1. Bài 3: C c tr c a hàm s - Khóa LT ð m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
Bài 03: C c tr hàm ña th c và hàm phân th c b c 2/ b c 1
* Hàm ña th c b c 3:
Bài 1: Tìm a ñ hàm s 3 24
( ) 2(1 sin ) (1 os2 ) 1
3
f x x a x c a x= − − + + + ñ t c c tr t i
1 2,x x th o mãn ñi u ki n: 2 2
1 2 1x x+ =
L i gi i: Hàm s có Cð, CT 2
( ) 4 4(1 sin ) (1 os2 ) 0f x x a x c a′⇔ = − − + + = có 2 nghi m
phân bi t 2
4(1 sin ) 4(1 os2 ) 0a c a′⇔ ∆ = − − + >
2
3sin 2sin 1 0
1
sin (*)
3
a a
a
⇔ − − >
⇔ < −
V i ñk (*) thì f’(x) có 2 nghi m phân bi t 1 2,x x , và hàm ñ t c c tr t i 1 2,x x . Théo viet ta
có: 1 2 1 2
1 os2
1 sin ; .
4
c a
x x a x x
+
+ = − =
Gi thi t : ( )
22 2
1 2 1 2 1 21 2 . 1x x x x x x+ = ⇔ + − =
2
2
1 os2
(1 sin ) 1
2
1 3
sin
2
2sin 2sin 1 0
1 3
sin
2
c a
a
a
a a
a
+
⇔ − − =
 −
=
⇔ − − = ⇔
 +
=

So sánh ñk (*) ta suy ra
1 3
arcsin 2
1 3 2
sin ,
2 1 3
arcsin 2
2
a k
a k Z
a k
π
π π
 −
= +− = ⇔ ∈
 −
= − +

Bài 2: Cho hàm s 3 21 1 3sin 2
( ) (sin os )
3 2 4
a
f x x a c a x x= − + +
1. Tìm a ñ hàm s luôn ñ ng bi n
2. Tìm a ñ hàm s ñ t c c tr t i 1 2,x x th a mãn ñi u ki n 2 2
1 2 1 2x x x x+ = +
L i gi i: Ta có: 2 3sin 2
( ) (sin os )
4
a
f x x a c a x′ = − + +
1. Hàm s luôn ñ ng bi n ( ) 0,f x x R′⇔ ≥ ∀ ∈
2
(sin os ) 3sin 2 0
1
1 2sin 2 0 sin 2
2
5
2 2 2 (1)
6 6
a c a a
a a
k a k
π π
π π
⇔ ∆ = + − ≤
⇔ − ≤ ⇔ ≥
⇔ + ≤ ≤ +
2. Hàm s có Cð, CT ( ) 0f x′⇔ = có 2 nghi m phân bi t
www.VNMATH.com

2. Bài 3: C c tr c a hàm s - Khóa LT ð m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
0⇔ ∆ > ⇔ a không th a mãn (1)
V i ñk trên thì f’(x) có 2 nghi m phân bi t 1 2,x x , và hàm ñ t c c tr t i 1 2,x x . Théo viet
ta có: 1 2 1 2
3sin2
sin cos ; .
4
a
x x a a x x+ = + =
ði u ki n 2 2
1 2 1 2x x x x+ = + ( )
2
1 2 1 2 1 22 .x x x x x x⇔ + = + −
( )
2 3sin2
sin cos sin cos (2)
2
a
a a a a⇔ + = + −
ð t sin cos 2 os
4
t a a c a
π 
= + = − 
 
2
sin 2 1a t⇒ = − , do ñk nên 2 1 3
1
2 2
t t− < ⇔ ≤
Khi ñó (2) tr thành:
2 2 2 13
( 1) 2 3 0
32
t
t t t t t
t
=
= − − ⇔ + − = ⇔  = −
So sánh ñk suy ra ch có t = 1 th a mãn, nên
2
1
os os
4 4 22
2
a k
c a c
a k
π
π π
π
π
=
  − = = ⇒   = + 

Bài 3: Tìm m ñ hàm s 3 23
( )
2
m
f x x x m= − + có các Cð và CT n m v hai phía c a
ñư ng th ng y = x
L i gi i: Hàm s có Cð và CT 2
( ) 3 3 0f x x mx′⇔ = − = có 2 nghi m phân bi t 0m⇔ ≠
Khi ñó f’(x) có 2 nghi m phân bi t 1 20;x x m= =
⇒ t a ñ 2 ñi m Cð, CT là:
3
(0; ); ( ; )
2
m
A m B m m −
Hai ñi m A, B n m v hai phía c a ñư ng th ng y = x hay x – y = 0 khi và ch khi:
3 4
(0 )( ) 0 0
2 2
m m
m m m− − + < ⇔ − < , luôn ñúng v i 0m ≠
V y ðS: 0m ≠
* Hàm ña th c b c 4:
Bài 1: Tìm m ñ hàm 4 3 2
( ) 4 1f x x x x mx= − + + − có c c ñ i, c c ti u
L i gi i: Hàm f(x) có c c ñ i, c c ti u 3 2
( ) 4 12 2 0f x x x x m′⇔ = − + + = có 3 nghi m
phân bi t 3 2
( ): 4 12 2g x x x x m⇔ = − + = − có 3 nghi m phân bi t
Xét hàm g(x) ta có: 2
6 30
6
( ): 12 24 2 0
6 30
6
x
g x x x
x
 −
=
′ = − + = ⇔
 +
=

www.VNMATH.com

3. Bài 3: C c tr c a hàm s - Khóa LT ð m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
T ñó ta v ñư c bbt c a hàm g(x) trên R (hs t v )
V y g(x) = -m có 3 nghi m phân bi t ⇔ ñ th hàm g(x) c t ñư ng th ng y = - m t i 3
ñi m phân bi t
6 30 6 30
6 6
g m g
   + −
⇔ < − <      
   
6 30 6 30
6 6
g m g
   − +
⇔ − < < −      
   
10 30 10 30
6 6
9 9
m⇔ − < < +
Bài 2: Cho hàm s 4 3 2
( ) 2f x x x mx= + + . Tìm m ñ hàm ch có c c ti u mà không có
c c ñ i
L i gi i: Ta có 3 2
( ) 4 6 2 0f x x x mx′ = + + =
2
2
(2 3 ) 0
0
( ) 2 3 0
x x x m
x
g x x x m
⇔ + + =
=
⇔ 
= + + =
Ta có: 9 8g m∆ = −
TH 1: N u
9
0
8
g m∆ ≤ ⇔ ≥ thì ( ) 0,g x x≥ ∀ . Suy ra f(x) tri t tiêu và ñ i d u t - sang +
t i x = 0 nên ñ t c c ti u t i x = 0, và không có c c ñ i
TH 2: N u
9
0
8
g m∆ > ⇔ < thì g(x) có 2 nghi m phân bi t. ðk ñ hàm ch có c c ti u
mà không có c c ñ i là: ( )g 0 0 0m= ⇔ = (th a mãn)
V y các giá tr c n tìm c a m là:
0
9
8
m
m
=

 ≥

Bài 3: CMR hàm s 4 2
( ) 6 4 6f x x x x= − + + luôn có 3 c c tr ñ ng th i g c t a ñ O là
tr ng tâm c a tam giác có 3 ñ nh là 3 ñi m c c tr
L i gi i: Ta có: 3
( ) 4 12 4f x x x′ = − +
Hàm f’(x) liên t c trên R, ngoài ra ta có: ( 2) 4; (0) 4; (1) 4; (2) 12f f f f′ ′ ′− = − = = − =
( 2) (0) 0; (0) (1) 0; (1) (2) 0f f f f f f′ ′ ′ ′ ′⇒ − < < <
⇒ f’(x) có 3 nghi m phân bi t 1 2 32 0 1 2x x x− < < < < < <
V y f(x) có 3 c c tr , g i 3 ñi m c c tr là 1 1 2 2 3 3( , ); ( , ); ( , )A x y B x y C x y
Ta th c hi n phép chia f(x) cho f’(x) ñư c:
21
( ) ( ) (3 4 6)
4
f x f x x x′= − − −
Suy ra 2
3 4 6; 1,2,3k k ky x x k= − + + =
www.VNMATH.com

4. Bài 3: C c tr c a hàm s - Khóa LT ð m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
Áp d ng viet cho f’(x ) ta có:
1 2 3
1 2 2 3 1 3
0
. . . 3
x x x
x x x x x x
+ + =

+ + = −
Nên 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 33 ( ) 2( . . . ) 4( ) 18y y y x x x x x x x x x x x x + + = − + + − + + + + + + 
6.( 3) 18 0= − + =
Do ñó 3 ñ nh A, B, C nh n O là g c t a ñ
Bài 4: CMR: 4 3 4
( ) 0, 256 27f x x px q x R q p= + + ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥
L i gi i: 3 3( ) 4 0
4
p
f x x p x
−
′ = + = ⇔ = , t ñó ta v ñư c bbt c a hàm f(x)
T bbt suy ra ( ) 0,f x x R≥ ∀ ∈
3
4
3 3
3 4
min ( ) ( ) 0
4
0
4 4
256 27 ( )
x R
p
f x f
p p
p q
q p dpcm
∈
−
⇔ = ≥
 − −
⇔ + + ≥  
 
⇔ ≥
Bài 5: Tìm m ñ hàm s 4 21 3
( )
4 2
f x x mx= − + ch có c c ti u mà không có c c ñ i
L i gi i: L i gi i gi ng bài t p s 2 trên. ðS là: 0m ≤
Bài 6: Tìm m ñ hàm s ( ) ( )4 2
( ) 1 1 2f x mx m x m= + − + − có ñúng 1 c c tr
L i gi i: ( )3
2
0
( ) 4 2 1 0
( ) 2 1 0
x
f x mx m x
g x mx m
=
′ = + − = ⇔ 
= + − =
- N u m = 0 thì g(x) vô nghi m, khi ñó f(x) có 1 c c ñ i
- N u m = 1 thì g(x) có nghi m kép x = 0, khi ñó f(x) ch có 1 c c ti u
- N u 0 < m < 1 thì g(x) có 2 nghi m phân bi t khác 0, khi ñó f(x) có 3 c c tr
- N u m < 0 ho c m > 1 thì g(x) vô nghi m, khi ñó f(x) có 1 c c tr
V y các giá tr c n tìm c a m là:
0
1
m
m
≤
 ≥
Bài 7: CMR hàm s 4 3 2
( ) 5 1f x x x x= − − + có 3 ñi m c c tr n m trên m t parabol.
L i gi i :Ta có 3 2
( ) 4 3 10 0f x x x x′ = − − =
2
(4 3 10) 0
0
5
2
2
x x x
x
x
x
⇔ − − =
=

⇔ =

 =
Suy ra f(x) luôn có 3 ñi m c c tr , ta chia f(x) cho f’(x) ñư c:
21 1 43 5
( ) ( ) 1
4 16 16 8
f x x f x x x
−   
′= − + − +   
   
Do hoành ñ 3 ñi m c c tr là nghi m c a f’(x), suy ra t a ñ 3 ñi m c c tr s th a mãn
www.VNMATH.com

5. Bài 3: C c tr c a hàm s - Khóa LT ð m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
243 5
1
16 8
y x x
−
= − +
V y 3 ñi m c c tr n m trên m t parabol 243 5
1
16 8
y x x
−
= − + .
* Hàm phân th c b c 2/b c 1:
Bài 1: Tìm m ñ hàm s
2 2
(2 3) 4x m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
có 2 c c tr trái d u
L i gi i: Hàm s có 2 c c tr trái d u
( )
2 2
2
2 3
0
x mx m m
y
x m
+ + −
′⇔ = =
+
có 2 nghi m trái
d u 2 2
( ) 2 3 0g x x mx m m⇔ = + + − = có 2 nghi m trái d u và ñ u khác – m
2
3 0
0 3
( ) 3 0
c
m m
ma
g m m

= − <
⇔ ⇔ < <
 − = − ≠
Bài 2: Tìm m ñ
2
1
x x m
y
x
+ +
=
+
có 2 c c tr n m v 2 phía c a tr c tung Oy
L i gi i: Hàm s có 2 c c tr
( )
2
2
2 1
0
1
x x m
y
x
+ + −
′⇔ = =
+
có 2 nghi m phân bi t
2
( ) 2 1 0g x x x m⇔ = + + − = có 2 nghi m phân bi t khác -1
0
0
( 1) 0
m
m
g m
′∆ = >
⇔ ⇔ >
− = − ≠
V i ñk ñó, g i 1 2;x x là 2 nghi m phân bi t c a g(x). Khi ñó hàm s y có 2 c c tr
1 1 2 2( ; ); ( ; )A x y B x y , trong ñó:
2 2
1 1 1 1 1
1 1
1 1
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
( )
2 1
1 1
( )
2 1
1 1
x x m x x m g x
y x
x x
x x m x x m g x
y x
x x
+ + + + +
= = = +
+ +
+ + + + +
= = = +
+ +
Hàm có 2 c c tr n m v 2 phía c a tr c tung Oy ( )( )1 2 1 2. 0 2 1 2 1 0y y x x⇔ < ⇔ + + <
1 2 1 24 . 2( ) 1 0
4(1 ) 4 1 0
1
4
x x x x
m
m
⇔ + + + <
⇔ − − + <
⇔ >
V y
1
4
m >
www.VNMATH.com

6. Bài 3: C c tr c a hàm s - Khóa LT ð m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
Bài 3: Tìm m ñ hàm s
2
( 0)
x mx m
y m
x m
− +
= ≠
−
có 2 c c tr trái d u
HDG: Cách gi i hoàn toàn như bài t p 1. ðS : 0 < m < 1
Bài 4: Tìm m ñ hàm s
2
3( 2)
1
x mx m
y
x
− + +
=
−
có Cð, CT n m v 2 phía c a tr c Ox
HDG: Cách gi i hoàn toàn như bài t p 2. ðS: 6 60 6 60m− < < +
Bài 5: Tìm m ñ hàm s
2
( 1) 1x m x m
y
x m
+ + − +
=
−
có . 0CD CTy y >
HDG: Cách gi i hoàn toàn như bài t p 2. ðS:
7 52
7 52
m
m
 < − −

> − +
Bài 6: Tìm m ñ hàm s
2
5x mx m
y
x m
− − +
=
−
có Cð, CT cùng d u
HDG: Cách gi i hoàn toàn như bài t p 2. ðS:
1 21
2
1 21
5
2
m
m
 − −
<

− +
< <

Ngu n: hocmai.vn
www.VNMATH.com