Koluvannya

ВИВЧЕННЯ ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ У КОЛИВАЛЬНОМУ
КОНТУРІ

Мета роботи: Вивчення залежності струму у коливальному контурі від частоти
джерела ЕРС, що включене в контур, та визначення резонансної частоти
контуру.
Обладнання: комп’ютер зі встановленими програмами SweepGen та Visual
Analyser, модуль з коливальним контуром, магазин опорів, магазин ємностей.

Теоретичні відомості

a
Будь-який реальний контур має активний опір. Енергія, запасена в
контурі, поступово витрачається в цьому опорі на нагрівання, внаслідок чого
вільні коливання затухають. Для одержання незатухаючих електромагнітних

.u
коливань необхідно ззовні підводити енергію, що компенсує втрати на
джоулеве тепло. Така компенсація можлива, якщо в коливальний контур
включити джерело струму, що має ЕРС, яка змінюється періодично з
частотою Ω:
ho E = E 0 cos Ω t .
Припустимо, що миттєві значення струмів та напруг задовольняють
(1)

законам, встановленим для ланцюгів постійного струму. Такі струми
називаються квазістаціонарними. Тому можна застосовувати закони Кірхгофа.
В будь-який момент часу сума падінь напруги на елементах ланцюга дорівнює
ЕРС (рис. 1):
b.
U L + U R + U = E 0 cos Ω t , (2)
la

Рис. 1
pc

де U L – падіння напруги на котушці індуктивністю L, U R – падіння напруги на
опорі, U – спадання напруги на конденсаторі.
dI q
U L = − Ei = L
dt
; U R = IR ; U =
C
. (3)
Струм у котушці й контурі
dq d ( CU ) dU
I = = =C . (4)
dt dt dt
Підставивши (3) та (4) в (2), отримаємо
d 2U dU
LC 2
+ RC + U = E 0 cos Ω t . (5)
dt dt
1 R
Розділимо це рівняння на LC та введемо позначення: ω 0 = , β = 2 L , де
2

LC
ω 0 – власна частота коливань, β – коефіцієнт затухання.

© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua

Позначивши диференціювання за часом крапкою, одержимо
диференціальне рівняння вимушених коливань
U& + 2 β U + ω 02U = E 0ω 02 cos Ω t .
& & (6)
Його розв’язання дає закон зміни напруги на конденсаторі з часом і
дорівнює сумі розв’язку однорідного рівняння (7) та часткового розв’язку
рівняння (6):
U& + 2 β U + ω 02U = 0 .
& & (7)
Однорідне рівняння (7) – рівняння затухаючих коливань. Його розв’язок:
U 1 = U 1 e − β t cos ω t ,
0 (8)
де ω – частота затухаючих коливань, ω = ω 0 − β .
2 2

a
1
Затухання визначається членом e − β t . За час t = β амплітуда коливань
зменшиться в e раз. Затухання в коливальному контурі пов’язане з

.u
1
перетворенням енергії коливань у джоулеве тепло в опорі R. При t >>
β
складова U 1 розв’язку рівняння (6) зникне, отже, вона відображує перехідний
процес, обумовлений початковими умовами та параметрами контуру.
Коливання, що встановилися в ланцюзі, відбуваються з частотою Ω і можливим
ho
зсувом по фазі. Частковий розв’язок рівняння (6) має вигляд:
U = U 0 cos( Ω t + ϕ ) , (9)
де U 0 – амплітудне значення напруги, ϕ – зсув фаз.
Використовуючи (9) та (6) можна визначити:
E0ω0 2
U0 =
(ω02 − Ω2 )2 + 4β 2Ω2 ; (10)
b.
2β Ω
tg ϕ = −
ω 02 − Ω 2 . (11)
Таким чином, амплітуда та фаза напруги на конденсаторі залежать від
співвідношення частоти джерела ЕРС Ω та частоти ω 0 . Струм у контурі
la

dU π
I =C = − C Ω U 0 sin( Ω t + ϕ ) = I 0 cos( Ω t + ϕ 1 ) ,
де ϕ 1 = ϕ + 2 . Амплітуда струму в
dt
контурі також залежить від співвідношення частот Ω та ω 0 :
E0Cω0 Ω2
pc

I0 =
(ω02 − Ω2 )2 + 4β 2Ω2 . (12)
Ω
Графік залежності I 0 від ω 0 представлений на рис. 2.


a
Рис. 2
З графіка видно, що амплітуда струму різко зростає при наближенні
циклічної частоти Ω джерела ЕРС до частоти ω 0 . Це явище називається

.u
резонансом, а криві – резонансними кривими. Величина максимуму залежить
від β: при β = 0 I 0 → ∞ (крива 3); при збільшенні β максимальне значення
m

I 0 зменшується (криві 2 та 1), ϕ 1 визначає різницю фаз коливань струму в
m

контурі та зовнішньої ЕРС:
ho ⎛π
⎝2
⎞
tg ϕ1 = tg ⎜ + ϕ ⎟ = −
⎠
1
tg ϕ
ω 2 − Ω2
= 0
2β Ω
.
Графік залежності ϕ 1 від частоти представлений на рис. 3. Криві 1 та 2
(13)

відповідають різним значенням β. При ω 0 = Ω tg ϕ 1 = 0 та ϕ 1 = 0 .
b.
la

Рис. 3
pc

ω
Величина Q =називається добротністю коливального контуру.
2β
Добротність контуру пов’язана з гостротою резонансної кривої. Знайдемо
I 0m
ширину резонансної кривої на рівні I 0 = = 0,7 ⋅ I 0m (рис. 4).
2


a
Рис. 4
З формули (12) випливає, що максимальне значення струму
E 0 C ω 02

.u
I 0m = ,
2β
2β ΩI 0m
а I0 = . (14)
(ω
2
0 − Ω2 ) + 4β 2Ω2
2

I 0m
При I 0 =
2
ho
формула (14) запишеться так:
1
=
2β Ω
2 (ω 2
− Ω 2 ) + 4β 2Ω 2
2 . (15)
0

При β << ω 0 вираз (15) можна перетворити до вигляду 2 β Ω = ω 0 − Ω або
2 2

ΔΩ
Величина ω 0 − Ω = 2 , а поблизу резонансу ω 0
2 β Ω = (ω 0 − Ω )( ω 0 + Ω ) . ≈Ω . Після
b.
підстановки одержимо ΔΩ = 2 β :
ΔΩ 2β 1
= ≈ . (16)
ω0 ω0 Q
З формули (16) випливає, що при малому затуханні β << ω 0 та ω 0 = ω
la

відносна ширина резонансної кривої чисельно дорівнює величині зворотній
добротності контуру.
Якщо відомі параметри контуру, добротність може бути розрахована за
співвідношенням
pc

ω0 1 L
Q≈ = . (17)
2β R C

Опис експериментальної установки

Зміст роботи полягає у вивченні резонансу в послідовному ланцюгу RCL.
Експеримент проводиться за допомогою комп’ютера зі звуковою картою та
встановленого програмного забезпечення Visual Analyser (емулятор
осцилографа), SweepGen (емулятор звукового генератора). Схема лабораторної
установки показана на рис. 5.


Рис. 5
Коливальний контур складається з котушки L, магазину ємностей C,
змінного опору R та опору R 1 . Джерелом змінної ЕРС, що збуджує коливання у

a
ньому, виступає сигнал створений емулятором звукового генератора. Напруга
на опорі R 1 , пропорційна струму в контурі, подається на канал 2 лінійного
входу звукової карти і на екрані емулятора осцилографа спостерігаються

.u
вимушені коливання у контурі. Для зняття резонансних кривих, змінюючи
частоту звукового генератора, з’ясовують залежність I 0 = f ( Ω ) при різних
опорах контуру R.
Сигнал на канал 1 лінійного входу подається безпосередньо з виходу

визначити зсув фаз ϕ 1 .
ho
звукової карти для того, щоб можна було, використовуючи фігури Ліссажу,

Нехай дві синусоїдальні напруги однакової частоти Ω подаються на канал
1 та 2 входу звукової карти комп’ютера. Зміщення світлової точки під дією цих
напруг пропорційне напрузі: по горизонталі x = x 0 sin Ω t , по вертикалі
y = y 0 sin( Ω t + ϕ ) , де ϕ – зсув фаз між напругами, x 0 , y 0 – амплітуди зміщення
b.
світлової точки, пропорційні амплітудам напруги та коефіцієнтам підсилення
відповідних вхідних каналів осцилографа. Виключивши час, отримаємо:
2 2
⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞ 2 xy
⎜ ⎟ +⎜⎜ y ⎟ − x y cos ϕ = sin ϕ
2
⎜x ⎟ ⎟ . (18)
⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ 0 0
la

Вираз (18) – рівняння еліпса, який описує на екрані осцилографа світлова
точка. Виберемо коефіцієнти підсилення вертикального та горизонтального
каналів осцилографа такими, щоб x 0 = y 0 . Тоді
x 2 + y 2 − 2 xy cos ϕ = x0 sin 2 ϕ .
2
(19)
pc

π
Рівняння (19) – рівняння еліпса, вісі якого складають кут 4 з осями
π
координат. При ϕ = 0 еліпс вироджується в пряму y = x , при ϕ = 2 – в коло
радіуса x 0 . Для точки М еліпса (рис. 6) y = x , відповідно, a = x + y = 2 x , а
2 2 2 2

рівняння (19) для цієї точки прийме вигляд:
2 x 2 − 2 x 2 cos ϕ = x0 sin 2 ϕ ;
2

2 x 2 (1 − cos ϕ ) = x0 sin 2 ϕ ;
2

ϕ ϕ ϕ
a 2 ⋅ 2 sin 2 = x0 ⋅ 4 sin 2 cos 2 ;
2

2 2 2
звідси
a 2 = 2x0 cos 2 ϕ .
2
(20)


Аналогічно для точки N еліпса (рис. 6), де y = − x , отримаємо
b 2 = 2x0 sin 2 ϕ .
2
(21)
З виразів (20) та (21) отримаємо
b
tg ϕ = . (22)
a

a
.u
Рис. 6
Таким чином, для визначення зсуву фаз між напругами однакової частоти
достатньо виміряти півосі еліпса, вписаного в квадрат на екрані осцилографа.
При ϕ = 0 еліпс вироджується в пряму, що дозволяє за фігурами Ліссажу
ho
встановити момент настання резонансу.

Порядок виконання роботи

1. Встановити за допомогою магазину ємностей та магазину опорів
значення, які задав викладач.
b.
2. Перевірити, щоб елементи коливального контуру були зібрані
відповідно до електричної схеми (рис. 5), а також щоб контур був правильно
підключений до звукової карти комп’ютера.
3. Перевірити настройки звукової карти комп’ютера.
Якщо на панелі задач відображується значок регулятора гучності,
la

наведіть на нього курсор, викличте контекстне меню натисненням правої
кнопки миші та виберіть пункт «Настройка аудиопараметров». У вікні
«Свойства: Звуки и аудиоустройства» на закладці «Громкость» натисніть
кнопку «Дополнительно». У пункті меню «Параметры» вікна, що з’явилося,
pc

виберіть «Свойства».


a
Рис. 7
При обраному за замовченням пункті «Воспроизведение» слід

.u
пересвідчитись, щоб у полі «Отображать регуляторы громкости» були
відмічені «Громкость» та «Звук» (рис. 7) і натиснути кнопку «OK». У вікні
«Громкость», яке відображує мікшер звукового пристрою (рис. 8), встановіть
два перших повзунки зліва («Громкость» та «Звук») у крайнє верхнє
ho
положення (максимальна гучність); перевірте, щоб біля написів «Выкл. все» та
«Выкл.» відповідно не був встановлений прапорець. Переконайтесь, що
повзунки «Баланс» обраних пристроїв встановлені у середнє положення. Решту
пристроїв бажано відключити (поставити прапорці біля напису «Выкл.»).
b.
la

Рис. 8
Далі знову оберіть «Свойства» пункту меню «Параметры». Відмітивши
pc

пункт «Запись» (рис. 9), переконайтесь, що на панелі «Отображать
регуляторы громкости» обрано «Лин. вход» (лінійних вхід) і натисніть кнопку
«OK».


a
Рис. 9
У вікні, що з’явилося (рис. 10), поставте прапорець біля напису

.u
«Выбрать» на панелі «Лин. вход» та встановіть відповідний повзунок не
більше, ніж на дві треті максимального рівня гучності. Решта пристроїв
відключаться автоматично. Переконайтесь, що повзунок «Баланс» даного
пристрою встановлений у середнє положення. Тепер можна закрити всі вікна
ho
настройки аудіопараметрів.
b.

Рис. 10
la

Якщо значок регулятора гучності на панелі задач відсутній, слід перейти
до панелі керування («Пуск» → «Настройка» → «Панель управления») та
відкрити «Звуки и аудиоустройства». Далі виконати дії описані вище.
4. Запустити програми Visual Analyser та SweepGen.
pc

Завдання 1. Зняття резонансних кривих

5. У лівому верхньому куті програми Visual Analyser натиснути кнопку
«On», увімкнувши таким чином емулятор осцилографа. У правому нижньому
куті у полі «Channel(s)» оберіть «Ch A».
6. Визначити резонансну частоту контуру необхідно шляхом підбору за
допомогою емулятора свіп-генератора. Потрібно встановити рівень вихідного
сигналу емулятора приладу – -1 – -2 дБ. (рис. 11, 1). У полі «Sweep Speed» слід
для початку вибрати повільне зростання частоти – Slow (рис. 11, 2). Обрати
межі зростання (рис. 11, 4) 20 – 20000 Гц та натиснути кнопку «Start». Якщо всі


попередні дії виконані правильно, то на екрані емулятора осцилографа
з’явиться сигнал, форма якого близька до синусоїдальної.
Емулятор свіп-генератор буде повільно збільшувати частоту у вказаних
користувачем межах. При наближенні до резонансної частоти амплітуда
коливань на екрані осцилографа зростатиме, при досягненні її буде
максимальною, а після проходження резонансної частоти амплітуда почне
спадати.

a
.u
ho
Рис. 11
У полі «Zoom» (масштаб по вертикальній осі) (рис. 12, 2) слід встановити
значення «1». Масштаб по горизонтальній осі змінюється користувачем
b.
ваиключно для зручності спостереження форми сигналу (рис. 12, 1).
la
pc

Рис. 12


Для спостереження за абсолютним значенням амплітуди коливань краще
викликати вікно вбудованого в програму вольтметра (рис. 12, 3).

Рис. 13
У вікні, що з’явилося слід обрати «Peak To Peak» (рис. 13).
7. Слід уважно спостерігати за зростанням амплітуди на екрані
осцилографа та зафіксувати за показаннями рядку вікна генератора, що
позначений 5 на рис. 11 приблизні межі, в яких лежить значення резонансної
частоти.

a
8. Взявши за початкову межу число на 300 Гц менше від приблизного
значення резонансної частоти, а за кінцеву — на 300 Гц більше і змінюючи
частоту генератора з кроком 60 Гц, провести за допомогою вольтметра (рис. 13)

.u
вимірювання амплітуди синусоїдальної напруги при даних частотах. Результати
занести до табл. 1.
9. Для більш точного визначення резонансної частоти коливального
контуру слід вимкнути свіп-генератор натисненням кнопки «Stop», перевести
ho
його в ручний режим – Manual (поле 2 на рис. 11), встановити межі зміни
частоти (рис. 11, 4) так: початкова – приблизне значення резонансної частоти
мінус 100 Гц, кінцева – приблизне значення резонансної частоти плюс 100 Гц та
знову натиснути кнопку «Start». Активними стануть повзунки 3 (рис. 11). Після
того, як натиснути ліву кнопку миші, навівши на ці повзунки курсор, можна
змінювати частоту з точністю до 1-2 Гц, обертаючи коліщатко миші або
b.
натискаючи кнопки курсору на клавіатурі. Таким чином, спостерігаючи за
ω
показаннями емулятора вольтметра, потрібно точно визначити частоту f 0 = 2π ,
0

при якій абсолютне значення амплітуди коливань найбільше.
la

10. Силу струму в коливальному контурі розрахувати за формулою:
U0
I0 =
R1 ,
де R1=77 Ом.
pc

11. Результати експерименту занести до табл. 1.
Таблиця 1
R= Ом, R1=77 Ом
f, Гц
U 0 ,
В
I0 ,
мА

12. Провести аналогічні вимірювання та розрахунки (пп. 6-11) при іншому
значенні опору магазину R.

Таблиця 2
R= Ом, R1=77 Ом
f, Гц
U 0 ,В
I0 ,
мА
13. Побудувати в одній системі координат графі залежностей I 0 від f при
даних значеннях R.
14. За графіками при даних значеннях R знайти ширину резонансу кривої
Δ f (рис. 4) розрахувати значення добротності контуру за формулою:

a
f0
Q≈ .
Δf

.u
Завдання 2. Визначення залежності резонансної частоти від ємності

15. Встановити опір R=1 Ом, ємність С=0,01 мкФ.
16. У правому нижньому куті у полі «Channel(s)» оберіть «XY». На екрані
осцилографа з’явиться еліпс. Змінюючи частоту сигналу звукового генератора в
ho
ручному режимі добитися перетворення еліпса в пряму. При цьому частота
створеного генератором сигналу дорівнює резонансній частоті f 0 . Значення
f 0 записати до табл. 3.
17. Провести вимірювання f 0 при інших значеннях С від 0,02 до 0,1 мкФ
з інтервалом 0,01. Значення f 0 записати до табл. 3.
b.
1
18. Розрахувати значення Z = (2π f )2 та побудувати графік залежності Z
0

від C, який повинен являти собою пряму лінію, що проходить через початок
координат.
la

Таблиця 3
С, мкФ 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1
f 0 , Гц
Z
pc

19. Розрахувати значення індуктивності катушки як тангенс кута нахилу
прямих на графіку Z = f (C ) :
ΔZ L1 + L2
L =
ΔC
; Lсер = .
2
Оцініть відносну похибку визначення L:
ΔL L 2 − L сер
δ = = .
L сер L сер

Контрольні питання

1. Що називається вимушеними коливаннями?
2. З якою частотою відбуваються вимушені коливання?


3. Що входить до складу коливального контуру?
4. Що таке резонанс? При якій умові він виникає?
5. Коли виникає резонанс струмів, а коли – резонанс напруг?
6. Які зміни енергії відбуваються в реальному коливальному контурі, до якого
не підключена зовнішня змінна ЕРС?
7. Що називається резонансною кривою?
8. Що таке добротність контуру, від чого вона залежить, на що впливає?
9. Як за допомогою фігур Ліссажу можна обчислити зсув фаз.

Література

a
1. Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. Курс физики. Том 2. —
2-е изд. — М.: Высшая школа, 1991. — 288 с.
2. Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., перераб.

.u
и доп. — М.: Высшая школа, 1990. — 478 с.

ho
b.
la
pc


Koluvannya

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (7)

Similar to Koluvannya

Similar to Koluvannya (20)

Koluvannya