makalah

1. ANALISIS FREKUENSI SINYAL DAN SISTEM
 Analisis frekuensi sinyal waktu
kontinu
 Analisis frekuensi sinyal waktu diskrit
 Sifat-sifat transformasi Fourier
 Domain frekuensi sistem LTI
 Sistem LTI sebagai filter

2. Peristiwa Dispersi
Newton (1672)
Fraunhofer (1787)
Kirchoff & Bunsen (1800)
Cahaya tampak
Cahaya bintang dan matahari
Bahan kimia
Analisis Frekuensi

3. PrismaCahaya Warna
Matematical
Tools
Sinyal Sinyal sinusoidal
Instrument
Software program
Speech
ECG
EEG
Pitch
Denyut jantung
α, β, δ
Transformasi Fourier

4.  Analisis frekuensi sinyal waktu kontinu
 Deret Fourier untuk sinyal waktu kontinu
periodik
 Power spektral density (psd) sinyal
periodik
 Transformasi Fourier untuk sinyal kontinu
aperiodik
 Energy spectral density (esd) sinyal
aperiodik

5. periodaT
T
1
Fec)t(x p
p
o
k
tkF2j
k
o
=== ∑
∞
−∞=
π
 Deret Fourier untuk sinyal periodik
komplekscdte)t(x
T
1
c k
T
0
tkF2j
p
k
p
o
== ∫
π−
*
kk ccnyata)t(x =→= −
kk j
kk
j
kk eccecc θ−
−
θ
==

6. ∑
∞
=
θ+π+=
1k
koko )tkF2cos(c2c)t(x
kokoko sin)tkF2sin(cos)tkF2cos()tkF2cos( θπ−θπ=θ+π
)tkF2sin(b)tkF2cos(aa)t(x ok
1k
oko π−π+= ∑
∞
=
kkkkkkoo sinc2bcosc2aca θ=θ==
∑
∞
−∞=
π
=
k
tkF2j
k
o
ec)t(x

7.  Power spectral density (psd) dari sinyal periodik
∑∫
∞
−∞=
==
k
2
k
T
0
2
p
x cdt)t(x
T
1
P
p
Energinya tak terbatas, dayanya terbatas
)ba(
2
1
ac2cP 2
k
1k
2
k
2
o
1k
2
k
2
ox ++=+= ∑∑
∞
=
∞
=
2
kc sebagai fungsi dari frekuensi F
psd
Relasi Parseval

8. F
Power spectral density dari sinyal periodik
2
kc
-4Fo -3Fo - 3Fo -Fo 0 Fo 2Fo 3Fo 4Fo
2
1c
2
3c
2
2c−
2
4c−

9. Contoh Soal 7.1
Tentukan deret Fourier dan power spectral density dari
sinyal pulsa persegi panjang di bawah ini.
)t(x
t
0
2
τ
2
τ
− pTpT−
A

10. Jawab :
p
2
2
p
2
T
2
Tp
o
T
A
Adt
T
1
dt)t(x
T
1
c
p
p
τ
=== ∫∫
τ
τ
−−
2
2
tkF2j
op
2
T
2
T
tkF2j
p
k
o
p
p
o
e
kF2j
1
T
A
dtAe
T
1
c
τ
τ
−
π−
−
π−
π−
== ∫
τπ
τπτ
=
−
π
=
τπτπ
o
o
p
kFjkFj
po
k
kF
)kFsin(
T
A
2j
ee
TkF
A
c
oo

11. TP tetap  τ berubah τ tetap  TP berubah

12. Power spectral density :








±±=





τπ
τπ







 τ
=







 τ
=
,2,1k,
kF
)kFsin(
T
A
0k,
T
A
c
2
o
o
2
p
2
p2
k

13. ∫
∞
∞−
π
= dFe)F(X)t(x Ft2j
 Transformasi Fourier untuk sinyal aperiodik
∫
∞
∞−
π−
= dte)t(x)F(X Ft2j
 Energy spectral density (esd) dari sinyal periodik
Energinya terbatas :
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
== dF)F(Xdt)t(xE
22
x
2
xx )F(X)F(S = esd
Relasi Parseval

14. Contoh Soal 7.2
Tentukan transformasi Fourier dan energy spectral density
dari sinyal yang didefinisikan sebagai :
)t(x
t
0
2
τ
2
τ
−
A






τ
≥
τ
≤
=
2
t,0
2
t,A
)t(x

15. Jawab :
τπ
τπ
τ== ∫
τ
τ
−
π−
F
Fsin
AdtAe)F(X
2
2
Ft2j
( )
2
2
xx
F
Fsin
A)F(S 





τπ
τπ
τ=

16. X(F)
x(t)
τ
τ
1

17.  Analisis frekuensi sinyal waktu diskrit
 Deret Fourier untuk sinyal waktu diskrit
periodik
 Power spektral density (psd) sinyal diskrit
periodik
 Transformasi Fourier untuk sinyal diskrit
aperiodik
 Energy spectral density (esd) sinyal diskrit
aperiodik

18.  Deret Fourier untuk sinyal diskrit periodik
2
1
f
2
1
N
k
f
N
k2
es
scec)n(x
kk
kk
nj
k
1N
0k
kk
1N
0k
N/kn2j
k
k
≤≤−=
π≤ω≤π−
π
=ω=
==
ω
−
=
−
=
π
∑∑
dasarperiodaN)n(x)Nn(x ==+
kNk
1N
0n
N/kn2j
cce)n(x
N
1
)k(c == +
−
=
π−
∑

19. Contoh Soal 7.3
Tentukan spektrum dari sinyal-sinyal di bawah ini.
{ } 4N0,0,1,1).b
3
n
cos)n(x).a =
π
=
Jawab :
6N
6
1
f
n
6
1
2cos
3
n
cos)n(x).a
o =→=
π=
π
=

20. ∑∑ =
π−
−
=
π−
==
5
0n
6/kn2j
1N
0n
N/kn2j
e)n(xe)n(x)k(c
6/n2j6/n2j
e
2
1
e
2
1
n
6
1
2cos)n(x π−π
+=π=
∑∑
−
=
π
−
=
π
==
1N
0k
6/kn2j
k
1N
0k
N/kn2j
k ecec)n(x
2
1
ccc
0cccc
2
1
c
2
1
c
1615
432o11
===
======
−+−
−

21. 2
1
ccc
0cccc
2
1
c
2
1
c
1615
432o11
===
======
−+−
−

22. ( )2/kj
3
0n
4/kn2j
e1
4
1
e)n(x
4
1
)k(c π−
=
π−
+== ∑
{ } 4N0,0,1,1).b =
∑
−
=
π−
=
1N
0n
N/kn2j
e)n(x
N
1
)k(c
)j1(
4
1
c0c)j1(
4
1
c
2
1
c 321o +==−==

23. )j1(
4
1
c0c)j1(
4
1
c
2
1
c 321o +==−==

24. Contoh Soal 7.4
Tentukan spektrum dari sinyal di bawah ini.
n
5
2
sinn
3
2
cos)n(x
π
+
π
=
Jawab :
n
15
3
2sinn
15
5
2cosn
5
2
sinn
3
2
cos)n(x π+π=
π
+
π
=
j2
ee
2
ee
)n(x
n)15/3(2jn)15/3(2jn)15/5(2jn)15/5(2j π−ππ−π
−
+
+
=
n)15/5(2jn)15/5(2jn)15/3(2jn)15/3(2j
e
2
1
e
2
1
e
2
j
e
2
j
)n(x π−ππ−π
+++−=

25. n)15/5(2jn)15/5(2jn)15/3(2jn)15/3(2j
e
2
1
e
2
1
e
2
j
e
2
j
)n(x π−ππ−π
+++−=
∑∑ =
π
−
=
π
==
14
0k
15/kn2j
k
1N
0k
N/kn2j
k ecec)n(x
2
1
c
2
j
c
2
j
c
2
1
c 5335 =−=== −−

26. 1/2
kc
90o
kc∠
- 90o

27.  Power Spectral Density (psd) sinyal diskrit periodik
∑∑
−
=
−
=
==
1N
0k
2
k
21N
0k
x c)n(x
N
1
P Relasi Parseval
psd
Energi satu perioda
Bila x(n) nyata :
∑∑
−
=
−
=
==
1N
0k
2
k
1N
0k
2
N cN)n(xE
k
*
k cc −= kkkk cccc −− −∠=∠=
kNkkNk
kNkNkk
cccc
cccc
−−
−−+
−∠=∠=
=→=

28. 0cccc N0N0 =−∠=∠=
1N11N1 cccc −− −∠=∠=
0ccc 2/N2/N2/N =∠=
2/)1N(2/)1N(2/)1N(2/)1N( cccc +−+− −∠=∠=
Bila N genap
Bila N ganjil
kNkkNk
kNkNkk
cccc
cccc
−−
−−+
−∠=∠=
=→=
2/)1N(,2,1,0k,cganjilN
2/N,2,1,0k,cgenapN
k
k
−=→
=→



29. Contoh Soal 7.5
Tentukan koefisien deret Fourier dan power spectral
density dari sinyal diskrit periodik di bawah ini.
Jawab :
∑∑
−
=
π−
−
=
π−
==
1L
0n
N/kn2j
1N
0n
N/kn2j
k Ae
N
1
e)n(x
N
1
c

30. 





−
−
==
π−
π−
−
=
π−
∑
N/kn2j
N/kL2j
1L
0n
N/kn2j
k
e1
e1
N
A
N
AL
e
N
A
c
)N/ksin(
)N/kLsin(
e
ee
ee
e
e
e1
e1
N/)1L(kj
N/kjN/kj
N/kLjN/kLj
N/kj
N/kLj
N/kn2j
N/kL2j
π
π
=
−
−
=
−
−
−π−
π−π
π−π
π−
π−
π−
π−

31. 





=
π
π
=
==
−π
−
=
π−
∑
lainnyak,
)N/ksin(
)N/kLsin(
e
N
A
,N2,N,0k,
N
AL
e
N
A
c
N/)1L(kj
1L
0n
N/kn2j
k








=





π
π






=





==
lainnyak,
)N/ksin(
)N/kLsin(
N
A
,N2,N,0k,
N
AL
cpsd 22
2
2
k


33.  Transformasi Fourier dari sinyal diskrit aperiodik
∑
∞
−∞=
ω−
=ω
n
nj
e)n(x)(X
∫
π
π−
ω
ωω
π
= de)(X
2
1
)n(x nj
∑∑
∑
∞
−∞=
ω−
∞
−∞=
π−ω−
∞
−∞=
π+ω−
ω===
=π+ω
n
nj
n
kn2jnj
n
n)k2(j
)(Xe)n(xee)n(x
e)n(x)k2(X
Bentuk Deret Fourier

34. Contoh Soal 7.6
Tentukan sinyal diskrit yang transformasi Fouriernya
adalah :
Jawab :




π<ω<ω
ω≤ω
=ω
c
c
,0
,1
)(X
∫
π
π−
ω
ωω
π
= de)(X
2
1
)n(x nj
π
ω
=ω
π
=→= ∫
ω
ω−
c
c
c
d
2
1
)0(x0n

35. n
nsin
n
nsin
j2
ee
n
1
)n(x
e
jn
1
2
1
de
2
1
)n(x0n
c
ccc
njnj
njnj
cc
c
c
c
c
ω
ω
π
ω
=
π
ω
=
−
π
=
π
=ω
π
=→≠
ω−ω
ω
ω−
ω
ω
ω−
ω
∫

36. ∑
∞
−∞=
ω−
=ω
n
nj
e)n(x)(X ∑−=
ω−
π
ω
=ω
N
Nn
njc
N e
n
nsin
)(X

37.  Energy spectral density (esd) sinyal diskrit aperiodik
Relasi Parsevalωω
π
== ∫∑
π
π−
∞
−∞=
d)(X
2
1
)n(xE
2
n
2
x
2
xx )(X)(S ω=ω
Spektrum
magnituda
)(X)()(Xe)(X)(X )(j
ω∠=ωΘωω=ω ωθ
Spektrum fasa
x(n) nyata )(X)(X*
ω−=ω
)(X)(X)(X)(X ω−−∠=ω∠ω−=ω

38. Contoh Soal 7.7
Tentukan energy spectral density dari sinyal diskrit :
Jawab :
1a1)n(ua)n(x n
<<−=
∑∑∑
∞
=
ω−
∞
=
ω−
∞
−∞=
ω−
===ω
0n
nj
0n
njn
n
nj
)ae(eae)n(x)(X
)(X)(X)(x)(S
ae1
1
)(X *2
xxj
ξω=ω=ω→
−
=ω ω−
2jjxx
acosa21
1
ae1
1
ae1
1
)(S
+ω−
=
−−
=ω ωω−

40. Contoh Soal 7.8
Tentukan transformasi Fourier dari sinyal diskrit :


 −≤≤
=
lainnyan,0
1Ln0,A
)n(x
Jawab :
)2/sin(
)2/Lsin(
Ae
e1
e1
AAe)(X
)1L)(2/(j
j
Lj1L
0n
nj
ω
ω
=
−
−
==ω
−ω−
ω−
ω−−
=
ω−
∑

41. )(j)1L)(2/(j
e)(X
)2/sin(
)2/Lsin(
Ae)(X ωΘ−ω−
ω=
ω
ω
=ω





ω
ω
ω
=ω
=ω
lainnya,
)2/sin(
)2/Lsin(
A
0,AL
)(X
)2/sin(
)2/Lsin(
)1L(
2
A)(X)(
ω
ω
∠+−
ω
−∠=ω∠=ωΘ

42. Spektrum fasa
Spektrum
magnituda
A = 1
L = 5

43.  Hubungan transformasi Z dengan transformasi Fourier
∑∑∑
∞
−∞=
ω−−
∞
−∞=
−ω
∞
−∞=
−
===
n
njn
n
nj
n
z
e]r)n(x[)re)(n(xe)n(x)z(X
Transformasi Fourier :
∑
∞
−∞=
ω−
ω==→=→=
n
nj
)(Xe)n(x)z(X1r1z
Transformasi Z
zzrrez j
∠=ω== ω
Transformasi Fourier pada lingkaran satu =

44. Contoh Soal 7.9
Tentukan transformasi Fourier dari : )n(u)1()n(x −=
Jawab :
1z
z
z1
1
)z(X 1
+
=
+
= −
)2/1k(2
)2/cos(2
e
)ee)(e(
)e)(e(
1re
re
1z
z
z1
1
)(X
2/j
2/j2/j2/j
2/j2/j
j
j
1
+π≠ω
ω
=
+
=
+
=
+
=
+
=ω
ω
ω−ωω
ωω
ω
ω
−

45.  Klasifikasi sinyal dalam domain frekuensi
Sinyal frekuensi rendah :

46. Sinyal frekuensi tinggi :
Sinyal frekuensi menengah (bandpass signal) :

47.  Daerah frekuensi pada beberapa sinyal asli
Sinyal-sinyal biologi :
Tipe sinyal Daerah frekuensi (Hz)
Electroretinogram 0 - 20
Electronystagmogram 0 - 20
Pneumogram 0 - 40
Electrocardiogram (ECG) 0 - 100
Electroencephalogram (EEG) 0 - 100
Electromyogram 10 - 200
Aphygmomanogram 0 - 200
Speech 100 - 4000

48. Sinyal-sinyal seismik :
Tipe sinyal Daerah frekuensi (Hz)
Wind noise 100 - 1000
Seismic exploration signals 10 - 100
Earthquake and nuclear
explosion signsld
0.01 - 10
Seismic noise 0,1 - 1

49. Sinyal-sinyal elektromagnetik :
Tipe sinyal Daerah frekuensi (Hz)
Radio broadcast 3x104
– 3x106
Shortwave radio signals 3x106
– 3x1010
Radar, sattellite comunications 3x108
– 3x1010
Infrared 3x1011
– 3x1014
Visible light 3,7x1014
– 7,7x1014
Ultraviolet 3x1015
– 3x1016
Gamma rays and x-rays 3x1017
– 3x1018

50.  Sifat-sifat transformasi Fourier
 Sifat-sifat simetri dari transformasi Fourier
 Linieritas
 Pergeseran waktu
 Pembalikan waktu
 Teorema konvolusi
 Pergeseran frekuensi
 Diferensiasi frekuensi

51.  Sifat-sifat simetri dari transformasi Fourier
nj1
n
nj
e)(X
2
1
)}(X{F)n(x
e)n(x)}n(x{F)(X
ω
π
π−=ω
−
∞
−∞=
ω−
∫
∑
ω
π
=ω=
==ω
)(X)n(x
F
ω↔
nsinjncosesinjncose njnj
ω−ω=ω+ω= ω−ω

52. ]nsin)n(xncos)n(x[)(X
]nsin)n(xncos)n(x[)(X
R
n
II
n
IRR
ω−ω=ω
ω+ω=ω
∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
)(jX)(X)(X
)n(jx)n(x)n(x
R
IR
ω+ω=ω
+=
x(n) dan X (ω) kompleks
ωωω+ωω
π
=
ωωω−ωω
π
=
∫
∫
π
π
d]ncos)(Xnsin)(X[
2
1
)n(x
d]nsin)(Xncos)(X[
2
1
)n(x
I
2
0
RI
I
2
0
RR

53. x(n) nyata 0)n(x)n(x)n(x IR ==
)(X)(Xnsin)n(x)(X
)(X)(Xncos)n(x)(X
II
n
I
R
n
RR
ω=ω−→ω−=ω
ω=ω−→ω=ω
∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
nsin)nsin(ncos)ncos( ω−=ω−ω=ω−
)(X)(X)(X)(X IIRR ω=ω−ω=ω−
)(X)(X*
ω−=ω

54. )(X
)(X
tg)(X
)(X)(X)(X
I
I1
2
I
2
R
ω
ω
=ω∠
ω+ω=ω
− )(X)(X
)(X)(X
ω−∠=ω−∠
ω=ω−
ωωω−ωω
π
=
ωωωω
ωωω−ωω
π
=
∫
∫
π
π
d]nsin)(Xncos)(X[
1
)n(x
ganjilnsindan)(Xgenapncosdan)(X
d]nsin)(Xncos)(X[
2
1
)n(x
I
0
R
IR
I
2
0
R

55. x(n) nyata dan fungsi genap
ωωω
π
=
=ωω+=ω
=−
∫
∑
π
∞
=
dncos)(X
1
)n(x
0)(Xncos)n(x2)0(x)(X
)n(x)n(x
0
R
I
1n
R
x(n) nyata dan fungsi ganjil
ωωω
π
−=
=ωω−=ω
−=−
∫
∑
π
∞
=
dnsin)(X
1
)n(x
0)(Xnsin)n(x2)(X
)n(x)n(x
0
I
R
1n
I

56. x(n) imajiner murni
ωωω+ωω
π
=
ω=ω
ω=ω
==
∫
∑
∑
π
∞
−∞=
∞
−∞=
d]ncos)(Xnsin)(X[
1
)n(x
ncos)n(x)(X
nsin)n(x)(X
)n(jx)n(x0)n(x
0
IRI
n
II
n
IR
IR

57. x(n) imajiner murni dan genap
ωωω
π
=
=ωω=ω
=−
∫
∑
π
∞
=
dnsin)(X
1
)n(x
0)(Xnsin)n(x2)(X
)n(x)n(x
0
RI
I
1n
IR
II
x(n) imajiner murni dan ganjil
ωωω
π
=
=ωω+=ω
−=−
∫
∑
π
∞
=
dncos)(X
1
)n(x
0)(Xncos)n(x2)0(X)(X
)n(x)n(x
0
II
R
1n
III
II

58. Contoh Soal 7.10
Tentukan dan buat sketsa XR(ω), XI(ω), |X(ω)| dan ∠ X(ω
dari transformasi Fourier :
Jawab :
1a1
ea1
1
)(X j
<<−
−
=ω ω−
22jj
j
j
j
j
acosa21
sinjacosa1
a)ee(a1
ea1
ea1
ea1
ea1
1
)(X
+ω−
ω−ω−
=
++−
−
=
−
−
−
=ω
ω−ω
ω
ω
ω
ω−

59. 2R
acosa21
cosa1
)(X
+ω−
ω−
=ω
2I
acosa21
sina
)(X
+ω−
ω
−=ω
2
2
2
2222
2
I
2
R
a)cos(a21
cosa2a1
a)cos(a21
)(sinacosa2)(cosa1
)(X)(X)(X
+ω−
ω−+
=
+ω−
ω+ω−ω+
=
ω+ω=ω
ω−
ω
−=ω∠ −
cosa1
sina
tg)(X 1

60.  Linieritas
)(Xa)(Xa)(X)}n(x{F
)n(xa)n(xa)n(x
)(X)}n(x{F)(X)}n(x{F
2211
2211
2211
ω+ω=ω=
+=
ω=ω=
Contoh Soal 7.11
Tentukan transformasi Fourier dari : 1a1a)n(x
n
<<−=



≥
<
=



<
≥
=
+=
−
0n,0
0n,a
)n(x
0n,0
0n,a
)n(x
)n(x)n(x)n(x
n
2
n
1
21
Jawab :

61. ω−
∞
=
ω−
∞
=
ω−
∞
−∞=
ω−
−
=
===ω ∑∑∑
j
0n
nj
0n
njn
n
nj
11
ae1
1
)ae(eae)n(x)(X
ω
ω∞
=
ω
−
−∞=
−ω
−
−∞=
ω−−
∞
−∞=
ω−
−
==
===ω
∑
∑∑∑
j
j
1k
kj
1
n
nj
1
n
njn
n
nj
22
ae1
ae
)ae(
)ae(eae)n(x)(X
2
2
2jj
2jj
j
j
j21
acosa21
a1
a)aeae(1
aaeae1
ae1
ae
ae1
1
)(X)(X)(X
+ω−
−
=
++−
−+−
=
−
+
−
=ω+ω=ω
ω−ω
ωω
ω
ω
ω−

62.  Pergeseran waktu
)(Xe)}n(x{F)kn(x)n(x
)(X)}n(x{F
1
kj
1
11
ω=→−=
ω=
ω−
 Pembalikan waktu
)(X)}n(x{F)n(x)n(x
)(X)}n(x{F
11
11
ω−=→−=
ω=

63.  Teorema konvolusi
)(X)(X)}n(x{F)n(x*)n(x)n(x
)(X)}n(x{F)(X)}n(x{F
2111
2211
ωω=→=
ω=ω=
Jawab :
Contoh Soal 7.12
Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n), dengan :
x1(n) = x2(n) ={1, 1, 1}
ω+=++=
==ω
ω−ω−
∞
−∞= −=
ω−ω−
∑ ∑
cos21ee1
ee)n(x)(X
jj
n
1
1n
njnj
11

64. )ee()ee(23
2cos2cos43
2
2cos1
4cos41
cos4cos41
)cos21()(X)(X)(X
cos21)(X)(X
2j2jjj
2
2
21
21
ω−ωω−ω
++++=
ω+ω+=





 ω+
+ω+=
ω+ω+=
ω+=ωω=ω
ω+=ω=ω
ωωω−ω−
∞
−∞=
ω−
++++==ω ∑ 2jjj2j
n
nj
ee23e2ee)n(x)(X
}12321{)n(x =

65.  Pergeseran frekuensi
)(X)}n(x{F)n(xe)n(x
)(X)}n(x{F
o11
nj
11
o
ω−ω=→=
ω=
ω
 Teorema modulasi
ncos)n(x)n(x)(X)}n(x{F o111 ω=ω=
)n(xe
2
1
)n(xe
2
1
)n(x)ee(
2
1
)n(x 1
nj
1
nj
1
njnj oooo ωωωω
+=+=
)(X
2
1
)(X
2
1
)(X)}n(x{F o1o1 ω−ω+ω+ω=ω=

66.  Diferensiasi frekuensi
)n(nx)n(x)(X)}n(x{F 111 =ω=
ω
ω
=
d
)(dX
j)}n(x{F 1
)}n(nx{jFe)n(nxj
e
d
d
)n(xe)n(x
d
d
d
)(dX
e)n(x)(X
1
n
nj
1
n
nj
1
n
nj
1
1
n
nj
11
−=−=
ω
=
ω
=
ω
ω
=ω
∑
∑∑
∑
∞
−∞=
ω−
∞
−∞=
ω−
∞
−∞=
ω−
∞
−∞=
ω−

67.  Domain frekuensi sistem LTI
 Fungsi respon frekuensi
 Respon steady-state dan respon transien
 Respon terhadap sinyal input periodik
 Respon terhadap sinyal input aperiodik
 Hubungan antara fungsi sistem dan fungsi
respon frekuensi
 Komputasi dari fungsi respon frekuensi

68.  Fungsi respon frekuensi
∑∑
∑
∞
−∞=
ωω−
∞
−∞=
−ω
ω
∞
−∞=
==
=→
−=
k
njkj
k
)kn(j
nj
k
e]Ae)k(h[AAe)k(h)n(y
Ae)n(xkompleksInput
)kn(x)k(h)n(y
nj
k
kj
e)(AH)n(ye)k(h)(H ω
∞
−∞=
ω−
ω=→=ω ∑
Eigen function
Eigen value

69. Contoh Soal 7.12
Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah :
)n(u
2
1
)n(h
n






=
Jawab :
Tentukan outputnya bila mendapat input :
2/nj
Ae)n(x π
=
{ }
2
1
j1
1
e
2
1
1
1
)(H
e
2
1
1
1
)(H
e
2
1
e
2
1
)(H)n(hF
2/jj
n
n
j
n
nj
n
+
=
−
=ω→
−
=ω






=





=ω=
π−ω−
∞
−∞=
ω−
∞
−∞=
ω−
∑∑

70. )6,262/n(2/nj6,26j
nj
6,26j
oo
o
e
5
A2
ee
5
2
A
e)(AH)n(y
e
5
2
2
1
j1
1
)(H
−ππ−
ω
−
==
ω=
=
+
=ω
Amplituda
Frekuensi
Fasa
3
2
2
1
1
1
e
2
1
1
1
)(HAe)n(x
j
nj
=
+
=
−
=π→=
π−
π
nj
Ae
3
2
)n(y π
=

71. )sin)(cos()(
)()()(
kjkkhekh
jHHH
kk
kj
IR
ωω
ωωω
ω
−==
+=
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−
)()(sin)()(
)()(cos)()(
ωωωω
ωωωω
II
k
I
RR
k
R
HHkkhH
HHkkhH
−=−→−=
=−→=
∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
)(
)(
)()(
)()()(
1
22
ω
ω
ωω
ωωω
I
I
IR
H
H
tgH
HHH
−
=Θ=∠
+=

72. njj
njjnj
njjnj
eeHA
eeHAnyAenx
eeHAnyAenx
ωω
ωωω
ωωω
ω
ω
ω
−Θ−
−−Θ−
Θ
=
−=→=
=→=
)(
)(
22
)(
11
)(
)()()(
)()()(
)](cos[)()]()([
2
1
)(
cos][
2
1
)]()([
2
1
)(
21
21
ωωω
ωωω
Θ+=+=
=+=+= −
nHAnynyny
nAAeAenxnxnx njnj
)](sin[)()]()([
2
1
)(
sin][
2
1
)]()([
2
1
)(
21
21
ωωω
ωωω
Θ+=−=
=−=−= −
nHAnyny
j
ny
nAAeAe
j
nxnx
j
nx njnj

73. Contoh Soal 7.13
Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah :
)n(u
2
1
)n(h
n






=
Jawab :
Tentukan outputnya bila mendapat input :
nnnx π
π
cos20
2
sin510)( +−=
ω
ω
j
e
H
−
−
=
2
1
1
1
)(

74. 3
2
)(
5
2
)2/(
2
2
1
1
1
)0(
2
1
1
1
)(
6,26
=
=
=
−
=
−
=
−
−
π
π
ω
ω
H
eH
H
e
H
o
j
nnnx π
π
cos
3
40
2
sin
5
10
20)( +−=

75. Contoh Soal 7.14
Suatu sistem LTI dinyatakan dengan persamaan beda :
10)()1()( <<+−= anbxnayny
)
4
cos(20
2
sin125)(
π
π
π
+−+= nnnx
9,01)().
)().
== adanHUntukb
HTentukana
maks
ω
ω
Tentukan y(n) bila inputnya :

76. Jawab :
)()()()1()( nubanhnbxnayny n
=→+−=
ω
ω
ω j
n
nj
ae
b
enhH −
∞
−∞=
−
−
== ∑ 1
)()(
ω
ω
ω
ωω
ω
ω
ω
cos1
sin
1
cos211
sin)cos1(1
1
2
a
a
tgae
aaae
jaaae
j
j
j
−
=−∠
−+=−
+−=−
−−
−
−
ω
ω
ω
ω
ω
cos1
sin
)(
cos21
)(
1
2
a
a
tgb
aa
b
H
−
−∠=Θ
−+
=
−

77. ab
a
b
HH maks
−=→=
−
== 11
1
)0()(ω
ω
ω
ω
ω
ω
cos1
sin
)(
cos21
1
)( 1
2 a
a
tg
aa
a
H
−
−=Θ
−+
−
= −
0)(1)0( =Θ= ωH
o
tgH 429,0)(074,0
9,01
1,0
)2/( 1
2
−=−=Θ=
+
= −
ωπ
0)(053,0
9,1
1,0
1
1
)( =Θ==
+
−
= ωπ
a
a
H

78. )
4
cos(20
2
sin125)(
π
π
π
+−+= nnnx
)](
4
cos[)(20
)]2/(
2
sin[)2/(12)0(5)(
π
π
ππ
π
π
π
Θ++−
Θ++=
nH
nHHny
]
4
cos[06,1]42
2
sin[888,05)(
π
π
π
+−−+= nnny o

79.  Respon steady-state dan respon transien
)n(x)1n(ay)n(y +−=
∑=
+
−+−=→
n
0k
k1n
)kn(xa)1(ya)n(y)n(x
∑=
−ω+
ω
+−=
≥=
n
0k
)kn(jk1n
nj
eaA)1(ya)n(y
0nAe)n(x
njk
n
0n
j1n
nj
e)ae(A)1(ya)n(y
0nAe)n(x
ω
=
ω−+
ω
∑+−=
≥=

80. njk
n
0n
j1n
nj
e)ae(A)1(ya)n(y
0nAe)n(x
ω
=
ω−+
ω
∑+−=
≥=
nj
j
)1n(j1n
1n
nj
e
ae1
ea1
A)1(ya)n(y
0nAe)n(x
ω
ω−
+ω−+
+
ω
−
−
+−=
≥=
nj
j
nj
j
)1n(j1n
1n
e
ae1
A
e
ae1
ea
A)1(ya)n(y ω
ω−
ω
ω−
+ω−+
+
−
+
−
−−=

81. Respon transien
Respon steady state
nj
j
nj
j
)1n(j1n
1n
e
ae1
A
e
ae1
ea
A)1(ya)n(y ω
ω−
ω
ω−
+ω−+
+
−
+
−
−−=
1aStabil <→
njnj
j
n
ss e)(AHe
ae1
A
)n(y)n(y lim
ωω
ω−
∞→
ω=
−
==
nj
j
)1n(j1n
1n
tr e
ae1
ea
A)1(ya)n(y ω
ω−
+ω−+
+
−
−−=

82.  Respon steady state terhadap sinyal input periodik
∑
−
=
π
=→
1N
0k
N/kn2j
kec)n(xFourierDeret
N/kn2j
kk
N/kn2j
kk e
N
k2
Hc)n(yecx ππ





 π
=→=
N
k2)(H
N
k2
H π
=ω
ω=




 π
∑∑
+
=
π
+
=





 π
==
1N
0k
N/kn2j
k
1N
0k
k e
N
k2
Hc)n(y)n(y





 π
== ∑
+
=
π
N
k2
Hcded)n(y kk
1N
0k
N/kn2j
k

83.  Respon steady state terhadap sinyal input aperiodik
( ) )(XH)(YkonvolusiTeori ωω=ω→
( ) )(X)(H)(Y)(XH)(Y ω∠+ω∠=ω∠ωω=ω
( ) ( ) )(SH)(S)(XH)(Y xx
2
yy
222
ωω=ω→ωω=ω
( )∫
π
π−=ω
ωωω
π
= d)(SH
2
1
E:Energi xx
2
y

84. Contoh Soal 7.15
Suatu sistem LTI mempunyai respon impuls :
)n(u
2
1
)n(h
n






=
Tentukan spektrum dan esd-nya bila mendapat input :
)n(u
4
1
)n(x
n






=
Jawab :
ω−
∞
=
ω−
−
=





=ω ∑ j0n
nj
n
e
2
1
1
1
e
2
1
)(H
ω−
−
=ω
j
e
4
1
1
1
)(X

85. ( )
ω−ω−
−−
=ωω=ω
jj
e
4
1
1
1
e
2
1
1
1
)(XH)(Y
)e
16
1
e
4
1
1(
1
)e
4
1
e1(
1
)(S
j2jj2j
y
ω−ω−ω−ω−
+−+−
=ω
( ) 22
yy )(XH)(S ωω=ω






ω−





ω−
=ω
cos
2
1
16
17
1
cos
4
5
1
)(Sy

86.  Hubungan antara fungsi sistem dan fungsi respon
frekuensi
( ) ∑
∞
−∞=
ω−
=
ω
==ω→= ω
n
nj
ez
j
e)n(hzH)(Hez j
( ) )(H)(H)(H)(HH *2
ω−ω=ωω=ω
( ) ω
=
−
=ω j
ez
12
)z(H)z(HH

87. Contoh Soal 7.16
Suatu sistem LTI dinyatakan dengan :
)1n(x)n(x)2n(y2,0)1n(y1,0)n(y −++−+−−=
Tentukan
2
)(H ω
Jawab :
21
1
z2,0z5,01
z1
)z(H −−
−
−+
+
=
221
1
1
z2,0z5,01
z1
z2,0z5,01
z1
)z(H)z(H
−+
+
−+
+
= −−
−
−

88. 221
1
1
z2,0z5,01
z1
z2,0z5,01
z1
)z(H)z(H
−+
+
−+
+
= −−
−
−
)zz(2,0)zz(08,005.1
zz2
)z(H)z(H 221
1
1
−−
−
−
+−++
++
=
)ee(2,0)ee(08,005.1
ee2
)(Hez 2j2jjj
jj
2j
ω−ωω−ω
ω−ω
ω
+−++
++
=ω→=
ω−ω+
ω+
=ω
2cos4,0cos16,005.1
cos22
)(H
2
ω−ω+
ω+
=ω→−ω=ω 2
22
cos8,0cos16,045.1
)cos1(2
)(H1cos22cos