Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Phuong Phap Tinh Tich Phan

1,375 views

Published on

Published in: Education, Sports
  • Be the first to comment

Phuong Phap Tinh Tich Phan

  1. 1. TÝch ph©n Ph¬ng ph¸p tÝnh TÝch ph©n  Mời Thầy cô vào http://violet.vn/n2chanoi để có nhiều tư liệu cùng loại I. TÝnh tÝch ph©n b»ng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn: Nh÷ng phÐp ®æi biÕn phæ th«ng: - NÕu hµm cã chøa dÊu ngoÆc kÌm theo luü thõa th× ®Æt t lµ phÇn bªn trong dÊu ngoÆc nµo cã luü thõa cao nhÊt. - NÕu hµm chøa mÉu sè th× ®Æt t lµ mÉu sè. - NÕu hµm sè chøa c¨n thøc th× ®Æt t lµ phÇn bªn trong dÊu c¨n thøc. dx - NÕu tÝch ph©n chøa th× ®Æt t = ln x . x - NÕu tÝch ph©n chøa e x th× ®Æt t = e x . dx - NÕu tÝch ph©n chøa th× ®Æt t = x . x dx 1 - NÕu tÝch ph©n chøa 2 th× ®Æt t = . x x - NÕu tÝch ph©n chøa cos xdx th× ®Æt t = sin x . - NÕu tÝch ph©n chøa sin xdx th× ®Æt t = cos x . dx - NÕu tÝch ph©n chøa th× ®Æt t = tgx . cos 2 x dx - NÕu tÝch ph©n chøa th× ®Æt t = cot gx . sin 2 x Bµi tËp minh ho¹: dx e x dx 1. ∫ ( x + 1) ( x + 2x − 1) dx 1 1 e 1 3 2. ∫ x. 1 − xdx ∫ x. 4. ∫ x 2 3. 3 0 0 1 1 − ln 2 x 0 e −1 π π π 1 dx ∫ cos xdx 4sin xdx e tgx dx 2 2 3 4 5. 6. ∫ sin 2 x − 5sin x + 6 7. ∫ 1 + cos x 8. ∫ cos 2 x 0 x 1+ x 0 0 0 π dx 2 1 9. ∫ 10. ∫ x . 1 − x dx 3 2 4 π sin x 0 4 II. TÝnh tÝch ph©n b»ng ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn: b b b C«ng thøc: ∫ f ( x )dx = uv a − ∫ vdu . Nh vËy viÖc chän ®îc u vµ dv cã a a vai trß quyÕt ®Þnh trong viÖc ¸p dông ph¬ng ph¸p nµy. Ta thng gĆ p ba lo i tÝch ph©n nh ę ¹ sau: Lo¹i 1: -N2C- 1
  2. 2. TÝch ph©n b  ∫ Pn ( x). sin f ( x).dx ba   ∫ Pn ( x). cos f ( x).dx ⇒ u = Pn ( x ) : Trong ®ã Pn ( x ) lµ ®a thøc bËc n. a b  ∫ Pn ( x).e .dx f (x) a Ta ph¶i tÝnh n lÇn tÝch ph©n tõng phÇn. b Lo¹i 2: ∫ P( x). ln n f ( x ).dx ⇒ u = ln n f ( x ) : TÝnh n lÇn tÝch ph©n tõng a phÇn.  b αx  ∫ e . sin β x.dx Lo¹i 3:  b  a §©y lµ hai tÝch ph©n mµ tÝnh tÝch ph©n  e αx . cos β x.dx ∫ a nµy ph¶i tÝnh lu«n c¶ tÝch ph©n cßn l¹i. Th«ng thêng ta lµm nh sau: b - TÝnh ∫ e . sin β x.dx :§Æt u = e αx . Sau khi tÝch ph©n tõng phÇn ta αx a l¹i cã tÝch ph©n b ∫e αx . cos β x.dx .Ta l¹i ¸p dông TPTP víi u nh trªn. a - Tõ hai lÇn TPTP ta cã mèi quan hÖ gi÷a hai tÝch ph©n vµ dÔ dµng t×m ®îc kÕt qu¶. Bµi tËp minh ho¹: π e π 1. ∫ ( x − x + 1) . sin x.dx 2 ∫x ∫x 3 2 2 2 2. . ln x.dx 3. . cos 3x.dx 1 0 0 π π π 2 2 2 4. ∫ e 3x . cos 5x.dx 5. ∫ e 2003x . sin 2004x.dx 6. ∫ e 2x . sin 2 x.dx 0 0 0 Ngoµi ra ta xÐt thªm mét vµi bµi tÝch ph©n ¸p dông ph¬ng ph¸p TPTP nhng kh«ng theo quy t¾c ®Æt ë trªn: 3 x 8 .dx π e 2 e  ln x  1 x 2e x .dx 1. ∫ cos( ln x ) .dx 2. ∫ 4 3. ∫   .dx 4. ∫ 5. 0 ( x − 1) 0 ( x + 2) 3 2 1 1 x  π 2 1 + sin x ∫ 1 + cos x .e dx x 0 III. TÝch ph©n hµm ph©n thøc h÷u tû: PhÇn 1: TÝch ph©n h÷u tû c¬ b¶n. A A 1. a.D¹ng: ∫ ax + b dx = a ln ax + b + C -N2C- 2
  3. 3. TÝch ph©n ax + b a A b.D¹ng: ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx cx + d c cx + d ax 2 + bx + c C c. D¹ng: ∫ dx = ∫ ( Ax + B ) dx + ∫ dx dx + e dx + e dx 2. a.D¹ng: ∫ 2 ax + bx + c dx 1 ( x − x1 ) − ( x − x 2 ) dx - NÕu ∆ > 0 : ∫ = ∫ a( x − x )( x − x ) = ... a( x − x 1 )( x − x 2 ) x 2 − x 1 1 2 dx ∫ 2 = ... - NÕu ∆ = 0 :  b a x −   2a  dx - NÕu ∆ < 0 : ∫ ( x − α ) = β.tgt ( x − α ) 2 + β 2 §Æt Ax + B 3. D¹ng: I = ∫ 2 dx ax + bx + c Ph©n tÝch: I = ∫ 2 Ax + B dx = m .∫ ( ax 2 + bx + c)' dx + n. dx ax + bx + c ax + bx + c 2 ∫ ax 2 + bx + c dx = m . ln ax 2 + bx + c + n.∫ 2 ax + bx + c Bµi tËp minh ho¹: 1 2004x − 2003 2 dx 4 dx 1 dx 1. ∫ dx 2. ∫ 3. ∫ x 2 − 6x + 9 4. ∫x 0 2003x + 2004 1 6 + x + 5x + x+1 2 2 0 0 2 2x + 3 1 4 − 3x 5. ∫ dx 6. ∫ 2 dx 1 6 + x + 5x 0 x + x + 1 2 b A( x ) PhÇn 2: TÝch ph©n h÷u tû tæng qu¸t. ∫ Q(x) dx a - Bíc 1: NÕu bËc cña A(x) lín h¬n bËc cña B(x): Chia chia A(x) cho B(x). Ta ph¶i tÝnh tÝch ph©n: b P( x ) ∫ Q(x) dx a - Bíc 2: + NÕu Q(x) chØ toµn nghiÖm ®¬n: Q( x ) = ( x − a 1 )( x − a 2 ) ...( x − a n ) , ta t×m A 1 ,A 2 ...A n sao cho : P( x ) A1 A2 An = + + .. + Q( x ) x − a 1 x − a 2 x − an + NÕu Q(x) gåm c¶ nghiÖm ®¬n vµ nghiÖm béi: Q( x ) = ( x − a )( x − b )( x − c ) , ta t×m A, B,C1 ,C 2 sao cho : 2 P( x ) A B C1 C2 = + + + Q( x ) x − a x − b ( x − c ) 2 ( x − c) + NÕu Q(x) gåm nh©n tö bËc hai ®¬n vµ nh©n tö bËc hai ®¬n: -N2C- 3
  4. 4. TÝch ph©n Q( x ) = ( x − a ) ( x 2 + px + q ) , ta t×m A, B, C sao cho : P( x ) A Bx + C = + 2 Q( x ) x − a x + px + q + NÕu Q(x) gåm nh©n tö bËc hai ®¬n vµ nh©n tö bËc hai béi: Q( x ) = ( x − a ) ( x 2 + px + q ) , ta t×m A, B 1 , C1 , B 2 , C 2 sao cho : 2 P( x ) A B x + C1 B x + C2 = + 2 1 + 22 Q( x ) x − a ( x + px + q ) x + px + q 2 Bµi tËp minh ho¹: 3 4x 2 + 16x − 8 2 3x 2 + 3x + 3 5 x+1 1. ∫ x 3 − 4x dx 2. ∫ 3 dx 3. ∫x − x2 dx 1 x − 3x + 2 3 2 2 IV. TÝch ph©n hµm v« tû ®¬n gi¶n: b b dx ∫ ∫ ax + b = ( ax + b ) n 1 1.D¹ng: n ax + b .dx; : §æi n a a n ax + b b 2.D¹ng: ∫ a ax 2 + bx + c .dx b - NÕu a>0 : TÝch ph©n cã d¹ng ∫ a u 2 + a 2 du ®Æt u=atgt HoÆc chøng minh ngîc c«ng thøc: u 2 2 u2 ∫ u + a du = 2 u + a + 2 ln u + u + a + C 2 2 2 2 b -- NÕu a<0 : TÝch ph©n cã d¹ng ∫ a a 2 −u 2 du ®Æt u=asint b dx 3.D¹ng: ∫ ax 2 + bx + c a dx 1 ( x − x 1 ) − ( x − x 2 ) dx - NÕu ∆ > 0 : ∫ = ∫ a( x − x )( x − x ) = ... a( x − x 1 )( x − x 2 ) x 2 − x 1 1 2 dx dx ∫ =∫  b = - NÕu ∆ = 0 : 2  b a x −  a x −  2a   2a   dx - NÕu ∆ < 0 : Víi a>o: ∫ §Æt ( x − α ) = β.tgt ( x − α) 2 + β 2 du HoÆc chøng minh ngîc c«ng thøc: ∫ = ln u + u 2 + a 2 + C u +a 2 2 dx Víi a<0: ∫ §Æt ( x − α ) = β. sin t β 2 − ( x − α) 2 Bµi tËp minh ho¹: -N2C- 4
  5. 5. TÝch ph©n 3 dx 1 dx 1 dx 1. I = ∫ 2. I = ∫ 3. I=∫ 2 4. 0 x 2 − 3x + 2 0 x 2 + 2x + 1 0 x + x+1 1 dx I=∫ 0 − x 2 − 2x + 3 1 1 5. I = ∫ x + x + 1.dx 6. I = ∫ − x − 2x + 3.dx 2 2 0 0 b dx 1 4.D¹ng ∫ ( x + α) §Æt ( x + α ) = a ax + bx + c 2 t 1 dx 1 dx BTMH: 1. ∫ 2. ∫ ( x + 1) x + x + 1 0 2 ( 2x + 4) x + 2x 0 2 ∫ R ( ( ax + b ) ; ( ax + b ) ).dx §Æt t = ( ax + b ) m q p 1 5.D¹ng: n s víi s lµ BCNN cña n vµ q. 1 dx 1 dx 1 6 x BTMH: ∫ ∫ ∫ 1+ dx − ( 2x + 1) 0 3 ( 2x + 1) 2 0 ( 1 − 2x ) − 4 ( 1 − 2x ) 0 3 x V. TÝch ph©n hµm sè lîng gi¸c: b 1.D¹ng: ∫ f ( sin x; cos x ) dx a - NÕu f lµ hµm lÎ theo sinx: §Æt t=cosx. - NÕu f lµ hµm lÎ theo cosx: §Æt t=sinx. - NÕu f lµ hµm ch½n theo sinx vµ cosx: §Æt t=tgx. Bµi tËp minh ho¹: π π π π 1. ∫ sin x dx 2. 2 3 6 cos x 3 3. 4 dx 4. 4 dx 3 ∫ 4 + sin x dx ∫ sin x. cos 3 ∫ ( sin x + cos x ) 2 0 cos x 0 0 x 0 b 2.D¹ng: ∫ sin x. cos x.dx m n a - NÕu m vµ n ch½n: H¹ bËc. - NÕu m lÎ: §Æt t=cosx. - NÕu n lÎ: §Æt t=sinx. Bµi tËp minh ho¹: π π π π 1. ∫ sin 3 x. cos 2 x.dx 2. ∫ sin 4 x. cos 2 x.dx 3. ∫ sin x dx 4. dx 2 2 2 4 2 0 0 2 0 cos x ∫ cos 0 4 x. sin 4 x b 3.D¹ng: ∫ R ( sin x;cos x ) .dx trong ®ã R lµ hµm h÷u tØ theo sinx, cosx. a x 2dt 2t 1− t2 2t §Æt t = tg ⇒ dx = ; sin x = ; cos x = ; tgx = 2 1+ t2 1+ t2 1+ t2 1− t2 -N2C- 5
  6. 6. TÝch ph©n b dx Cô thÓ lµ hµm: I=∫ a a sin x + b cos x + c Bµi tËp minh ho¹: π π π 1. I = ∫ 4 dx 2. 2 ( 1 + sin x ) 3. I = ∫ dx 2 I=∫ dx 0 sin x + cos x + 1 0 sin x.( cos x + 1) 0 ( cos x + 2) b a sin x + b cos x 4.D¹ng: I=∫ dx a c sin x + d cos x Ph©n tÝch: (Tö sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè)’ a sin x + b cos x b b b c cos x − d sin x b b d( c sin x + d cos x ) I=∫ dx = A ∫ dx + B.∫ dx = A ∫ dx + B.∫ a c sin x + d cos x a a c sin x + d cos x a a c sin x + d cos x π Bµi tËp minh ho¹: I = 3sin x − 2cos x dx 2 ∫ 4sin x + 3cos x 0 b a 1 sin x + b 1 cos x + c1 5.D¹ng: I = ∫ dx a a 2 sin x + b 2 cos x + c 2 Ph©n tÝch: (Tö sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè)’ +C b b a 2 cos x − b 2 sin x b dx I = A ∫ dx + B ∫ dx + + C∫ a a a 2 sin x + b 2 cos x + c 2 a a 2 sin x + b 2 cos x + c 2 b d( a 2 sin x + b 2 cos x + c 2 ) b = A ∫ dx + B ∫ + C.J a a a 2 sin x + b 2 cos x + c 2 J lµ tÝch ph©n tÝnh ®îc. π π Bµi tËp minh ho¹: 1. I = sin x − cos x + 1 dx 2. I = sin x + 1 2 2 ∫ sin x + 2cos x + 3 0 ∫ 3sin x − 4cos x + 5 dx 0 VI. PhÐp ®æi biÕn ®Æc biÖt: b I = ∫ f ( x)dx a Khi sö dông c¸c c¸ch tÝnh tÝch ph©n mµ kh«ng tÝnh ®îc ta thö dïng phÐp ®æi biÕn: t = ( a + b ) − x .Thùc chÊt cña phÐp ®æi biÕn nµy lµ nhê tÝnh chÊt ch½n lÎ cña hµm sè f(x). Bµi tËp minh ho¹: π ( ) π 2 cos x 1 x sin x 1. I = ∫ x dx 2. I = ∫ ln 3 x + x 2 + 1 dx 3. I = ∫ dx 4. πe + 1 0 1 + cos x 2 −1 − 2 1 sin 2004x I= ∫ dx −1 2003 + 1 x Chøng minh r»ng: -N2C- 6
  7. 7. TÝch ph©n 1. NÕu f(x) lµ hµm sè ch½n vµ liªn tôc trªn [ − a; a] th×: a a ∫ f ( x)dx = 2.∫ f (x)dx −a 0 a 2. NÕu f(x) lµ hµm sè lÎ vµ liªn tôc trªn [ − a; a] th×: ∫ f ( x)dx = 0 −a π π π π 2 2 2 2 3. ∫ f (sin x )dx = ∫ f (cos x )dx 4. ∫ x.f (sin x)dx =π ∫ f (sin x)dx 0 0 0 0 -N2C- 7

×