2. С тех пор как греческие геометры стали исследовать свойство кривых линий,
образующихся на поверхности конуса от пересечения его плоскостью, стало
известным, что ветви гиперболы, будучи неопределенно продолжены, непрестанно
сближаются с двумя прямыми линиями, исходящими из центра гиперболы и
одинаково наклоненными к ее оси. Эти прямые, о которых упоминает уже Архимед,
были еще в древности названы асимптотами и сохранили свое название и по
настоящее время.
Аполлоний Пергский один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих
геометров античности, живших в III веке до н. э. В труде о конических сечениях
Аполлоний Пергский выясняет свойства особых точек и линий, связанных с
исследуемой кривой, в том числе он называет и асимптоту. Поэтому термин
«асимптота» (применительно к гиперболе) приписывают Аполлонию Пергскому.
Аполлоний прославился в первую очередь выдающейся работой «Конические
сечения» , в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и
гиперболы. Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до
него их называли просто «сечениями конуса». Он ввёл и другие математические
термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности:
асимптота, абсцисса, ордината, аппликата.
3. Надо отметить, что в то время применение гипербол, и парабол в науке и в технике
было сравнительно ограниченным. Важнейшую роль в науке и технике кривые
второго порядка стали играть в новое время после работ Галилея и Кеплера,
которые в своих работах показали, что по гиперболам движутся многие небесные
тела, например кометы.
4. При исследовании поведения функции на бесконечных ветвях и вблизи точек
разрыва часто оказывается, что график функции сколь угодно близко
приближается к той или иной прямой. Такие прямые называются асимптотами.
Асимптотой графика функции называется прямая, к которой график функции
неограниченно приближается при удалении точки графика от начала
координат и ее не пересекает.
График функции может иметь асимптоты, но может и не иметь их.
Асимптоты могут быть трех видов:
1)Вертикальные
2)Горизонтальные
3)Наклонные
5. Вертикальные асимптоты. Их проще всего определять. Надо уметь находить
точки разрыва второго рода. Уравнение вертикальной асимптоты записывается
х=а , как уравнение прямой, параллельной оси Оу . При этом
Горизонтальные асимптоты. Чтобы их найти, надо уметь
вычислять
. Предположим, что
или
,
причем
. Тогда говорят, что график функции имеет горизонтальную
асимптоту при
либо при
. В таком случае горизонтальная
асимптота записывается уравнением
, как уравнение прямой,
параллельной оси
.
Наклонные асимптоты записываются уравнением
. Это уравнение
прямой с угловым коэффициентом . Величина - величина отрезка,
отсекаемого прямой на оси Оу . Значения и , надо определить, исходя из
заданной функции, асимптоты которой отыскиваем.
а
в
с
Прямые а и в –
вертикальные асимптоты
Прямая с – вертикальная
асимптота
Прямая g – горизонтальная
асимптота
g
6. Прямые
и
параллельны. Прямая
проходит через начало
координат. Из уравнения
находим
. Если коэффициент будет
найден, то из уравнения
определим коэффициент :
. Из
определения асимптоты и полученных выражений для , приходим к формулам,
позволяющих вычислить коэффициенты , уравнения наклонной асимптоты
графика функции
.
7. Примечание 1. Если
, то наклонные асимптоты вырождаются
в горизонтальные. В самом деле, уравнение наклонной асимптоты
принимает вид
.
Примечание 2. Коэффициенты k, b , уравнения
надо находить при
и при
отдельно.
наклонной асимптоты
8. Найдите асимптоты графика функции
.
Решение
Решение этого примера состоит из трех этапов: нахождение вертикальной
асимптоты, горизонтальной асимптоты и наклонной.
Шаг 1. Функция не является непрерывной и имеет разрыв , при этом .
Следовательно,
- уравнение вертикальной асимптоты.
Шаг 2. Найдем горизонтальные асимптоты. Для этого надо найти
Сначала рассмотрим
и
.
Следовательно,
- уравнение горизонтальной асимптоты при
9. Теперь найдем
В этом пределе надо учесть, что аргумент х
все время остается отрицательным. Введем новую положительную переменную
: ,
откуда следует, что
. Из этой замены видно, что
при
переменная
. Воспользуемся новой переменной t ,
подставим
. Будем иметь
Вычисления показали, что значение предела при
означает, что график функции
при
, которая является горизонтальной асимптотой.
Таким образом, уравнение
Примечание. Замену переменной
предел функции при
не изменилось. А это
приближается к прямой
является горизонтальной асимптотой.
, где
, делаем всегда, когда находим
10. Шаг 3. Имеет ли график заданной функции наклонные асимптоты, уравнения
которых записываются
?
Сначала вычислим угловой коэффициент k по формуле
.
Рассмотрим случай, когда
Отсюда следует, что
Очевидно, что при
Будем иметь
.
получим то же самое значение предела.
Поскольку
, то можно сделать вывод, что график заданной функции не
имеет наклонных асимптот.
Ответ: функция
имеет вертикальную асимптоту
и
горизонтальную асимптоту
. Наклонных асимптот нет.
