สะสมของชั้นนี้ จะเท่ากับ 77 คน
จากกฎการเทียบเปอร์เซ็นไทล์
จะได้ว่า ข้อมูลตัวที่ 69 = ขอบล่างของชั้นนั้น = 80.5
. ข้อมูลตัวที่ 72 = 𝑃𝑃90
ข้อมูลตัวที่ 77 = ขอบบนของชั้นนั้น = 90.5
จากการเทียบสัดส่วน จะได้ว่า
𝑃𝑃90−80.5
90.5−80.5
=
72−69
77−69
ดังนั้น 𝑃𝑃90 = 84.25
เพราะฉะนั้น คะแนนตํ่าสุดของนักเรียนที่ได้เกรด A จะเท่ากับ 84.25 คะแนน ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 16

17. วิธีทํา จากโจทย์จะได้ว่า จะสามารถสร้างคู่อันดับได้ทั้งหมด 100 คู่อันดับ
แต่พบว่าจะมีคู่อันดับที่ทําให้ 𝑥𝑥2
+ 𝑦𝑦2
< 25
ได้แก่ (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) ,
(3,2) , (3,3) , (4,1) , (4,2) (ค่อยๆไล่ไปเรื่อยๆ)
ซึ่งมีทั้งหมด 13 คู่อันดับ
เพราะฉะนั้น ความน่าจะเป็นที่สุ่มคู่อันดับในเซต 𝑆𝑆 แล้วตรงกับเงื่อนไข เท่ากับ
13
100 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 17

18. วิธีทํา จากโจทย์บอกว่า มีคนสอบได้มากกว่า80 คะแนนอยู่10%
และ มีคนสอบได้น้อยกว่า40 คะแนนอยู่10%
จะได้ว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตควรจะอยู่กึ่งกลาง 40 และ 80 คะแนน
เพราะฉะนั้น ค่าเฉลี่ยของคะแนนสอบจะเท่ากับ60 คะแนน
เมื่อเทียบกับตารางพื้นที่เส้นโค้งปกติ จะได้ว่า คะแนนมาตรฐานของ 80 คะแนนเท่ากับ 1.28
จะได้ว่า 1.28 =
80−60
𝜎𝜎
𝜎𝜎 = 15.625
ดังนั้น คะแนนมาตรฐานของ65 คะแนน เท่ากับ
65−60
15.625
ดังนั้น 𝑧𝑧 = 0.32
เมื่อเทียบตารางพื้นที่เส้นโค้งปกติ จะได้ว่า จากตรงกลางถึง 65 คะแนน มีพื้นที่ 0.1255
เพราะฉะนั้น จะมีคนได้มากกว่า65 คะแนนอยู่37.45% ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 18

19. วิธีทํา เนื่องจาก 𝑓𝑓 ต่อเนื่องที่ 𝑥𝑥 = 1
จะได้ว่า 𝑓𝑓(1) = 𝑔𝑔(1) = lim
𝑥𝑥→1+
(𝑥𝑥3
+ 2𝑥𝑥)
เพราะฉะนั้น 𝑔𝑔(1) = 3
จากโจทย์(𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔)′ (1) = 58
จะได้ว่า 𝑓𝑓′ �𝑔𝑔(1)� ∙ 𝑔𝑔′ (1) = 58
𝑓𝑓′ (3) ∙ 𝑔𝑔′ (1) = 58 ---------------- (*)
เนื่องจาก 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥 เมื่อ 𝑥𝑥 > 1
ดังนั้น 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 + 2 เมื่อ 𝑥𝑥 > 1
เพราะฉะนั้น 𝑓𝑓′ (3) = 29
นําไปแทนใน (*) ดังนั้น 𝑔𝑔′ (1) = 2 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 19

20. วิธีทํา จากโจทย์บอกว่า 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 + 1
จะได้ว่า 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2
+ 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶
แต่เนื่องจาก 𝑓𝑓 ผ่านจุด (1,0)
ดังนั้น 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2
+ 𝑥𝑥 − 3
จากโจทย์บอกว่า 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑
จะหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ 𝐹𝐹
เนื่องจาก 𝑥𝑥 จะเป็นจุดวิกฤต เมื่อ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0
ดังนั้น 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 3 = 0
(2𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 1) = 0
แสดงว่า 𝑥𝑥วิกฤต = −
3
2
, 1
ตรวจสอบ 𝐹𝐹′′ (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥) เพื่อหาว่าเป็นจุดสูงสุดหรือตํ่าสุด
แทน 𝑥𝑥 = −
3
2
จะได้ว่า 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥) < 0
แทน 𝑥𝑥 = 1 จะได้ว่า 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥) > 0
เพราะฉะนั้น 𝐹𝐹(𝑥𝑥) จะมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ 𝑥𝑥 = −
3
2 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 20

21. วิธีทํา ลองทํา 𝑆𝑆𝑛𝑛 ในรูปของซิกมา
จะได้ว่า 𝑆𝑆𝑛𝑛 = ∑ �𝑎𝑎𝑖𝑖
+ 1�
2𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= ∑ �𝑎𝑎2𝑖𝑖
+ 2𝑎𝑎𝑖𝑖
+ 1�𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= ∑ 𝑎𝑎2𝑖𝑖𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 + 2 ∑ 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 + ∑ 1𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
เนื่องจาก ∑ 𝑎𝑎2𝑖𝑖𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 𝑎𝑎2
และมีพจน์แรกคือ 𝑎𝑎2
เพราะฉะนั้น ∑ 𝑎𝑎2𝑖𝑖𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 =
𝑎𝑎2�1−𝑎𝑎2𝑛𝑛 �
1−𝑎𝑎2
เนื่องจาก ∑ 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 𝑎𝑎 และมีพจน์แรกคือ 𝑎𝑎
เพราะฉะนั้น ∑ 𝑎𝑎2𝑖𝑖𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 =
𝑎𝑎(1−𝑎𝑎 𝑛𝑛 )
1−𝑎𝑎
เพราะฉะนั้น 𝑆𝑆𝑛𝑛 =
𝑎𝑎2�1−𝑎𝑎2𝑛𝑛 �
1−𝑎𝑎2 +
2𝑎𝑎(1−𝑎𝑎 𝑛𝑛 )
1−𝑎𝑎
+ 𝑛𝑛
ดังนั้น lim
𝑛𝑛→∞
(𝑆𝑆𝑛𝑛 − 𝑛𝑛) = lim
𝑛𝑛→∞
�
𝑎𝑎2�1−𝑎𝑎2𝑛𝑛 �
1−𝑎𝑎2 +
2𝑎𝑎(1−𝑎𝑎 𝑛𝑛 )
1−𝑎𝑎
�
=
𝑎𝑎2�1− lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎2𝑛𝑛 �
1−𝑎𝑎2 +
2𝑎𝑎�1− lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎 𝑛𝑛 �
1−𝑎𝑎
เนื่องจาก |𝑎𝑎| < 1
ดังนั้น lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎2𝑛𝑛 = lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = 0
เพราะฉะนั้น lim
𝑛𝑛→∞
(𝑆𝑆𝑛𝑛 − 𝑛𝑛) =
𝑎𝑎2
1−𝑎𝑎2 +
2𝑎𝑎
1−𝑎𝑎
=
3𝑎𝑎2+2𝑎𝑎
1−𝑎𝑎2 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 21

22. วิธีทํา เนื่องจาก 𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , 𝑎𝑎3 , … , 𝑎𝑎9 เป็นลําดับเลขคณิต
แสดงว่า ข้อมูลจะเรียงจากน้อยไปมาก หรือมากไปน้อย
แสดงว่า มัธยฐานของข้อมูล ก็คือ 𝑎𝑎5 = 15
(𝑎𝑎5 − 4𝑑𝑑) + (𝑎𝑎5 − 3𝑑𝑑) + (𝑎𝑎5 − 2𝑑𝑑)
เพราะฉะนั้น ผลบวกของ 𝑎𝑎1 ถึง 𝑎𝑎9 = (𝑎𝑎5 − 𝑑𝑑) + 𝑎𝑎5 + (𝑎𝑎5 + 𝑑𝑑)
(𝑎𝑎5 + 2𝑑𝑑) + (𝑎𝑎5 + 3𝑑𝑑) + (𝑎𝑎5 + 4𝑑𝑑)
= 9𝑎𝑎5
ดังนั้น ผลบวกของ 𝑎𝑎1 ถึง 𝑎𝑎9 จะเท่ากับ 135 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 22

23. วิธีทํา พิจารณาหลักหน่วยของ 4999
เนื่องจาก 41 มีหลักหน่วยเท่ากับ 4
42
มีหลักหน่วยเท่ากับ 6
43
มีหลักหน่วยเท่ากับ 4
44 มีหลักหน่วยเท่ากับ 6
จึงสามารถสรุปได้ว่า 4999
มีหลักหน่วยเท่ากับ 4
พิจารณาหลักหน่วยของ 9999
เนื่องจาก 91
มีหลักหน่วยเท่ากับ 9
92
มีหลักหน่วยเท่ากับ 1
93
มีหลักหน่วยเท่ากับ 9
94
มีหลักหน่วยเท่ากับ 1
จึงสามารถสรุปได้ว่า 9555 มีหลักหน่วยเท่ากับ 9
ดังนั้น 4999 + 9555 มีหลักหน่วยเท่ากับ 3
เพราะฉะนั้น 4999
+ 9555
หารด้วย 5 จะเหลือเศษ 3
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 23

24. วิธีทํา จากโจทย์พบว่า 𝑆𝑆 จะมีจํานวนสมาชิกเท่ากับ 103
= 1000
จะหาจํานวนเมตริกซ์ที่ตรงตามเงื่อนไข
กรณีที่ 1 : ถ้าเลือก 𝑥𝑥 = 1 ดังนั้น 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 = 2,3,4,5,6,7,8,9,10 ซึ่งสร้างได้ 92
วิธี
กรณีที่ 2 : ถ้าเลือก 𝑥𝑥 = 2 ดังนั้น 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 = 3,4,5,6,7,8,9,10 ซึ่งสร้างได้ 82
วิธี
กรณีที่ 3 : ถ้าเลือก 𝑥𝑥 = 3 ดังนั้น 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 = 4,5,6,7,8,9,10 ซึ่งสร้างได้72 วิธี
กรณีที่ 4 : ถ้าเลือก 𝑥𝑥 = 4 ดังนั้น 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 = 5,6,7,8,9,10 ซึ่งสร้างได้ 62
วิธี
กรณีที่ 5 : ถ้าเลือก 𝑥𝑥 = 5 ดังนั้น 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 = 6,7,8,9,10 ซึ่งสร้างได้52
วิธี
กรณีที่ 6 : ถ้าเลือก 𝑥𝑥 = 6 ดังนั้น 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 = 7,8,9,10 ซึ่งสร้างได้ 42
วิธี
กรณีที่ 7 : ถ้าเลือก 𝑥𝑥 = 7 ดังนั้น 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 = 8,9,10 ซึ่งสร้างได้ 32
วิธี
กรณีที่ 8 : ถ้าเลือก 𝑥𝑥 = 8 ดังนั้น 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 = 9,10 ซึ่งสร้างได้22 วิธี
กรณีที่ 9 : ถ้าเลือก 𝑥𝑥 = 9 ดังนั้น 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 = 10 ซึ่งสร้างได้ 12
วิธี
ดังนั้น จํานวนเมตริกซ์ที่ตรงตามเงื่อนไข = 12 + 22 + ⋯ + 92
=
9
6
(9 + 1)(18 + 1)
จะได้ว่า จํานวนเมตริกซ์ที่ตรงตามเงื่อนไข มีทั้งหมด 285 เมตริกซ์
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มเมตริกซ์แล้วตรงตามเงื่อนไข จะเท่ากับ
285
1000 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 24

25. วิธีทํา กรณีที่1 𝑎𝑎 และ 𝑏𝑏 มีค่าเป็นบวก
จะได้ว่า 𝑎𝑎|𝑏𝑏| + |𝑎𝑎|𝑏𝑏 = 2𝑎𝑎𝑎𝑎 ซึ่งมีค่าเป็นบวก
เนื่องจากเราใช้ 𝑎𝑎 และ 𝑏𝑏 ซํ้ากันได้จึงต้องแบ่งเป็นอีก 2 กรณี
กรณีที่ 1.1 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏
เนื่องจาก ลําดับไม่มีผลต่อผลคูณจึงต้องเลือกตัวเลขแบบไม่สนใจลําดับ
ดังนั้น ในกรณีนี้จะเลือก 𝑎𝑎 และ 𝑏𝑏 ได้�6
2
� = 15 วิธี
เนื่องจากจํานวนในเซต 𝑆𝑆 ทั้งหมดเป็นจํานวนเฉพาะ
จึงมั่นใจได้ว่าเมื่อนําตัวเลขมาคูณกันแล้ว จะได้ผลลัพธ์ที่ไม่ซํ้ากันเลย
กรณีที่ 1.2 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏
จะได้ว่า 𝑏𝑏 ต้องเลือกตาม 𝑎𝑎
ดังนั้น ในกรณีนี้จะเลือก 𝑎𝑎 และ 𝑏𝑏 ได้6 วิธี
เมื่อรวมทั้ง 2 กรณี จะได้ผลลัพธ์ทั้งหมด 21 ตัว
กรณีที่ 2 𝑎𝑎 และ 𝑏𝑏 มีค่าเป็นลบ
จะได้ว่า 𝑎𝑎|𝑏𝑏| + |𝑎𝑎|𝑏𝑏 = −2𝑎𝑎𝑎𝑎 ซึ่งมีค่าเป็นลบ
ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ทั้งหมด เป็นจํานวนตรงข้ามของกรณีแรก
จะได้ว่า กรณีนี้จะได้ผลลัพธ์อีก 21 ตัว
กรณีที่ 3 ตัวนึงเป็นบวก อีกตัวเป็นลบ
จะได้ว่า 𝑎𝑎|𝑏𝑏| + |𝑎𝑎|𝑏𝑏 = 0 เสมอ ได้ผลลัพธ์อีก 1 วิธี
เมื่อรวมทั้ง 3 กรณี จะได้ผลลัพธ์ทั้งหมด 43 วิธี ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 25

26. วิธีทํา จากโจทย์จะได้ว่า 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 3)
ดังนั้น 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 9𝑥𝑥
จะได้ว่า 𝑓𝑓′ (𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2
− 9
เนื่องจาก 𝑥𝑥 จะเป็นจุดวิกฤต เมื่อ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0
ดังนั้น 𝑥𝑥วิกฤต = −√3 , √3
แทนค่าค่าวิกฤตใน 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
จะได้ว่า 𝑚𝑚 = −6√3 และ 𝑀𝑀 = 6√3
ดังนั้น 𝑆𝑆 = �𝑎𝑎 | 𝑎𝑎 เป็นจํานวนเต็ม ซึ่ง − 6√3 ≤ 𝑓𝑓(𝑎𝑎) ≤ 6√3�
แก้อสมการ −6√3 ≤ 𝑎𝑎3 − 9𝑎𝑎 ≤ 6√3
สมมติว่าแก้อสมการเสร็จแล้ว(ดูวิธีการแก้ในหน้าต่อไป)
จะได้ว่า เซตคําตอบของอสมการ คือ �−2√3 , 2√3�
ดังนั้น 𝑆𝑆 = {−3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3}
เพราะฉะนั้น 𝑛𝑛(𝑆𝑆) = 7 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 26

27. ข้อ 30 (ต่อ) :
จะแก้อสมการ −6√3 ≤ 𝑎𝑎3
− 9𝑎𝑎 ≤ 6√3
ดังนั้น 𝑎𝑎3
− 9𝑎𝑎 ≥ −6√3 และ 𝑎𝑎3
− 9𝑎𝑎 ≤ 6√3
แก้อสมการ 𝑎𝑎3
− 9𝑎𝑎 ≥ −6√3
𝑎𝑎3
− 9𝑎𝑎 + 6√3 ≥ 0
�𝑎𝑎 − √3�
2
�𝑎𝑎 + 2√3� ≥ 0
จะได้ว่า 𝑎𝑎 ≥ −2√3
แก้อสมการ 𝑎𝑎3
− 9𝑎𝑎 ≤ 6√3
𝑎𝑎3
− 9𝑎𝑎 − 6√3 ≤ 0
�𝑎𝑎 + √3�
2
�𝑎𝑎 − 2√3� ≤ 0
จะได้ว่า 𝑎𝑎 ≤ 2√3
เพราะฉะนั้น เซตคําตอบของอสมการนี้ คือ�−2√3 , 2√3�
จริงๆแล้ว ข้อนี้มีวิชามารในการจะหาเซต 𝑆𝑆 เช่นกัน
ลองใช้การวาดกราฟของ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) คร่าวๆดูก่อน
M พบว่า ตั้งแต่ 𝑥𝑥 = −3 จนถึง 𝑥𝑥 = 3
จะได้ว่า 𝑓𝑓(𝑥𝑥) อยู่ระหว่าง 𝑚𝑚 และ 𝑀𝑀 ทั้งหมด
-3 3
m ลองแทน 𝑥𝑥 = 4 จะได้ว่า 𝑓𝑓(4) = 28 > 𝑀𝑀
ลองแทน 𝑥𝑥 = −4 จะได้ว่า 𝑓𝑓(−4) = −28 < 𝑚𝑚
ดังนั้น จํานวนเต็ม 𝑎𝑎 ซึ่งทําให้ 𝑚𝑚 ≤ 𝑓𝑓(𝑎𝑎) ≤ 𝑀𝑀 จะมีแค่ −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3
ดังนั้น 𝑆𝑆 = {−3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3} เพราะฉะนั้น 𝑛𝑛(𝑆𝑆) = 7 ตอบ
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 27

28. เฉลยไม่ละเอียด
ข้อสอบ กสพท. คณิตศาสตร์ 2557
1. 4 16. ตอบข้อ 2
2. 55 17. ตอบข้อ 2
3. 3 18. ตอบข้อ 3
4. 2.5 19. ตอบข้อ 3
5. 5 20. ตอบข้อ 4
6. 4 21. ตอบข้อ 1
7. 15.42 22. ตอบข้อ 1
8. 64 23. ตอบข้อ 5
9. 7 24. ตอบข้อ 2
10. 0.75 25. ตอบข้อ 5
11. ตอบข้อ 2 26. ตอบข้อ 3
12. ตอบข้อ 5 27. ตอบข้อ 4
13. ตอบข้อ 3 28. ตอบข้อ 5
14. ตอบข้อ 4 29. ตอบข้อ 1
15. ตอบข้อ 3 30. ตอบข้อ 4
เฉลยข้อสอบ : กสพท. คณิตศาสตร์ 2557 Page 28