Спящие эксперты и их применение в предсказании: Юрий Калнишкан

1. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Спящие эксперты и их применение в предсказании Юрий Калнишкан Department of Computer Science and Computer Learning Research Centre Royal Holloway, University of London Декабрь 2013 Спящие эксперты, 1, Slide 1/58 Department of Computer Science, RHUL

2. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Содержание 1. Формирование инвестиционного портфеля 2. Агрегирующий алгоритм Вовка 3. Эксперты-поправляльщики 4. Спящие эксперты 5. Применение к оценке неявной волатильности Спящие эксперты, 1, Slide 2/58 Department of Computer Science, RHUL

3. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность 1. Формирование инвестиционного портфеля 2. Агрегирующий алгоритм Вовка 3. Эксперты-поправляльщики 4. Спящие эксперты 5. Применение к оценке неявной волатильности Спящие эксперты, 1, Slide 3/58 Department of Computer Science, RHUL

4. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Инвестирование сегодня завтра капитал W W S1 S0 цена акции S0 S1 количество акций W S0 W S0 • капитал, инвестированный в акцию, умножается на S1 /S0 Спящие эксперты, 1, Slide 4/58 Department of Computer Science, RHUL

10. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Инвестиционный портфель • пусть имеется M акций 0, 1, 2, . . . , M − 1 • вкладываем в акцию i долю γ1,i капитала W • пусть между днём 0 и днём 1 цена акции i изменяется в ω1,i раз • тогда — сумма денег W γ1,i , вложенная в акцию i, превращается в W γ1,i ω1,i — капитал W превращается в W γ1 , ω1 , где γ1 = (γ1,0 , γ1,1 , . . . , γ1,M−1 ) и ω1 = (ω1,0 , ω1,1 , . . . , ω1,M−1 ) Спящие эксперты, 1, Slide 5/58 Department of Computer Science, RHUL

14. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Перекладываем деньги • на следующий день мы продаём все акции, консолидируем наш капитал и снова распределям его по акциям • протокол: (1) инвестор начинает с капитала W0 = 1 FOR t = 1, 2, . . . (2) инвестор выдаёт распределение γt ∈ PM (3) цены акций меняются в ωt ∈ [0, +∞]M раз (4) капитал инвестора изменяется как Wt = Wt−1 · γt , ωt END FOR — через PM обозначен симплекс в RM (т.е., множество распределений на {0, 1, . . . , M − 1}) • наш капитал через T дней составляет WT = Спящие эксперты, 1, Slide 6/58 T t=1 γt , ωt Department of Computer Science, RHUL

17. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Эксперты • пусть имеется N экспертов E1 , E2 , . . . , EN ; мы видим их инвестиционные решения • протокол: n (1) эксперты начинают с капиталов W0 = 1, n = 1, 2, . . . , N (2) инвестор начинает с капитала W0 = 1 FOR t = 1, 2, . . . n (3) эксперты выдают распределения γt ∈ PM , n = 1, 2, . . . , N (4) инвестор выдаёт распределение γt ∈ PM (5) цены акций меняются в ωt ∈ [0, +∞]M раз (6) капитал инвестора изменяется как Wt = Wt−1 · γt , ωt n n (7) капиталы экспертов изменяются как Wtn = Wt−1 · γt , ωt , n = 1, 2, . . . , N END FOR Спящие эксперты, 1, Slide 7/58 Department of Computer Science, RHUL

18. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Эксперты • пусть имеется N экспертов E1 , E2 , . . . , EN ; мы видим их инвестиционные решения • протокол: n (1) эксперты начинают с капиталов W0 = 1, n = 1, 2, . . . , N (2) инвестор начинает с капитала W0 = 1 FOR t = 1, 2, . . . n (3) эксперты выдают распределения γt ∈ PM , n = 1, 2, . . . , N (4) инвестор выдаёт распределение γt ∈ PM (5) цены акций меняются в ωt ∈ [0, +∞]M раз (6) капитал инвестора изменяется как Wt = Wt−1 · γt , ωt n n (7) капиталы экспертов изменяются как Wtn = Wt−1 · γt , ωt , n = 1, 2, . . . , N END FOR Спящие эксперты, 1, Slide 7/58 Department of Computer Science, RHUL

19. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Использование советов экспертов • мы хотим добиться, чтобы наш капитал был бы не (намного) меньше, чем у каждого из экспертов: WT n = 1, 2, . . . , N — что такое ? — то чего удастся добиться... Спящие эксперты, 1, Slide 8/58 n WT , Department of Computer Science, RHUL

20. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Раздаём деньги • идея: к успешным экспертам надо прислушиваться больше — успешный эксперт это тот, который заработал больше денег • разделим наши деньги между экспертами поровну, и пусть дальше каждый эксперт вкладывает от нашего имени столько денег, сколько сумел заработать 1 n — после шага эксперт n управляет суммой N WT наших денег 1 — наш суммарный капитал составляет WT = N N Wn n=1 • выбрасывая все члены кроме n-го, получаем оценку 1 n W N T для всех n = 1, 2, . . . , N, T = 1, 2, . . . WT ≥ Спящие эксперты, 1, Slide 9/58 Department of Computer Science, RHUL

23. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Оптимальность • мультипликативный коэффициент в неравенстве WT ≥ 1 n N WT нельзя понизить • пусть M = N — пусть на первом шаге эксперт n вкладывает все деньги в акцию n (т.е., выдаёт n-ю вершину симплекса) — на первом шаге инвестор выдаёт γ1 ; для его 1 наименьшей компоненты n0 выполняется γ1,n0 ≤ M — пусть теперь все акции кроме n0 -й прогорают (ω1,m = 0 для m = n0 ), а n0 -я сохраняет стоимость (ω1,m = 1) — лучший эксперт n0 владеет капиталом 1 — инвестор владеет суммой γ1,n0 ≤ 1/M = 1/N Спящие эксперты, 1, Slide 10/58 Department of Computer Science, RHUL

29. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Обсуждение • гарантия WT ≥ 1 n N WT может оказаться бесполезной — например, пусть все эксперты вкладывают деньги одинаково; можно сказать, что у нас один настоящий эксперт, а не N — наш алгоритм обрабатывает эту ситуацию корректно и n достигает WT = WT — величина N в знаменателе это плата за смешивание; плата взимается по “эффективному”, а не “формальному” числу экспертов • если мы изначально поделим деньги между экспертами не поровну, а в соответствии с распределением q = (q1 , q2 , . . . , qN ) ∈ PN , то получим гарантию n WT ≥ qn WT Спящие эксперты, 1, Slide 11/58 Department of Computer Science, RHUL

30. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Обсуждение • гарантия WT ≥ 1 n N WT может оказаться бесполезной — например, пусть все эксперты вкладывают деньги одинаково; можно сказать, что у нас один настоящий эксперт, а не N — наш алгоритм обрабатывает эту ситуацию корректно и n достигает WT = WT — величина N в знаменателе это плата за смешивание; плата взимается по “эффективному”, а не “формальному” числу экспертов • если мы изначально поделим деньги между экспертами не поровну, а в соответствии с распределением q = (q1 , q2 , . . . , qN ) ∈ PN , то получим гарантию n WT ≥ qn WT Спящие эксперты, 1, Slide 11/58 Department of Computer Science, RHUL

32. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Задача предсказания • в дискретном времени последовательно случаются исходы ω1 , ω2 , . . ., ωt ∈ Ω • перед каждым исходом ωt мы выдаём предсказание γt ∈ Γ • уклонение предсказания от исхода измеряется функцией потерь λ : Γ × Ω → [0, +∞] — мы хотим минимизировать суммарные накопленные потери Loss(T ) = T λ(γt , ωt ) t=1 • тройка Ω, Γ, λ (пространство исходов / пространство предсказаний / функция потерь) называется игрой Спящие эксперты, 1, Slide 13/58 Department of Computer Science, RHUL

36. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Бинарные игры • у бинарных игр два исхода Ω = {0, 1}, а предсказания можно выдавать из отрезка Γ = [0, 1] • квадратичная игра λ(γ, ω) = (ω − γ)2 • абсолютная игра λ(γ, ω) = |ω − γ| • логарифмическая игра λ(γ, ω) = − log2 γ, если ω = 1; − log2 (1 − γ), если ω = 0 • простая предсказательная игра: Γ = {0, 1} и λ(γ, ω) = Спящие эксперты, 1, Slide 14/58 0, если ω = γ; 1, иначе Department of Computer Science, RHUL

41. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Эксперты • вместе с нами исходы предсказывают N экспертов E1 , E2 , . . . , EN FOR t = 1, 2, . . . n (1) эксперты выдают предсказания γt ∈ Γ, n = 1, . . . , N (2) предсказатель выдаёт γt ∈ Γ (3) случается исход ωt ∈ Ω (4) предсказатель несёт потери λ(γt , ωt ) n (5) эксперты несут потери λ(γt , ωt ), n = 1, 2, . . . , N END FOR • мы хотим, чтобы наши потери были не (намного) хуже, чем у любого эксперта — т.е., мы хотим гарантий вида Loss(T ) всех n и T Спящие эксперты, 1, Slide 15/58 LossEn (T ) для Department of Computer Science, RHUL

42. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Эксперты • вместе с нами исходы предсказывают N экспертов E1 , E2 , . . . , EN FOR t = 1, 2, . . . n (1) эксперты выдают предсказания γt ∈ Γ, n = 1, . . . , N (2) предсказатель выдаёт γt ∈ Γ (3) случается исход ωt ∈ Ω (4) предсказатель несёт потери λ(γt , ωt ) n (5) эксперты несут потери λ(γt , ωt ), n = 1, 2, . . . , N END FOR • мы хотим, чтобы наши потери были не (намного) хуже, чем у любого эксперта — т.е., мы хотим гарантий вида Loss(T ) всех n и T Спящие эксперты, 1, Slide 15/58 LossEn (T ) для Department of Computer Science, RHUL

43. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Потери и капитал • превратим потери в “капитал”: Wtn = e −η LossEn (t) n — на шаге t к потерям добавляется λ(γt , ωt ), а капитал n −ηλ(γt ,ωt ) умножается на e — параметр η называется скоростью обучения (learning rate) • мы хотели бы на шаге t добиться выполнения равенства WT ≈ 1 N N n WT n=1 • в задаче инвестирования мы добивались этого выдавая N γt = n=1 1 n n N Wt−1 γt N 1 n Wt−1 n=1 N Спящие эксперты, 1, Slide 16/58 N = n=1 доля нашего капитала в n управлении эксперта n γt Department of Computer Science, RHUL

46. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Борьба за равенство капитала (1) • достаточно добиться выполнения неравенства Wt Wt−1 N 1 n n=1 N Wt N 1 n n=1 N Wt−1 на каждом шаге • то есть, найти предсказание γt , такое что e −ηλ(γt ,ωt ) • имеем LossEn (t) = LossEn (t N 1 −η LossEn (t) n=1 N e N 1 −η LossEn (t−1) n=1 N e n − 1) + λ(γt , ωt ) — величину LossEn (t − 1) мы знаем, а ωt пока нет — значит, этого надо добиться для любого ωt Спящие эксперты, 1, Slide 17/58 Department of Computer Science, RHUL

49. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Борьба за равенство капитала (2) • итак, на шаге t мы хотим найти предсказание γt , такое что для любого ω выполняются неравенства N n e −ηλ(γt ,ω) n pt e −ηλ(γt ,ω) n=1 или λ(γt , ω) 1 − ln η N n n pt e −ηλ(γt ,ω) n=1 где n pt = Спящие эксперты, 1, Slide 18/58 1 −η LossEn (t−1) Ne N 1 −η LossEn (t−1) n=1 N e Department of Computer Science, RHUL

50. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Смешиваемые игры (1) • можно ли найти γt ? • ответ зависит от геометрических свойств λ • для смешиваемых игр найдутся η, такие что для любых наборов предсказаний γ 1 , . . . , γ N и весов p 1 , . . . , p N найдётся γ, такая что для всех ω 1 λ(γ, ω) ≤ − ln η Спящие эксперты, 1, Slide 19/58 N p n e −ηλ(γ n ,ω) n=1 Department of Computer Science, RHUL

53. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Смешиваемые игры (2) • для смешиваемых игр достигаем неравенства капиталов N WT ≥ n=1 — напомню, что WT = 1 n W N T e −η Loss(T ) • выбрасывая все члены кроме одного и логарифмируя, получаем гарантию Loss(t) ≤ LossEn (t) + 1 ln N η — обычно есть наибольшая η, для которой гарантия верна Спящие эксперты, 1, Slide 20/58 Department of Computer Science, RHUL

54. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Смешиваемые игры (2) • для смешиваемых игр достигаем неравенства капиталов N WT ≥ n=1 — напомню, что WT = 1 n W N T e −η Loss(T ) • выбрасывая все члены кроме одного и логарифмируя, получаем гарантию Loss(t) ≤ LossEn (t) + 1 ln N η — обычно есть наибольшая η, для которой гарантия верна Спящие эксперты, 1, Slide 20/58 Department of Computer Science, RHUL

55. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Несмешиваемые игры • для несмешиваемых игр для каждого η > 0 можем рассмотреть минимальное C = C (η), такое что для любых наборов предсказаний γ 1 , . . . , γ N и весов p 1 , . . . , p N найдётся γ, такая что для всех ω λ(γ, ω) ≤ −C 1 ln η N p n e −ηλ(γ n ,ω) n=1 • мы достигаем гарантии Loss(t) ≤ C (η) LossEn (t) + C (η) ln N η — бывает, что эту гарантию нельзя оптимизировать по η Спящие эксперты, 1, Slide 21/58 Department of Computer Science, RHUL

56. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Несмешиваемые игры • для несмешиваемых игр для каждого η > 0 можем рассмотреть минимальное C = C (η), такое что для любых наборов предсказаний γ 1 , . . . , γ N и весов p 1 , . . . , p N найдётся γ, такая что для всех ω λ(γ, ω) ≤ −C 1 ln η N p n e −ηλ(γ n ,ω) n=1 • мы достигаем гарантии Loss(t) ≤ C (η) LossEn (t) + C (η) ln N η — бывает, что эту гарантию нельзя оптимизировать по η Спящие эксперты, 1, Slide 21/58 Department of Computer Science, RHUL

57. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Примеры • квадратичная игра смешиваема при 0 < η ≤ 2 • логарифмическая игра смешиваема при 0 < η ≤ 1 • абсолютная и простая игра не смешиваемы — у абсолютной игры C (η) бывает сколь угодно близко к 1 — у простой игры C (η) > 2 • для несмешиваемых игр существуют другие алгоритмы с другими оценками Спящие эксперты, 1, Slide 22/58 Department of Computer Science, RHUL

61. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Оптимальность • константы a и b в гарантиях вида Loss(t) ≤ a LossEn (t) + b ln N, достигаемых агрегирующим алгоритмом, не улучшаются • доказательство весьма сложно: [Vovk, A Game of Prediction with Expert Advice, 1998] Спящие эксперты, 1, Slide 23/58 Department of Computer Science, RHUL

62. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Оптимальность • константы a и b в гарантиях вида Loss(t) ≤ a LossEn (t) + b ln N, достигаемых агрегирующим алгоритмом, не улучшаются • доказательство весьма сложно: [Vovk, A Game of Prediction with Expert Advice, 1998] Спящие эксперты, 1, Slide 23/58 Department of Computer Science, RHUL

63. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Начальные веса • вместо WT ≈ N 1 n n=1 N WT мы можем n WT ≈ N qn WT n=1 добиваться соотношения — где qn это произвольные веса, приписанные экспертам вместо 1/N • получаем гарантию Loss(t) ≤ C (η) LossEn (t) + Спящие эксперты, 1, Slide 24/58 1 C (η) ln η qn Department of Computer Science, RHUL

64. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Начальные веса • вместо WT ≈ N 1 n n=1 N WT мы можем n WT ≈ N qn WT n=1 добиваться соотношения — где qn это произвольные веса, приписанные экспертам вместо 1/N • получаем гарантию Loss(t) ≤ C (η) LossEn (t) + Спящие эксперты, 1, Slide 24/58 1 C (η) ln η qn Department of Computer Science, RHUL

65. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Алгоритм параметры: η и распределение на экспертах q1 , q2 , . . . , qN n (1) инициализируем веса w1 = qn , n = 1, 2, . . . , N FOR t = 1, 2, . . . n (2) считываем предсказания экспертов γt , n = 1, 2, . . . , N n (3) нормируем веса pt = wtn / N wtn n=1 (4) решаем систему (ω ∈ Ω): n n λ(γ, ω) ≤ C (η) N pt e −ηλ(γt ,ω) n=1 относительно γ и выдаём решение γt (5) наблюдаем исход ωt n n (6) обновляем веса экспертов wt+1 = wtn e −ηλ(γt ,ω) , n = 1, 2, . . . , N END FOR Спящие эксперты, 1, Slide 25/58 Department of Computer Science, RHUL

67. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Определение • позволим экспертам выдавать не предсказания, а функции n γt : Γ → Γ — потери такого эксперта подсчитываются задним числом n как λ(γt (γt ), ωt ) — эксперт-поправляльщик (second-guessing expert) выдаёт не предсказание, а совет, как надо поправить итоговое предсказание — обычный эксперт это частный случай поправляльщика: n для него γt это константа • как использовать мнения поправляльщиков? Спящие эксперты, 1, Slide 27/58 Department of Computer Science, RHUL

68. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Определение • позволим экспертам выдавать не предсказания, а функции n γt : Γ → Γ — потери такого эксперта подсчитываются задним числом n как λ(γt (γt ), ωt ) — эксперт-поправляльщик (second-guessing expert) выдаёт не предсказание, а совет, как надо поправить итоговое предсказание — обычный эксперт это частный случай поправляльщика: n для него γt это константа • как использовать мнения поправляльщиков? Спящие эксперты, 1, Slide 27/58 Department of Computer Science, RHUL

69. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Выбор предсказания (повтор) • для смешиваемых игр на шаге t мы ищем γt из системы уравнений где ω ∈ Ω: 1 λ(γt , ω) ≤ − ln η N n n pt e −ηλ(γt ,ω) n=1 • например, для бинарной квадратичной игры система состоит из двух уравнений 1 (γt ) ≤ − ln 2 N 2 1 (1 − γt )2 ≤ − ln 2 Спящие эксперты, 1, Slide 28/58 n 2 n pt e −η(γt ) n=1 N n 2 n pt e −η(1−γt ) n=1 Department of Computer Science, RHUL

70. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Выбор предсказания (повтор) • для смешиваемых игр на шаге t мы ищем γt из системы уравнений где ω ∈ Ω: 1 λ(γt , ω) ≤ − ln η N n n pt e −ηλ(γt ,ω) n=1 • например, для бинарной квадратичной игры система состоит из двух уравнений 1 (γt ) ≤ − ln 2 N 2 1 (1 − γt )2 ≤ − ln 2 Спящие эксперты, 1, Slide 28/58 n 2 n pt e −η(γt ) n=1 N n 2 n pt e −η(1−γt ) n=1 Department of Computer Science, RHUL

71. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Выбор предсказания (повтор) • можно подобрать непрерывную функцию γ = σ(g0 , g1 ), выдающую решение системы (γ)2 ≤ g0 (1 − γ)2 ≤ g1 (при условии, что решение есть, а для смешиваемых функций потерь оно есть всегда) — такая функция называется функцией подстановки (и их обычно много разных) • коэффициенты g0 и g1 это непрерывные функции от 1 N предсказаний экспертов γt , . . . , γt • для всех разумных функций потерь ситуация устроена аналогично Спящие эксперты, 1, Slide 29/58 Department of Computer Science, RHUL

74. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Неподвижная точка • разрешим экспертам быть поправляльщиками • чтобы сохранить все оценки, нам надо выдать предсказание, являющееся неподвижной точкой функции 1 N 1 N f (γt ) = σ(g0 (γt (γt ), . . . , γt (γt )), g1 (γt (γt ), . . . , γt (γt ))) • пространство предсказаний [0, 1] это компактное выпуклое подмножество R Спящие эксперты, 1, Slide 30/58 Department of Computer Science, RHUL

77. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Теорема Брауэра • непрерывное отображение компактного выпуклого подмножества евклидова пространства в себя имеет неподвижную точку. • итак, получаем, что если — существует непрерывная функция подстановки — пространство предсказаний Γ является компактным выпуклым подмножеством евклидова пространства — эксперты-поправляльщики выдают непрерывные функции из Γ в Γ • тогда мы можем добиться для них тех же гарантий, что и для обычных экспертов • ссылка [A. Chernov et al, Supermartingales in Prediction with Expert Advice, 2010] Спящие эксперты, 1, Slide 31/58 Department of Computer Science, RHUL

82. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Определение • разрешим экспертам пропускать ходы • эксперт-специалист (specialist expert) может отказаться выдавать предсказания на шаге t — тогда мы говорим, что эксперт спит — удобно говорить о специалистах, которые могут спать, и спящих экспертах, которые спят сейчас • что можно сделать с такими экспертами? • идея: считаем, что спящий эксперт присоединяется к мнению неспящих Спящие эксперты, 1, Slide 33/58 Department of Computer Science, RHUL

86. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Алгоритм (1) • спящего эксперта можно считать экспертом-поправляльщиком, выдающим тождественную функцию (отказывающимся от поправки) — но есть способ лучше • посмотрим на неравенство N n e −ηλ(γt ,ω) ≥ n pt e −ηλ(γt ,ω) n=1 • отделим члены, соответствующие спящим экспертам n e −ηλ(γt ,ω) ≥ n pt e −ηλ(γt ,ω) + n:En не спит Спящие эксперты, 1, Slide 34/58 n pt e −ηλ(γt ,ω) n:En спит Department of Computer Science, RHUL

89. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Алгоритм (2) • сумму по спящим экспертам можем вычесть; останется e −ηλ(γt ,ω) ≥ 1 Zt n n pt e −ηλ(γt ,ω) n:En не спит где Zt это суммарный вес экспертов, не спящих на шаге t • учёт спящих экспертов требуют минимальной модификации агрегирующего алгоритма: — сумма берётся только по неспящим экспертам, причём их веса нормируются к 1 — спящие эксперты выдают “наше” предсказание γt , поэтому их веса обновляются по формуле n wt+1 = wtn e −ηλ(γt ,ωt ) с помощью нашего предсказания γt Спящие эксперты, 1, Slide 35/58 Department of Computer Science, RHUL

90. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Алгоритм (2) • сумму по спящим экспертам можем вычесть; останется e −ηλ(γt ,ω) ≥ 1 Zt n n pt e −ηλ(γt ,ω) n:En не спит где Zt это суммарный вес экспертов, не спящих на шаге t • учёт спящих экспертов требуют минимальной модификации агрегирующего алгоритма: — сумма берётся только по неспящим экспертам, причём их веса нормируются к 1 — спящие эксперты выдают “наше” предсказание γt , поэтому их веса обновляются по формуле n wt+1 = wtn e −ηλ(γt ,ωt ) с помощью нашего предсказания γt Спящие эксперты, 1, Slide 35/58 Department of Computer Science, RHUL

91. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Оценка • в неравенстве 1 ln N η Loss(T ) ≤ LossEn (T ) + можно выбросить члены, соответствующие шагам, когда эксперт En спал • получаем n n Loss (T ) ≤ LossEn (T ) + 1 ln N η n где сумма в Loss берётся по шагам, когда En не спал Спящие эксперты, 1, Slide 36/58 Department of Computer Science, RHUL

92. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Оценка • в неравенстве 1 ln N η Loss(T ) ≤ LossEn (T ) + можно выбросить члены, соответствующие шагам, когда эксперт En спал • получаем n n Loss (T ) ≤ LossEn (T ) + 1 ln N η n где сумма в Loss берётся по шагам, когда En не спал Спящие эксперты, 1, Slide 36/58 Department of Computer Science, RHUL

93. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Обсуждение • новых экспертов можно добавлять во время работы — например, новый эксперт может появиться оттого, что предсказательный алгоритм просмотрел достаточно большой сегмент данных и натренировался на нём • вес нового эксперта, подключившегося в момент времени T , можно расчитать через наши потери Loss(T − 1), т.к. пока он не существовал, он “предсказывал” как мы Спящие эксперты, 1, Slide 37/58 Department of Computer Science, RHUL

94. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Обсуждение • новых экспертов можно добавлять во время работы — например, новый эксперт может появиться оттого, что предсказательный алгоритм просмотрел достаточно большой сегмент данных и натренировался на нём • вес нового эксперта, подключившегося в момент времени T , можно расчитать через наши потери Loss(T − 1), т.к. пока он не существовал, он “предсказывал” как мы Спящие эксперты, 1, Slide 37/58 Department of Computer Science, RHUL

96. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Опцион • опцион на акцию это контракт такого вида: купить: акцию: декабрь: 10$: Податель сего может купить акцию ABC ltd в декабре 2014 года по цене 10$. опцион на покупку называется колл, а на продажу – пут финансовый инструмент, с которым проводится сделка, называется базовым активом; им может быть акция, фьючерс, индекс и т.д. опцион содержит дату исполнения/погашения опциона; владелец опциона может решить, использовать его или нет (данный опцион будет исполнен, если цена акции в декабре 2014 года превысит 10$) — биржа (как правило) фиксирует четыре даты погашения в году и допускает опционы только с этими датами цена, записанная в контракте, называется страйком Спящие эксперты, 1, Slide 39/58 Department of Computer Science, RHUL

101. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Математическая формулировка • опцион колл: Податель сего имеет право получить в момент времени T сумму денег max(ST − X , 0). • опцион пут: Податель сего имеет право получить в момент времени T сумму денег max(X − ST , 0). • здесь: T – момент исполнения опциона ST – цена базового актива в момент T X – страйк Спящие эксперты, 1, Slide 40/58 Department of Computer Science, RHUL

104. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Формулы Блэка-Шоулза • сколько должен стоить опцион? • колл: c = SΦ(d1 ) − Xe −rT Φ(d2 ) • пут: p = Xe −rT Φ(−d2 ) − SΦ(−d1 ) √ d1 = (ln(S/X ) + (r + σ 2 /2)T )/(σ T ) √ d2 = (ln(S/X ) + (r − σ 2 /2)T )/(σ T ) где: X – страйк T – время до исполнения опциона S – текущая цена базового актива r – процентная ставка (часто принимается нулевой) σ – волатильность Φ – функция распределения для нормального распределения Спящие эксперты, 1, Slide 41/58 Department of Computer Science, RHUL

107. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Волатильность • волатильность – единственный ненаблюдаемый параметр • по теории Блэка-Шоулза(-Мёртона) логарифм цены акции ln St совершает обобщённое броуновское движение, так что вариация изменения логарифма цены за время ∆t составляет σ 2 ∆t • волатильность σ оценивается статистически по наблюдениям над ценой акции Спящие эксперты, 1, Slide 42/58 Department of Computer Science, RHUL

110. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Неявная волатильность (1) • цена опциона – тоже наблюдаемая величина (можем посмотреть котировку на бирже) • используем формулы Б-Ш наоборот: подставим цену опциона и рассчитаем волатильность • такая волатильность называется неявной (ожидаемой, implied) Спящие эксперты, 1, Slide 43/58 Department of Computer Science, RHUL

111. Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность Неявная волатильность (1) • цена опциона – тоже наблюдаемая величина (можем посмотреть котировку на бирже) • используем формулы Б-Ш наоборот: подставим цену опциона и рассчитаем волатильность • такая волатильность называется неявной (ожидаемой, implied) Спящие эксперты, 1, Slide 43/58 Department of Computer Science, RHUL

Спящие эксперты и их применение в предсказании: Юрий Калнишкан

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

More from Yandex

More from Yandex (20)

Спящие эксперты и их применение в предсказании: Юрий Калнишкан