Chuyên cung cấp dịch vụ và giải pháp VOIP, đầu số hotline 1800 và 1900 cho doanh nghiệp TIME TRUE LIFE TECHNOLOGY JOINT STOCK COMPANY Mr Long Mobi: 0986883886 - 0905710588 Email: long.npb@ttlcorp.vn Website: ttlcorp.vn

1. CHUYEÂN ÑEÀ 5
ELIP
Caùc baøi toaùn veà elip chuû yeáu qui veà vieäc vieát phöông trình chính taéc cuûa elip, xaùc ñònh
caùc phaàn töû cuûa elip (taâm, ñænh, tieâu cöï, ñoä daøi truïc lôùn, truïc nhoû, tieâu ñieåm…), nhaát laø xaùc
ñònh phöông trình cuûa tieáp tuyeán cuøng vôùi toïa ñoä tieáp ñieåm. Trong moïi tröôøng hôïp ta caàn naém
vöõng kieán thöùc cô baûn sau ñaây :
. Elip (E) coù tieâu ñieåm
treân x′x
. Elip (E) coù tieâu ñieåm
treân y′y
Phöông trình
chính taéc
Tieâu cöï
Tieâu ñieåm
Truïc lôùn
Truïc nhoû
Ñænh treân truïc lôùn
Ñænh treân truïc nhoû
Taâm sai
Baùn kính qua tieâu
Ñieåm cuûa M ∈ (E)
Ñöôøng chuaån
(E) :
2
2
x
a
+
2
2
y
b
= 1
a2
> b2
vaø a2
– b2
= c2
2c
F1(–c, 0), F2(c, 0)
Treân Ox, daøi 2a
Treân Oy, daøi 2b
A1(–a, 0), A2(a, 0)
B1(0, –b), B2(0, b)
e =
c
a
1 1
2 2
M
M
r FM a ex
r F M a ex
= = +⎧
⎨
= = −⎩
1 2,Δ : x = ±
a
e
(E) :
2
2
x
a
+
2
2
y
b
= 1
a2
< b2
vaø b2
– a2
= c2
2c
F1(0, –c), F2(0, c)
Treân Oy, daøi 2b
Treân Ox, daøi 2a
A1(0, –b), A2(0, b)
B1(–a, 0), B2(a, 0)
e =
c
b
1 1
2 2
M
M
r FM b ey
r F M b ey
= = +⎧
⎨
= = −⎩
1 2,Δ : y = ±
b
e
* Ghi chuù :
1

2. Tröôøng hôïp elip coù taâm I( ,α β ) hai truïc cuøng phöông vôùi 2 truïc toïa ñoä thì phöông trình
coù daïng
( )
2
2
x
a
− α
+
( )
2
2
y
b
− β
= 1
Ta dôøi heä truïc toïa ñoä xOy ñeán XIY baèng pheùp tònh tieán theo OI ñeå ñöôïc phöông trình
daïng chính taéc cuûa elip laø
2
2
X
a
+
2
2
Y
b
= 1 vôùi
X x
Y y
= − α⎧
⎨
= − β⎩
ñeå suy ra deã daøng toïa ñoä caùc ñænh vaø tieâu ñieåm.
. Tieáp tuyeán vôùi elip (E) :
2
2
x
a
+
2
2
y
b
= 1 taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) coù phöông trình 0
2
x x
a
+ 0
2
y y
b
= 1
. Tröôøng hôïp khoâng bieát tieáp ñieåm ta aùp duïng tính chaát :
: Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi elip( )Δ
(E) :
2
2
x
a
+
2
2
y
b
= 1 a2
A2
+ b2
B2
= C2
⇔
Thöôøng ta vieát phöông trình cuûa ( )Δ theo heä soá goùc ôû daïng
kx – y + c = 0 vaø löu yù tröôøng hôïp ( )Δ ⊥ x′x töùc
( )Δ : x = ± a
. Elip (E) :
2
2
x
a
+
2
2
y
b
= 1 coù 2 tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi Oy laø
x = a. Ngoaøi 2 tieáp tuyeán x = a, moïi tieáp tuyeán khaùc vôùi ( E) ñeàu coù daïng± ±
y = kx + m hoaëc daïng y = k ( x –x0 ) + y0 neáu tieáp tuyeán ñi qua ( x0 , y0 ) laø ñieåm naèm ngoaøi
elip.
Ví duï1 :
Cho elip (E) : x2
+ 4y2
– 40 = 0
a) Xaùc ñònh tieâu ñieåm, hai ñænh treân truïc lôùn, 2 ñænh treân truïc nhoû vaø taâm sai cuûa (E).
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) taïi ñieåm M0(–2, 3).
c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi elip (E) bieát noù xuaát phaùt töø ñieåm M(8, 0).
2

3. d) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) bieát noù vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (D) : 2x – 3y
+ 1 = 0, tính toïa ñoä tieáp ñieåm.
Giaûi
a) Tieâu ñieåm, caùc ñænh vaø taâm sai cuûa (E)
(E) : x2
+ 4y2
– 40 = 0
⇔
2
x
40
+
2
10
y
= 1 coù daïng
2
2
x
a
+
2
2
y
b
= 1
vôùi a2
= 40 > b2
= 10 c2
= a2
– b2
= 30⇒
a = 2⇒ 10 , b = 10 , c = 30
Vaäy elip (E) coù truïc lôùn treân Ox, hai tieâu ñieåm naèm treân truïc lôùn laø
F1(– 30 , 0) , F2( 30 , 0).
Hai ñænh treân truïc lôùn laø A1(–2 10 , 0), A2(2 10 , 0)
Truïc nhoû cuûa (E) naèm treân Oy vôùi 2 ñænh laø B1(0, – 10 ), B2(0, 10 ).
Taâm sai cuûa elip (E) laø e =
c
a
=
30
2 10
=
3
2
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) taïi M0(–2, 3)
Ta coù + 4 – 40 = (2
0x 2
0y )
2
2− + 4 – 40 = 0( )
2
3
M0(–2, 3) ∈ (E) : x2
+ 4y2
– 40 = 0⇒
Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) taïi tieáp ñieåm M0(–2, 3) seõ laø:⇒
x0x + 4y0y – 40 = 0 ⇔ –2x + 12y – 40 = 0
⇔ x - 6y + 20 = 0
c) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi elip phaùt xuaát töø M(8, 0).
(E) coù hai tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi 0y laø: x = 2 10± .Hai tieáp tuyeán naøy khoâng ñi qua
M(8,0). Vaäy pt tieáp tuyeán ( qua M(8, 0) coù daïng:)Δ
y= k(x – 8) ⇔ kx – y – 8k = 0
( )Δ tieáp xuùc vôùi elip (E) :
2
x
40
+
2
y
10
= 1
⇔ 40k2
+ 10 = 64k2
3

4. ⇔ k2
=
10
24
=
5
12
⇔ k = ±
5
2 3
= ±
15
6
Vaäy coù 2 tieáp tuyeán vôùi (E) qua M(8, 0) laø :
15
6
x – y – 8
5
6
= 0 ⇔ 15 x – 6y – 8 5 = 0
hay –
15
6
x – y + 8
5
6
= 0 ⇔ 15 x + 6y – 8 5 = 0
d) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) vaø vuoâng goùc vôùi (D)
(D) vôùi (D) : 2x – 3y + 1 = 0( )′Δ ⊥
⇒ : 3x + 2y + C = 0( )′Δ
( )′Δ tieáp xuùc (E) :
2
x
40
+
2
y
10
= 1
⇔ 40.9 + 10.4 = C2
⇔ C2
= 400
⇔ C = ± 20
Goïi M0(x0, y0) laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán ( )′Δ vôùi (E) thì ( )′Δ :
0x x
40
+ 0y y
10
= 1 ⇔ x0x + 4y0y – 40 = 0
Vôùi C = 20 : 3x + 2y + 20 = 0⇒ ( )′Δ
⇒ 0x
3
= 04y
2
=
40
20
−
⇔
0
0
x 6
y 1
= −⎧
⎨
= −⎩
hay M0 (–6, –1)
Vôùi C = –20 (⇒ )′Δ : 3x + 2y – 20 = 0
⇒ 0x
3
= 04y
2
=
40
20
−
−
⇔ hay M0(6, 1).
0
0
x 6
y 1
=⎧
⎨
=⎩
4

5. Ví duï2 :(ÑH KHOÁI D-2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñieåm C (2; 0) vaø elíp
(E) :
2 2
x y
1
4 1
+ = . Tìm toïa ñoä caùc ñieåm A, B thuoäc (E), bieát raèng hai ñieåm A, B ñoái xöùng vôùi
nhau qua truïc hoaønh vaø tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu
Giaûi
Giaû söû A (a,
2
4 a
2
−
) ∈ (E) ⇒ B (a, −
2
4 a
2
−
) ∈ (E)
Vaø ñieàu kieän: –2 < a < 2. Do A,B ñoái xöùng qua Ox neân ta coù:
ΔCAB ñeàu ⇔ CA2
= AB2
⇔ (a – 2)2
+
2
4 a
4
−
= 4 – a2
⇔ 7a2
– 16a + 4 = 0
⇔ a = 2 (loaïi) hay a = 2
7
. Neân toïa ñoä cuûa A vaø B laø:
A
2 4 3
,
7 7
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
vaø B
2 4 3
,
7 7
⎛
−⎜⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟⎟
hoaëc A
2 4 3
,
7 7
⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
vaø B
2 4 3
,
7 7
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ví duï3 :(ÑH KHOÁI D-2002) :
Cho(E) :
9
y
16
x 22
+ = 1. Cho M di chuyeån treân tia 0x, N di chuyeån treân tia 0y sao cho ñöôøng
thaúng MN luoân tieáp xuùc (E). Tìm toïa ñoä ñieåm M, N sao cho ñoä daøi ñoaïn MN ngaén nhaát. Tìm
ñoä daøi ñoaïn ngaén nhaát ñoù.
Giaûi
M (m, 0) ∈ tia Ox; N (0, n) ∈ tia Oy ⇒ n, m > 0
(E) :
9
y
16
x 22
+ = 1. MN : nx + my – n.m = 0
(MN) tieáp xuùc (E) ⇔ 1
n
9
m
16
22
=+
Ta coù : MN2
= m2
+ n2
.Theo BÑT BCS ta coù
Ta coù : 7 = MNnm
n
9
m
16
n.
n
3
m.
m
4 22
22
=++≤+
MN nhoû nhaát ⇒
n
3
n
m
4
m
= ⇔
3
n
4
m 22
=
⇔ 3m2
= 4n2
vaø m2
+ n2
= 49 ⇔ m2
= 28 vaø n2
= 21
Do ñoù : MN nhoû nhaát ⇔ m = 72 vaø n = 21 (vì m, n>0)
⇒ M ( 72 , 0); N (0, 21 ). Khi ñoù min MN = 7.
Ví duï4 :(ÑH KHOÁI D-2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy, cho elip (E):
1
4
y
9
x 22
=+ vaø ñöôøng thaúng dm : mx – y – 1 = 0.
5

6. a) Chöùng minh raèng vôùi moïi giaù trò cuûa m, ñöôøng thaúng dm luoân caét elip (E) taïi hai ñieåm phaân
bieät.
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E), bieát raèng tieáp tuyeán ñoù ñi qua ñieåm N (1; −3).
Giaûi
a) (E) :
2 2
x y
1
9 4
+ = ⇔ 4x2
+ 9y2
– 36 = 0
(dm) : mx – y – 1 = 0 ⇔ y = mx – 1
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (dm) vôùi (E) :
4x2
+ 9(mx – 1)2
– 36 = 0 ⇔ (4 + 9m2
)x2
– 18mx – 25 = 0
coù Δ' = 81m2
+ 25(4 + 9m2
) > 0 ñuùng vôùi moïi m
Vaäy (dm) luoân luoân caét (E) taïi 2 ñieåm phaân bieät.
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) qua N(1; −3)
2 tieáp tuyeán thaúng ñöùng cuûa (E) laø x = ± 3 ( khoâng qua N )
Goïi Δ laø tieáp tuyeán qua N(1; −3) thì phöông trình Δ coù daïng:
y + 3 = k(x – 1) ⇔ kx – y – 3 – k = 0
(Δ) tieáp xuùc vôùi (E) ⇔ 9k2
+ 4 = (−3 – k)2
= 9 + 6k + k2
⇔ 8k2
– 6k – 5 = 0 ⇔
1
2
1
k
2
5
k
4
⎡
= −⎢
⎢
⎢ =⎢⎣
Δ1 : x + 2y + 5 = 0; Δ2 : 5x – 4y – 17 = 0.
* * *
6