Integrali indefiniti, proprietà, integrazione per semplice trasformazione dell'integrando, integrazione per decomposizione in somma, integrazione delle funzioni razionali

1. I N T E G R A L I
 Integrale Indefinito
Assegnata una funzione continua , ogni , tale che)(xf )(xF )()( xfxF  ( e quindi più in generale anche cxF )( ),
si dice integrale indefinito o primitiva di .)(xf
Si dimostra, poi, che si il legame tra l’integrale indefinito e quello definito è,
 
b
a
aFbFdxxf )()()(
 Proprietà degli integrali
 Linearità dell’integrale
 Integrale della somma di due funzioni
    
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
 Integrale del prodotto di una costante per una funzione
 
b
a
b
a
dxxfcdxxfc )()(
 Additività dell’integrale rispetto all’intervallo
Talvolta risulta più semplice suddividere l’intervallo di integrazione  ba, in più parti,
 bacdxxgdxxfdxxf
b
c
b
a
c
a
,)()()(   
 0)( 
a
a
dxxf )()()( badxxfdxxf
a
b
b
a
 

2.  Integrazione immediata
1
1
1








C
x
dxx Cxdx
x
 ln
1
Cdx 
xx
ee C
a
a
dxa  ln
x
x
Cxdxx  sincos Cxdxx  cossin
CxCxdx
x


 arccosarcsin
1
1
2
Cxdx
x

 arctan
1
1
2
Cxdx
x
 tan
cos
1
2
Cxdx
x
 cot
sin
1
2
Cxdxx  coslntan Cxdxx  sinlncot
Cxdxx  coshsinh Cxdxx  sinhcosh
Cxdx
x
 tanh
cosh
1
2
Cxdx
x
 coth
sinh
1
2
Cxdxx  coshlntanh Cxdxx  sinhlncoth
  CxxCxdx
x


 1lncoshsett
1
1 2
2
  CxxCxdx
x



2
2
1lnsinhsett
1
1
C
x
x
Cxdx
x









 1
1
ln
2
1
sett tanh
1
1
2
 Integrazione di funzioni composte
    1
1
)(
)()(
1




 



C
xf
dxxfxf Cxfdx
xf
xf


 )(ln
)(
)(
    Cxfdxxfxf  )(sin)()(cos    Cxfdxxfxf  )(cos)()(sin 
Cdxxf xfxf

)()(
e)(e C
a
dxxf
xf
xf
 ln
a
)(a
)(
)(
    Cxfdxxfxf  )(cosh)()(sinh    Cxfdxxfxf  )(sinh)()(cosh 
 
  Cxfdx
xf
xf



 )(arcsin
)(1
)(
2
 
  Cxfdx
xf
xf



 )(arccos
)(1
)(
2
 
  Cxfdx
xf
xf


 )(tanh
)(cosh
)(
2
 
  Cxfdx
xf
xf



 )(arctan
)(1
)(
2
 
  Cxfdx
xf
xf


 )(tan
)(cos
)(
2
 
  Cxfdx
xf
xf


 )(cot
)(sin
)(
2

3.  
  Cxfdx
xf
xf


 )(coth
)(sinh
)(
2
Cxfdxxfxf  )(cosln)()(tan
Cxfdxxfxf  )(sinln)()(cot Cxfdxxfxf  )(coshln)()(tanh
Cxfdxxfxf  )(sinhln)()(coth

4.  Casi particolari di Integrazione
Integrazione per semplici trasformazioni dell’integrando
 dx
1
xa 22
carcoscarcsin
1
1
1
1111
22
2
22
22







































 a
x
a
x
dx
a
x
x
a
x
dx
a
xa
dx
a
xa
a
dx
xa
a
a
 dx
xa 22
1
 
carctan
1
1
11
1
111
1
11
222
222
2
2































































 a
x
a
dx
a
x
x
a
xa
dx
a
xaa
dx
a
x
a
dx
xa
a
a
 dx
1
ax 22
csinhsett
1
1
1
1111
22
2
22
22































 a
x
dx
a
x
x
a
x
dx
a
xa
dx
a
ax
a
dx
ax
a
a
 dx
1
ax 22
ccoshsett
1
1
1
1111
22
2
22
22































 a
x
dx
a
x
x
a
x
dx
a
xa
dx
a
ax
a
dx
ax
a
a
 dx
xa 22
1
 
csett tanh
1
1
11
1
111
1
11
222
222
2
2































































 a
x
a
dx
a
x
x
a
xa
dx
a
xaa
dx
a
x
a
dx
xa
a
a
   dx
x
x
n
ln
      c
1
lnln
ln
1






 n
x
dx
x
x
x
n
n
   dx
x
x
n
ln
       1c
1
lnln
ln
1







 n
n
x
dx
x
x
x
n
n
   dxxx
n
cossin       c
1
sinsin
sin
1






 n
x
dx
x
x
x
n
n
   dxxx
n
sincos       c
1
coscos
cos
1







 n
x
dx
x
x
x
n
n


 dx
x
x
n
1
n 1
    c1
2
1
2
1
11)1(
1
1
1
1
1
2
1
2
11


























n
nn
n
n
n
x
n
x
n
dx
x
x
x
n
dx
x
nx
n




dx
x
x
n
n
2
1
1    
  carcsin
1)(
1
1
1
1
2
1
2
1








n
n
n
n
n
n
x
n
dx
x
x
x
nx
n
dx
x
nx
n

5. Integrazione per decomposizione in somma
   dxx kh ck
2
hkh
2
  x
x
dxdxx



 dx
x
x
nm
kh   










  dx
x
dxdx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
nm
1
m
hn-mk
1
m
h
nm
hn-mknmh
m
1
nm
mkhn-hnmh
m
1
nm
mkmh
m
1
  cnmln
m
hn-mk
m
hnm
nm
1
m
1
m
hn-mk
m
h
nm
m
m
1
m
hn-mk
m
h
2






  xxdx
x
x
x
xdx
x
x
c
n
m
arctan
mn
1n
m
1
n
m
1
mn
1
1
n
m
n
m
m
n
n
1
1
n
m
1
n
1
1
n
m
1
n
1
222
2
















































 xdx
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
 

dx
x nm
1
2



 dx
x
x
nm
kh
2 c
n
m
arctan
mn
k
nmln
m2
h
nm
1
k
nm
m2
m2
h
nm
1
k
nm
h 2
2222
















    xxdx
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
x

6. 0q4p
qp
1
2
2


caso
dx
xx
   
     
        
 
 
 
c
pq4
p2
arctan
pq4
hpk2
qpln
2
hpq4
p2
pq4
p2
1
1
pq4
hpk2
qpln
2
h
0q4p
qp
1
2
hpk2
qpln
2
h
qp
1
p
h
2k
2
h
qp
p2
2
h
qp
h
k
2p-p2
2
h
qp
h
k
22
2
h
qp
h
k
h
qp
kh
c
pq4
p2
arctan
pq4
2pq4
p
pq4
2
pq4
p2
1
1
pq4
2
pq4
p2
1
pq4
2
pq4
pq4
2
1
pq4
p2
2
pq4
2
pq4p2
pq4
pq4
2
2
pq4p2
4
0
4
pq4
4
p
0
4
q4p
4
p2
4
q4p
2
p
2
q4p
2
p
2
q4p
2
p
2
q4pp
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222222
22
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
2
222
2222222
2,1
22
2,1
































































































































































x
xxdx
x
x
x
xx
con
dx
xx
xx
dx
xx
dx
xx
x
dx
xx
x
dx
xx
x
dx
xx
x
dx
xx
x
x
dx
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
xx
xx
x
0q4p
qp
1
2
2


caso
dx
xx

7.  
 
      
 
c
pq4
p2
sett tanh
pq4
k2hp
qpln
2
hpq4
p2
pq4
p2
1
1
pq4
hpk2
qpln
2
h
0q4p
qp
1
2
hpk2
qpln
2
h
qp
1
p
h
2k
2
h
qp
p2
2
h
qp
h
k
2p-p2
2
h
qp
h
k
22
2
h
qp
h
k
h
qp
kh
c
q4p
p2
sett tanh
q4p
2q4p
p2
q4p
p2
1
1
q4p
2
1
q4p
p2
q4p
2
q4p
q4p
2
q4pp2
q4p
q4p
2
2
0
4
q4p
4
p2
4
q4p
2
p
2
q4p
2
p
2
q4p
2
p
2
q4pp
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222222
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
22222
2,1
22
2,1






















































































































































x
xxdx
x
x
x
xx
con
dx
xx
xx
dx
xx
dx
xx
x
dx
xx
x
dx
xx
x
dx
xx
x
dx
xx
x
x
dx
x
x
x
dx
x
dx
x
x
xx
x
0q4p
qp
kh
2
2




caso
dx
xx
x
 
c
2
p
1
2
hp
k
2
p
lnhc
12
2
p
2
hp
k
2
p
ln
2
h
2
p
1
p
h
2k
2
h
2
p
2
p
2
2
h
2
p
h
2k
pp2
2
h
2
p
h
k
22
2
h
2
p
h
k
h
0
4
p2
0
2
p
2
p
2
q4pp
12
2
22222
22
2
2,1


























































































































x
x
x
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
x
x
Integrazione delle funzioni razionali
Quando abbiamo una funzione che sia il rapporto di due polinomi  xP , di grado m, e  xQ , di grado n, detta razionale, cioè

8.  
 



 



nm
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
n
n
n
n
m
m
m
m
,
...
...
01
1
1
01
1
1
Se si effettua la divisione tra polinomi ottenendo due polinomi: il quozientenm   xS e il resto ,naturalmente con il grado del
polinomio inferiore a quello di
 xR
 xR  xQ . Volendo calcolare l’integrale indefinito della funzione razionale, otteniamo
 
 
   
   dx
xQ
xR
dxxSdx
xQ
xP
 xS è un polinomi dunque la sua integrazione è immediata. Mentre l’integrazione indefinita delle funzioni razionali del tipo
 
 xQ
xR
sarà
affrontata con dei casi generali.
 
 
 dx
xQ
xR
dx
xx
x
 

qp
kh
2
0q4p2
caso
Il polinomio ammette radici reali e distinte xQ 1 e 2 , lo si scompone quindi:   21
2
qp   xxxx . In questa forma è
possibile trovare due costanti e tali che si ottiene,1A 2A
   
  21
122121
2
2
2
1
1
2
qp
kh
qp
kh


 











xx
AAxAA
xx
x
x
A
x
A
xx
x
per il principio di identità dei polinomi


  21 AA